人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難考點(diǎn)微專題01全等三角形的九大模型通關(guān)專練特訓(xùn)(原卷版+解析)

微專題01全等三角形的九大模型通關(guān)專練一、平移模型1．（2023·陜西西安·交大附中分校?？既＃┤鐖D，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B=∠D，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件__________，使Rt△ABC和2．（2022秋·湖南邵陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)E，C在線段BF上，BE＝CF，請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫€(gè)等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．選出兩個(gè)作為條件，推出△ABC≌△DEF．并予以證明．（寫出一種即可）已知：______，______．求證：△ABC≌△DEF．3．（2022秋·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AC＝DF．老師說：還添加一個(gè)條件就可使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個(gè)同學(xué)的發(fā)言：甲：添加BE＝CF，乙：添加AC∥DF，丙：添加∠A＝∠D．(1)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)的說法正確的是；(2)請(qǐng)你從正確的說法中，選取一種給予證明．4．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個(gè)條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號(hào)）______（只需選一個(gè)條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．二、對(duì)稱模型5．（2023秋·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、D在線段BC的兩側(cè)，且∠A=∠D=90°．試添加一個(gè)條件，使△ABC≌△DBC．并寫出證明過程．6．（2022秋·廣西南寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．找出圖中的全等三角形，并選一對(duì)證明它們?nèi)龋?．（2022秋·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，AC、BD交于點(diǎn)O，AB=CD，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件（不再添加其他輔助線，不再標(biāo)注或使用其他字母），使OB=OC，并給出證明．8．（2022秋·北京房山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，AB=AC．現(xiàn)給出下列條件：①∠B=∠C；②BE=CD；AE=AD，請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的條件，添加到已知條件中，使得三、不共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型9．（2021秋·河南許昌·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，BF=CE，AC=DF，請(qǐng)你在下列條件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，選擇一個(gè)條件證明：證明：10．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)C、E、B、F在同一條直線上，且AB=DE，AC=DF，CE=FB．求證：△ABC≌△DEF．11．（2022秋·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）如圖，AB∥CD，AB=CD，點(diǎn)E、F在BC上，從①AF∥DE，②你選的補(bǔ)充條件是，結(jié)論是．(填序號(hào))12．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一直線上，AD=EB，∠A=∠E．請(qǐng)你添加一個(gè)條件，證明：AC=EF．(1)你添加的條件是_____________；(2)請(qǐng)你寫出證明過程．四、多垂直模型（含一線三等角）13．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m過點(diǎn)A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)DE=BD+CE．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BD、DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）14．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABE為等腰直角三角形，∠ABE=90°，BC=BD．(1)求證：△ABC≌△EBD；(2)求證：AF⊥DE15．（2022秋·山東德州·八年級(jí)?？计谥校?）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．16．（2023秋·湖南張家界·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D,E．求證：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．請(qǐng)寫出DE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．五、手拉手模型17．（2022·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，以銳角△ABC的邊AC、AB為邊向外作正方形ACDE和正方形ABGF，連接(1)求證：△FAC≌(2)圖中△BAE可以通過一次變換得到△FAC，請(qǐng)你說出變換過程．18．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．(1)求證：△AEB≌△ADC；(2)連接DE，若∠ADC=110°，求∠BED的度數(shù)．19．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，等邊△ABC與等邊△DCP的頂點(diǎn)B，C，P三點(diǎn)在一條直線上，連接AP交BD于E點(diǎn)，連EC．(1)求證：AP=BD；(2)求證：EC平分∠BEP；(3)設(shè)AE=a，DE=b，CE=c，若BP=4CP，直接寫出a，20．（2020秋·遼寧撫順·九年級(jí)?？计谥校┮阎狐c(diǎn)D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．直接寫出BD和CE數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長線上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE，畫出圖形．（1）的結(jié)論還成立嗎?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說明理由．六、倍長中線模型21．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）校考期中）【向題情境】課外數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下何題：如圖①，△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．SSA(2)由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是__________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中．【初步運(yùn)用】(3)如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．若EF=5，EC=3，求線段BF的長．【拓展提升】(4)如圖③，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF分別交AB,AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：BE+CF>EF．22．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形．如圖，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列問題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)取BD的中點(diǎn)P，連接OP，請(qǐng)證明AC=2OP．23．（2022秋·湖北荊門·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，E是BC的中點(diǎn)，過E作EF∥AD交CA延長線于P，交AB于F，求證：(1)△APF是等腰三角形；(2)BF=CP(3)若AB=12，AC=8，試求出PA的長．24．（2022春·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：如圖，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中線，點(diǎn)E在CD上，且∠AED=∠B．求證：AE=BC．七、截長補(bǔ)短模型25．（2023秋·廣西南寧·八年級(jí)校考期末）已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，D、E分別為AB、BC上的點(diǎn)，且AE、CD交于點(diǎn)F．若AE、CD為△ABC的角平分線．(1)求∠AFC的度數(shù)；(2)若AD=6，CE=4，求AC的長．26．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）如圖，已知△ABC為等邊三角形，D為直線BC上一點(diǎn)，ED＝EC，求證：AE＋AC＝CD．27．（2022秋·重慶江北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等邊ΔABC的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)D為ΔABC外一點(diǎn)，且∠MDN=60°(1)如圖1，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，∠BDN=90°，BM=3，求(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，∠BDN≠90°．試猜想BM，CN，28．（2020秋·湖北黃石·八年級(jí)黃石八中校考期中）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠BDC=∠BAC，AM⊥CD于M，求證：BD+DM=CM．八、平行線+中線模型29．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交BC于點(diǎn)M．求讓：MD=ME30．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．31．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求證：DP=DQ；(2)過P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的長．32．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）讀下面的題目及分析過程,并按要求進(jìn)行證明．已知:如圖,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求證:AB=CD分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個(gè)三角形中,且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等．因此,要證明AB=CD,必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請(qǐng)任意選擇其中兩種對(duì)原題進(jìn)行證明．圖(1):延長DE到F使得EF=DE圖(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延長線于F圖(3):過C點(diǎn)作CF∥AB交DE的延長線于F.九、角平分線+垂直模型33．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，如圖ΔABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)E，求證：CE=234．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷△BEG的形狀，并說明理由．

微專題01全等三角形的九大模型通關(guān)專練一、平移模型1．（2023·陜西西安·交大附中分校校考三模）如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B=∠D，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件__________，使Rt△ABC和【答案】添加條件AB=ED，證明見解析（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意可得∠B=∠D，【詳解】解：添加條件AB=ED，證明如下：在Rt△ABC和Rt∠B=∠DAB=ED∴Rt△ABC≌【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL等等．2．（2022秋·湖南邵陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)E，C在線段BF上，BE＝CF，請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫€(gè)等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．選出兩個(gè)作為條件，推出△ABC≌△DEF．并予以證明．（寫出一種即可）已知：______，______．求證：△ABC≌△DEF．【答案】①，④或②，③或②，④；證明見解析【分析】根據(jù)題意選取2個(gè)條件，根據(jù)全等三角形的判定，即可求解．【詳解】已知：①④證明如下：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．∴△ABC≌△DEF．已知∶②③證明如下：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中∠ACB＝∠F，∠A＝∠D，BC＝EF．∴△ABC≌△DEF．已知∶②④證明如下：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中AC＝DF，∠ACB＝∠F，BC＝EF．∴△ABC≌△DEF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AC＝DF．老師說：還添加一個(gè)條件就可使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個(gè)同學(xué)的發(fā)言：甲：添加BE＝CF，乙：添加AC∥DF，丙：添加∠A＝∠D．(1)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)的說法正確的是；(2)請(qǐng)你從正確的說法中，選取一種給予證明．【答案】(1)甲、丙(2)選甲的做法，證明見解析【分析】（1）通過（2），即可得出答案；（2）利用全等三角形的判定方法：SSS、SAS，對(duì)甲、丙兩個(gè)同學(xué)的說法分別進(jìn)行分析，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：說法正確的是：甲、丙，（2）選甲的做法，證明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DEAC=DF∴△ABC≌△DEF（SSS）．選丙的做法，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠A=∠D∴△ABC≌△DEF（SAS）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定方法，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握全等三角形的判定定理．4．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個(gè)條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號(hào)）______（只需選一個(gè)條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．【答案】(1)①，SSS(2)見解析【分析】(1)根據(jù)SSS即可證明△ABC≌?DEF，即可解決問題；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得可得∠A=∠EDF，再根據(jù)平行線的判定即可解決問題．【詳解】（1）解：在△ABC和△DEF中，AC=DFAB=DE∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三個(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF，選取的條件為①，判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS．（注意：只需選一個(gè)條件，多選不得分）故答案為：①，SSS；（2）證明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，和判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．二、對(duì)稱模型5．（2023秋·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、D在線段BC的兩側(cè)，且∠A=∠D=90°．試添加一個(gè)條件，使△ABC≌△DBC．并寫出證明過程．【答案】答案不唯一，見解析【分析】根據(jù)題意可知BC=BC，∠A=∠D=90°，再利用AAS定理判定△ABC≌△DBC即可．【詳解】解：添加的條件：∠ABC=∠DBC，證明如下：在△ABC和△DBC中，∠A=∠D∠ABC=∠DBC∴△ABC≌△DBCAAS（答案不唯一）若是AB=DB（或AC=DC），則判定△ABC≌△DBC的理由是HL，若是∠ACB=∠DCB，則判定△ABC≌△DBC的理由是AAS．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．6．（2022秋·廣西南寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．找出圖中的全等三角形，并選一對(duì)證明它們?nèi)龋敬鸢浮俊鰽BD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，證明見解析【分析】由已知條件可分別根據(jù)三角形全等的判定定理SSS證得△ABD≌△ACD；根據(jù)SAS證得△ABE≌△ACE；根據(jù)SSS證得△BDE≌△CDE．【詳解】解：圖中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=DC，∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACDSSS∴∠BAE=∠CAE，∵AE=AE，∠BAE=∠CAE，AB=AC，∴△ABE≌△ACESAS∴BE=CE，∵BE=CE，BD=DC，DE=DE，∴△BDE≌△CDESSS【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．做題時(shí)從已知結(jié)合全等的判定方法開始思考，做到由易到難，不重不漏．7．（2022秋·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，AC、BD交于點(diǎn)O，AB=CD，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件（不再添加其他輔助線，不再標(biāo)注或使用其他字母），使OB=OC，并給出證明．【答案】AC=DB或∠ABC=∠DCB或∠A=∠D或∠ABO=∠DCO【分析】要證明OB=OC，根據(jù)等腰三角形的中等角對(duì)等邊，也可以根據(jù)三角形全等，對(duì)應(yīng)邊相等即可A．【詳解】證明：方法一∵AB=CD，BC=CB，若AC=DB，∴△ABC≌△DCB(SSS∴∠ACB=∠DBC，∴△BCO中，OB=OC；方法二：∵AB=CD，BC=CB，若∠ABC=∠DCB，∴△ABC≌△DCB(SAS∴∠ACB=∠DBC，∴△BCO中，OB=OC；方法三：∵AB=CD，∠AOB=∠DOC，若∠A=∠D，∴△ABO≌△DCO(AAS∴OB=OC；方法四：∵AB=CD，∠AOB=∠DOC，若∠ABO=∠DCO，∴△ABO≌△DCO(AAS∴OB=OC【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·北京房山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，AB=AC．現(xiàn)給出下列條件：①∠B=∠C；②BE=CD；AE=AD，請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的條件，添加到已知條件中，使得【答案】見解析【分析】添加∠B=∠C，由AAS證明△ABE≌【詳解】解：添加∠B=∠C，使得△ABE≌證明：在△ABE和△ACD中，∠B=∠C∠A=∠A∴△ABE≌【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．三、不共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型9．（2021秋·河南許昌·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，BF=CE，AC=DF，請(qǐng)你在下列條件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，選擇一個(gè)條件證明：證明：【答案】②，證明見解析【分析】由全等三角形的判定方法即可得出△ABC≌△DEF，即可得出∠A=∠【詳解】解：選②∠ACB=∠DFE（答案不唯一）證明：∵BF=CE，∴BF+CF=CE+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，AC=DF∠ACB=∠DFE∴△ABC≌∴∠A=∠D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)C、E、B、F在同一條直線上，且AB=DE，AC=DF，CE=FB．求證：△ABC≌△DEF．【答案】見解析【分析】根據(jù)SSS證明△ABC≌△DEF即可．【詳解】證明：∵BF=CE，∴BF+BE=CE+BE，即BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DEAC=DF∴△ABC≌△DEFSSS【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)證明是解決本題的關(guān)鍵．11．（2022秋·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）如圖，AB∥CD，AB=CD，點(diǎn)E、F在BC上，從①AF∥DE，②你選的補(bǔ)充條件是，結(jié)論是．(填序號(hào))【答案】①，②；過程見解析【分析】根據(jù)AB∥CD可知∠B=∠C，結(jié)合AB=CD，再添加AF【詳解】解：你選的補(bǔ)充條件是①，結(jié)論是②，理由如下，∵AB∥∴∠B∵AF∥∴∠CED在△ABF與△∠B∴△ABF∴AF=DE．故答案為：①，②．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一直線上，AD=EB，∠A=∠E．請(qǐng)你添加一個(gè)條件，證明：AC=EF．(1)你添加的條件是_____________；(2)請(qǐng)你寫出證明過程．【答案】(1)∠C=∠F（答案不唯一）(2)見解析【分析】（1）可以添加∠C=∠F，即可；（2）根據(jù)AD=EB，可得AB=ED，再利用角角邊證得△ABC?△EDF，即可求證．（1）解∶添加的條件是∠C=∠F故答案為：∠C=∠F（答案不唯一）；（2）證明：∵AD=EB∴AD?BD=EB?BD，即AB=ED．在△ABC與△EDF中∠C=∠F∴△ABC≌△EDF∴AC=EF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．四、多垂直模型（含一線三等角）13．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m過點(diǎn)A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)DE=BD+CE．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BD、DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）【答案】(1)DE=BD?CE，證明見解析；(2)DE=BD+CE，DE=BD?CE，DE=CE?BD．【分析】（1）利用條件證明△ABD≌（2）根據(jù)圖，可得BD、DE、CE存在3種不同的數(shù)量關(guān)系；【詳解】（1）證明：如圖2，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD+∠DAB=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE．在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠CBA∠ABD=∠CAB∴△ABD≌∴AD=CE，BD=AE∵DE=AE?AD，∴DE=BD?CE．（2）直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BD、DE、CE存在3種不同的數(shù)量關(guān)系：DE=BD+CE，DE=BD?CE，DE=CE?BD．如圖1時(shí)，DE=BD+CE，如圖2時(shí)，DE=BD?CE，如圖3時(shí)，DE=CE?BD，（證明同理）【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等，注意證三角形全等的方法及三角形全等后的性質(zhì)．14．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABE為等腰直角三角形，∠ABE=90°，BC=BD．(1)求證：△ABC≌△EBD；(2)求證：AF⊥DE【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）利用邊角邊證明三角形全等即可．（2）利用（1）中的全等及互余關(guān)系證明直角即可．【詳解】（1）證明：△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE，∵∠ABE=90°，∴∠EBD=90°，∴∠ABE=∠EBD，在△ABC與△BDE中，AB=BE∠ABE=∠DBE∴△ABC≌△EBD（2）證明：∵△ABC≌△EBD，∴∠BAC=∠BED，∵∠BED+∠D=90°，∴∠BAC+∠D=90°，∴∠AFD=90°，∴∠AFE=90°，∴AF⊥DE．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，能夠熟練運(yùn)用判定定理及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2022秋·山東德州·八年級(jí)?？计谥校?）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，根據(jù)同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知條件可證△ABC≌△CED，可得答案；（2）過D作DE⊥BC交BC延長線于E，同（1）中的方法，可證△ABC≌△CED，可得答案；（3）過A作AE⊥CD于E，過B作BF⊥CD交DC延長線于F，由△ACD面積為12且CD的長為6，可得AE＝4，進(jìn)而可得CE=2，同（1）中證法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性質(zhì)可求得答案．【詳解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，在△ABC和△CED中，∠B=∠E∠ACB=∠D∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案為：7；（2）過D作DE⊥BC交BC延長線于E，如圖：∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，在△ABC和△CED中，∠ABC=∠E∠ACB=∠CDE∴△ABC≌△CED（AAS），∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝12BC?DE（3）過A作AE⊥CD于E，過B作BF⊥CD交DC延長線于F，如圖：∵△ACD面積為12且CD的長為6，∴12×6?AE∴AE＝4，∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2，∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，∠AEC=∠F∠ACE=∠CBF∴△ACE≌△CBF（AAS），∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝12CD?BF【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，屬于類比探究類的題目，掌握模型思想，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·湖南張家界·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D,E．求證：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．請(qǐng)寫出DE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）DE=BD+CE，證明見解析【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根據(jù)∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根據(jù)AAS證出△ADB≌△CEA，從而得出AE=BD，AD=CE，即可證出DE=BD+CE；【詳解】（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，∠ABD＝∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）DE=BD+CE，理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)綜合中的“一線三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．五、手拉手模型17．（2022·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，以銳角△ABC的邊AC、AB為邊向外作正方形ACDE和正方形ABGF，連接(1)求證：△FAC≌(2)圖中△BAE可以通過一次變換得到△FAC，請(qǐng)你說出變換過程．【答案】(1)見解析(2)△FAC和△BAE可以通過旋轉(zhuǎn)而相互得到，△BAE以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FAC【分析】（1）通過正方形的性質(zhì)得到等角和等邊，然后判斷全等即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義直接解答即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ACDE和四邊形ABGF是正方形，∴AF=AB，∴∠BAF+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即在△FAC和△BAE中，AF=AB∠FAC=∠BAE∴△FAC≌（2）解：△FAC和△BAE可以通過旋轉(zhuǎn)而相互得到，△BAE以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FAC．【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)和全等三角形、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)全等三角形判定條件來證明全等．18．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．(1)求證：△AEB≌△ADC；(2)連接DE，若∠ADC=110°，求∠BED的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)50°【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)知∠BAC=60°，AB=AC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠DAE=60°，AE=AD，從而得∠EAB=∠DAC，再證△AEB≌△ADC可得答案；（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD為等邊三角形，即∠AED=60°，繼而由△AEB≌△ADC，得到∠AEB=∠ADC=110°，再利用∠BED=∠AEB?∠AED即可得解．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，AB=AC∠EAB=∠DAC∴△AEB≌△ADCSAS（2）解：如圖，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD為等邊三角形．∴∠AED=60°，∵△AEB≌△ADC，∴∠AEB=∠ADC=110°．∴∠BED=∠AEB?∠AED=50°．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證得三角形的全等是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，等邊△ABC與等邊△DCP的頂點(diǎn)B，C，P三點(diǎn)在一條直線上，連接AP交BD于E點(diǎn)，連EC．(1)求證：AP=BD；(2)求證：EC平分∠BEP；(3)設(shè)AE=a，DE=b，CE=c，若BP=4CP，直接寫出a，【答案】(1)見解析(2)見解析(3)a?3b=2c【分析】（1）由題意結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，可得，∠BCD=∠BCA+∠ACD=120°，∠ACP=∠DCP+∠ACD=120°，即∠BCD=∠ACP，再證△BCD≌△ACP，即可證得AP=BD；（2）過點(diǎn)C作CM⊥BD交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AP交AP于點(diǎn)N，由△BCD≌△ACP，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，可得，CM=CN，再由角平分線的判定可得，EC平分∠BEP；（3）過點(diǎn)C作CM⊥BD交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AP交AP于點(diǎn)N，在EB上截取一點(diǎn)F，使得AE=EF，在EP上截取一點(diǎn)G，使得ED=EG，連接AF，DG，先證△BAF≌△CAE，推導(dǎo)得BE=BF+EF=CE+AE=c+a，同法可證，EP=EG+GP=ED+CE=b+c，最后根據(jù)三角形面積關(guān)系，得出BE=3PE，則可得到答案．【詳解】（1）證明：∵等邊△ABC與等邊△DCP的頂點(diǎn)B，C，P三點(diǎn)在一條直線上，∴∠ACB=∠DCP=60°，∠BCP=180°，∴∠ACD=180°?∠DCP?∠ACB=60°，∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=120°，∠ACP=∠DCP+∠ACD=120°，∴∠BCD=∠ACP，∵等邊△ABC，等邊△DCP，∴BC=AC，DC=PC，在△BCD與△ACP中，∵BC=AC∠BCD=∠ACP∴△BCD≌△ACPSAS∴AP=BD．（2）證明：如圖1，過點(diǎn)C作CM⊥BD交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AP交AP于點(diǎn)N，∵（1）中已證△BCD≌△ACP，又∵CM⊥BD，CN⊥AP，∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AP，∴EC平分∠BEP．（3）a?3b=2c，理由如下：如圖2，過點(diǎn)C作CM⊥BD交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AP交AP于點(diǎn)N，在EB上截取一點(diǎn)F，使得AE=EF，在EP上截取一點(diǎn)G，使得ED=EG，連接AF，DG，∵△BCD≌△ACP，∴∠BDC=∠APC，∵∠DBC+∠BDC=∠DCP，又∵等邊△DCP，∴∠DCP=60°，∴∠DBC+∠BDC=60°，∵∠BDC=∠APC，∴∠DBC+∠APC=60°，即∠AEB=60°，∵AE=EF，∴△AEF是等邊三角形，∴∠FAE=60°，AF=AE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，BA=CA，∴∠BAC?∠FAC=∠FAE?∠FAC，即∠BAF=∠CAE，在△BAF與△CAE中，∵BA=CA∠BAF=∠CAE∴△BAF≌△CAESAS∴BF=CE．∵AE=EF=a，CE=c，∴BE=BF+EF=CE+AE=c+a，同法可證，EP=EG+GP=ED+CE=b+c，∵BP=4CP，∴BC=3CP．∵CM⊥BD，CN⊥AP，∴S△BEC∵（2）中已證CM=CN，∴BEPE∴c+a=3b+c即a?3b=2c．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用，三角形面積關(guān)系等，綜合性強(qiáng)，難度較大．20．（2020秋·遼寧撫順·九年級(jí)校考期中）已知：點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．直接寫出BD和CE數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長線上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE，畫出圖形．（1）的結(jié)論還成立嗎?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說明理由．【答案】(1)BD和CE的數(shù)量關(guān)系是相等，位置關(guān)系是互相垂直，理由見詳解；(2)成立，理由見詳解．【分析】（1）由題意易得AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，則有∠BAD=∠CAE，然后可證△ABD≌△ACE，進(jìn)而問題可求解；（2）如圖，然后根據(jù)（1）中的證明過程可進(jìn)行求解．(1)解：BD⊥CE且BD=CE，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，∴BD⊥CE；(2)解：（1）中結(jié)論仍成立，理由如下：由題意可得如圖所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，∴BD⊥CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．六、倍長中線模型21．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？计谥校鞠蝾}情境】課外數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下何題：如圖①，△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．SSA(2)由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是__________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中．【初步運(yùn)用】(3)如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．若EF=5，EC=3，求線段BF的長．【拓展提升】(4)如圖③，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF分別交AB,AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：BE+CF>EF．【答案】(1)B(2)2<AD<8(3)8(4)見解析【分析】（1）利用SAS證明△ADC≌（2）利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行求解即可；（3）延長AD到M，使AD=DM，連接BM，證明△ADC≌△MDBSAS，推出△BFM（4）延長ED到點(diǎn)G，使DG=ED，連接GF,GC，易得EF=FG，證明△DBE≌△DCGSAS，得到BE=CG，在△CGF【詳解】（1）解：在△ADC和△EDB中CD=BD∠CDA=∠BDE∴△ADC≌故選：B；（2）由（1）得：△ADC≌∴AC=BE=6，在△ABE中，AB?BE<AE<AB+BE，即10?6<2AD<10+6，∴2<AD<8，故答案是：2<AD<8；（3）延長AD到M，使AD=DM，連接BM，如圖所示：∵AE=EF，EF=5，∴AC=AE+EC=5+3=8，∵AD是△ABC中線，∴CD=BD，在△ADC和△MDB中，DC=DB∠ADC=∠MDB∴△ADC≌∴BM=AC，∠CAD=∠M，∵AE=EF，∴∠CAD=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠BFD=∠CAD=∠M，∴BF=BM=AC=8；（4）解：延長ED到點(diǎn)G，使DG=ED，連接GF,GC，如圖所示：∵ED⊥DF，∴∠EDF=∠GDF=90°，∵FD=FD，∴△FDE≌△FDGSAS∴EF=GF，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，在△BDE和△CDGED=GD∠BDE=∠GDC∴△DBE≌∴BE=CG，在△CGF中，CG+CF>GF，∴BE+CF>EF．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系．熟練掌握倍長中線法，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形．如圖，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列問題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)取BD的中點(diǎn)P，連接OP，請(qǐng)證明AC=2OP．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)OA=OB，OC=OD，∠AOC+∠BOD=180°即可證明；（2）延長OP至E，使PE=OP，先證△BPE≌△DPO，推出BE=OD，∠E=∠DOP，進(jìn)而推出BE∥OD，再證△EBO≌【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°?∠AOB?∠COD=360°?90°?90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形．（2）證明：延長OP至E，使PE=OP，∵P為BD的中點(diǎn)，∴BP=PD，∵在△BPE和△DPO中，PE=PO∠BPE=∠DPO∴△BPE≌∴BE=OD，∠E=∠DOP，∴BE∥∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，在△EBO和△COA中，OB=AO∴△EBO≌∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．23．（2022秋·湖北荊門·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，E是BC的中點(diǎn)，過E作EF∥AD交CA延長線于P，交AB于F，求證：(1)△APF是等腰三角形；(2)BF=CP(3)若AB=12，AC=8，試求出PA的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)PA【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2=∠P,∠1=∠3，等量代換可得（2）延長FE至Q，使得EQ=EF，連接CQ，證明△EBF≌△ECQ，得出∠BFE=∠Q，CQ=BF，根據(jù)（3）根據(jù)AP=AF，BF=（1）解：如圖，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠1=∠2∵EF∥AD∴∠2=∠∴∠3=∠P∴AF∴△APF是等腰三角形；（2）證明：如圖，延長FE至Q，使得EQ=EF，連接∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=又∠FEB∴△∴∠BFE=∠又∵∠BFE=∠3∴∠∴CQ=∴CP=（3）∵△APF∴AP=又BF=∴AB=即AB=∵AB=12，AC=8，∴12=8+2AP∴PA=2【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．24．（2022春·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：如圖，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中線，點(diǎn)E在CD上，且∠AED=∠B．求證：AE=BC．【答案】見解析【分析】先通過延長CD到F使DF=CD，連接AF，構(gòu)造出△BCD的全等三角形△AFD，由全等三角形性質(zhì)可得∠F=∠BCD，BC=AF，又根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到CD=BD，∠B=∠BCD，由等量代換和等角對(duì)等邊就可推出AE=BC．【詳解】證明：延長CD到F使DF=CD，連接AF，如圖∵CD是△ABC的中線，∴AD=BD，在△ADF與△BCD中，AD=BD∠ADF=∠BDC∴△ADF≌△BDC（SAS），∴∠F=∠BCD，BC=AF，∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，又∵∠AED=∠B∴∠AED=∠BCD，∵△ADF≌△BDC，∴∠F=∠BCD，∴∠AED=∠F，∴AE=AF，∵BC=AF，∴AE=BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，能正確構(gòu)造出全等三角形是做出本題的重點(diǎn)．七、截長補(bǔ)短模型25．（2023秋·廣西南寧·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，在△ABC中，∠B=60°，D、E分別為AB、BC上的點(diǎn)，且AE、CD交于點(diǎn)F．若AE、CD為△ABC的角平分線．(1)求∠AFC的度數(shù)；(2)若AD=6，CE=4，求AC的長．【答案】(1)120°(2)10【分析】（1）由題意∠BAC+∠BCA=120°，根據(jù)∠AFC=180?∠FAC?∠FCA=180?1（2）在AC上截取AG=AD=6，連接FG．只要證明△ADF?△AGF(SAS)，推出∠AFD=∠AFG=60°，∠GFC=∠CFE=60°，再證明△CGF?△CEF(ASA)，推出【詳解】（1）解：∵AE、CD分別為ΔABC∴∠FAC=12∠BAC∵∠B=60°∴∠BAC+∠BCA=120°，∴∠AFC=180?∠FAC?∠FCA=180°?1（2）解：在AC上截取AG=AD=6，連接FG．∵AE、CD分別為△ABC的角平分線∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE，∵∠AFC=120°，∴∠AFD=∠CFE=60°，在△ADF和△AGF中，AD=AG∠DAF=GAF∴△ADF?△AGF(SAS∴∠AFD=∠AFG=60°，∴∠GFC=∠CFE=60°，在△CGF和△CEF中，∠GFC=∠EFCCF=CF∴△CGF?△CEF(ASA∴CG=CE=4，∴AC=AG+GC=10．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．26．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）如圖，已知△ABC為等邊三角形，D為直線BC上一點(diǎn)，ED＝EC，求證：AE＋AC＝CD．【答案】見解析【分析】過點(diǎn)E作EF//BC，交AC于F，先利用AAS證明△EBD≌△CFE，由此可得BD=EF，而易得△ABC與△AEF都為等邊三角形，故BD=EF=AE，AC=BC，代入【詳解】證明：過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于F，如圖所示：則∠FEC＝∠ECD，△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF＝EF，∠AFE＝60°，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD＝∠FEC，∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠AFE＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，在△EBD和△CFE中，∠DBE=∠EFC∠D=∠FEC∴△EBD≌△CFE（AAS），∴BD＝EF＝AE，∵CD＝BD+BC，∴CD＝AE+AC．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與定理，并找到正確的輔助線作法是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋·重慶江北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等邊ΔABC的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)D為ΔABC外一點(diǎn)，且∠MDN=60°(1)如圖1，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，∠BDN=90°，BM=3，求(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，∠BDN≠90°．試猜想BM，CN，【答案】(1)3(2)CN+BM=MN，證明見解析【分析】（1）由題目所給條件，可證得ΔMBD?ΔNCD(ASA)，則BM（2）延長AB至點(diǎn)P，使得BP=CN，連接PD，則可證得ΔPBD?ΔNCD(SAS)，由全等三角形性質(zhì)得DP=DN，∠BDP=∠CDN，可推導(dǎo)得∠MDP=∠MDN，可證得MP=MN，即CN+BM（1）由題意知∠BDN=90°，∠MDN=故∠BMD=∠BDN?∠MDN=∠CDN=∠BDC?∠BDN=∴∠BMD=∠CDN由∵BD=CD∴∠CBD=∠DCB又∵ΔABC∴∠ABC=∠ACB∴∠ABC+∠CBD=∠ACB+∠DCB即∠ABD=∠ACD在ΔMBD和Δ{∴Δ∴BM=CN=3（2）如圖所示，延長AB至點(diǎn)P，使得BP=CN，連接PD在ΔPBD和Δ{∴Δ∴DP=DN，∠BDP=∠CDN∵∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDP=60°即∠MDP=60°∴∠MDP=∠MDN在ΔPMD和Δ{∴Δ∴MP=MN∴CN+BM=MN【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判斷及性質(zhì)，全等三角形的判定方法的合理選擇從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)元素（其中至少一個(gè)元素是邊）對(duì)應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊角迅速、準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)充的邊角，有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個(gè)三角形全等的思路．“截長法”和“補(bǔ)短法”是證明線段和差關(guān)系的重要方法.無論用哪一種方法都是要將證明線段的和差關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題，而添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是通向結(jié)論的橋梁．28．（2020秋·湖北黃石·八年級(jí)黃石八中?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠BDC=∠BAC，AM⊥CD于M，求證：BD+DM=CM．【答案】見解析.【分析】設(shè)AB、CD交于點(diǎn)O，在CM上截取CE=BD，連接AE、AD，先由三角形內(nèi)角和定理證明∠ABD=∠ACD，再證明△ABD≌△ACE得出AD=AE，由等腰三角形的性質(zhì)得出DM=EM，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，設(shè)AB、CD交于點(diǎn)O，在CM上截取CE=BD，連接AE、AD，∵∠BDC=∠BAC，∠BOD=∠AOC，∴∠ABD=∠ACD；在△ABD和△ACE中，AB=AC∠ABD＝∠ACE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∵AM⊥CD，∴DM=EM，∴BD+DM=CE+EM=CM．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識(shí),利用截長補(bǔ)短法作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．八、平行線+中線模型29．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交BC于點(diǎn)M．求讓：MD=ME【答案】見詳解【分析】過點(diǎn)D作DE∥AC，交BC于點(diǎn)E，根據(jù)等邊三角形和平行線的性質(zhì)得∠MDE=∠MEC，DE=CE，從而證明?EMD??CME，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】過點(diǎn)D作DE∥AC，交BC于點(diǎn)E，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AC，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，∴△BDE是等邊三角形，∴BD=DE，∵BD=CE，∴DE=CE，又∵∠EMD=∠CME，∴?EMD??CME，∴MD=ME．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，是解題的關(guān)鍵．30．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）DE＝3．【分析】（1）過點(diǎn)P作PF∥BC交AC于點(diǎn)F；證出△APF也是等邊三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS證明△PDF≌△QDC，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；（2）過P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS證明△PFD≌△QCD，得出對(duì)應(yīng)邊相等FD=CD，證出AE+CD=DE=12【詳解】（1）如圖1所示，點(diǎn)P作PF∥BC交AC于點(diǎn)F．∵△ABC是等邊三角形，∴△APF也是等邊三角形，AP=PF=AF=CQ．∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．在△PDF和△QDC中，∠PDF=∠QDC∠DFP=∠QCD∴△PDF≌△QDC（AAS），∴PD=DQ；（2）如圖2所示，過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，∠PDF=∠QDC∠DFP=∠QCD∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=12∵AC=6，∴DE=3．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定（AAS）與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定（AAS）與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．31．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求證：DP=DQ；