全國卷12025屆高三數(shù)學(xué)月考試題五理含解析

PAGE21-（全國卷1）2025屆高三數(shù)學(xué)月考試題五理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)真數(shù)為正實數(shù)化簡集合的表示，依據(jù)補集的定義、交集的定義進行求解即可.【詳解】，得，則，所以，即．故選：C【點睛】本題考查了集合補集和交集的運算，考查了對數(shù)型函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學(xué)運算實力.2.高一2班有45名學(xué)生，學(xué)號為01-45，為弘揚中國古詩詞文化，現(xiàn)采納隨機數(shù)表法從該班抽取7名同學(xué)參與校內(nèi)詩詞朗誦大賽，從隨機數(shù)表第5行第15個數(shù)起先向右數(shù)，隨機數(shù)表的第5行和第6行，則抽取的第7個同學(xué)的學(xué)號是()1622779439495443548217379323788735209643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676A.26 B.35 C.20 D.43【答案】A【解析】【分析】依據(jù)隨機數(shù)的讀取規(guī)則，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，即可求得結(jié)果.【詳解】選取的7名同學(xué)的學(xué)號依次為43，17，37，23，35，20，26.所以抽取的第7個同學(xué)的學(xué)號是26.故選：A.【點睛】本題考查隨機數(shù)表法的操作，屬簡潔題.3.已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且滿意，則不等式的解集為（）．A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)先推斷奇函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)單調(diào)性和奇函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由奇函數(shù)圖象性質(zhì)知的圖象在上單調(diào)遞增，，則，即，所以，解得．故選：D【點睛】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，考查了利用單調(diào)性求解不等式解集問題，考查了數(shù)學(xué)運算實力.4.已知點是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線漸近線上一點，若是等邊三角形（其中為坐標(biāo)原點），則雙曲線的離心率為（）．A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線漸近線方程、離心率公式、之間的關(guān)系進行求解即可.【詳解】由在漸近線上且是等邊三角形，其中一條漸近線的斜率，所以離心率．故選：B【點睛】本題考查了求雙曲線的離心率，考查了等邊三角形的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算實力.5.希爾伯特在1900年提出了孿生素數(shù)猜想，其內(nèi)容是：在自然數(shù)集中，孿生素數(shù)對有無窮多個．其中孿生素數(shù)就是指相差2的素數(shù)對，即若和均是素數(shù)，素數(shù)對稱為孿生素數(shù)．從15以內(nèi)的素數(shù)中任取兩個，其中能構(gòu)成孿生素數(shù)的概率為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出15以內(nèi)的素數(shù)，然后再確定素數(shù)對，最終依據(jù)古典概型計算公式進行求解即可.【詳解】依題意，15以內(nèi)的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，共有6個，由列舉可知．從中選取兩個共包含15個基本領(lǐng)件，而孿生素數(shù)有，，三對，包含3個基本領(lǐng)件，所以概率為．故選：C【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)閱讀實力，考查了古典概型計算公式，考查了數(shù)學(xué)運算實力.6.圖1中莖葉圖是某班英語測試中學(xué)號為1至15號同學(xué)的成果，學(xué)生成果的編號依次為，，，…，，則運行圖2的程序框圖，輸出結(jié)果為（）．A.121 B.119 C.10 D.5【答案】C【解析】【分析】通過執(zhí)行程序框圖識別框圖的功能，再依據(jù)莖葉圖統(tǒng)計出相應(yīng)分?jǐn)?shù)的人的個數(shù)即可.【詳解】由程序框圖可知該框圖的功能是統(tǒng)計分?jǐn)?shù)不小于120分的人數(shù)．通過莖葉圖可知分?jǐn)?shù)不小于120分的人數(shù)為10.故選：C【點睛】本題考查了程序框圖的功能，考查了莖葉圖的應(yīng)用，屬于中檔題.7.函數(shù)的部分圖象，如圖，則()A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)最值和周期性求得，由五點作圖法求得，即可求得函數(shù)解析式和函數(shù)值.【詳解】因為的最大值為，最小值為，故可得；因為的周期，故可得；由五點作圖法即可得：，解得.故可得，則.故選：D.【點睛】本題考查由三角函數(shù)的圖像求函數(shù)解析式，屬基礎(chǔ)題.8.已知向量和向量滿意，且，則向量與的夾角為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平面對量模的運算性質(zhì)，結(jié)合平面對量夾角公式進行求解即可.【詳解】因為，所以有，所以化簡得：，，，所以．故選：D【點睛】本題考查了平面對量夾角公式的應(yīng)用，考查了平面對量模的運算性質(zhì)，考查了數(shù)量積的運算性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算實力.9.已知函數(shù)，則下列能正確表示函數(shù)（粗線）及導(dǎo)函數(shù)（細(xì)線）圖象的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)的奇偶性，以及的大小，即可推斷.【詳解】，故可得，又，所以是偶函數(shù)，故解除；因為，故解除；，故解除；只有滿意全部條件.故選：A.【點睛】本題考查原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖像，涉及導(dǎo)函數(shù)的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.10.在的綻開式中的系數(shù)為()A.20 B.19 C.10 D.9【答案】B【解析】【分析】依據(jù)綻開式的通項公式，結(jié)合的產(chǎn)生，即可求得結(jié)果.【詳解】二項式綻開式的通項公式，，，則的綻開式中的系數(shù)為.故選：B.【點睛】本題考查利用二項式定理求指定項的系數(shù)，屬基礎(chǔ)題.11.已知函數(shù)，則函數(shù)圖象與直線的交點個數(shù)為（）．A.5 B.6 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)，運用換元法，結(jié)合函數(shù)圖象，分類探討進行求解即可.【詳解】如圖為函數(shù)的圖象，函數(shù)圖象與直線的交點個數(shù)即為方程的根的個數(shù)，令，則．即找尋直線與圖象的交點個數(shù)．當(dāng)時，，得，與的圖象1個交點；當(dāng)時，，解得或（舍），當(dāng)時，，與圖象的2個交點．綜上所述，直線與圖象一共4個交點．即滿意題意的交點個數(shù)為3個．故選：D【點睛】本題考查了兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學(xué)運算實力.12.已知點，分別是拋物線和圓上的動點，點，則的最小值為()A.10 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，用表示出；依據(jù)圓上一點到定點距離的范圍，求得的最大值，再利用均值不等式求得目標(biāo)式的最值.【詳解】設(shè)點，因為點在拋物線上，所以，因為點，則.又知點在圓上，圓心為拋物線的焦點，要使的值最小，則的值應(yīng)最大，即.所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以的最小值為4.故選：B.【點睛】本題考查拋物線上一點到定點距離的求解，以及圓上一點到定點距離的最值，利用均值不等式求最值，屬綜合中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則__________【答案】【解析】【分析】利用與之間的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式和正弦的倍角公式，即可求得結(jié)果.【詳解】由題，即可得.故答案為：.【點睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式，正弦的倍角公式化簡求值，屬基礎(chǔ)題.14.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿意：，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡方程是__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)對應(yīng)點，依據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式，結(jié)合橢圓的定義進行求解即可.【詳解】設(shè)對應(yīng)點，則，設(shè)點，，則，所以點在以，為焦點的橢圓上，軌跡方程為．故答案為：【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的計算公式，考查了橢圓的定義，考查了數(shù)學(xué)運算實力.15.如圖在等腰直角三角形中，斜邊，為中點，將沿中線折疊得到三棱錐，若，則該三棱錐外接球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】將三棱錐補為三棱柱，求得三棱柱的外接球半徑，即可求得結(jié)果.【詳解】將該三棱錐補成三棱柱，如下圖所示：又因為是邊長為2的等邊三角形，故其外接圓半徑；又棱柱的高；則該三棱柱的外接球半徑.所以外接球表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的求解，屬中檔題.16.在邊長為等邊中，是中心，直線經(jīng)過點且與，兩邊分別交于，兩點，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，在中由正弦定理，用表示出，再利用正余弦的和角公式，將表示為的函數(shù)，求該函數(shù)的最值即可.【詳解】設(shè)中點為，，，如下圖所示：因為是重心，所以.在中，由正弦定理得，，所以，同理在中，由正弦定理得.所以，，當(dāng)時，.故答案為：.【點睛】本題考查利用正余弦定理求解三角形中的最值問題，涉及三角函數(shù)最值的求解，屬綜合中檔題；本題中，選擇角度為變量，是解決問題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說眀、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：60分.17.已知數(shù)列的首項為1，當(dāng)時，其前項和滿意.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求滿意的最小的值.【答案】（1）；（2）20【解析】【分析】（1）利用之間的關(guān)系，將遞推公式轉(zhuǎn)化為之間的關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列，求得，進而求得；（2）由（1）中所求，解得，利用裂項求和法求得，解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）在數(shù)列中，，當(dāng)時，，即，所以，化簡得.所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，解得.當(dāng)時，.當(dāng)時不滿意，所以.（2）由（1）知，所以..若，即，解得.所以滿意的最小的值為20.【點睛】本題考查利用求數(shù)列的通項公式，裂項求和法求數(shù)列的前項和，屬綜合中檔題.18.在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面是菱形且與底面垂直，，點是中點，點是上靠近點的三等分點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交交于，連接，通過證明//，即可得證線面平行；（2）以中點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個平面的法向量，通過向量法即可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）連接，交于點，連接.因為，所以,又因為，所以，所以，又平面，平面，所以平面.（2）過作于，因為，所以是線段的中點.因為平面平面，平面平面，所以平面，連接，因為是等邊三角形，是線段的中點，所以.所以平面.如圖，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)，不妨設(shè)，則，，，，，由，得，則的中點，從而，.設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，得，即.易知平面一個法向量為，則，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行，以及用向量法求解二面角的大小，屬綜合中檔題；本題的難點在于合理的建系.19.已知點，是橢圓的左、右焦點，點是該橢圓上一點，若當(dāng)時，面積達到最大，最大值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，是否存在過左焦點的直線，與橢圓交于，兩點，使得的面積為？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在，直線方程為或．【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓焦點三角形的性質(zhì)，結(jié)合，進行求解即可；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，依據(jù)弦長公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.【詳解】（1）由題可知當(dāng)點在短軸端點時，面積最大，值為①，此時，，所以②，又知③，由上述3個式子解得，，．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）存在，由（1），由題意可知直線與軸不重合，所以設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得，則，，，則，，解得，即直線方程為或．【點睛】本題考查了橢圓焦點三角形的性質(zhì)，考查了已知橢圓弦長求直線方程問題，考查了數(shù)學(xué)運算實力.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時，總有，求的最大值.【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）5.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可推斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）分別參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得該函數(shù)最小值的范圍，即可求得參數(shù)的范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域為，，由得，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題當(dāng)時，恒成立，即在時恒成立，即在時恒成立，令，則，令，則在時恒成立.所以在上單調(diào)遞增，又知，，所以在上存在唯一實數(shù)，滿意，即，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.即.由在時恒成立，所以，又知，所以整數(shù)的最大值為5.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，涉及分別參數(shù)法，屬綜合中檔題.21.某工廠生產(chǎn)某款機器零件，因為要求精度比較高，所以須要對生產(chǎn)的一大批零件進行質(zhì)量檢測.首先由專家依據(jù)各種系數(shù)制定了質(zhì)量指標(biāo)值，從生產(chǎn)的大批零件中選取100件作為樣本進行評估，依據(jù)評估結(jié)果作出如圖所示的頻率分布直方圖.（1）（?。┮罁?jù)直方圖求及這100個零件的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；（ⅱ）以樣本估計總體，經(jīng)過專家探討，零件的質(zhì)量指標(biāo)值，試估計10000件零件質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的件數(shù)；（2）設(shè)每個零件利潤為元，質(zhì)量指標(biāo)值為，利潤與質(zhì)量指標(biāo)值之間滿意函數(shù)關(guān)系.假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，試估算該批零件的平均利潤.（結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，則，，【答案】（1）（?。?；（ⅱ）8186；（2）182元.【解析】【分析】（1）（?。├妙l率分布直方圖的面積為，求得；再依據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)即可；（ⅱ）依據(jù)正態(tài)分布的概率計算，結(jié)合（1）中所求，即可求得質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的概率，進而結(jié)合總體數(shù)量求得結(jié)果；（2）依據(jù)題意，結(jié)合利潤計算的函數(shù)關(guān)系，即可簡潔求得.【詳解】（1）（?。┯桑獾?（ⅱ）由題，所以..所以10000件零件質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的件數(shù)約為8186.（2）由題意得該零件的平均利潤為182元.【點睛】本題考查頻率分布直方圖中參數(shù)和平均數(shù)的求解，正態(tài)分布的概率計算，屬綜合中檔題.（二）選考題：10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分.作答時請寫清題號.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.已知極點與平面直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合，直線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的一般方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點，點為曲線上一點，求使面積取得最大值時的點坐標(biāo)．【答案】（1）；．（2）【解析】【分析】（1）利用加減相元法把直線