模擬檢測(cè)卷02（理科）（解析版）2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（解析版）

2025年高考數(shù)學(xué)模擬考試卷2

高三數(shù)學(xué)（理科）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1,本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。

3,回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

4.測(cè)試范圍：高中全部知識(shí)點(diǎn)。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知集合/=yi^~211,8={x[-2<x<l},則Nc(l；8)=()

A.(-2,2)B.[-1,1]C.(-<?,-2]U[2,+<?)D.(-<?,-l)u(l,+oo)

【答案】C

【分析】解不等式得/=(-s,-l)U[2,+s),再根據(jù)集合運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：因?yàn)槎21等價(jià)于三20,解得x<-l或x>2,

x+1x+1

所以4=(_oo,—l)U[2,+oo),

因?yàn)?={x|-2<x<l},

所以qB=(-oo,-2]u[i,+8),

所以ZC(QB)=(-oo,-2]U[2,+oo).

故選：C

7

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z+l=口,則Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（）

1333

A.B.C.(-1,-1)D.

55555

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出z,即可得出z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn).

2i+1（i+l）（i+2）13.

【詳解】由Z+i=告，得z=-^=；。：一i,

1-11-2（1一2）（1+2）55

所以z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是-力.

故選：B.

3.已知等比數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)和為S“，若%+2%=0,邑=2,S.a<S?<a+2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

O

1

【答案】B

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為0,由％+2%=0,邑="，列方程求出為應(yīng)，進(jìn)而可求出S,，結(jié)合指

O

數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出S"的最大、小值，列不等式組即可求出。的取值范圍

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9,

因?yàn)閝+2出=0，

%(l+2q)=0

所以《,2、9，解得生=彳國(guó)=一彳,

a^l+q+q)=-22

、o

當(dāng)X為正整數(shù)且奇數(shù)時(shí)，函數(shù)y=g)，+l單調(diào)遞減,

當(dāng)x為正整數(shù)且偶數(shù)時(shí)，函數(shù)y=-(；)*+1單調(diào)遞增,

33

所以〃=1時(shí)，s〃取得最大值5,當(dāng)〃=2時(shí),s〃取得最小值;,

',3

Q<一a

所以4,，解得

324

。+2之一

I2

故選：B.

4.已知函數(shù)"X)的定義域?yàn)镽,且/1+2)=2-/(無(wú))，/(2-3無(wú))為偶函數(shù)，若"0)=0,⑻=123,

k=l

則〃的值為()

A.117B.118C.122D.123

【答案】C

【分析】利用函數(shù)的奇偶性和周期性求解即可.

f/(x+2)+/(x)=2

【詳解】由]二]”.解得〃x+4)=/(無(wú))，即"X)是以4為周期的周期函數(shù)，所以

"(x+4)+/(x+2)=2

/(4)=/(0)=0,

因?yàn)椤?-3x)為偶函數(shù)，所以/(2-3x)=/(3尤+2)=>/(2-x)=/(2+x),當(dāng)x=l時(shí)有/⑴=/'⑶，

又因?yàn)?。)+/(3)=2,所以/⑴=/(3)=1,

所以〃2)=2-〃0)=2,/(3)=2-/(1)=1,

120

所以￡/⑻=30[/(1)+42)+/(3)+/(4)]=120,

左=1

120120122

所以￡/伏)+/(121)+〃122)=￡/伏)+〃1)+/(2)=122即■⑻=123,

左=1左=1k=\

故選：C

5.某校高二年級(jí)學(xué)生舉行中國(guó)象棋比賽，經(jīng)過初賽，最后確定甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)入決賽.決賽規(guī)則如

下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行

下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一

人被淘汰，最后的勝者獲得冠軍，比賽結(jié)束.若經(jīng)抽簽，已知第一場(chǎng)甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽

2

雙方獲勝的概率都為則()

A.甲獲得冠軍的概率最大B.甲比乙獲得冠軍的概率大

C.丙獲得冠軍的概率最大D.甲、乙、丙3人獲得冠軍的概率相等

【答案】C

【分析】根據(jù)比賽進(jìn)行的場(chǎng)次進(jìn)行分類討論，結(jié)合相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，求得甲、乙、丙三人獲得

冠軍的概率，從而確定正確答案.

【詳解】根據(jù)決賽規(guī)則，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽，

(1)甲獲得冠軍有兩種情況：

①共比賽四場(chǎng)結(jié)束，甲四連勝奪冠，概率為(1)4=5

②共比賽五場(chǎng)結(jié)束，并且甲獲得冠軍.則甲的勝、負(fù)、輪空結(jié)果共有四種情況：勝勝勝負(fù)勝，

勝勝負(fù)空勝，勝負(fù)空勝勝，負(fù)空勝勝勝，概率分別為(1)5,(I)',(1)4,(I)",即」，2，」，3，

222232161616

因此，甲最終獲得冠軍的概率為人+L+上+上+上=工

163216161632

9

(2)乙獲得冠軍，與(1)同理，概率也為以；

(3)丙獲得冠軍，概率為1-白9-99=914=—7>9，

3232321632

由此可知丙獲得冠軍的概率最大，即A,B,D錯(cuò)誤，C正確，

故選：C.

6.設(shè)雙曲線=1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡,F,5為雙曲線E上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，

ab2

線段耳8與雙曲線E相交于另一點(diǎn)/,的中點(diǎn)為且耳若//片鳥=30。，則雙曲線E的離

心率為()

A.75B.2C.V3D.V2

【答案】D

【分析】連結(jié)連接/與、職.設(shè)閭=忸用=機(jī)，根據(jù)雙曲線的定義可推得MB1=4°,即m=2。.進(jìn)而在

直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得優(yōu)叫=，2〃-勿2.結(jié)合已知條件,即可得出°2=24，從而得出離心率.

如圖，連接/入、BF2.

因?yàn)镸為48的中點(diǎn)，F(xiàn)2M1AB,所以|/閭=忸閶.

設(shè)I/閭=忸用=機(jī),

因?yàn)閨力引一|4周=2°,所以周=機(jī)-2a.

又因?yàn)閲鑭T叫|=2a,所以阿|=加+2°,

則|/8|=|明卜|/月|=4-

因?yàn)镸■為48的中點(diǎn),所以,則陽(yáng)根=加.

設(shè)的月|=2c,在Rt△片耳M中，\F2M\=J閨閭°-閨Af「=J4c2-/,

2

在RtAAF2M中，區(qū)叫=J叫2-|/時(shí)=萩-4a,

則J4c2—洗2=J加2—4/,整理可得加之=2/+2c?,所以優(yōu)叫=，2<?2一二。.

3

當(dāng)乙4片凡=30。時(shí)，sinZAFF?=」2cZ-a1」,則c2=2a?,

\FxFi\2c2

所以離心率為e=￡=VL故選：D.

a

x-j^+3<0,

7.記不等式組x+y+140,的解集為。，現(xiàn)有下面四個(gè)命題：

x+3>0

p1:V（X,J）GD,2X-J^+8>0；p2:3（x,y）eD,x-2y+4>0；

23：V（x,y）￡。，x+j+3>0；p4:3（x,y）eD,x+3j/-3<0.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

［答案］c

【分析】作出不等式組所表示的區(qū)域，再逐項(xiàng)的作出對(duì)應(yīng)直線，觀察所作直線與可行域的關(guān)系，再利用存

在命題與全稱命題的概念進(jìn)行判斷即可求解.

【詳解】不等式組的解集。表示的可行域如圖中陰影部分所示，依據(jù)圖（1）知命題4為真命題，依據(jù)圖

（2）知命題,2為真命題，

故選：C.

8.已知隨機(jī)變量。的分布列如下:

012

P2P,(1-P)A2

其中:1,2,若g<B<p<l,則（）A.E信）<E值）,D（3^+l）<D（3^2+l）B.E?）<E《），

。席+1）>。鋁+1）

C.E（《）>E值），。（3。+1）<。（3^+1）D.E（4）>E⑥）,。（3。+1）>。（35+1）

【答案】B

【分析】由題知。~2（2,0），進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布的期望與方差公式，方差的性質(zhì)依次討論各選項(xiàng)即可得

4

答案.

【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可知。~鞏2,以），

：.E（C=2B，D侑）=2p1l-p）,

又：g＜Pl＜02＜l，

E俗）＜E值），。（。）-。值）=2（01-02）-2（”2-h）=2（2-2）（1-0］一02）＞0，

侑）＞D㈤，。（34+1）=9。G）＞9。儡）=。（3芻+1）.

故選：B

9.在正方體/BCD-44中，點(diǎn)P在正方形8cq與內(nèi)，且不在棱上，則正確的是（）

A.在正方形。CGA內(nèi)一定存在一點(diǎn)Q,使得尸0L/C

B.在正方形DCG2內(nèi)一定存在一點(diǎn)。，使得尸。〃/c

C.在正方形DCG2內(nèi)一定存在一點(diǎn)0,使得NCL平面P0G

D.在正方形DCC］。］內(nèi)一定存在一點(diǎn)。，使得平面P0Q〃平面4BC

【答案】A

【分析】對(duì)于A,找到特殊點(diǎn)，說明在正方形。CGQ內(nèi)一定存在一點(diǎn)。，使得產(chǎn)。，/C可判斷A；對(duì)于

B,通過作輔助線，利用平行的性質(zhì)，推出矛盾，可判斷B；利用線面垂直的性質(zhì)定理推出矛盾，判斷C；

利用面面平行的性質(zhì)推出矛盾，判斷D.

【詳解】對(duì)于A,假設(shè)P為正方形3CG用的中心，0為正方形DC￡2的中心，

作尸〃，8C,QG，CD,垂足分別為〃，G,連接〃，G,

則尸“G。為矩形，

則尸?！╝G,且“，G為的中點(diǎn)，連接GH,BD,

'：AC1BD,：.GH1AC,即PQ_L/C,故A正確；

對(duì)于B,假設(shè)在正方形DCG。內(nèi)存在一點(diǎn)。，使得尸0〃/C,

作尸EL8C,紗，CD,垂足分別為E,F,連接E尸，

則PEFQ為矩形，且E尸與/C相交，

/.PQ//EF,PQ〃AC,/.AC||EF,

這與4C,E尸相交矛盾，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,假設(shè)在正方形DCG2內(nèi)一定存在一點(diǎn)0,使得平面PQG，

5

G

。?<=平面/>。e，則

又cc,nG0=G,GC,GOu平面ABCD，故GCj_/C,

而CG，平面/8C2NCU平面4BCD,故GCL/C,

而QCnG。=G,GC,G0u平面DCCQi,

故/C_L平面。CCQ1,

平面。CG。，故c,D重合，與題意不符，故c錯(cuò)誤.

對(duì)于D,在正方形DC。。內(nèi)一定存在一點(diǎn)。，使得平面PQG〃平面NBC,

由于平面ABCc平面DCCR=CD,平面PQQ口平面DCCR=C?,

CD//C.Q,而G2〃CZ）,

則。在GA上，這與題意矛盾，故D錯(cuò)誤；

故選：A.

10.任意寫出一個(gè)正整數(shù)加，并且按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換：如果機(jī)是個(gè)奇數(shù)，則下一步變成3加+1,如

果小是個(gè)偶數(shù)，則下一步變成3%,無(wú)論根是怎樣一個(gè)數(shù)字，最終必進(jìn)入循環(huán)圈1-4-2-1,這就是數(shù)

3a,+1,當(dāng)%為奇數(shù)時(shí)

學(xué)史上著名的“冰雹猜想”.它可以表示為數(shù)列｛4｝：%=〃7（加為正整數(shù)），。用=1上4/田翔一，

5。,”當(dāng)?！盀榕紨?shù)時(shí)

若%=2,則他的所有可能取值之和為（）

A.188B.190C.192D.201

【答案】B

【分析】列舉出生一。2-。3-。4T'。5T'。6T'%的可能情況，可得出機(jī)的所有可能取值，相加即可得解.

【詳解】由題意，％—。2-。3-。4-。5―。6—。7的可能情況有：

①2314—2—1—432；②16—8—4—2—1—432；

③20—10—5316—8—4—2；④3—10—5—16—8—432；

⑤128-64—32-16->8-4->2；@21->64->32-16->8-4-2；

所以，m的可能取值集合為｛2,16,20,3,128,21｝,m的所有可能取值之和為2+16+20+3+128+21=190.

故選：B.

11.函數(shù)〃x）=，5cos2x-4sinx+5-|3cos』的最大值為（）.

A.2A/2B.273C.2>/5D.3

【答案】D

【分析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將/（x）轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到點(diǎn)45的距離之差，再利用三角形兩邊之差小于第

三邊，結(jié)合三角函數(shù)的值域即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?/p>

5cos%-4sinx+5=9cos晨-4cos2x-4sinx+5=9cos2x+4sin2x-4sinx+1=（3cosx）2+（2sinx—1,

所以/（尤）=J5cos-4sinx+5-|3cosx|=^（3cosx）2+（2sinx-l）2-J（3cosx）~,

故/（x）的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸（3cos尤,2sinx）到N（0,l）與B（0,2sin無(wú)）的距離之差的最大值，

因?yàn)?iWsinxWl,-2<-2sinx<2,-l<l-2sinx<3,

所以1P-|尸8區(qū)[48|=J（l_2sinx『=|l-2sinx|<3,

6

當(dāng)且僅當(dāng)sin尤=-I時(shí)，等號(hào)成立，則|我|-|尸8歸3,

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)cosx=0,f(x)=^5x02-4x(-l)+5-13x0|=3,

所以〃x)V3,即/(x)的最大值為3.

故選：D.

12.設(shè)a=,b=—,c=2In—,貝!]()

(ej202

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.a>b>c

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=e-ex證明6>c,構(gòu)造函數(shù)g(x)證明b八<《，構(gòu)造函數(shù)4x)=lnx-處R證

310

明2In二>二，從而得結(jié)論.

【詳解】令函數(shù)〃x)=e=ex,貝i)r(x)=ex-e,當(dāng)尤<1時(shí)，/'(x)<0,當(dāng)尤>1時(shí)，f'(x)>0,所以函

數(shù)/(X)在(-00,1)上單調(diào)遞減，在(1,+⑹上單調(diào)遞增，^/(%)>/(1)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，即

II1717173

ex>ex.所以e?。>一e>—x2.7=2.295>2.25,故一>ln2.25=21n—,即6>c.

2020202

令函數(shù)g(無(wú))=e「x-l,x>0,則g<x)=eX-l>0,g(x)在(0,+的上單調(diào)遞增，所以g(x)>e°-1=0,故

g(0.3)-e°3-0.3-l>0,即e>3>1.3,故摩晨古二普.

令函數(shù)〃(x)=lnx_2(xT),則1(尤)」_二^二(:T20,故當(dāng)了>1時(shí)，。(力>〃(1)=0,所以

X+1無(wú)(X+1)X(X+1)

/、2x(2.25-l)310

/z2.25)=In2.25----------------^>0,P即12n1n->一,C所CH以Ic>a.

')2,25+1213

綜上b>c>a.

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

構(gòu)造函數(shù)比較大小主要方法有：

1.通過找中間值比較大小，要比較的兩個(gè)或者三個(gè)數(shù)之間沒有明顯的聯(lián)系，這個(gè)時(shí)候我們就可以通過引入

一個(gè)常數(shù)作為過渡變量，把要比較的數(shù)和中間變量比較大小，從而找到他們之間的大小關(guān)系。

2.通過構(gòu)造函數(shù)比較大小，要比較大小的幾個(gè)數(shù)之間可以看成某個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，我們只要構(gòu)造出函

數(shù)，然后找到這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性就可以通過自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而找到要比較的數(shù)的大小關(guān)系。有些時(shí)

候構(gòu)造的函數(shù)還需要通過放縮法進(jìn)一步縮小范圍。

第II卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量2花滿足忖=5,歸-耳=6,B+@=4,則向量右在向量￡上的投影為.

【答案】-1

【分析】由條件根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)求e&W，再由向量的投影的定義求向量石在向量々上的投影.

【詳解】：向量2]滿足忖=5,口-.=6,|￡+4=4,

卜一4=25+另一2a?石=36,卜+0=25+S+2。不=16￡石=-5,|^|=1,

二向量3在向量Z上的投影為W，cos(a@=|年百+=昔=y=T,

故答案為：-1.

7

14.(x-2y)3(y-2z)5(z-2x)7的展開式中不含z的各項(xiàng)系數(shù)之和.

【答案】128

【分析】對(duì)每一個(gè)括號(hào)利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行展開，展開后對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行合并，合并后使得Z項(xiàng)

累次為0,確定項(xiàng)數(shù)后即可得到答案.

【詳解】(x-2y)3(y-2z)5(z-2x)7利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行展開，設(shè)(x-2y)'項(xiàng)為M(y筌,丫項(xiàng)

為〃，(z-2x)7項(xiàng)為加.

7m

展開后得C*3Y(_2了「《產(chǎn)"(_2z)"-C^-(-2z『對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行合并得

C?C；(-2)M+"3"y-"+"z7-i,因?yàn)檎归_式中不含z,所以7-小+〃=0,又冽得取值為

{0,1,2,3,4,5,6,7},“得取值為{0,1,2,3,4,5},故得俏=7,〃=0.

代入展開式得C；C；C；(-2)7+rjy5+k=C2廣七°-*產(chǎn)3又左得取值為{0」,2,3},分別帶入后各項(xiàng)系數(shù)

之和為C?(-2)7+C；(一2)8+C；(-2)9+C；(一21=(一2)，+3-(—2『+3?(-2)9+(-2)'°=128.

故答案為：128

15.如圖，在四面體/BCD中，AB=BC=AD=CD=4,AC=2,ZBCD=ZBAD=120°,則四面體/BCD

外接球的表面積為.

?小土、208兀208

【答案】——-7t

33

【分析】通過做圖，做出△BCD,△/四的外心，則外接球球心為過外心的兩平面垂線的交點(diǎn)，后利用

正余弦定理可得外接球半徑.

【詳解】如圖1,取3。的中點(diǎn)E,由48=3C=4D=CD=4,

可得AEl.BD,CELBD,

又NBCD=NBAD=120°,

可得4E=CE=2,又4c=2,所以"CE為等邊三角形.

因?yàn)镃ELBD,NEu平面/EC,CEu平面/EC,AEC\CE=E,則平面

如圖2,延長(zhǎng)/￡至0,使得4￡=?！?延長(zhǎng)CE至尸，使得CE=PE,

4

由正弦定理，可得△BCD,△/助外接圓半徑為--------=4,

2sin30°

乂AE=CE=2,AE=QE,CE=PE,則P為△BCD的外心，。為的外心，過點(diǎn)尸作平面BCD

的垂線，過點(diǎn)0作平面48。的垂線，

兩垂線的交點(diǎn)。就是四面體N8CD外接球的球心.

連接OE,因尸￡=QE,EO=EO,則/PEO=AQEONZPEO=30°,

l…)pj—--P--E-----2----4-

由依=故=2,NOEP=3。。，可得一cos30°一有—6，

2

4

則在△CME中，EA=2,OE=忑,ZOEA=150°,

452

由余弦定理0/2=22+-2x2xcos(150^=-

故四面體作。外接球的表面積為4”。心亭.故答案為：.

8

圖2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題涉及求幾何體的外接球的表面積，解決外接球問題有以下常見手段:

(1)側(cè)棱與底面垂直的三棱錐，可將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體或正方體；

(2)正棱錐外接球常用斤=e-及『+廠2解決問題，其中R為外接球半徑，力為正棱錐高，r為底面外接圓

半徑；

(3)側(cè)面和底面呈一定角度的幾何體，常利用過外心做平面垂線確定球心位置，后結(jié)合圖像及正余弦定

理解決問題.

2

16.已知點(diǎn)尸是橢圓二+必=1(。＞1)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸(0,3)到橢圓上的動(dòng)點(diǎn)。的距離的最大值不超過2百，

a

當(dāng)橢圓的離心率取到最大值時(shí)，則|尸0|+|。川的最大值等于.

【答案】3逝+2而##2廂+3行

【分析】設(shè)。(%,%),求得|尸的表達(dá)式，對(duì)。進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、橢圓的定義來求得

|尸。|+|。尸|的最大值.

【詳解】設(shè)。(%,%),則可+就=1,即一°2K且為

a

因?yàn)閨尸。|=J寸+(%-3)2=J/一力了：+N：-6%+9=J(1-4y：-6%+9+/,

而”＞1,即I—＜0,

3

所以，當(dāng)上方＜-1,即1＜。42時(shí),

1-a

當(dāng)為=-1時(shí)，|也取得最大值，|尸0仁=442遍.

又因?yàn)闄E圓的離心率e因此當(dāng)〃=2時(shí)，e最大.

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為耳，則由-G，o),因此I尸。|+|"1=1尸。|+2"|0團(tuán)=|尸0|-|04|+4,

所以當(dāng)Q在咫的延長(zhǎng)線上時(shí)，|尸。H。用取得最大值，

3

因此|尸。|+|。尸|的最大值為26+4.當(dāng)白y＞T，即。＞2時(shí),

1-。

當(dāng)為=二時(shí)，間I取得最大值，間L=j一白+/+9,

由J一一^+/+942后解得24/<]0,BP2<a<V10?

V\-a

又因?yàn)闄E圓的離心率ee最大.

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為片，則片(-3,0),

因此1尸@+1例=1尸a+2*。用=|尸QTQ聞+訪初

所以當(dāng)。在期的延長(zhǎng)線上時(shí)，|尸oH。匐取得最大值，

(同|-3IL=附1=J(-3)2+3?=3叵，

9

因此|尸。|+|。尸|的最大值為九5+2瓦.綜上所述，I尸。|+|。尸|的最大值為3亞+2廂.

故答案為：3V2+2V10

【點(diǎn)睛】在橢圓有關(guān)線段和差的最值問題求解的過程中，可考慮利用橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而求得最值.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=Gsin(q+x)sin(工-x)+sinxcosx.

44

(1)求函數(shù)的最小正周期；

Ajr

(2)在AZSC中,若/(---)=1,求sinB+sinC的最大值.

【答案】(1)兀；⑵技

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)八%),再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出周期作答.

(2)由(1)中函數(shù)式求出Z,再利用差角的正弦公式、輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.

【詳解】(1)依題意，/(x)=V3sin(—+x)sin[--(―+x)]+—sin2x=V3sin(—+x)cos(—+x)+—sin2x

4242442

A/3./兀c、1?C1?c正c./C71

=——sin(—+2x)+—sin2x=—sin2x+——cos2x=sin(2x+-4，

222223

所以函數(shù)/(X)的周期為7=T=九

(2)由(1)知，/([■-?=sin[2g■-6+?=sin(N+*)=l，

在“3C中，0</<兀，^-<A+-<—,于是/+二=巴，解得/=?,則8+C==,

6666233

sin8+sinC=sin8+sin今——=COS5-H^sin5=-^sin5-H-^cosB/3sin(B晨，

顯然?！?lt;B+—<――,因此當(dāng)B+；=即5=g時(shí)，(sinB+sinC)max=V3,

3666623

所以sin3+sinC的最大值為百.

18.（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)

零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）做好記錄.下表是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸（cm）9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸（cm）10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116l~t_16I1/16AFl67

經(jīng)計(jì)算得一記s=-寸=｛五［衛(wèi),-16天卜0.212,J￡（I-8.5）句8.439,

16

X（西-可（'8.5）=-2.78,其中西為抽取的第i個(gè)零件的尺寸。=1,2,…,16）.

i=l

⑴求2,…,16）的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而

系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ舨穦<0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小）；

（2）一天內(nèi)抽檢的零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在伍-3sM+3s）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)

過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

①?gòu)倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？

10

②在門-3s,元+3s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與

標(biāo)準(zhǔn)差.（精確到0.01）

【答案】（1"=一0.18；可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小

（2）①需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查；②均值的估計(jì)值為10.02cm,標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為0.09cm.

【分析】（1）將樣本數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式可求得-0.18,根據(jù)卜|<0.25可得結(jié)論；

（2）①計(jì)算出自-3s*+3s）對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，對(duì)比樣本數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；

②剔除出數(shù)據(jù)后，重新計(jì)算出平均數(shù)和方差，由方差和標(biāo)準(zhǔn)差關(guān)系可得標(biāo)準(zhǔn)差.

16

￡（X,.-X）（Z-8.5）_278

【詳解】⑴由樣本數(shù)據(jù)得相關(guān)系數(shù)：昌…J0212X—X18439…K

H<0.25，二可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.

（2）①?.?亍=9.97,svO.212,,-.x-35=9.334,x+35=10.606,

二抽取的第13個(gè)零件的尺寸在伍-3s,三+3s）以外，

???需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

②剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為\x（16x9.97-9.22）=10.02,

即這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02cm；

16

由S得：?16x0.2122+16X9.972?1591.134,

i=l

剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，乘IJ下數(shù)據(jù)的樣本方差為《義（1591.134-9.22?-15*10.022卜0.008,

???樣本標(biāo)準(zhǔn)差為J0.008a0.09，

即這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為0.09cm.

19.（12分）如圖，已知四棱錐P-/BCD,底面48CD為菱形，尸/，平面/BCD,ZABC=60°,E是

5c的中點(diǎn).

⑵〃為尸D上的動(dòng)點(diǎn)，即與平面刃。所成最大角的正切值為求異面直線尸8與4C所成的角的余弦

2

值.

V2

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【分析】（1）由已知條件推導(dǎo)出AABC為正三角形，從而得到AE1AD,再由PN_L平面48cD,

得到PALAE,由此能證明AE1平面PAD,進(jìn)而證得結(jié)論；

（2）連接/H,EH,則NEH4為與平面尸4D所成的角，當(dāng)/〃最短時(shí)，即當(dāng)時(shí)，NEHA最

大.建立空間直角坐標(biāo)系，求出而，就的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式求解.

【詳解】（1）由四邊形為菱形，ZABC=60°,可得“3C為正三角形，

因?yàn)镋為8C的中點(diǎn)，所以ZE18C,

又BCHAD,因此ZE_L月。，

因?yàn)镻4_L平面48CD,/￡u平面/BCD,所以

11

而平面BID,40u平面BID,PA（-\AD=A,

則4E_L平面尸/。，又尸Du平面B4。，

所以/E_LPD.

（2）設(shè)/B=2,連接/〃，EH,

由（1）知/E_L平面乃。，則NEH4為EH與平面所成的角,

因?yàn)镹"u平面為。，所以4E_L/H.

所以在RtA￡4〃中，AE=5

所以當(dāng)最短時(shí)，即當(dāng)尸。時(shí)，NEHA最大,此時(shí)tan/￡9=*="=?,

AHAH2

因此=又4D=2,所以乙4DH=45。,所以尸/=2.

故以/為原點(diǎn)，NE所在直線為x軸，40所在直線為y軸，4P所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),B(y/3,-1,0),C(1,0),P(0,0,2),

則PB=(V3,-l,-2),^C=(V3,l,0),

PB-AC2_V2

cos(PB,AC)=

\PB^AC\2亞x214

...異面直線PB與AC所成的角的余弦值也.

4

20.（12分）已知直線x+2尸2=0過拋物線C:/=2勿（0>0）的焦點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程；

（2）動(dòng)點(diǎn)/在拋物線C的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)/作拋物線C的兩條切線分別交x軸于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)A/MN的面

積是且時(shí)，求點(diǎn)/的坐標(biāo).

2

【答案】（1?2=4了（2），（1,-1）或（T,T）

【分析】（1）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,從而得到"2,求出拋物線方程;

（2）設(shè)出過點(diǎn)工的拋物線的切線方程設(shè)為y=-l+Mx-M，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)A=0得

到1642一16機(jī)上-16=0,設(shè)過點(diǎn)/的拋物線的兩條切線方程的斜率分別為左，左2,求出左+e=加，后色=-1，

表達(dá)出|〃^=歸-引=隹-匕|，S—fm』,列出方程乙4+4=、,求出加=±1,得到點(diǎn)/的坐

222

標(biāo).

【詳解】（1）x+2>—2=0中令％=0得：>=1,

故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,故5=1，解得：。=2,故拋物線方程為V=4y；

（2）拋物線準(zhǔn)線方程為：y=-l,

設(shè)/（私-1）,過點(diǎn)/的拋物線的切線方程設(shè)為y=-l+M尤-加），

聯(lián)立一二外得：x2-4kx+4km+4=0,

由A=16k2—16坂l(xiāng)-16=0,設(shè)過點(diǎn)4的拋物線的兩條切線方程的斜率分別為左，左2,

由[k[+左2=m,k[k2=—1f

令y=-1+左（x—冽）中，令>=0得：x=—+m,

12

八111

i^\MN\=\xl-x2\^--r=^rr-=|月一勺I,

不妨設(shè)甬=—+m,x2=—+m

4142/v^/v2/v|

則S.AMN=；|ACV|x1=-儲(chǔ)卜［Jh+3)2-紙自=”7-4=—，

乙乙4乙乙

解得：m=+l,故點(diǎn)/的坐標(biāo)為』(1,-1)或(-1,-1).

【點(diǎn)睛】已知拋物線方程r=2/，點(diǎn)工優(yōu),為)為拋物線上一點(diǎn)，則過點(diǎn)/伉,%)的拋物線切線方程為

yoy=p(x+xo),

若點(diǎn)/(看,%)在拋物線外一點(diǎn)，過點(diǎn)/(x。,%)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)弦方程為為y=P(x+%).

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=xlnx和g(x)=6(x-6)0>0)有相同的最小值.

⑴求6的值；

⑵設(shè)〃(x)=/(x)+g(x),方程曲月=俏有兩個(gè)不相等的實(shí)根不，巧，求證:五等>[

一2e

4

【答案】(1)6=-(2)證明見解析

e

【分析】(1)由二次函數(shù)的性質(zhì)可得g(x)1mli=-t,利用導(dǎo)數(shù)可得/(".=/(0)=-「，再根據(jù)兩函數(shù)的

最小值相同，求解即可；

(2)令"(x)=〃(x),利用導(dǎo)數(shù)確定"(X)即"(x)在(0,+司上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在定理可得叫3,

使〃(％)=0,由題意可設(shè)。<再<與<%<1,G(x)=/z(x)-A(2xo-x)(O<x<xo),利用導(dǎo)數(shù)可得G(x)是減

函數(shù)，即可得”(再)>//(2尤0-西)，再由〃(x)在(%,+⑹上的單調(diào)性即可得證.

【詳解】(1)解：g(x)=b[x-4x^=b-

所以g(x)mm=g]￡|=V；

函數(shù)“X)的定義域?yàn)?O,+e),f，(x)=lnx+l,

，1

令/'(x)<0,解得0<x<eLf(^)>0^x>e-,

所以〃x)在(0,「)上單調(diào)遞減，在(廠,+句上單調(diào)遞增.

所以〃x)mm=/(eT)=-]

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=knx和8(%)=6卜-4)伍>0)有相同的最小值，

所以_§=一「

4

4

即八一；

e

(2)證明：/z(x)=xlnx+—,

"(x)=lnx+l+V

ii_3

令〃(x)="(x),MH'(x)=-+-X2>0,

所以〃(x)即“⑺在(0,+功上單調(diào)遞增，

13

所以二O使”伉）=0,

于是〃（無(wú)）在（O,x0）上單調(diào)遞減，在（%,+⑹上單調(diào)遞增.

又入⑴=0,當(dāng)%趨于0時(shí)，趨于0,

則當(dāng)XE（0,1）時(shí)，A（x）<0

方程"（％）=冽有兩個(gè)不相等的實(shí)根根A，巧,

不妨設(shè)0<再</<%<L

設(shè)G（x）=—力（2%-x）（0<x<x0）,

1

貝ljG，（x）=+"（2%-x）=lnx+

2^12^—xj

4

由h'（x。）=0即InX。+14—1

e

24

得M寸麗T工

22

并代入上式，得G<x）<2+2+^=C

eHe

所以G（x）是減函數(shù)，

G（再）>G%-〃（2%o-%）=0,

即〃（再）>/z（2%o—芭），

又由題意〃（再）=%（%2）,得〃（%2）〉〃（2%0-國(guó)），

而2%0-％1>%0，且%（x）在（%,+00）上單調(diào)遞增,

所以％2>2%-玉,

即X]+12>2%,

又'

,,X+x1

故9>/.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性的問題,借助于導(dǎo)數(shù)進(jìn)行確定；關(guān)于不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函

數(shù)的最值問題進(jìn)行解答.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

/、[x=2+2cos