北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五兩，今三十日屠訖，向共屠幾何？”其意思為：“有一個(gè)姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問(wèn)一共屠了多少兩肉？"在這個(gè)問(wèn)題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為（）A.35 B.75C.155 D.3152．下列命題中，一定正確的是（）A.若且，則a>0，b<0B.若a>b，b≠0，則>1C.若a>b且a＋c>b＋d，則c>dD.若a>b且ac>bd，則c>d3．復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.4．已知圓：和點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是:（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.A. B.C. D.6．由1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中1與2不能相鄰的排法總數(shù)為（）A.20 B.36C.60 D.727．等差數(shù)列中，，則前項(xiàng)的和（）A. B.C. D.8．在直三棱柱中，，，則直線與所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°9．在數(shù)列中，，，，則（）A.2 B.C. D.110．我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《四元玉鑒》中有如下一段話：“河有汛，預(yù)差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日轉(zhuǎn)多七人，今有三日連差三百人，問(wèn)已差人幾天，差人幾何？”其大意為“官府陸續(xù)派遣1880人前往修筑堤壩，第一天派出65人，從第二天開(kāi)始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，則目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）A.6天495人 B.7天602人C.8天716人 D.9天795人11．已知直線、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.312．記不超過(guò)x的最大整數(shù)為，如，.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則使的正整數(shù)n的最大值為（）A.5 B.6C.15 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線斜率為_(kāi)__________.14．過(guò)拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)做拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，則A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為_(kāi)__________15．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則___________.16．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為直線l，則l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦距為，離心率為（1）求橢圓方程；（2）設(shè)過(guò)橢圓頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，，成等比數(shù)列，求的值18．（12分）已知空間三點(diǎn).（1）求以為鄰邊平行四邊形的周長(zhǎng)和面積;（2）若，且分別與垂直，求向量的坐標(biāo).19．（12分）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且2=3-3（n∈）（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式（2）若=（n+1），求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和20．（12分）如圖，在平面直角標(biāo)系中，已知n個(gè)圓與x軸和線均相切，且任意相鄰的兩個(gè)圓外切，其中圓.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）記n個(gè)圓的面積之和為S，求證：.21．（12分）已知p：方程所表示的曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；q：當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立.（1）若p為真，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實(shí)數(shù)t的取值范圍22．（10分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PAB是邊長(zhǎng)為4的正三角形且與底面ABC垂直，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，H分別是棱PA，AB，BC，PC的中點(diǎn)（1）若點(diǎn)G在棱BC上，且BG＝3GC，求證：平面∥平面DHG；（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】構(gòu)造等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，所以，，因此前5天所屠肉的總兩數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列模型，考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】結(jié)合不等式的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若且，則，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，則，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，如，但，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，如，但，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A3、D【解析】直接根據(jù).復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義即可得出答案【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.4、B【解析】先由在線段的垂直平分線上得出，再由題意得出，進(jìn)而由橢圓定義可求出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】如圖，因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，所以，又點(diǎn)在圓上，所以，因此，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上.其中，，則.從而點(diǎn)的軌跡方程是.故選：B.5、D【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性【詳解】的定義域?yàn)?，，令，解得故的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：D6、D【解析】先排3，4，5，然后利用插空法在4個(gè)位置上選2個(gè)排1，2.【詳解】先排3，4，5,,共有種排法，然后在4個(gè)位置上選2個(gè)排列1,2，有種排法，則1與2不能相鄰的排法總數(shù)為種，故選：D.7、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可求得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，，解得：；.故選：D.8、B【解析】根據(jù)三棱柱的特征補(bǔ)全為正方體，則，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據(jù)直三棱柱的特征，補(bǔ)全可得如圖所示的正方體，易知，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線與所成角的大小為.故選：B9、A【解析】根據(jù)題中條件，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，因?故選：A.10、B【解析】根據(jù)題意，設(shè)每天派出的人數(shù)組成數(shù)列，可得數(shù)列是首項(xiàng)，公差數(shù)7的等差數(shù)列，解方程可得所求值【詳解】解：設(shè)第天派出的人數(shù)為，則是以65為首項(xiàng)、7為公差的等差數(shù)列，且，，∴，，∴天則目前派出的人數(shù)為人，故選：B11、C【解析】由可得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C12、C【解析】根據(jù)取整函數(shù)的定義，可求出的值，即可得到答案；【詳解】，，，，，，當(dāng)時(shí)，，使的正整數(shù)n的最大值為，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】首先求得的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以可得在處的切線斜率，故答案為：14、8【解析】設(shè)，，，，由可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得兩切線的方程，聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，三點(diǎn)共線時(shí)距離最小，進(jìn)而求出最小值【詳解】解：設(shè)，，，，由可得，所以，所以直線，的方程分別為：，，聯(lián)立，解得，即，，又有在準(zhǔn)線上，所以，所以，設(shè)直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，可得，所以可得，即直線恒過(guò)點(diǎn)，即直線恒過(guò)焦點(diǎn)，即直的方程為：，代入拋物線的方程：，，所以，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和，所以當(dāng)時(shí)，距離之和最小且為8，這時(shí)直線平行于軸故答案為：815、36【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因，所以，所以；故答案為：16、【解析】先求出切線方程，分別得到直線與x、y軸交點(diǎn)，即可求出三角形的面積.【詳解】由函數(shù)可得：函數(shù)，所以，.所以切線l：，即.令，得到；令，得到；所以l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為，離心率為結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于的方程組，求出從而求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，即可求解【詳解】（1）由已知，，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）得過(guò)點(diǎn)的直線為，由，得，所以，所以，依題意，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，解得，所以，當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛（1）求橢圓方程的常用方法：①待定系數(shù)法；②定義法；③相關(guān)點(diǎn)法（2）直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，常將直線方程代入圓錐曲線方程，從而得到關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)），利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)的關(guān)系,同時(shí)注意判別式大于零求出參數(shù)的范圍（或者得到關(guān)于參數(shù)的不等關(guān)系），然后將所求轉(zhuǎn)化到參數(shù)上來(lái)再求解．如本題及，聯(lián)立即可求解．注意圓錐曲線問(wèn)題中，常參數(shù)多、字母多、運(yùn)算繁瑣，應(yīng)注意設(shè)而不求的思想、整體思想的應(yīng)用．屬于中檔題.18、（1）周長(zhǎng)為，面積為7.（2）或.【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距離，可以求出周長(zhǎng)，再利用向量的夾角公式求出夾角的余弦值，根據(jù)平方關(guān)系得到正弦值，再利用即可求解；（2）首先設(shè)出，根據(jù)題意可得出的方程組，解出滿足條件所有的值即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題中條件可知，，,，.所以以為鄰邊的平行四邊形的周長(zhǎng)為.因?yàn)?，因?yàn)椋?所以.故以以為鄰邊的平行四邊形的面積為：.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，且分別與垂直，得，解得或所以向量的坐標(biāo)為或.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用的關(guān)系可得，即可知為等比數(shù)列，寫(xiě)出等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可.（2）由（1）得，利用錯(cuò)位相減求和法即可求出前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，即，又，則，∴，故是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】由(1)知，所以，所以①，則②，①-②，得，整理，得，，所以.20、（1）.（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由已知得，設(shè)圓分別切軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.在從而有得，由等比數(shù)列的定義得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.由此求得答案；（2）由（1）得再由圓的面積公式和等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得證.【小問(wèn)1詳解】解：直線的傾斜角為則圓心在直線上，，設(shè)圓分別切軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.在中，所以即化簡(jiǎn)得，變形得，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.，.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得所以，所以.21、（1）（2）【解析】(1)由給定條件結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式求解作答.(2)求命題q真時(shí)的t值范圍，再借助“或”聯(lián)結(jié)的命題為真命題求解作答.【小問(wèn)1詳解】因方程所表示的曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則有，解得，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，即，因當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，則，解得，命題q為真命題有，因?yàn)榧倜}，且為真命題，則與一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，，當(dāng)p假q真時(shí)，，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由中位線的性質(zhì)可得、、，再由線面平行的判定可證平面PEF、平面PEF，最后根據(jù)面面平行的判定證明結(jié)論.（2）應(yīng)用勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、面面和線面垂直的性質(zhì)可證、、兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面BPC、面PCA的法向量，再應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镈，H分別是PA，PC的中點(diǎn)，所以因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以，綜上，，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由題意，G是CF的中點(diǎn)，又H是PC的中點(diǎn)，所