人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難考點(diǎn)專題04因式分解(知識(shí)串講+13大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題04因式分解考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）因式分解的定義（1）因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．（2）因式分解的定義注意事項(xiàng)：①分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；②因式分解必須是恒等變形；③因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止．④因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．（二）因式分解的方法（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；【提公因式法的注意事項(xiàng)】①定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。②定字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母。③定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè)，即字母最低次冪。④查結(jié)果：最后檢查核實(shí)，應(yīng)保證含有多項(xiàng)式的因式中再無(wú)公因式。（2）公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過(guò)來(lái)使用；平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2（3）十字相乘：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)（三）因式分解的步驟：一提、二套、三查（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式（3）分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：判斷是否是因式分解典例1：（2023春·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式從左到右的變形，因式分解的是（

）m2?2mn+n2C．a(chǎn)b+ac+1=ab+c+1【變式1】（2023春·陜西西安·八年級(jí)交大附中分校校考期末）下列各等式中，從左到右的變形是因式分解的是（

）A．12=2×2×3 B．xC．ma+mb÷m=a+b D．【變式2】（2023春·廣西崇左·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式中，由左向右的變形是因式分解的是（

）A．x2?2x+1=xx?2+1C．x+3x+7=x【變式3】（2023春·浙江嘉興·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列代數(shù)式變形中，是正確的因式分解的是（

）A．12a(b?2)=1C．x2+y考點(diǎn)2：利用因式分解求字母典例2：（2023春·浙江麗水·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若x2+px?3=x?1x+3，則常數(shù)A．2 B．?2 C．4 D．?4【變式1】（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）已知多項(xiàng)式ax2+bx+c分解因式得x?3x+2，則a，A．1，?1，6 B．1，1，?6 C．1，?1，?6 D．1，1，6【變式2】（2023春·安徽阜陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果把二次三項(xiàng)式x2+2x+m進(jìn)行因式分解，可以得到x?2x+n，那么常數(shù)mA．4 B．?4 C．8 D．?8【變式3】（2023春·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若x2?ax?1可以因式分解為x?2x+b，則a+bA．2 B．?2 C．1 D．?1考點(diǎn)3：找公因式典例3：（2023春·廣西來(lái)賓·七年級(jí)統(tǒng)考期末）多項(xiàng)式x2y3A．xy B．xy2 C．xyz 【變式1】（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)?？计谥校┒囗?xiàng)式6aA．8abc B．2abc C．6a2b【變式2】（2023春·江蘇南京·七年級(jí)南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）把多項(xiàng)式6a2b?3aA．a(chǎn)b B．3a2b C．3a【變式3】（2023·河南濮陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組代數(shù)式?jīng)]有公因式的是（

）A．5a?5b和5a+5b B．a(chǎn)x+y和x+ayC．a(chǎn)2+2ab+b2和2a+2b 考點(diǎn)4：提公因式分解因式典例4：（2023春·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各多項(xiàng)式中，可以運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解的是（

）A．2n?5 B．a(chǎn)b+ac C．x2?4 【變式1】（2023春·湖南永州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）多項(xiàng)式8a3bA．8a3b2 B．?4a2【變式2】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知xy=8，x+y=6，則x2y+xyA．14 B．48 C．64 D．36【變式3】（2022秋·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）用提公因式法分解因式正確的是（

）A．12abc?9a2bC．?a2+ab?ac=?a(a?b+c)考點(diǎn)5：判斷是否是公式法分解因式典例5：（2022秋·上海青浦·七年級(jí)校考期中）下列多項(xiàng)式中可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（

）A．x2+x+1 B．x2?2x?1 C．【變式1】（2023春·北京東城·七年級(jí)北京市文匯中學(xué)?？计谀┫铝懈魇讲荒苡闷椒讲罟椒ǚ纸庖蚴降氖牵?/p>

）A．x2?4 B．?x2?y【變式2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）下列多項(xiàng)式，能用公式法分解因式的有（）個(gè)．①3x2+3y2

②?x2+y2

③A．2 B．3 C．4 D．5【變式3】（2023春·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（）A．?x2+4x+4 B．x2+4 考點(diǎn)6：分解因式——平方差公式典例6：（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谥校┫铝卸囗?xiàng)式中，能用平方差公式因式分解的是（

）A．a(chǎn)2+?b2 B．?x2【變式1】（2023·安徽·校聯(lián)考三模）將多項(xiàng)式1?4x2因式分解，正確的是（A．(2x+1)(2x?1) B．(1?2x)(1+2x) C．(1+2x)(2x?1) D．(1+4x)(1?4x)【變式2】（2023春·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果中不含因式x?2的是（

）A．x2?2x B．x2?4 C．【變式3】（2023春·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列多項(xiàng)式中，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（

）A．m2?4 B．?m2?4 考點(diǎn)7：分解因式——完全平方公式典例7：（2023·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列多項(xiàng)式能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（

）A．x2?4x?4 B．4x2?4x+1 【變式1】（2023·安徽安慶·校聯(lián)考一模）下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（

）A．4x2?6xy+9y2 B．4a【變式2】（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（

）A．x2?4x+1 B．x2+6x+9 C．【變式3】（2023·上海·七年級(jí)假期作業(yè)）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（

）x+yy?x?4xy B．C．4m2?m+1考點(diǎn)8：分解因式——公式法綜合典例8：（2023·廣東梅州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）把a(bǔ)2+12A．a(chǎn)2+1?4a2C．a(chǎn)+12a?12【變式1】（2022秋·天津東麗·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列分解因式正確的是（

）A．ma+mb=ma+b B．C．a(chǎn)2?2ab+2b【變式2】（2021秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列各式用公式法分解因式正確的是（

）A．?4x2?9=?(2x+3)(2x?3)C．x2?2xz?z【變式3】（2021春·安徽蚌埠·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列因式分解正確的是（

）A．x2﹣9＝（x﹣3）2B．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1C．4y2﹣8y＋4＝（2y﹣2）2D．x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝（x﹣2）（x＋1）考點(diǎn)9：分解因式——綜合法典例9：（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期末）下列各式從左邊到右邊的變形，是因式分解且分解正確的是（

）A．a(chǎn)2?2a?3=a?1C．a(chǎn)+2a?2=a【變式1】（2023·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列因式分解正確的是（

）A．?2a2+4a=?2aC．2x2+3【變式2】（2023春·山東濰坊·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列因式分解錯(cuò)誤的是（

）A．3ax2?6ax=3(aC．xx?y+yy?x【變式3】（2023春·浙江麗水·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列因式分解正確的是（

）A．2x3y?xC．x2?x?5=xx?1考點(diǎn)10：因式分解與簡(jiǎn)便運(yùn)算典例10：（2023春·湖南·七年級(jí)期末）計(jì)算1?122A．512 B．12 C．712【變式1】（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）計(jì)算：1252-50×125+252=(

)A．100 B．150 C．10000 D．22500【變式2】（2021秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知20102021?20102019=A．2018 B．2019 C．2020 D．2021．【變式3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算?22022+?2A．－2 B．2 C．－22021 D．考點(diǎn)11：分解因式——十字相乘法典例11：（2023春·山西大同·九年級(jí)校聯(lián)考期中）若多項(xiàng)式x2?ax+12可分解為x?3x+bA．?11 B．?3 C．3 D．7【變式1】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）甲、乙兩人在因式分解x2+ax+b時(shí)，甲看錯(cuò)了a的值，分解的結(jié)果是x+6x?2，乙看錯(cuò)了b的值，分解的結(jié)果為x?8x+4，那么A．?8 B．?6 C．?4 【變式2】（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）將多項(xiàng)式x2A．x+3x?4 B．C．x+6x?2 D．【變式3】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）多項(xiàng)式x2A．x?1x+18 B．C．x?3x+6 D．考點(diǎn)12：分解因式——分組分解法典例12：（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）把多項(xiàng)式x2?yA．(x+y?3)(x?y?3) B．(x+y?1)(x?y+3)C．(x+y?3)(x?y+1) D．(x+y+1)(x?y?3)【變式1】（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）已知x3?12x+16有一個(gè)因式x+4，把它分解因式后的結(jié)果是（A．x+4x?22 C．x+4x+22 【變式2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）用分組分解法將x2A．x2?2x+C．x2+2y+【變式3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）用分組分解a2A．a(chǎn)2?bC．a(chǎn)2?b考點(diǎn)13：因式分解的應(yīng)用典例13：（2023春·廣西桂林·七年級(jí)統(tǒng)考期中）小強(qiáng)是一位密碼編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息a?b，x?y，x+y，a+b，x2?y2，a2A．我愛(ài)美 B．龍勝游 C．愛(ài)我龍勝 D．美我龍勝【變式1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）已知a、b、c是△ABC三條邊的長(zhǎng)，且滿足條件a2+2b2+A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式2】（2023春·安徽宿州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，X2?16Y2=16，X+4Y=A．64 B．32316 C．32 D．【變式3】（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，則多項(xiàng)式a2+bA．0 B．1 C．2 D．3同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2023春·浙江·七年級(jí)期末）下列等式從左到右的變形屬于因式分解的是（

）A．(x+2)(x?2)=x2?4C．x2?32．（2023·重慶渝北·八年級(jí)重慶市渝北中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列因式分解正確的是（）A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．a(chǎn)x2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）3．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列從左到右的變形是因式分解的是（）A．x?1x?2=1?xC．a(chǎn)x?3+b3?x4．（2022秋·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)衡陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是(

)A．a(chǎn)+2a?2=aC．x2?9=x?35．（2023春·湖南常德·七年級(jí)常德市淮陽(yáng)中學(xué)校考期中）小南是一位密碼編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：中，愛(ài)，我，數(shù)，學(xué)，五，現(xiàn)將3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．我愛(ài)學(xué) B．愛(ài)五中 C．我愛(ài)五中 D．五中數(shù)學(xué)6．（2023春·浙江·七年級(jí)期末）若實(shí)數(shù)a，b滿足方程組ab+a?b=85a?5b+ab=20，則a2b?aA．20 B．15 C．?15 D．107．（2023·廣東中山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列變形中屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．8．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），則b+c的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．29．（2022秋·重慶九龍坡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中，從左到右變形是因式分解的是（）A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2 B．9﹣x2＝（3+x）（3﹣x）C．x2+6x+4＝（x+2）2+2x D．x2﹣8＝（x+4）（x﹣4）10．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）下列因式分解中，正確的是（

）①x2y?2xy2+xy=xyx?2yA．①② B．①③ C．②③ D．②④11．（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足(a2?A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形12．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）分解因式a3?4a的結(jié)果正確的是（A．a(chǎn)a2?4 B．a(chǎn)a?2a+2 13．（2022秋·山東東營(yíng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是（）A．（a－3）（a＋3）＝a2－9 B．x2＋x－5＝（x－2）（x＋3）＋1C．x2＋1＝x（x＋1x） D．a(chǎn)2b＋ab2＝ab（a＋b14．（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（）A．a(chǎn)b+ac+d＝a（b+c）+d B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4C．6ab＝2a?3b D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）215．（2023春·河北保定·八年級(jí)校考期中）小強(qiáng)是一位密碼編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息：a?b，x?y，x+y，a+b，x2?y2，a2A．我愛(ài)美 B．保師好 C．愛(ài)我保師 D．美我保師二、填空題16．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）分解因式：x2﹣2xy+y2＝．17．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）因式分解：a2b?a18．（2023春·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知xy＝﹣1，x+y＝2，則12x3y+x2y2+12xy3＝19．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）分解因式：x2?2x?220．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）寫出下列各式分解因式時(shí)應(yīng)提取的公因式：(1)ax-ay應(yīng)提取的公因式是；(2)3mx-6nx2應(yīng)提取的公因式是；(3)-x2+xy-xz應(yīng)提取的公因式是.21．（2023春·四川成都·七年級(jí)校聯(lián)考期中）多項(xiàng)式2x4?3x3+ax22．（2023·上海·七年級(jí)假期作業(yè)）因式分解：x2?5x?24=23．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）將4a3?a24．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）因式分解mx225．（2023·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若x2+ax+4=x?22三、解答題26．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：任意兩個(gè)數(shù)a，b，按規(guī)則c=ab?a+b得到一個(gè)新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為數(shù)a（1）若a=?1，b=2，求a，b的“傳承數(shù)”c；（2）若a=1，b=x2，且x2+3x+1=0，求a，（3）若a=2n+1，b=n?1，且a，b的“傳承數(shù)”c值為一個(gè)整數(shù)，則整數(shù)n的值是多少？27．（2023·福建福州·八年級(jí)福建省福州屏東中學(xué)?？计谥校┌严铝懈魇揭蚴椒纸猓?）3（2）x28．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）發(fā)現(xiàn)與探索：如圖，根據(jù)小軍的方法，將下列各式因式分解：（1）a2+5a+6；（2）a2+2ab﹣3b2．小麗發(fā)現(xiàn)通過(guò)用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體體積，就可以得到一個(gè)恒等式．如圖是邊長(zhǎng)為（a+b）的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．（3）用不同的方法計(jì)算這個(gè)正方體的體積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式為：；（4）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的規(guī)律求a3+b3的值．29．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）①已知a＝12，mn＝2，求a2?（am）n②若2n?4n＝64，求n的值．30．（2023·福建龍巖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴n=4，m=4．∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大邊c的值．31．（2023·上海嘉定·七年級(jí)統(tǒng)考期中）因式分解：(1)a(2)a32．（2023·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，水壓機(jī)有四根空心鋼立柱，每根高都是18m，外徑D為1m，內(nèi)徑d為0.4m．每立方米鋼的質(zhì)量為7.833．（2023·八年級(jí)重慶市巴川中學(xué)校校考期中）如果一個(gè)正整數(shù)能表示成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”，如：4=22?02（1）分別判斷36和54這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n和2n－2（其中n取正整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）小于101的所有神秘?cái)?shù)共有______個(gè)．34．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：利用完全平方公式，可以將多項(xiàng)式ax2+bx+ca≠0變形為運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式．例如：x===根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：（1）用多項(xiàng)式的配方法將x2+8x?1化成（2）利用上面閱讀材料的方法，把多項(xiàng)式x2（3）求證：x，y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x235．（2023春·福建·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知ab=3???,???

專題04因式分解考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）因式分解的定義（1）因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．（2）因式分解的定義注意事項(xiàng)：①分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；②因式分解必須是恒等變形；③因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止．④因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．（二）因式分解的方法（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；【提公因式法的注意事項(xiàng)】①定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。②定字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母。③定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè)，即字母最低次冪。④查結(jié)果：最后檢查核實(shí)，應(yīng)保證含有多項(xiàng)式的因式中再無(wú)公因式。（2）公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過(guò)來(lái)使用；平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2（3）十字相乘：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)（三）因式分解的步驟：一提、二套、三查（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式（3）分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止?？键c(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：判斷是否是因式分解典例1：（2023春·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式從左到右的變形，因式分解的是（

）m2?2mn+n2C．a(chǎn)b+ac+1=ab+c+1【答案】A【分析】根據(jù)因式分解的定義即可進(jìn)行解答．【詳解】解：A、m2B、x?2x+2C、ab+ac+1=ab+cD、2x故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的定義，解題的關(guān)鍵是掌握把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解．【變式1】（2023春·陜西西安·八年級(jí)交大附中分校?？计谀┫铝懈鞯仁街校瑥淖蟮接业淖冃问且蚴椒纸獾氖牵?/p>

）A．12=2×2×3 B．xC．ma+mb÷m=a+b D．【答案】D【分析】直接根據(jù)因式分解的定義判斷即可．【詳解】解：A．12=2×2×3，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B．xx?2C．(ma+mb)÷m=a+b，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；D．a(chǎn)2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解。因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法。因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．【變式2】（2023春·廣西崇左·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式中，由左向右的變形是因式分解的是（

）A．x2?2x+1=xx?2+1C．x+3x+7=x【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可【詳解】解：A．x2B．9xC．x+3x+7D．x+2y2故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，熟練掌握因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·浙江嘉興·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列代數(shù)式變形中，是正確的因式分解的是（

）A．12a(b?2)=1C．x2+y【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義，以及提公因式，公式法因式分解逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】A.12B.3x?6y+3=3(x?2y+1)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.x2+D.x2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的定義以及因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：利用因式分解求字母典例2：（2023春·浙江麗水·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若x2+px?3=x?1x+3，則常數(shù)A．2 B．?2 C．4 D．?4【答案】A【分析】將等式右邊利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則展開，再使等式左右兩邊x的一次項(xiàng)系數(shù)相等即可求解．【詳解】解：∵x2∴x2∴p=2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查已知因式分解結(jié)果求參數(shù)、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）已知多項(xiàng)式ax2+bx+c分解因式得x?3x+2，則a，A．1，?1，6 B．1，1，?6 C．1，?1，?6 D．1，1，6【答案】C【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則將x?3x+2展開，分別對(duì)應(yīng)a【詳解】解：x?3x+2∵多項(xiàng)式ax2+bx+c∴a=1,b=?1,c=?6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，也可根據(jù)十字相乘法因式分解得c=?3×2=?6,b=?3+2=?1,a=1×1=1進(jìn)行求解．【變式2】（2023春·安徽阜陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果把二次三項(xiàng)式x2+2x+m進(jìn)行因式分解，可以得到x?2x+n，那么常數(shù)mA．4 B．?4 C．8 D．?8【答案】D【分析】將x?2x+n展開，根據(jù)因式分解得到x2+2x+m=【詳解】解：x?2x+n∵x2∴x2∴n?2=2m=?2n，解得：n=4故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是將多項(xiàng)式正確展開．【變式3】（2023春·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若x2?ax?1可以因式分解為x?2x+b，則a+bA．2 B．?2 C．1 D．?1【答案】A【分析】直接利用多項(xiàng)式乘法將原式變形進(jìn)而計(jì)算得出答案．【詳解】解：∵二次三項(xiàng)式x2?ax?1可分解為∴x2則?2b=?1，b?2=?a，解得：b=12，∴a+b=1故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了因式分解的定義和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算，正確將原式變形是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：找公因式典例3：（2023春·廣西來(lái)賓·七年級(jí)統(tǒng)考期末）多項(xiàng)式x2y3A．xy B．xy2 C．xyz 【答案】A【分析】根據(jù)公因式的定義，分別找出系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母的最低指數(shù)冪即可求解．【詳解】解：多項(xiàng)式x2y3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查公因式的確定，熟練掌握公因式的確定方法是解答的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)校考期中）多項(xiàng)式6aA．8abc B．2abc C．6a2b【答案】B【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的公因式定義，多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的公共的因式是公因式即可得出答案．【詳解】多項(xiàng)式6a2bc?8a故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式的公因式問(wèn)題，掌握多項(xiàng)式的公因式定義是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023春·江蘇南京·七年級(jí)南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）把多項(xiàng)式6a2b?3aA．a(chǎn)b B．3a2b C．3a【答案】D【分析】根據(jù)找公因式的方法：系數(shù)取最大公約數(shù)，相同字母取最低次冪，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：6a故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解、找公因式的方法，熟練掌握確定公因式的方法是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·河南濮陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組代數(shù)式?jīng)]有公因式的是（

）A．5a?5b和5a+5b B．a(chǎn)x+y和x+ayC．a(chǎn)2+2ab+b2和2a+2b 【答案】B【分析】此題可對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形，然后可以看出是否有公因式．【詳解】解：A、5a?5b=5(a?b)，5a+5b=5a+b，所以5a?5b和5a+5b有因式5B、ax+y與x+ay沒(méi)有公因式，故本選項(xiàng)符合題意；C、a2+2ab+b2=a+b2，aD、a2?ab=aa?b，a2?b2故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的含義、平方差公式以及完全平方公式因式分解，熟記公因式的概念是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：提公因式分解因式典例4：（2023春·福建漳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各多項(xiàng)式中，可以運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解的是（

）A．2n?5 B．a(chǎn)b+ac C．x2?4 【答案】B【分析】找出選項(xiàng)中有公因式的選項(xiàng)即可．【詳解】解：A.2n?5中各項(xiàng)沒(méi)有公因式，不可以運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B.ab+ac，能用提公因式法進(jìn)行因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；C.x2D.x2故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解-提取因式法，找出多項(xiàng)式的公因式是解本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·湖南永州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）多項(xiàng)式8a3bA．8a3b2 B．?4a2【答案】C【分析】根據(jù)當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的，進(jìn)而得出公因式．【詳解】8即多項(xiàng)式8a3b故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知xy=8，x+y=6，則x2y+xyA．14 B．48 C．64 D．36【答案】B【分析】將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵xy=8，x+y=6，∴x2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，提取公因式法，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）用提公因式法分解因式正確的是（

）A．12abc?9a2bC．?a2+ab?ac=?a(a?b+c)【答案】C【分析】此題通過(guò)提取公因式可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，排除錯(cuò)誤的答案．【詳解】解：A、12abc-9a2b2c2=3abc（4-3abc），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、-a2+ab-ac=-a（a-b+c），正確；D、x2y+5xy-y=y（x2+5x-1），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查提取公因式的方法，通過(guò)得出結(jié)論推翻選項(xiàng)．考點(diǎn)5：判斷是否是公式法分解因式典例5：（2022秋·上海青浦·七年級(jí)?？计谥校┫铝卸囗?xiàng)式中可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（

）A．x2+x+1 B．x2?2x?1 C．【答案】D【分析】能用完全平方公式分解的式子的特點(diǎn)是：三項(xiàng)；兩項(xiàng)平方項(xiàng)的符號(hào)需相同；有一項(xiàng)是兩平方項(xiàng)底數(shù)積的2倍，據(jù)此逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A．x2B．x2C．x2D．x2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握a2【變式1】（2023春·北京東城·七年級(jí)北京市文匯中學(xué)校考期末）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（

）A．x2?4 B．?x2?y【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式法a2【詳解】A：x2?4B：?x2?C：m2n2D：a2?4b故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查公式法因式分解，熟練掌握平方差公式a2【變式2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）下列多項(xiàng)式，能用公式法分解因式的有（）個(gè)．①3x2+3y2

②?x2+y2

③A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式a±b2=a【詳解】解：①3x②?x③?x④x2⑤x2⑥?x故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（）A．?x2+4x+4 B．x2+4 【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式以及平方差公式的特征，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：A.?x2B.x2+4C.x2?2x+1=D.4x2?4x+4故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法因式分解，熟練掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6：分解因式——平方差公式典例6：（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考期中）下列多項(xiàng)式中，能用平方差公式因式分解的是（

）A．a(chǎn)2+?b2 B．?x2【答案】C【分析】根據(jù)能夠運(yùn)用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號(hào)相反．【詳解】解：A、a2B、?xC、?mD、3x故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式分解因式，關(guān)鍵是正確把握平方差公式的特點(diǎn)：a2【變式1】（2023·安徽·校聯(lián)考三模）將多項(xiàng)式1?4x2因式分解，正確的是（A．(2x+1)(2x?1) B．(1?2x)(1+2x) C．(1+2x)(2x?1) D．(1+4x)(1?4x)【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行分解因式即可求解．【詳解】解：1?4=(1?2x)(1+2x)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查因數(shù)分解，掌握公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果中不含因式x?2的是（

）A．x2?2x B．x2?4 C．【答案】D【分析】分別利用公式法以及提取公因式分解因式進(jìn)而判斷得出答案．【詳解】解：A、x2?2x=x(x?2)，含有因式B、x2?4=(x+2)(x?2)，含有因式C、x2?4x+4=(x?2)D、x2+4x+4=(x+2)故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正確運(yùn)用公式是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023春·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列多項(xiàng)式中，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（

）A．m2?4 B．?m2?4 【答案】A【分析】根據(jù)平方差公式a2【詳解】解：∵m2?4=m?2故A項(xiàng)符合題意；∵?m故B項(xiàng)不符合題意；∵m2故C項(xiàng)不符合題意；∵m2故D項(xiàng)不符合題意；故選:A．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式a2考點(diǎn)7：分解因式——完全平方公式典例7：（2023·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列多項(xiàng)式能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是（

）A．x2?4x?4 B．4x2?4x+1 【答案】B【分析】利用完全平方公式：a2【詳解】解：A、x2B、4xC、4xD、x2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查用完全平方公式進(jìn)行因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式．【變式1】（2023·安徽安慶·校聯(lián)考一模）下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（

）A．4x2?6xy+9y2 B．4a【答案】D【分析】根據(jù)完全平方公式逐一判斷即可．【詳解】解：A、4xB、4aC、x2D、4m故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式a2【變式2】（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（

）A．x2?4x+1 B．x2+6x+9 C．【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式和因式分解的定義逐項(xiàng)進(jìn)行分析判斷，即可得出答案．【詳解】解：A.x2B.x2C.x2D.x2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和因式分解的定義，熟練掌握完全平方公式和因式分解的定義的是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·上海·七年級(jí)假期作業(yè)）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（

）x+yy?x?4xy B．C．4m2?m+1【答案】D【分析】根據(jù)完全平方公式a2【詳解】解：A、x+y=?=?=?xB、a=≠a?2b2=C、4=≠2m?D、a?b===a?b?1故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)完全平方公式的理解及運(yùn)用，熟記公式法因式分解的常見(jiàn)公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．考點(diǎn)8：分解因式——公式法綜合典例8：（2023·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把a(bǔ)2+12A．a(chǎn)2+1?4a2C．a(chǎn)+12a?12【答案】C【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.【詳解】解：a2故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵.【變式1】（2022秋·天津東麗·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列分解因式正確的是（

）A．ma+mb=ma+b B．C．a(chǎn)2?2ab+2b【答案】A【分析】因式分解是將一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)整式的乘積形式，且每一個(gè)整式不能再分解．根據(jù)提公因式法、公式法分解因式，即可獲得答案．【詳解】解：A.ma+mb=ma+bB.8mC.a2D.x2故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的知識(shí)，熟練掌握因式分解的常用方法是解題關(guān)鍵．【變式2】（2021秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列各式用公式法分解因式正確的是（

）A．?4x2?9=?(2x+3)(2x?3)C．x2?2xz?z【答案】B【分析】分別利用平方差公式與完全平方公式分解因式進(jìn)而得出答案．【詳解】A.?4x2B.4mn?4mC.x2?2xz?D.9a故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用平方差公式與完全平方公式是解題關(guān)鍵．【變式3】（2021春·安徽蚌埠·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列因式分解正確的是（

）A．x2﹣9＝（x﹣3）2B．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1C．4y2﹣8y＋4＝（2y﹣2）2D．x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝（x﹣2）（x＋1）【答案】D【分析】各式分解得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：A、原式＝（x＋3）（x﹣3），錯(cuò)誤；B、原式不能分解，錯(cuò)誤；C、原式＝4（y2﹣2y＋1）＝4（y﹣1）2，錯(cuò)誤；D、原式＝x（x﹣2）＋（x﹣2）＝（x﹣2）（x＋1），正確．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)9：分解因式——綜合法典例9：（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期末）下列各式從左邊到右邊的變形，是因式分解且分解正確的是（

）A．a(chǎn)2?2a?3=a?1C．a(chǎn)+2a?2=a【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的定義和方法逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、a2B、a2C、a+2a?2D、x3故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握其定義和因式分解的常用方法是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列因式分解正確的是（

）A．?2a2+4a=?2aC．2x2+3【答案】B【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式進(jìn)而得出答案．【詳解】解：A、?2aB、3axC、2xD、m2故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023春·山東濰坊·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列因式分解錯(cuò)誤的是（

）A．3ax2?6ax=3(aC．xx?y+yy?x【答案】A【分析】利用提公因式法、公式法逐個(gè)分解每個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)分解結(jié)果得結(jié)論．【詳解】解：A．3ax∵ax2?2axB．2xC．x(x?y)+y(y?x)=x(x?y)?y(x?y)=(x?y)(x?y)=(x?y)D．?ax故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·浙江麗水·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列因式分解正確的是（

）A．2x3y?xC．x2?x?5=xx?1【答案】D【分析】根據(jù)提公因式法，公式法進(jìn)行因式分解即可求解．【詳解】解：A選項(xiàng)，2x3y?xB選項(xiàng)，?xy2+2xy?y=?yC選項(xiàng)，x2?x?5=xx?1D選項(xiàng)，2x2?8x+8=2(故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，掌握提公因式法，公式法進(jìn)行因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)10：因式分解與簡(jiǎn)便運(yùn)算典例10：（2023春·湖南·七年級(jí)期末）計(jì)算1?122A．512 B．12 C．712【答案】C【分析】原式各括號(hào)利用平方差公式變形，約分即可得到結(jié)果．【詳解】原式=1?=1=1=7故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平方差公式，掌握運(yùn)算法則和平方差公式是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）計(jì)算：1252-50×125+252=(

)A．100 B．150 C．10000 D．22500【答案】C【詳解】試題分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000．故選C．點(diǎn)睛：本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟記完全平方公式的特點(diǎn)是解決此題的關(guān)鍵．【變式2】（2021秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知20102021?20102019=A．2018 B．2019 C．2020 D．2021．【答案】B【分析】將20102021?2010【詳解】解：2010=∴2010∴x=2019故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正確的掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算?22022+?2A．－2 B．2 C．－22021 D．【答案】D【分析】直接找出公因式進(jìn)而提取公因式再計(jì)算即可．【詳解】解：(-2)2022+(-2)2021=(-2)2021×(-2+1)=?=2故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，正確找出公因式、提取公因式是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)11：分解因式——十字相乘法典例11：（2023春·山西大同·九年級(jí)校聯(lián)考期中）若多項(xiàng)式x2?ax+12可分解為x?3x+bA．?11 B．?3 C．3 D．7【答案】C【分析】根據(jù)十字相乘法的分解方法和特點(diǎn)可知：?a=?3+b，12=?3b．【詳解】解：∵多項(xiàng)式x2?ax+12可分解為∴：?a=?3+b，12=?3b．∴b=?4，a=7．∴a+b=?4+7=3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查十字相乘法分解因式，對(duì)常數(shù)項(xiàng)的不同分解是解本題的關(guān)鍵【變式1】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）甲、乙兩人在因式分解x2+ax+b時(shí)，甲看錯(cuò)了a的值，分解的結(jié)果是x+6x?2，乙看錯(cuò)了b的值，分解的結(jié)果為x?8x+4，那么A．?8 B．?6 C．?4 【答案】A【分析】根據(jù)甲分解的結(jié)果求出b，根據(jù)乙分解的結(jié)果求出a，然后代入b?a求解即可．【詳解】解：∵x+6x?2∴b=?12，又∵x?8x+4∴a=?4，∴b?a=?12??4故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定義是正確解答的前提．【變式2】（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）將多項(xiàng)式x2A．x+3x?4 B．C．x+6x?2 D．【答案】C【分析】二次項(xiàng)系數(shù)看成1×1，常數(shù)項(xiàng)看成6×?2【詳解】解：x=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了用十字相乘法分解因式，正確理解因式分解的定義，注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）多項(xiàng)式x2A．x?1x+18 B．C．x?3x+6 D．【答案】D【詳解】將原式利用十字相乘法分解因式即可．【分析】解：用十字相乘法可得x2故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)12：分解因式——分組分解法典例12：（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）把多項(xiàng)式x2?yA．(x+y?3)(x?y?3) B．(x+y?1)(x?y+3)C．(x+y?3)(x?y+1) D．(x+y+1)(x?y?3)【答案】D【分析】根據(jù)分組分解法及平方差公式，即可判定．【詳解】解：x====(x+y+1)(x?y?3)故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分解因式的方法，熟練掌握和運(yùn)用分解因式的方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）已知x3?12x+16有一個(gè)因式x+4，把它分解因式后的結(jié)果是（A．x+4x?22 C．x+4x+22 【答案】A【分析】根據(jù)已知可以得x3【詳解】解：設(shè)x3∵x+4x∴a+4=0,4+4a=?12，解得a=?4，∴x3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是整式乘法和因式分解，這里掌握它們互為逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）用分組分解法將x2A．x2?2x+C．x2+2y+【答案】C【分析】利用分組分解法，結(jié)合提公因式法，對(duì)選項(xiàng)一一進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】解：A．x==x=x?2B．x===x=x?yC．x2?xy+2y?2xD．x==x=x?2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法、提公因式法分解因式，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的分解因式的方法．【變式3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）用分組分解a2A．a(chǎn)2?bC．a(chǎn)2?b【答案】D【分析】把二、三、四項(xiàng)作為一組，第一項(xiàng)作為一組，然后根據(jù)完全平方公式和平方差公式分解即可．【詳解】解：a===a+b?c故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法分解因式，正確分組是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)13：因式分解的應(yīng)用典例13：（2023春·廣西桂林·七年級(jí)統(tǒng)考期中）小強(qiáng)是一位密碼編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息a?b，x?y，x+y，a+b，x2?y2，a2A．我愛(ài)美 B．龍勝游 C．愛(ài)我龍勝 D．美我龍勝【答案】C【分析】用提公因式法和平方差公式，將(x【詳解】解：x==∵a?b，x?y，x+y，a+b，分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：勝、愛(ài)、我、龍，∴呈現(xiàn)的密碼信息可能是“愛(ài)我龍勝”．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度適中．【變式1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）已知a、b、c是△ABC三條邊的長(zhǎng)，且滿足條件a2+2b2+A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先利用分組分解法對(duì)已知等式的左邊進(jìn)行因式分解，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=b=c，從而得到答案．【詳解】解：∵a2∴a2∴a2∴a?b2∵a?b2∴a?b2∴a?b=0，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的判斷，解題的關(guān)鍵在于靈活利用因式分解建立與方程之間的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題．【變式2】（2023春·安徽宿州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，X2?16Y2=16，X+4Y=A．64 B．32316 C．32 D．【答案】B【分析】第一個(gè)等式左邊利用平方差公式分解因式，把X+4Y=12代入求出X?4Y的值，聯(lián)立求出X與【詳解】解：∵X2?16∴X?4Y=32②聯(lián)立①②解得：X+4Y=1解得X=654，∴X?Y=323故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，，以及解二元一次方程組，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，則多項(xiàng)式a2+bA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，可以得到a?b，a?c，b?c的值，然后將所求式子變形，然后將a?b，a?c，b?c的值代入變形后的式子計(jì)算即可．【詳解】∵a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，∴a?b=?1，a?c=?2，b?c=?1，∴a=2=a?b=?1=1+4+1=3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵時(shí)明確題意，利用完全平方公式解答．同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2023春·浙江·七年級(jí)期末）下列等式從左到右的變形屬于因式分解的是（

）A．(x+2)(x?2)=x2?4C．x2?3【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、(x+2)(x?2)=xB、6y+2x=x6y+2C、x2D、x2故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解．2．（2023·重慶渝北·八年級(jí)重慶市渝北中學(xué)校校考階段練習(xí)）下列因式分解正確的是（）A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．a(chǎn)x2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）【答案】B【分析】各項(xiàng)分解得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：A、原式＝x（x﹣y+1），不符合題意；B、原式＝（a﹣b）2，符合題意；C、原式不能分解，不符合題意；D、原式不能分解，不符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列從左到右的變形是因式分解的是（）A．x?1x?2=1?xC．a(chǎn)x?3+b3?x【答案】C【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式的積的形式，可得答案．【詳解】解：A、等式左邊已經(jīng)因式分解好了，沒(méi)有必要再分解了，故此選項(xiàng)不符合題意；B、沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式的積的形式，故此選項(xiàng)不符合題意；C、把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式的積的形式，故此選項(xiàng)符合題意；D、沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式的積的形式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的意義．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式的積的形式．4．（2022秋·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)衡陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是(

)A．a(chǎn)+2a?2=aC．x2?9=x?3【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的意義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】解:A、等式右邊不是幾個(gè)因式積的形式,故不是分解因式,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、等式右邊不是幾個(gè)因式積的形式,故不是分解因式,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、等式右邊應(yīng)該是(x+3)(x-3),故不符合題意,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.D、等式右邊是幾個(gè)因式積的形式,故是分解因式,故本選項(xiàng)正確;故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的意義,解題的關(guān)鍵是掌握把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解,也叫做分解因式.5．（2023春·湖南常德·七年級(jí)常德市淮陽(yáng)中學(xué)?？计谥校┬∧鲜且晃幻艽a編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：中，愛(ài)，我，數(shù)，學(xué)，五，現(xiàn)將3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．我愛(ài)學(xué) B．愛(ài)五中 C．我愛(ài)五中 D．五中數(shù)學(xué)【答案】C【分析】先運(yùn)用提公因式法,再運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）=3（x2﹣1）（a-b）=3（x+1）（x-1）（a-b），∴結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是：我愛(ài)五中．故選：C．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn):因式分解.掌握提公因式法和套用平方差公式是關(guān)鍵．6．（2023春·浙江·七年級(jí)期末）若實(shí)數(shù)a，b滿足方程組ab+a?b=85a?5b+ab=20，則a2b?aA．20 B．15 C．?15 D．10【答案】B【分析】直接利用整體思想得出ab，a+b的值，進(jìn)而分解因式得出答案．【詳解】解：∵ab+a?b=85a?5b+ab=20∴ab=5a?b=3∴a2b-ab2=ab（a-b）=3×5=15．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式以及整體思想的應(yīng)用，正確解方程組是解題關(guān)鍵．7．（2023·廣東中山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列變形中屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】試題分析：根據(jù)因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)因式的積的形式，叫做把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，可知：A、B、C都錯(cuò)誤；D正確；故選D．考點(diǎn)：因式分解8．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），則b+c的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】先將等式的右邊展開并移項(xiàng)到左邊,然后再根據(jù)完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．【詳解】解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，∴（b+c﹣2）2＝0，∴b+c＝2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，掌握運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解是解答本題的關(guān)鍵.9．（2022秋·重慶九龍坡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中，從左到右變形是因式分解的是（）A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2 B．9﹣x2＝（3+x）（3﹣x）C．x2+6x+4＝（x+2）2+2x D．x2﹣8＝（x+4）（x﹣4）【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A：從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B：從左到右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；C：等式的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；D：x2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的定義，熟知因式分解的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）下列因式分解中，正確的是（

）①x2y?2xy2+xy=xyx?2yA．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的方法逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：①x2②?a+ab?ac=?a1?b+c③9abc?6a④2x故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．11．（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足(a2?A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【分析】先把等式的左邊分解因式，再根據(jù)幾個(gè)數(shù)相乘得0，至少有一個(gè)為0求解．【詳解】解：∵(∵a，∴a+c≠0,1+b∴a=c,∴這個(gè)三角形的形狀是等腰三角形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用以及等腰三角形的定義，正確的分解因式是解題的關(guān)鍵．12．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）分解因式a3?4a的結(jié)果正確的是（A．a(chǎn)a2?4 B．a(chǎn)a?2a+2 【答案】B【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式進(jìn)行分解因式即可．【詳解】解：a3故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分解因式，分解因式一般要先提取公因式，然后利用完全平方公式或平方差公式進(jìn)行分解．13．（2022秋·山東東營(yíng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的是（）A．（a－3）（a＋3）＝a2－9 B．x2＋x－5＝（x－2）（x＋3）＋1C．x2＋1＝x（x＋1x） D．a(chǎn)2b＋ab2＝ab（a＋b【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義判斷即可．【詳解】A、從左往右的變形屬于整式乘法運(yùn)算，不符合題意；B、C，因式分解是指將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積形式，不符合題意；D、提取了公因式ab，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)因式分解定義的理解，熟練掌握因式分解的定義是解題關(guān)鍵．14．（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（）A．a(chǎn)b+ac+d＝a（b+c）+d B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4C．6ab＝2a?3b D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2【答案】D【分析】根據(jù)因式分解就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式的定義判斷，利用排除法求解．【詳解】A、等式右邊不是整式積的形式，故不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、等式右邊不是整式積的形式，故不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、等式左邊是單項(xiàng)式，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是因式分解的意義，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式．15．（2023春·河北保定·八年級(jí)校考期中）小強(qiáng)是一位密碼編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息：a?b，x?y，x+y，a+b，x2?y2，a2A．我愛(ài)美 B．保師好 C．愛(ài)我保師 D．美我保師【答案】C【分析】將所給的多項(xiàng)式因式分解，然后與已知的密碼相對(duì)應(yīng)得出文字信息．【詳解】解：∵(x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a+b)(a-b)，又∵a-b，x-y，x+y，a+b分別對(duì)應(yīng)下列四個(gè)個(gè)字：愛(ài)、我、保、師，∴結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息是：愛(ài)我保師．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是將多項(xiàng)式因式分解，注意因式分解要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止．二、填空題16．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）分解因式：x2﹣2xy+y2＝．【答案】（x﹣y）2【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【詳解】解：原式＝（x﹣y）2，故答案為（x﹣y）2【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．17．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）因式分解：a2b?a【答案】ab(a?b)【分析】利用提取公因式法即可．【詳解】提取公因式ab得：a故答案為：ab(a?b)．【點(diǎn)睛】本題考查了利用提取公因式法進(jìn)行因式分解，因式分解的方法主要包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、換元法等，熟記各方法是解題關(guān)鍵．18．（2023春·四川成都·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知xy＝﹣1，x+y＝2，則12x3y+x2y2+12xy3＝【答案】-2【分析】先提公因數(shù)法把多項(xiàng)式12x3y+x2y2+12xy【詳解】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，∴12x3y+x2y2+12xy3代入數(shù)據(jù)，原式=1故答案為：?2．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，先提公因式，然后再套完全平方公式即可求解.19．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）分解因式：x2?2x?2【答案】x?2y【分析】先分組，再利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，然后提出公因式，即可求解．【詳解】解：原式=x=x?2y=x?2y故答案為：x?2yx+y?2【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會(huì)結(jié)合多項(xiàng)式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）寫出下列各式分解因式時(shí)應(yīng)提取的公因式：(1)ax-ay應(yīng)提取的公因式是；(2)3mx-6nx2應(yīng)提取的公因式是；(3)-x2+xy-xz應(yīng)提取的公因式是.【答案】a3x-x【分析】根據(jù)分解因式，可得公因式．【詳解】（1）原式=a(x-y)，應(yīng)提取的公因式是a；（2）原式=3x（m－2nx），應(yīng)提取的公因式是3x；（3）原式=－x（x-y+z），應(yīng)提取的公因式是-x．故答案為a；3x；-x．【點(diǎn)睛】本題考查了公因式的確定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再確定公共因式．21．（2023春·四川成都·七年級(jí)校聯(lián)考期中）多項(xiàng)式2x4?3x3+ax【答案】-6【分析】由于x2+x-2=（x+2）（x-1），而多項(xiàng)式2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除，則2x4-3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x-1）整除．運(yùn)用待定系數(shù)法，可設(shè)商是A，則2x4-3x3+ax2+7x+b=A（x+2）（x-1），則x=-2和x=1時(shí)，2x4-3x3+ax2+7x+b=0，分別代入，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解此方程組，求出a、b的值，進(jìn)而得到a+b的值.【詳解】解：∵x2+x-2=（x+2）（x-1），∴2x4-3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x-1）整除，設(shè)商是A．則2x4-3x3+ax2+7x+b=A（x+2）（x-1），則x=-2和x=1時(shí)，右邊都等于0，所以左邊也等于0．當(dāng)x=-2時(shí)，2x4-3x3+ax2+7x+b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0①當(dāng)x=1時(shí)，2x4-3x3+ax2+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0②①-②，得3a+36=0，∴a=-12，∴b=-6-a=6．∴a+b=-12+6=-6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用．在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù)．由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．本題關(guān)鍵是能夠通過(guò)分析得出x=-2和x=1時(shí)，原多項(xiàng)式的值均為0，從而求出a、b的值．本題屬于競(jìng)賽題型，有一定難度．22．（2023·上海·七年級(jí)假期作業(yè)）因式分解：x2?5x?24=【答案】(x?8)(x+3)【分析】直接利用因式分解法分解因式即可．【詳解】解：x2故答案為：(x?8)(x+3)．【點(diǎn)睛】題目主要考查利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．23．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）將4a3?a【答案】a(2a+b)(2a?b)【分析】先提公因式法，再用平方差公式進(jìn)行因式分解．【詳解】解：4a故答案為：a(2a+b)(2a?b)．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解是解決本題的關(guān)鍵．24．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）因式分解mx2【答案】m【分析】先提取公因式m，然后利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：原式=m(=m(x+1)故答案為：m(x+1)【點(diǎn)睛】本題主要考查了用提公因式法、完全平方公式法分解因式，熟練掌握提公因式法、完全平方公式法是解題的關(guān)鍵．25．（2023·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若x2+ax+4=x?22【答案】-4【分析】直接利用完全平方公式得出a的值．【詳解】解：∵x2∴a=?4故答案為?4【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．三、解答題26．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：任意兩個(gè)數(shù)a，b，按規(guī)則c=ab?a+b得到一個(gè)新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為數(shù)a（1）若a=?1，b=2，求a，b的“傳承數(shù)”c；（2）若a=1，b=x2，且x2+3x+1=0，求a，（3）若a=2n+1，b=n?1，且a，b的“傳承數(shù)”c值為一個(gè)整數(shù)，則整數(shù)n的值是多少？【答案】（1）c=52；（2）c=6；（3）【分析】（1）根據(jù)題意和a、b的值可以求得“傳承數(shù)”c；（2）由x2+3x+1=0，可得（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論和分式有意義的條件可以求得m的值．【詳解】（1）∵a=?1，b=2∴c=（2）∵x∴x≠0，兩邊同時(shí)除以x得：x+3+∴x+∵a=1，b=∴c=ab?a+b=1（3）∵a=2n+1，b=n?1∴c=ab∵c為整數(shù)，n為整數(shù)

∴n?1為-3、-1、1或3∴n為-2、0、2或4.【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用因式分解的方法解答．27．（2023·福建福州·八年級(jí)福建省福州屏東中學(xué)校考期中）把下列各式因式分解（1）3（2）x【答案】（1）3a(a+2b)(a?2b)；（2）(x+y)(x?y)【分析】（1）直接提取公因式3a，再利用平方差公式繼續(xù)分解因式即可；（2）首先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式繼續(xù)分解因式即可．【詳解】（1）3=3a(=3a(a+2b)(a?2b)；（2）x==(x+y)(x?y)【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．28．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）發(fā)現(xiàn)與探索：如圖，根據(jù)小軍的方法，將下列各式因式分解：（1）a2+5a+6；（2）a2+2ab﹣3b2．小麗發(fā)現(xiàn)通過(guò)用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體體積，就可以得到一個(gè)恒等式．如