湖南省長沙市周南教育集團2025屆高三上學(xué)期10月第二次月考數(shù)學(xué)強化訓(xùn)練 含答案

湖南省長沙市周南中學(xué)2025屆高三第二階段考試數(shù)學(xué)強化訓(xùn)練一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（

）．A．1 B． C．2 D．3．已知向量，，．若與共線，則實數(shù)等于（

）A．0 B．1 C． D．34．已知，使成立的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列滿足，則的前15項的和為（

）A．30 B．20 C．15 D．57．已知，且，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)若函數(shù)有四個零點,零點從小到大依次為則的值為()A．2 B． C． D．二、多選題9．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的一個零點為D．的最大值為110．如圖所示，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系xOy為斜坐標(biāo)系.若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標(biāo)，記為.在的斜坐標(biāo)系中，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量為11．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對任意，都有成立，當(dāng)，且時，都有，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．函數(shù)在上有個零點D．函數(shù)在上為減函數(shù)三、填空題12．已知，且為第三象限角，則．13．直線與曲線相切，則．14．在數(shù)列中，且，當(dāng)時，，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題15．在銳角中，內(nèi)角所對的邊為，其中(1)求角的大?。?2)若，求面積的最大值.16．?dāng)?shù)列的前n項和為，且.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)令，數(shù)列的前n項和為.求證：.17．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面.設(shè)平面與平面的交線為.

(1)證明：平面；(2)已知，為上的點，，求與平面所成角的正弦值.18．已知為坐標(biāo)原點，是圓上一點，且，線段的垂直平分線交線段于點，設(shè)動點的軌跡為曲線，且曲線與直線相切．(1)求的方程；(2)過點且斜率為的直線與曲線交于兩點，求面積的最大值．19．設(shè)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求證:；(3)設(shè)函數(shù)與的定義域的交集為，集合.若對任意，都存在，使得成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則稱與為"A關(guān)聯(lián)函數(shù)".求證：若與為"關(guān)聯(lián)函數(shù)"，則.湖南省長沙市周南中學(xué)2025屆高三第二階段考試數(shù)學(xué)強化訓(xùn)練參考答案題號12345678910答案ACBDBAACACAD題號11答案ABD1．A【分析】求出集合A，根據(jù)集合的交集運算即得答案.【詳解】由題意得，則，故選：A2．C【分析】利用復(fù)數(shù)的減法運算及復(fù)數(shù)的模的計算公式計算即可.【詳解】因為，所以.故選：C.3．B【分析】由共線向量的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因為向量，，，所以，若與共線，則，解得，故選：B4．D【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得.【詳解】對于A，，A不是；對于B，當(dāng)時，由，得，B不是；對于C，，可能有，如，C不是；對于D，由，得，則；若，則，D是.故選：D5．B【分析】根據(jù)分段函數(shù)和單調(diào)性相關(guān)知識直接求解.【詳解】因為函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，顯然函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則，解得.故選：B6．A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】．故選：A7．A【分析】利用二倍角公式結(jié)合角的余弦值確定角的范圍計算即可.【詳解】因為，，所以，則，則.故選：A8．C【分析】函數(shù)有四個零點，即與的圖象有4個不同交點，可設(shè)四個交點橫坐標(biāo)滿足，由圖象，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進一步求得，利用對稱性得到，從而可得結(jié)果.【詳解】

作出函數(shù)的圖象如圖,函數(shù)有四個零點，即與的圖象有4個不同交點，不妨設(shè)四個交點橫坐標(biāo)滿足，則，，,可得,由，得，則，可得，即，，故選C.【點睛】函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)的零點函數(shù)在軸的交點方程的根函數(shù)與的交點.9．AC【分析】根據(jù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】，故A正確；，所以不是對稱軸，故B錯誤；，所以是的一個零點，故C正確；因為振幅，所以的最大值為，故D錯誤.故選：AC.10．AD【分析】利用向量的線性運算，向量的模，向量垂直，投影向量的求法逐一驗證即可.【詳解】依題意，，，對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，則在方向上的投影向量為，D正確.故選：AD11．ABD【分析】依題意利用奇函數(shù)性質(zhì)可得，即的圖象關(guān)于直線對稱，可推出是周期為4的周期函數(shù)，即可判斷AB正確；易知函數(shù)在上有7個零點，即C錯誤；由函數(shù)單調(diào)性及其對稱性可判斷D正確.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以；又對任意，都有成立，令，可得，即，所以，即可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；又函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，則；則有，故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)；當(dāng)，且時，都有，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；再由奇函數(shù)性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞增；對于A，由可得，所以，即A正確；對于B，由直線是函數(shù)的一條對稱軸，且是周期為4的周期函數(shù)；則也是函數(shù)的一條對稱軸，又為奇函數(shù)，所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，即B正確；對于C，函數(shù)在上有7個零點，分別為，即C錯誤；對于D，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且周期為4，則函數(shù)在上為增函數(shù)，由直線是函數(shù)的一條對稱軸，則函數(shù)在上為減函數(shù)，即D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：本題主要考察函數(shù)奇偶性、對稱性、單調(diào)性和周期性的應(yīng)用，要根據(jù)其他性質(zhì)綜合運用推出函數(shù)值求和、對稱軸、對稱中心、零點個數(shù)等的求解.12．/【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系求出并檢驗，結(jié)合商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】，由，可得，解得或．又為第三象限角，，把的值代入檢驗得，，可得．故答案為：.13．【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，由于，所以切線的斜率為：，所以曲線在處的切線方程為：，即，所以，，故答案為：.14．【分析】由數(shù)列的遞推式可得，求和后結(jié)合條件可得，求出即可.【詳解】因為，，所以，當(dāng)時，，所以，所以，所以，因為，所以，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是由數(shù)列的遞推式可得，然后利用累加法求和求解范圍即可.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，再逆用兩角和的正弦公式、三角形內(nèi)角和定理、正弦的誘導(dǎo)公式、特殊角的正弦值進行求解即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，運用余弦定理、三角形面積公式、基本不等式進行求解即可.【詳解】（1）因為，所以，因此由，因為，且三角形為銳角三角形，所以；（2）由余弦定理可知：，由基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，面積為，即，當(dāng)且僅當(dāng)該三角形為正三角形時取等號.16．(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）利用與的關(guān)系式，消去，即可證明為等比數(shù)列，求得通項；（2）將數(shù)列的通項進行裂項，再運用裂項相消法即可求出并證得.【詳解】（1）因為①，所以當(dāng)時，②，①②得：，即(*)，又當(dāng)時，，即，所以，由(*)可得，，則數(shù)列為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故；（2）由（1）知，故，因，，故得.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理知平面，再由線面平行的性質(zhì)定理得到，最后由線面平行的判定定理證明平面.（2）以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)得到的坐標(biāo)，求出平面的法向量，結(jié)合的坐標(biāo)，利用向量法求解線面角即可.【詳解】（1）四棱錐的底面為正方形，，平面，平面，平面，平面，平面平面，.又平面，平面，平面.（2）如圖所示，以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，，則有，，，，，設(shè)，則有，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.

18．(1)(2)【分析】（1）先確定圓心A及半徑，由垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義及直線與橢圓的位置關(guān)系計算即可；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，由韋達定理、弦長公式、點到直線的距離及基本不等式計算即可.【詳解】（1）由題意可知圓，所以圓心，半徑，因為，線段的垂直平分線交線段于點，所以，又，所以，即點的軌跡是以點為左、右焦點的橢圓，所以曲線．因為曲線與直線相切，故，解得，所以的方程為．（2）由題意得直線，由，得，令，所以，即或．設(shè)，則，所以，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以面積的最大值為．19．(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意分析可知：原不等式等價于，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，進而分析證明；（3）根據(jù)題意整理可得，利用基本不等式可得對任意都成立，取可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進而判斷其符號即可.【詳解】（1）由題意可知：的定義域為，且.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)見區(qū)間為.（2）由（1）可知，故只需證.由于，等價于.令，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，所以.（3）由題意知，對任意，存在，滿足，且，則，即，即.對