四川省2025屆高三年級(jí)上冊(cè)一?？荚嚁?shù)學(xué)試題（含答案）

四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期一模考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知i為虛數(shù)單位，則（l+i）2+2（l—i）的值為（）

A.4B.2C.0D.4t

2.已知集合4={x\-l<x<2],B-（x\-a<x<a+1],貝！I"a=1"是"4aB"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.若雙曲線E：>0乃>0）的一條漸近線的斜率為后則E的離心率為（）

A.2#B.2C.邪D.也

4.如圖，在-ABC中，點(diǎn)、D,E分別在AB,4C邊上，且麗=瓦<,AE=3EC,點(diǎn)尸為DE中點(diǎn)，則所:=（）

A,-^BA+^BCB.^BA+^BCC.^BA+^BCD.^BA+^BC

5.一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過(guò)去200天的日銷售量（單位：kg）,將全部數(shù)據(jù)按區(qū)

間[50,60）,[60,70）,…，[90,100]分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

根據(jù)圖中信息判斷，下列說(shuō)法中不恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)是（）

A.圖中a的值為0.005

B.這200天中有140天的日銷售量不低于80kg

C.這200天銷售量的中位數(shù)的估計(jì)值為85kg

D.店長(zhǎng)希望每天的蘋果盡量新鮮，又能85%地滿足顧客的需要（在100天中，大約有85天可以滿足顧客的

需求），則每天的蘋果進(jìn)貨量應(yīng)為91kg

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7.已知正四棱錐P-/BCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且該球的體積為36心若正四棱錐P-ZBCD的高與底

面正方形的邊長(zhǎng)相等，則該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為（）

A.16B.8C.4D.2

8.已知Q,瓦cE（0,4）,且滿足理J"1=cos?.be2b=1,ln（c+1）=cosc,貝!J（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知函數(shù)/'（久）=sinwx+避cos3x（3>0）的最小正周期為兀，則（）

A"（x）的最大值為2

B./⑺在（Y*）上單調(diào)遞增

CJ（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-J,0）中心對(duì)稱

TT

D"（久）的圖象可由y=2cos2%的圖象向右平移適個(gè)單位得到

10.已知橢圓E:3+q=l的左頂點(diǎn)為4左、右焦點(diǎn)分別為FI，F(xiàn)2,過(guò)點(diǎn)6的直線與橢圓相交于PQ兩點(diǎn)，

則（）

A.|尸/2|=1

B.\PQ\<4

C.當(dāng)F2,P,Q不共線時(shí)，-F2PQ的周長(zhǎng)為8

D.設(shè)點(diǎn)P到直線x=-4的距離為d,則d=2|PFi|

11.已知函數(shù)/（幻=（%—1）0，—%，則下列說(shuō)法正確的是（）

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A./(x)的極小值一定小于一1

B,函數(shù)y=/(/(久))有6個(gè)互不相同的零點(diǎn)

C.若對(duì)于任意的xeR,f(x)>ax-l,貝M的值為—1

D.過(guò)點(diǎn)(0,-2)有且僅有1條直線與曲線y=f(x)相切

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.己知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,2),則cos2a=.

13.已知數(shù)列｛an｝滿足=5,a2n=2冊(cè)+1,2an+1=an+an+2(nGN*),設(shè)｛an｝的前幾項(xiàng)和為Sn,則Sn

14.條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念，近年來(lái)，條件概率和條件期望已被廣泛的應(yīng)用到

日常生產(chǎn)生活中,定義：設(shè)X,y是離散型隨機(jī)變量，則X在給定事件y=y條件下的期望為E(X|Y=y)=

Wi=lx「P(X-Xi\Y-y)=W.1片［，y),其中｛久1占2,…，比n｝為X的所有可能取值集合，P

(X=y)表示事件“X=x”與事件“丫=y”都發(fā)生的概率.某商場(chǎng)進(jìn)行促銷活動(dòng)，凡在該商場(chǎng)每消

費(fèi)500元，可有2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次獲獎(jiǎng)的概率均為p(0<p<1),某人在該商場(chǎng)消費(fèi)了1000元，共獲得4

次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).設(shè)f表示第一次抽中獎(jiǎng)品時(shí)的抽取次數(shù)，4表示第二次抽中獎(jiǎng)品時(shí)的抽取次數(shù).則=4)

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知入ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且s譏=sin^B+sin2C+sinFsinC.

(1)求角A

(2)若NBAC的平分線交邊BC于點(diǎn)。，且4。=4,b=5,求"BC的面積.

16.(本小題12分)

如圖，在三棱錐P—ABC中，PA_L平面ABC,AC1BC.

P

■

AB

(1)求證；平面P4C1平面PBC；

(2)若4C=5,BC=12,三棱錐P—48c的體積為100,求二面角A—PB—C的余弦值.

17.(本小題12分)

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已知函數(shù)/(%)=x\nx-ax2+1.

(1)若/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，求Q的取值范圍；

(2)若a<0,證明：/(%)>0.

18.(本小題12分)

甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往訓(xùn)練數(shù)據(jù)，甲每次投籃命中的概率為|,乙每次投籃命中的概

率為去各次投籃互不影響、現(xiàn)甲、乙兩人開展多輪次的定點(diǎn)投籃活動(dòng)，每輪次各投2個(gè)球，每投進(jìn)一個(gè)球

記1分，未投進(jìn)記-1分.

(1)求甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于0的概率；

(2)記甲、乙每輪投籃得分之和為X.

①求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②若X>0,則稱該輪次為一個(gè)“成功輪次”.在連續(xù)幾何28)輪次的投籃活動(dòng)中，記“成功輪次”為y,

當(dāng)也為何值時(shí)，P(Y=8)的值最大？

19.(本小題12分)

已知拋物線c：y2=2p久(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線與C相交于點(diǎn)4B,"。8面積的最小值為玄。為

坐標(biāo)原點(diǎn)).按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)%O€N*)：Fi的坐標(biāo)為(p,0),直線BFn與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別

為An，Bn,直線4n島與X軸的交點(diǎn)為%+1，設(shè)點(diǎn)Fn的橫坐標(biāo)為Xn.

(1)求P的值；

(2)求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式；

(3)數(shù)列｛久n｝中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)(按原順序)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，指出所有這樣的連續(xù)三項(xiàng)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第4頁(yè)，共9頁(yè)

參考答案

1.5

2.2

3.5

4.C

5.D

6.D

7.C

8.4

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.-|

13.n2

14.2

15.【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閟譏24=sin2B+sin2C+sinBsinC,

所以小=b2+C2+bc,則按+c2—a2=2bccosA=—be,

一1

所以cosA=--

因?yàn)榱（o,7r）,所以4=詈;

【小問(wèn)2詳解】

木艮據(jù)題意及余弦定理有+AC2-2AD?ADcos^DAC=CD2=21,

222

所以cosC=CD+AC-AD_A/21

2CD-AC

則sinC==sin（7r—/—C）=sirL4cosc+cos/sinC=立,

714

根據(jù)正弦定理有益=益今力B=2。,

所以S"BC=5B-ACsinA=25?

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16.【小問(wèn)1詳解】

證明：由題意得PA_1,平面ABC,因?yàn)锽Cu平面ABC,所以尸A_LBC,

又因?yàn)锳C1BC,PA,ACu平面PAC,所以BC1平面PAC,

又因?yàn)锽Cu平面PCB,所以平面P/C1平面PBC.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)锳C=5,BC=12,AC1BC,所以S“BC=/12X5=30,

又因?yàn)槿忮FP-4BC的體積為100,gpi00=|xP/lX30,得P4=10,

由題意可得以4為原點(diǎn)，分別以平行于BC,及AC,4P所在直線為久,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則4(0,0,0),B(12,5,0)C(0,5,0),P(0,0,10),

所以Q=(0,0,10),CB=(12,0,0),PB=(12,5,-10),

設(shè)平面4P8的一個(gè)法向量為7=(x,y,z),

則b-Q=]Oz=0，令％=一5，得V=12,z=0,則n=(-5,12,0),

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為為=(a,瓦c),

m,tfm-PB=12a+5b—10c=0人,??.L

則｛—1nn，qb=2,侍ZQa—0,c1,則1mm=(0,2,1),

\m-CB-12a=0

設(shè)二面角A-PB-C為氏則cos。=卜05(元帚|=落居=?！陛?卓展.

所以銳二面角4—PB—C的余弦值為型I

17.【小問(wèn)1詳解】

由/(%)=x\nx—ax2+1,則/'(%)=Inx+l—2ax,

因?yàn)?(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以/'(%)=Inx+l-2ax<。在(0,+8)上恒成立,

所以In%+1-2a%<0,即a>ln^+1,

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構(gòu)造函數(shù)g。)=等了。>0)，所以g'(W=?2支：。}+1)=嚷二

乙X4欠24-X

當(dāng)久6(0,1)時(shí)，g'[x}>0；當(dāng)％E(1,+8)時(shí),g\x)<0,

所以9(%)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)久=1時(shí)/⑴取得極大值也是最大值，即g(x)max=g⑴號(hào)，所以a號(hào)，

所以a的取值范圍為住,+8).

【小問(wèn)2詳解】

由題意得/(%)=xlnx-ax2+1的定義域?yàn)?0,+8),

當(dāng)aVO時(shí)，要證/(%)>0,即證：x\nx-ax2+1>0,等價(jià)于證明In%—a%+：>0

構(gòu)造函數(shù)九(%)=\nx-ax>0),即證九(%)min>0；

所以//(%)=,一口_*=_a%?；"I'令『(%)=-a/+%—1(%>0),

因?yàn)楹瘮?shù)7(%)的對(duì)稱軸為％=^<0,所以7(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

且7(0)=-1<0,T(l)=-a>0,所以存在v()e(O,l),使7(%。)=—+配一1二。，

所以當(dāng)無(wú)€(0,配)時(shí)，T(x)<0,即1(%)VO,

當(dāng)xe(xo,+8)時(shí)，T(x)>0,即〃(%)>0,

所以八(久)在(0,配)上單調(diào)遞減，在(孫,+oo)上單調(diào)遞增，

x

所以當(dāng)久=沏時(shí)，h(x)有極小值也是最小值h(x)min=Ko)-In%)-ax()++(0<x0<1)>

2

又因?yàn)橐?。?%0-1=0,得一。就=1一％°,所以九?))=In%。+丁一1(0V久。<1),

■X0

令p(X)=Inx+|-1(0<x<1),則p，(x)=H=三”<。在％G(0,1)上恒成立，

所以p(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以p(x)>p(l)=0,即hQo)>O,

所以即證h(x)min>0,所以可證f(%)>0.

18.【小問(wèn)1詳解】

甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于0,即甲在一輪投籃中至多命中一次，

所以甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于0的概率為P=1-(|)2=1.

【小問(wèn)2詳解】

①由題知X可能取值為—4,—2,0,2,4,

第7頁(yè)，共9頁(yè)

P(X^-4)=|x|x|x|=^p(x=-2)="寺XC必2+dx*“(芥='

=0=+2

p(x)IXIXIXIC2|XIC2(|)+IXIXIXI=B

P(X=2)=|x|xckj)2+cix|x|x(|)2=lP(X=4)=(|)2(|)2=|,

所以X的分布列為

X-4-2024

111311

P

3663639

數(shù)學(xué)期望E(X)=(-4)x表+(_2)X叱0XIf+2烤+4X臺(tái)|.

②由①知p（x>o）=1+H/由題知丫?8（崎，所以p（y=￡）=鬣（款（1一前一

(0</c<n,k6N),

.CP(n=k)>P(n=fc—1)

田［p玩=fc)>P(n=k+1)

得到以>瑞-iqy-iq—3n+ii且得（）鼠1_§片上>^+i（|）fc+i（i-1）"-fc-1，

______n!______

f4x川>sx

［4C修54Tk\(n-ky.-(k—iy.(n—k+1)!

整理得到24咪+?即n!J

5x—————>4X

k\(n-ky.~(k+l)!(n—/c—1)!

徨到(4XO-k+1)25k斫以4n-5VNv4n+4

付到［5x(k+1)24(幾_廿所以9-k-9，

由題有k=8,所以笄得到又n€N*,所以n=17或18或19.

zf774

19.【小問(wèn)1詳解】

設(shè)直線=ty+/yi),B(x2,y2)

聯(lián)立卜=ty+E,得y2-2pty-p2=0,

得/=(2pt)2+4p2>o

由韋達(dá)定理可知:y/2=—p2;yi+>2=2pt

由題可知：s.04B=||ofllyi-yzl=4-V(yi+-^(2pt)2+4p2=+1>

因?yàn)槊娣e的最小值為右且p>o,

所以今='np=1

【小問(wèn)2詳解】

第8頁(yè)，共9頁(yè)

~^An（Xan>yan）>^n（^bn>ybn）,力（%a，ya）#（*》///））

2

由題可知y2=Q兩式求差可得CXm+）（）=2（%加—總

rl2xan,y\—2X,yayan~yayan+ya

yan-ya2

所以=^an—yan+Ya'