甘肅省蘭州某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含答案）

蘭州一中高三年級診斷考試試卷

高三數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷(選擇)和第II卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

第I卷(選擇題)

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.)

1.設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合”滿足={2,4},貝!!()

A.B.4cMC.5eMD.3史M

2.“(x—iy+j?4"是“/+/1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知向量5=(1,2)3=(2,—2),己=(1,4),若紅(22+司,則實(shí)數(shù)2=()

11c

A.2B.—C.----D.—2

22

4.若復(fù)數(shù)Z滿足(2+3i)2=i2°24+8i2°25,則復(fù)數(shù)三在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.已知函數(shù)y=/(x)的圖象如圖1所示，則圖2對應(yīng)的函數(shù)有可能是()

A.x2f(x)B.C.xf(x)D.xf2｛x｝

x

6.若a=0.7°s,b=log?a,c=log。？0.3,貝!]()

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

7.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=+2",且數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是(

A.(—co,—3)B.(—co,—2)C.(—2,+8)D.(—3,+co)

8.已知雙曲線E:=-二=l（a〉0,b>0）的右焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)尸作直線/與漸近線云-ay=0垂直，垂足為

ab

點(diǎn)、P,延長PE交E于點(diǎn)0.若匝=3而，貝物的離心率為（）

654/-

A.一B.—C.-D.V2

543

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.）

9.在下列函數(shù)中，最小值是2的是（）

A.y=x~—4x+6B.y=_]H—/

Vx2-1

10.已知加，〃是兩條不同的直線，％，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若加_La,掰_1_〃，則〃〃aB.若加J_a,”_L"a_1_/?,貝！]加_1_”

C.若a〃/?,加〃％”〃萬，則加D.若a〃0,m工a,n工0,則

11.臺球運(yùn)動已有五、六百年的歷史，參與者用球桿在臺上擊球.若和光線一?樣，臺球在球臺上碰到障礙物后

3

也遵從反射定律.如圖，有一張長方形球臺4BCD,其中2。=—48,現(xiàn)從角落/沿角a的方向把球打出去,

5

球經(jīng)2次碰撞球臺內(nèi)沿后進(jìn)入角落C的球袋中，貝ijtana的值為（）

DC

AB

第n卷（非選擇題）

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.若命題—1）x-l0”為假命題，貝必的取值范圍為.

13.若圓G:1+/一4x+3=0與圓。2：（x+2y+（y+3）2=加有且僅有一條公切線，則加=.

14.一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,4.現(xiàn)甲從中隨機(jī)摸出一個球記

下所標(biāo)數(shù)字后放回，乙再從中隨機(jī)摸出一個球記下所標(biāo)數(shù)字，若摸出的球上所標(biāo)數(shù)字大即獲勝（若所標(biāo)數(shù)字相

同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為.

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.在△48C中，角43,C的對邊分別為見“c,且一/=24S,E0=12.

⑴求tanA；

(2)若。在邊BC上且求/￡)的長.

16.函數(shù)/(x)是定義在尺上的奇函數(shù)，且當(dāng)x〉0時，f(x)=-x2+2x.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+加在尺上有三個零點(diǎn)，求冽的取值范圍.

17.已知在四棱錐尸—4BC。中，尸4,平面45。。，四邊形45。。是直角梯形，AD//BC.AD1DC,

若尸/=/￡>=2,DC=2J5,點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N為尸。的四等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)尸).

P

(1)求證：平面平面PCD；

(2)求點(diǎn)P到平面的距離.

18.甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行圍棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為，的方框表示第，場比賽，方

框中是進(jìn)行該場比賽的兩名棋手，第，場比賽的勝者稱為“勝者廣，負(fù)者稱為“負(fù)者廣，第6場為決賽，獲勝的人

3

是冠軍，已知甲每場比賽獲勝的概率均為一，而乙、丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性相同.

4

136

(1)求乙僅參加兩場比賽且連負(fù)兩場的概率;

(2)求甲獲得冠軍的概率.

19.已知拋物線E:y=x2,過點(diǎn)7(1,2)的直線與E交于48兩點(diǎn)，設(shè)E在點(diǎn)4臺處的切線分別為4和L'I與'2

的交點(diǎn)為尸.

(1)若點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-1,1),求ACMB的面積(。為坐標(biāo)原點(diǎn))；

(2)證明：點(diǎn)尸在定直線上.

蘭州一中高三年級診斷考試試卷

高三數(shù)學(xué)答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.）

題號12345678

答案CBDDCADB

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.

題號91011

答案ABCBDAB

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）

（3J1

12.,113.3614.—

I53

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.解析：(1)因?yàn)椤?。2一/=24,S“BC=12,

所以-/=2S,RC=besinA.

所以b+0———=—sin^,得2cosZ=sinZ即tanZ=2.

2bc2

sin/_22后

(2)因?yàn)閠anZ=2,所以＜cosA，解得sinA=±------

sin2^4+cos2A=1J

因?yàn)閠anZ=2〉0,且/為三角形的內(nèi)角，所以sinZ=3^cosZ=好

55

又因?yàn)镾=-Zjcsin^=-x2V5cx—=12,所以c=6.

“ABC225

cosA,

所以赤2=4+雪匹嗎所以"=也

9393

16.解析：(1)令x<0,則—x〉0,又/(x)是定義在R上的奇函數(shù),

所以可得/(x)=—/(—X)=—[―(―x)2+2(—x)]=爐+2x,

又/(0)=0,故函數(shù)/(x)的解析式為/(x)=1,''

x+2x,x<0.

(2)根據(jù)題意作出/(x)的圖象如下圖所示：

=/⑴=1,若函數(shù)g(x)=/(x)+加在尺上有三個零點(diǎn)，即方程/(x)+掰=0有三個不等的實(shí)數(shù)根,

所以函數(shù)/(x)與了=一加有三個不同的交點(diǎn)由圖可知當(dāng)-1〈-加<1,即-1</"<1時，

函數(shù)/(X)與>=-加有三個不同的交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)有三個零點(diǎn).故"2的取值范圍是(-1』).

17.解析：(1)在四棱錐P—48CD中，R4J_平面48CD,CDu平面45CD,

則又40,CD,

因?yàn)槭琙PI4D=4尸440u平面R4￡),所以CDJ_平面R4D,

因?yàn)?Mu平面R4￡),所以2/LCD,

因?yàn)?P=40,點(diǎn)〃為中點(diǎn)，所以

因?yàn)镃DC\PD=D,CD,PDu平面PCD,

所以/ML平面尸CD,

因?yàn)?Mu平面所以平面ZW,平面尸C￡>

(2)由(1)知C￡>，平面上4。，又PQu平面P4D,則

因?yàn)镽4，AD,PA=AD=2,DC=2J5,點(diǎn)〃為PD的中點(diǎn)，

所以PD=26,PM=6,PC=ylPD2+CD2=y/8+8=4,

因?yàn)辄c(diǎn)N為PC的四等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)尸).

所以PN=1,

因?yàn)槭?gt;=CD,C￡>，P￡>,所以NCPM=45°

所以由余弦定理得

22l+2-2xlxV2x^-

MN=yjPN+PM-2PN-PMcos45°=1,

所以PN?+MN?=PM?,所以因?yàn)槠矫鍼CD,所以小W

設(shè)點(diǎn)尸到平面AMN的距離為九

所以三棱錐尸—的體積/YMN=七一相加二工x：xlxlxJ5=—x—xlxy/lh.

32

所以為=1.

18.解析：(1)乙連負(fù)兩場，即乙在第1場、第4場均負(fù)，

313

，乙連負(fù)兩場的概率為4=-x-=-；

(2)甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：

1勝3勝6勝；1負(fù)4勝5勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝,

...甲獲得冠軍的概率為：+2X[3]x-=—.

2⑷⑷4128

2-11

19.解析：(1)直線43的斜率尢=-------二—

1-(-1)2

直線AB的方程為j；-l=1(x+l),

即x—2y+3=0.

x-2y+3=0士*/

聯(lián)立方程《；,整理得:2%2—x—3=0.

y=x

13

=-->XlX2=~~

設(shè)直線48與y軸的交點(diǎn)為D,則

13

S'OAB=S.OAD+S-OBD=5義萬*|xj+；x|x|x2|=孤一下

(2)由y=l2,得y'=2x.

4的方程為：j=2X](x-xJ+Xj2,整理得y=2X]X-x；.

同理可得12的方程為j=2X2X-君.

X+x

平-X；9

設(shè)尸(馬,力)，聯(lián)立方程＜J=2,解得《

yP=占/

因?yàn)辄c(diǎn)7(1,2)在拋物線內(nèi)部，可知直線45的斜率存在,

設(shè)直線力3的方程為y=k(x—1)+2,與拋物線方程聯(lián)立得：——丘+左—2=0,

k

故西+工2=左，X[X?=k-2.所以辱=5,yp=k-2f可得力＞=21尸_2,

所以點(diǎn)尸在定直線歹=2x—2上.

「請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效

蘭州一中高三年級診斷考試試卷請在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效

四、解答題（共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計算步驟）

16.（15分））

高二數(shù)學(xué)15.（13分）

姓名__________________

貼條形碼區(qū)

班級__________________

（正面朝上，切勿貼出虛線方框）

|正確填涂示例■

一方框?yàn)槿笨伎忌鷺?biāo)記，由監(jiān)考員用2B鉛筆填途。

一、單選題（共40分）

1.回回5.回叵

2.叵回6.叵叵

3.叵回7.