2023-2024學(xué)年北京西城區(qū)鐵路第二中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京鐵二中高一（上）期中數(shù)學(xué)（試卷滿分150分考試時(shí)長(zhǎng)分鐘）第一部分（選擇題共分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，迭出符合題目要求的一項(xiàng).B=x?3xA=xx=2k,kZ1.已知集合，，那么A（）??2,0A.C.B.D.??2,0,20,1x+y=02.方程組的解集是（）x2+y=22A.{(1，﹣1),(﹣1，1)}C.{(22),（﹣2，2)}0，cd0，則一定有（）.B.{(11),(﹣1，﹣1)}D.{(2，2),(﹣2，﹣2)}b3.若aA.acbdB.adbcC.acbdadbcD.1x?14.函數(shù)y=x+的定義域?yàn)椋ǎ?0,1A.C.B.D.()0,1)(+)5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）1A.yx1=+B.y=?x3C.y=y=x|x|D.xfx3x3x8()=+?x1,2()內(nèi)近似解的過程中得6.設(shè)，用二分法求方程3x+3x?8=0在()()()，則下列必有方程的根的區(qū)間為（）f1f1.5f1.250．．2))1.25,1.5)A.B.C.D.不能確定()是奇函數(shù)，且在()內(nèi)是減函數(shù)，又(?)=，則()的解集是（）fxf30xfx07.設(shè)A.{?3x0或xB.{xD.{x?3或0x?3或xC.{?3x0或0x8.a0是函數(shù)fx()=ax22x+1至少有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)的（+）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件9.加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a，c據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為A.3.50分鐘B.3.75分鐘C.4.00分鐘D.4.25分鐘()為定義在上的函數(shù)，函數(shù)(+)是奇函數(shù)對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：fxfx110.設(shè)R.①f)=0；②f1?x=?f1+x)；)(③函數(shù)()的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；fx④函數(shù)()的圖象關(guān)于點(diǎn)()對(duì)稱；1,0fx其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4第二部分（非選擇題共分）二、填空題共6小題，每小題4分，共24分.命題“x0，2x0”的否定是______．12.已知方程x?4x+1=0的兩根為x和x，則x12122+2=_________2()=+(?)?是偶函數(shù)，則x2與(?)的大小關(guān)系為fbf2______．fxb1x213.若函數(shù)()=fxx22x3?0,3+，當(dāng)時(shí)，()的值域是；若()的值域是，則xfxfx14.已知函數(shù)______()的定義域?yàn)開_____fx12()=fxx22ax+2，當(dāng)?fx+時(shí)，()恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．x,aa15.已知x?x16.已知λR，函數(shù)f(x)=x，當(dāng)λ時(shí)，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)2?4x+xf(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是___________．三、解答題共6小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.x?3=R，集合A=∣0,B=2x+35．17.已知全集Ux+2（1）求AB；（2）求(．4()=+18.設(shè)函數(shù)fxx．x（1）判斷函數(shù)()奇偶性并證明；fx（2）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)()在(2,+)上單調(diào)遞增．fxx19.某工廠新建員工宿舍，若建造宿舍的所有費(fèi)用P（萬元）和宿舍與工廠的距離km的關(guān)系為k()0x5，若距離為P=km時(shí)，測(cè)算宿舍建造費(fèi)用為40萬元為了交通方便，工廠和宿舍之間.3x+2y還要修一條道路，已知鋪設(shè)路面成本為6萬元/，設(shè)為建造宿舍與修路費(fèi)用之和，（1）求k的值.yx（2）求關(guān)于的表達(dá)式.（3）宿舍應(yīng)建在離工廠多遠(yuǎn)處，可使總費(fèi)用最小，并求最小值.R，解關(guān)于x的不等式axy2?(2a+)x+20．20.設(shè)a()=fxx2ax+3，其中aR．?21.設(shè)（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)()的圖象與直線fxy=3x交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若函數(shù)()在()上不具有單調(diào)性，求的取值范圍：fx,0ax?2,2時(shí)，求函數(shù)()的最小值．fx（3）當(dāng)且u為集合A的生成集．B=|u,vA22.設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合A=5時(shí)，寫出集合A的生成集B；（1）當(dāng)（2）若A5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；B=（3）判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說明理由．參考答案第一部分（選擇題共分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，迭出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】C【分析】?32k3kZ()，求得整數(shù)k的取值，由此可求得A解不等式B.332【詳解】解不等式32k3，得?k，kZ，所以，整數(shù)k的可能取值有1、0、1，2A,0,2因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.【答案】A【分析】求出方程組的解，注意方程組的解是一對(duì)有序?qū)崝?shù)．x+y=0x=1x=1【詳解】方程組的解為y=?1或y=1，x2+y2=2其解集為?(?．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示，二元二次方程組的解是一對(duì)有序?qū)崝?shù)，表示時(shí)用小括號(hào)括起來，表示有(x,y)．序，即代表元可表示為，一個(gè)解可表示為3.【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷.【詳解】解：根據(jù)cd0，有?c?d0，由于a?ac?bd,acbd，b0，兩式相乘有故選：A.4.【答案】D【分析】根據(jù)偶次方根被開方數(shù)非負(fù)、分母不為0，可建立等式關(guān)系，進(jìn)而可求出函數(shù)的定義域.x0x?10，解得0x1或x1.【詳解】由題意，可得1x?1)(+)的定義域?yàn)?y=x+所以函數(shù)故選：D.5.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得解.y=x+1【詳解】函數(shù)不是奇函數(shù)，故A不正確；函數(shù)y函數(shù)y=?x是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故B不正確；31=是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故C不正確；xx,x02y=x|x|=的圖象如圖：?x,x02x,x02y=x|x|=所以函數(shù)是奇函數(shù)且是增函數(shù).?x,x02故選：D6.【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷．【詳解】由題可知函數(shù)()為增函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理知在區(qū)間1.25,1.5)上必有根．fx故選：C．7.【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)()在()=，結(jié)合不等式()，分類討(0,+)為減函數(shù)，且f30xfx0fx論，即可求解.【詳解】由函數(shù)()是奇函數(shù)，且在()內(nèi)是減函數(shù)，可得函數(shù)()在()為減函數(shù)，fxfx,0又由f(?3)=0()=?(?)=f3f30，，可得xfx0()因?yàn)椴坏仁剑?x3；x?3當(dāng)x0時(shí)，則()，解得fx當(dāng)x0時(shí)，則f(x)0，解得，xfx0的解集為{x?3x.()所以不等式或故選：D.8.【答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．1xx=0x,x【詳解】0時(shí)，，中一正一負(fù)，充分性滿足，1212a但當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x+2x+1的零點(diǎn)是x=?1，因此不必要，2所以應(yīng)為充分而不必要條件，故選：A．9.【答案】B0.7),(4,p=at2+bt+c的圖象上，【詳解】由圖形可知，三點(diǎn)都在函數(shù)9a+b+c=0.7所以a+b+c=0.8，解得a=bc=?2=，25a+b+c=0.5154131615p=?t2+t?2=0.2(t??)2+，因?yàn)閠0，所以當(dāng)t==3.75時(shí)，p取最大值，所以4故此時(shí)的t=3.75分鐘為最佳加工時(shí)間，故選B.考點(diǎn)：本小題以實(shí)際應(yīng)用為背景，主要考查二次函數(shù)的解析式的求解、二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查同學(xué)們分析問題與解決問題的能力.10.【答案】C【分析】gx=fx+1令()()，①：根據(jù)()=求解出()的值并判斷；②：根據(jù)()為奇函數(shù)可知g00f1gx(?)=?()，化簡(jiǎn)此式并進(jìn)行判斷；根據(jù)=(+)與=()的圖象關(guān)系確定出()關(guān)于點(diǎn)gxgxyfx1yfxfx對(duì)稱的情況，由此判斷出③④是否正確.gx=fx+)，【詳解】令()(①因?yàn)?)為R上的奇函數(shù)，所以gx()=(+)=，所以()=，故正確；f1g0f0100②因?yàn)?)為R上的奇函數(shù)，所以gx(?)=?()，所以(gxf?x+1=?fx+)，即)(gx(?)=?(+)，故正確；f1xf1xy=fx+1()的圖象由y=()fx的圖象向左平移一個(gè)單位得到的，因?yàn)閥=fx+1()的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以y=()的圖象關(guān)于點(diǎn)0)對(duì)稱，故③錯(cuò)誤④正確，fx又所以正確的有：①②④，故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：通過奇偶性判斷函數(shù)對(duì)稱性的常見情況：（1）若f(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)=()x=a的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；yyfx（2）若f(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)=()的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱.fx第二部分（非選擇題共分）二、填空題共6小題，每小題4分，共24分.02x0【答案】0【分析】直接根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題解答即可；【詳解】命題“x0，20200x0”為全稱命題，又全稱命題的否定為特稱命題，故其否定為“”0200故答案為：12.【答案】14【分析】由韋達(dá)定理可得答案.【詳解】方程x?4x+1=0的兩根為x和x，則122x+x=4xx=12x+1x22=(12221216?2=14+?=，，則.1212故答案為：14.()(?)fbf213.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性求出函數(shù)()，在計(jì)算出()與(?)的值即可比較二者之間的大小關(guān)系fbf2.fx【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)()是偶函數(shù)，所以(?)=()fxfxfx,所以()2+b?1x?2，得b=1，即f(x)=x2?，()x2?b?1x?2=x2fb=f1=?1f，因?yàn)?)()(?2)=2，所以fb)f(?2)，fbf?2故答案為：()()..?答案不唯一62,4(14.【答案】①.)fx=2fx11，【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性計(jì)算即可.根據(jù)題意令()()=，求出對(duì)應(yīng)的值，x結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.()=【詳解】由fxx22x+3=(x?)+2，?21,3時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，x0,1，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x可知故x=1時(shí)，(fx=2，x=3時(shí)，f(xmax=6，即()()的值域是fx2,6fx2,6..令f(x)=x2?2x+3=2，解得x=1；令f(x)=x2?2x+3=x2?2x?8=0x=2或x=，解得4；fx=x由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，若要使函數(shù)()2?2x+3的值域是，?4．1,42,1，則它的定義域是可能是，故答案為：;4(答案不唯一)2,6(?15.【答案】【分析】求出函數(shù)的對(duì)稱軸，分類討論區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱軸的大小，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題解決.【詳解】由f(x)=x2?2ax+2可知，函數(shù)對(duì)稱軸為xa=，1119a(?,)f(x)[,+)在()fx=f()=?a，當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，22249112fxa所以要使()fx()a，即?aa,a，解得a恒成立，即；，421a[,+∞)f(x=f(a)=2?a2f(x)在[a,)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)則時(shí)，2112?a2a,a≤a≤1；，解得22(a綜上所述，的取值范圍是,1.故答案為：(,116.【答案】①.(1,4)②.【詳解】分析:根據(jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數(shù)零點(diǎn)的取法，再對(duì)應(yīng)確定二次函數(shù)零點(diǎn)的取法，即得參數(shù)的取值范圍.x2x22x4或1x2，即1x4，不等式f(x)<0詳解：由題意得或，所以x?40x2?4x+30的解集是當(dāng)4時(shí)，f(x)=x?40，此時(shí)f(x)=x2?4x+3=x=1,3(?,)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)4時(shí)，f(x)=x?4=0,x=4，由f(x)=x2?4x+3在(?,)上只能有一個(gè)零點(diǎn)得13.綜上，的取值范圍為.點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．三、解答題共6小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.A=??Bx4x2；17.1）(x4x3=?.（2）,B【分析】通過解分式不等式和絕對(duì)值不等式求出集合，結(jié)合集合的運(yùn)算即可求解.【小問1x?3x+2x3x2(?)(+)0，0根據(jù)題意：，解得：x<2或?或x3，即A=xx?2x3B=x?4x11，即2x+3?52x+35，解得：?4x；；AB=x?4x?2【小問2x?2x?2x，或，4x1?(=?x4x3.()為奇函數(shù)，證明如下.fx18.1）（2）證明如下.【分析】(用奇函數(shù)的性質(zhì)證明即可.()用定義證明單調(diào)性即可.【小問1()為奇函數(shù)；fx證明：由題意知()的定義域x|x關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故得證；fx4f且【小問2證明：設(shè)任意的則21x，24f121x?xxx4因?yàn)椋?212fx?fx0所以()()，12故函數(shù)()在(2,+)上單調(diào)遞增fx2003x+219.1）200（2）y=6x0x5+()8（3）宿舍應(yīng)建在離工廠km處，總費(fèi)用最小為36萬元.3）根據(jù)條件代入，即可求得；（2）費(fèi)用之和包括函數(shù)P、道路費(fèi)用兩部分，加起來即可；（3）用基本不等式求第（2）問函數(shù)的最值即可.【小問1k40=k=200，由題意，得31+2【小問22003x+2y=P+6x=+6x(0x5)【小問32003x+22003x+22003x+2y=+6x=23x242+(+)?23x2436，(+)?=2003x+2823x2=(+)0x5x=，即當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)取等號(hào)38處，總費(fèi)用最小為36萬元.所以，宿舍應(yīng)建在離工廠320.【答案】答案不唯一，具體見解析121212【分析】討論a=0、a0時(shí)，不等式的解集情況，再分0a、a=、a、0，求出不等式的解集即可．【詳解】解：①當(dāng)a=0時(shí)，原不等式為?x+20，解得x2；②當(dāng)a0時(shí)，原不等式為(ax?1x?20)()，1211(ax1x2x?)(?)可得x2或0；0a2（i）當(dāng)（ii）當(dāng)（iii）當(dāng)時(shí)，，解不等式aa11a=(?)x220，解得；x2時(shí)，原不等式即為22111時(shí)，，解不等式(ax1x2x?)(?)可得或x2；a0202aa11，解不等式(02ax1x2?)(?)可得0x2.（iv）當(dāng)0時(shí)，aa1xx2綜上所述，當(dāng)0時(shí)，原不等式的解集為；a當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為xx2；1120axx或x；當(dāng)當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為a1時(shí)，原不等式的解集為xx2；a=2121axx或x2.當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為a()，()1,33,921.1）（2）0（）答案見解析）聯(lián)立方程直接計(jì)算；（2）根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性可得參數(shù)范圍;（3）分類討論結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【小問1當(dāng)a=1時(shí)，()fx=x?x+3，2=?+x32x=1x=3yx或聯(lián)立方程，解得：，y=3xy3=y=9即交點(diǎn)坐標(biāo)為()和()3,91,3.【小問2a2a2fx=x函數(shù)()2?ax+3在,+?,?,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又函數(shù)()在()上不具有單調(diào)性，fx,0a0.所以，即02【小問3a?ax+3在,+a函數(shù)f(x)=x2上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；22a()=?+在?上單調(diào)遞增，()的最小值?2時(shí),fxx2ax3x2,2fx當(dāng)f2(?)=++=+42a372a．2