2023-2024學(xué)年北京西城區(qū)八中高三（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

北京八中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題年級：高三科目：數(shù)學(xué)考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40已知集合A{xN|x與集合B{x|x(xAB)A．．C．[2,D．(2,2i1zA．1的虛部為()．1．iD．i下列函數(shù)中最小值為4的是()44yx22x4y|sinx|y2x2x2yx|sinx|x在空間中，若a,b,c是三條直線，,是兩個平面，下列判斷正確的是(Aa的方向向量與的法向量垂直，則a//；Ba//，a；)C．若，c，aca；D,相交但不垂直，c，則在內(nèi)一定存在直線，滿足.lclx0”是“x+sinx0”(充分不必要條件)必要不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件已知向量a，b|a|5，|b6ab6，a,ab()17351935A．B．C．D．第頁，共頁北京八中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題7.如圖，點O為坐標(biāo)原點，點.若函數(shù)yax(a0且a1)及yb（b0且b1OA分別交于點MNM，N恰好是線段OA的兩個三等分點，則a,b滿足()ab1ba1ba1ab1π1在B=，BC邊上的高等于BC,則A=()433101031010A．-D.-9.某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是a,b,c，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.則哪種方案能通過考試的概率更大()A．方案一．方案二．相等D．無法比較10.ABCDABCD的棱長為1E,F分別是棱AD,BC上111111D1C1FB1AEx,BFy.DD與平面xyA1．11值范圍是()D13B.[,]223CEA.C.2][,2]2AB二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25已知直線l:(a2)y10，l:xay20.若ll，則實數(shù)a=.1212n1n1012.等差數(shù)列a項和為Sn，33，S4____________．nSkk113.函數(shù)ysinx3x的圖像可由函數(shù)ysinx3x的圖像至少向右平移________個單位長度得到.14.已知直線l:ym30與圓x2y交于,B兩點，過,B分別做l的垂線與2x軸交于C,D兩點，若|AB23|CD|______.第頁，共頁北京八中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題15.對于函數(shù)yf(x)xxf(x)1f(x)具有性質(zhì)0001）下列函數(shù)中具有性質(zhì)P.①f(x)2x22②f(x)sinx(x2④f(x)ln(x1③f(x)x，(xx2）若函數(shù)f(x)ax具有性質(zhì)P，則實數(shù)a的取值范圍是.三、解答題（本大題共6小題，共8516.(本小題滿分13)1f(x)sinxxsin2x.已知函數(shù)2Ⅰf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；Ⅱ△,a,b,c,B,C的對邊，且滿足b2AbAaB，且0A，求角A的值，進(jìn)而再求f(B)的取值范圍.217.（本小題滿分14隨著“中華好詩詞”節(jié)目的播出，掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩詞經(jīng)典的熱潮.某社團(tuán)為調(diào)查大學(xué)生對“中華詩詞”的喜好，從甲、乙兩所大學(xué)各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時間，按照20),[20,30),[30,40),[40,50),[分組，并整理得到如下頻率分布直方圖：頻率/組距頻率/組距0.0350.0300.0250.0200.0300.0250.0200.0150.0100.0050.0150.0100.005O102030405060分鐘/天O102030405060分鐘/天圖1：甲大學(xué)圖2：乙大學(xué)第頁，共頁北京八中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題根據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞“中華詩詞的喜好程度分為三個等級:學(xué)習(xí)時間tt2020t50t50分鐘/天)Ⅰ）從甲大學(xué)中隨機(jī)選出一名學(xué)生，試估計其“愛好”中華詩詞的概率；Ⅱ癡迷”的同學(xué)中隨機(jī)選出2為選出的兩人中甲大學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E；Ⅲ“中華詩詞”時間的平均值XX乙S2甲與與甲S2乙的大小．只需寫出結(jié)論)18.（本小題滿分14羨除是《九章算術(shù)》中記載的一種五面體.如圖五面體，四邊形與四邊形∥AD∥，4，2，M為AD中點，平面與平面交于.再從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知，使得羨除能夠確定，然后解答下列各題：Ⅰ）求證：；Ⅱ）求二面角BAEF的余弦值.Ⅲ上是否存在點QMQ與平面所成的角的7正弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.7條件①：平面；條件②：平面；條件③：23.第頁，共頁北京八中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題19.（本小題滿分15x22y22已知橢圓W:1(ab的焦距為4，短軸長為，O為坐標(biāo)原點．a(chǎn)bⅠ）求橢圓W的方程；Ⅱ,,C是橢圓W上的三個點，判斷四邊形能否為矩形？并說明理由．20.（本小題滿分151已知函數(shù)f(x)e2x1(ax2x)．2Ⅰ）求曲線yf(x)f(0))處的切線的方程；Ⅱ）若函數(shù)f(x)在x0處取得極大值，求a的取值范圍；Ⅲ）若函數(shù)f(x)存在最小值，直接寫出a的取值范圍．21.（本小題滿分14aa,a,a,a,a,6}，A0設(shè)數(shù)陣aaSe,e,,e},eee,lN*l定義變換為“對于數(shù)列設(shè)其中12l12lkkk，則將這一行中每個數(shù)都乘以-1，若其中沒有且沒有，則這一kk的每一行，若其中有行中所有數(shù)均保持不變”，或(ke,e,,e(A)A0經(jīng)過A變換得到，再將經(jīng)過1A表示“將12ls0e11經(jīng)過A2Al1AlAl變換得到，以此類推，最后將變換得到”，記數(shù)陣中四個數(shù)的和為2lT(A).0s120A經(jīng)過A變換后得到的數(shù)陣；1ⅠⅡ，寫出0215130S求T(A)的值；0，s36AT(A)的所有可能取值的和不超過4.Ⅲ）對任意確定的一個矩陣，證明：0s0第頁，共頁北京八中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題答案2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題答案年級：高三科目：數(shù)學(xué)考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40BBCDC二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共252nn1-3或012.13.14.4315.①②④；(,])三、解答題（本大題共6小題，共8516.（本小題共13Ⅰ）由題知f(x)sin2x2x)111222112=sin2xcos2x=sin(2x).2224由2k2x2k（k242kxk.88f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[k,k]（k.……………6分88Ⅱ）依題意，由正弦定理，B2ABAAB.因為在三角形中B0，所以2AAA.即(cosAsinA)(cosAsinA0當(dāng)AAA；4第頁，共頁北京八中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題答案當(dāng)AA1A.0A，所以A.22433則BC.則0B.又2B，4444421sin(2B)1由f(B)sin(2B)，42422，則f(B)的取值范圍是.………………13分2217.（本小題滿分14）由圖知，甲大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中，“愛好中華詩詞的頻率為0.015)，所以從甲大學(xué)中隨機(jī)選出一名學(xué)生，“愛好中華詩詞的概率為0.65.Ⅱ）甲大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中“癡迷”的學(xué)生有400.005102乙大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中“癡迷的學(xué)生有400.015106所以，隨機(jī)變量的取值為2.………3分C02C26，所以，PC28C12C163PP，C287C22C061.C28的分布列為012371P3112的數(shù)學(xué)期望為E)012.分7Ⅲ）XX;s乙2甲s2乙……………13分甲第頁，共頁北京八中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題答案18.（本小題滿分14Ⅰ等腰梯形M是AD平行四邊形BMCD平面CDECD平面CDEBM∥CDE.Ⅱ）選②和選③，過程僅在建系之前有區(qū)別.選②：取中點為N，中點為P，連接MP和平面ABCD，如圖建系選③：取Q，連接和233CQ3二面角EC2取中點為N，中點為P，連接MP和ABCD平面，如圖建系B(3,C(0)DEFM(3,0)設(shè)平面的一個法向量n(,y,z)n03xy0令xy3，z3，則n(3,3n03y3z0m(是平面的一個法向量,nmn7經(jīng)檢驗，BF為鈍角，|m||n|77所以二面角BF的余弦值為7Ⅲ,，3,3)，33)|n|715|,n|均不滿足題意，故不存在點Q.|||n|73第頁，共頁北京八中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題答案19.（本小題滿分15x2y1.2）由題意，橢圓W的方程為5Ⅱ:ym,(x,y),C(x,y),AC中點M(x,y),B(x,y)，1122003322x5y5k2)x210kmxm50，2ykxm)xx25k2m20，510kmm1k2,xx.(1)1221221k由條件xxyy0，1212即xx(kxm)(kxm)0，1212整理得k2)xxkm(xx)m0，212122)(5m2km(10km)m2k)02將(1)式代入得k52k2即又m(2)1x2km1kmx0,ykxm20021k2且M同時也是的中點,x2x,y2y3030B在橢圓上,x235325，km1km1k40220y025，4()2)225，即2m2k221(3)7由(2)(3)mk2，5第頁，共頁北京八中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題答案驗證知)25k2m0，2所以四邊形OABC可以為矩形.20.（本小題滿分151211）f(0)e1，切點為(0,)，2e2e2x122(ax]2x(axa2x1f(0)0，，又f(x)e[2ax1切線方程為y0.2eⅡ）定義域為R，f(x)2x(axa2x11當(dāng)a0f(x)2e2x1f(x)0得x0，f(x)增區(qū)間為(,0)；0，)；令f(x)0得xf(x)增區(qū)間為(0,f(x)在x0取極大值，合題意.1a時，由f(x)2x(axa2x10可得xx00，2當(dāng)a12ax1a1a1a0(,)(,0))aaa00f(x)減極小值增極大值減f(x)f(x)在處取得極大值，合題意.x0a01a3當(dāng)a0時，由f(x)2x(axa2x10可得12a1a0即a1f(x)，f(x)變化情況如下表：(i)當(dāng)ax1a1a1a0(,)(,0))aaa00f(x)增極大值減極小值增f(x)f(x)在x0處取得極小值，不合題意.1a0即a1時,f(x)0在R上恒成立，f(x)R在上增，無極大值點.當(dāng)a第頁，共頁北京八中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)題答案1a0即0a1f(x)，f(x)變化情況如下表：(iii)當(dāng)ax1a1a1a0(,0),))(aaa00f(x)增極大值減極小值增f(x)f(x)在處取得極大值，合題意.a1x00綜上可得：a的取值范圍是(1Ⅲ）]221.（本小題滿分14-?12?÷）經(jīng)過2A=?÷÷?÷115???-?1313?÷?÷A=?÷jA=?÷j3（）÷變換得到÷變換得到÷?÷?0113?36???13?÷A=?÷T(A)=1+3++（-6)=-5÷，÷?3-S03?（）因為集合S共有含空集在內(nèi)的子集64個，令j(A)=A,對于第一行a和a12f0011①若a=a，則含a的子集有32個，這32個A中第一行為a