人教版八年級數學上冊重難考點微專題03等邊三角形的手拉手模型通關專練特訓(原卷版+解析)

微專題03等腰（等邊）手拉手模型通關專練一、單選題1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=20°．將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉得△A'B'C，且點B在A'B'上，CA

A．40° B．50° C．60° D．70°2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下列結論：①AE=BD；②AG=BF；③∠BOE=120°．其中結論正確的（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③3．（2023春·全國·八年級階段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC=23，∠BAC=120°，D為線段BC邊上的動點，以BD為邊向上作等邊△BED，連接CE、AD，則AD+CE的最小值為（

）A．43 B．23+6 C．3+3 D．634．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，分別以AB，AC為邊作等邊△ABD和等邊△ACE，連結DE，若AB=3，AC=5，則ED=（

）A．22 B．23 C．4 5．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，正△ABC和正△CDE中，B、C、D共線，且BC=3CD，連接AD和BE相交于點F，以下結論中正確的有（

）個①∠AFB=60°

②連接FC，則CF平分∠BFD

③BF=3DF

④BF=AF+FCA．4 B．3 C．2 D．16．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學校?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、F是射線BC上兩點，且AD⊥AF，若AE=AD，∠BAD=∠CAF=15°；則下列結論中正確的有（）①CE⊥BF；②△ABD≌△ACE；③S△ABC=A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點M，連接OM，下列結論：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正確的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．18．（2023春·廣東梅州·八年級校聯考開學考試）如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個數為（）A．① B．①② C．①②③ D．①②④9．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，△ABC是等邊三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，則CD的長為（

）A．5 B．4 C．3 D．310．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點B、C、D在同一條直線上，AD與BE相交于點G，BE與AC相交于點F，AD與CE相交于點H，則下列結論①△ACD≌△BCE②∠AGB＝60°③BF＝AH④△CFH是等邊三角形⑤連CG，則∠BGC＝∠DGC．其中正確的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、解答題11．（2023春·廣東佛山·八年級校考期中）如圖，在等邊△ABC中，點D是AB邊上一點，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉60°后得到CE，連接AE、DE．

(1)判斷△CDE是什么特殊的三角形并證明；(2)求證：AC平分∠BAE；(3)若S△ACDS△ACE12．（2023春·安徽宿州·七年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，若最大內角是最小內角的n倍（n為大于1的整數），則稱△ABC為n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°，則稱△ABC為6倍角三角形．

(1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，則△ABC為______倍角三角形；(2)若一個等腰三角形是2倍角三角形，求最小內角的度數；(3)如圖，點E在DF上，BE交AD于點C，AB=AD，∠BAD=∠EAF，∠B=∠D=25°，∠F=75°．找出圖中所有的n倍角三角形，并寫出它是幾倍角三角形．13．（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF．

(1)求證：Rt△ABE(2)若∠CAE=32°，求∠ACF度數．14．（2023春·遼寧沈陽·七年級沈陽市第一二六中學校考階段練習）如圖，在△ABC中，點E在BC邊上，AE=AB．將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G．

(1)求證：EF=BC(2)若∠ABC=63°，∠ACB=25°，則∠FGC的度數．15．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，C為線段AE上一動點（點C不與點A，E重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O．(1)求證：AD=BE；(2)求∠AOB．16．（2023春·陜西西安·七年級西安市第八十三中學校考階段練習）如圖，點A，B，C在一條直線上，分別以AB，BC為邊在AC的同側作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE，連接AE，DC，則AE與DC相等嗎？請說明理由．

17．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD，相交于點F．

(1)求證：△DAC≌△BAE；(2)求證：BE=DC；(3)求∠DFE的度數．18．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠CAB+∠CBA=120°，點D，E分別在邊AC，BC上，且AD=BE，以DE為邊作等邊△DEF，連接AF，BF．求證：△FAB是等邊三角形．

19．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．

(1)如圖1，當點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=°．(2)如圖2，設∠BAC=α，∠BCE=β．當點D在線段BC上移動，則α、β之間有怎樣的數量關系？請說明理由；(3)如圖2，當點D在線段BC上，如果∠BAC=60°，D點為△ABC中BC邊上的一個動點（D與B、C均不重合），當點D運動到什么位置時，△DCE的周長最??？請?zhí)角簏cD的位置，并求出此時∠EDC的度數，直接寫出你的結論．三、填空題20．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市真光中學校考開學考試）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤恒成立的結論有．（把你認為正確的序號都填上）21．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，△ABC是邊長為5的等邊三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分別在AB、AC上，且∠EDF=60°，則三角形AEF的周長為．22．（2023春·七年級課時練習）如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點H，連接CH，則∠CHE=．23．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，∠DAB=∠EAC=600，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，AB和CD相交于P，則∠DOE的度數是24．（2023春·全國·七年級專題練習）（2016育才周測）如圖，正三角形ΔABC和ΔCDE，A，C，E在同一直線上，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的結論有．并寫出3對全等三角形．25．（2019春·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABD、△CDE是兩個等邊三角形，連接BC、BE．若∠DBC=30°，BD=6，BC=8，則BE=．

微專題03等腰（等邊）手拉手模型通關專練一、單選題1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=20°．將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉得△A'B'C，且點B在A'B'上，CA

A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】C【分析】根據旋轉的性質得到∠CB'B=∠CBA，C【詳解】解：由旋轉的性質可得：∠CB'A'=∠CBA∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CB'∵CB’=CB，∴∠CB∴∠ABA∴∠BDC=∠ABA故選C．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，補角的定義，外角的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下列結論：①AE=BD；②AG=BF；③∠BOE=120°．其中結論正確的（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】首先根據等邊三角形的性質，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD?△ACE，根據全等三角形的對應邊相等即可證得①正確；由全三角形的對應角相等，得到∠CBD=∠CAE，根據ASA證得△BCF?△ACG，即可得到②正確；根據三角形外角性質即可得出③正確．【詳解】解：∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，∴BC=AC∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD∴∠BCD=∠ACE在△BCD和△ACE中BC=AC∴△BCD?△ACE，∴AE=BD，∴①正確；∴∠CBD=∠CAE∵∠ACB=∠ECD=60°∴∠ACD=60°,∴在△BCF和△ACG中∠CBF=∠CAG∴△BCF?△ACGASA∴AG=BF，∴②正確；∵△BCD?△ACE,∴∠CDB=∠AEC∵∠DCE=60°∴∠AOB=∠CBD+∠CEA=∠CBD+∠CDB=∠DCE=60°∴∠BOE=120°，∴③正確．故選：D．【點睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質與全等三角形的判定與性質，此題圖形比較復雜，解題的關鍵是仔細識圖，合理應用數形結合思想．3．（2023春·全國·八年級階段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC=23，∠BAC=120°，D為線段BC邊上的動點，以BD為邊向上作等邊△BED，連接CE、AD，則AD+CE的最小值為（

）A．43 B．23+6 C．3+3 D．63【答案】A【分析】以AB為邊，在AB的左側作等邊△ABF，連接EF，先根據“SAS”證明△FBE?△ABD，從而得出FE=AD，然后根據∠FAB=60°，∠BAC=120°可證F，A，C在同一條直線上，根據“兩點之間，線段最短”可得AD【詳解】解：以AB為邊，在AB的左側作等邊△ABF，連接EF，∵△BED和△ABF都是等邊三角形，∴∠ABF=∠EBD=60°=∠FAB，BE=BD，BF∴∠FBE=∠ABD，∴△FBE?△ABD∴FE=AD，∵∠FAB=60°，∠BAC=120°∴∠∴F，A，C在同一條直線上，∵FE=AD，∴AD+CE=FE+CE≥CF，當C，E，F在同一直線上時，AD+CE取最小值，最小值為CF，∵AB=AC=23，AB=AF，∴AF=23，∴CF=43即AD+CE的最小值為43故選：A．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、兩點之間，線段最短等知識，構造△FBE?△ABD，從而把求AD+CE的最小值轉化為EF4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，分別以AB，AC為邊作等邊△ABD和等邊△ACE，連結DE，若AB=3，AC=5，則ED=（

）A．22 B．23 C．4 【答案】C【分析】在Rt△ABC中可直接運用勾股定理求出BC，然后結合“手拉手”模型證得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，從而求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，∴由勾股定理得：BC=4，∵△ABD和△ACE均為等邊三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，即：∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，AB=AD∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴DE=BC=4，故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，掌握全等三角形的判定與性質，熟練運用勾股定理解三角形是解題關鍵．5．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，正△ABC和正△CDE中，B、C、D共線，且BC=3CD，連接AD和BE相交于點F，以下結論中正確的有（

）個①∠AFB=60°

②連接FC，則CF平分∠BFD

③BF=3DF

④BF=AF+FCA．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據“手拉手”模型證明△BCE≌△ACD，從而得到∠CBE=∠CAD，再結合三角形的外角性質即可求解∠AFB=∠ACB=60°，即可證明①；作CM⊥BE于M點，CN⊥AD于N點，證明△CEM≌△CDN，結合角平分線的判定定理即可證明②；利用面積法表示△BCF和△DCF的面積，然后利用比值即可證明③；利用“截長補短”的思想，在AD上取點Q，使得FC=FQ，首先判斷出△FCQ為等邊三角形，再結合“手拉手”模型推出△BCF≌△ACQ即可證明④．【詳解】解：①∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，EC=DC，∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，BC=AC∴△BCE≌△ACDSAS∴∠CBE=∠CAD，∵∠AFB=∠CBE+∠CDA，∠ACB=∠CDA+∠CAD，∴∠AFB=∠ACB=60°，故①正確；②如圖所示，作CM⊥BE于M點，CN⊥AD于N點，則∠CME=∠CND=90°，∵△BCE≌△ACD，∴∠CEM=∠CDN，在△CEM和△CDN中，∠CME=∠CND∴△CEM≌△CDNAAS∴CM=CN，∴CF平分∠BFD，故②正確；③如圖所示，作FP⊥BD于P點，∵S△BCF=1∴S△BCF∵CM=CN，∴整理得：BFDF∵BC=3CD，∴BFDF∴BF=3DF，故③正確；④如圖所示，在AD上取點Q，使得FC=FQ，∵∠AFB=∠ACB=60°，CF平分∠BFD，∴∠BFD=120°，∠CFD=1∴△FCQ為等邊三角形，∴∠FCQ=60°，CF=CQ，∵∠ACB=60°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCQ+∠ACF，∴∠BCF=∠ACQ，在△BCF和△ACQ中，BC=AC∴△BCF≌△ACQSAS∴BF=AQ，∵AQ=AF+FQ，FQ=FC，∴BF=AF+FC，故④正確；綜上，①②③④均正確；故選：A．【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等，理解等邊三角形的基本性質，掌握全等三角形中的輔助線的基本模型，包括“手拉手”模型，截長補短的思想等是解題關鍵．6．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學校校考階段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、F是射線BC上兩點，且AD⊥AF，若AE=AD，∠BAD=∠CAF=15°；則下列結論中正確的有（）①CE⊥BF；②△ABD≌△ACE；③S△ABC=A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】由AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，得出∠BAC=90°，由等腰直角三角形的性質得出∠B=∠ACB=45°，由SAS證得△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四邊形ADCE，則∠ECB=90°，即EC⊥BF，易證∠ADF=60°，∠F=30°，由含30°直角三角形的性質得出EF=2CE=2BD，DF=2AD，則BD=12EF，由BC-BD=DF-CF，得出BC-1【詳解】∵AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，∴∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四邊形ADCE，∴∠ECB=90°，∴EC⊥BF，∵∠B=45°，∠BAD=15°，∴∠ADF=60°，∴∠F=30°，∴EF=2CE=2BD，DF=2AD，∴BD=12∵BC-BD=DF-CF，∴BC-12∴①、②、③、④正確．故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、含30°角直角三角形的性質、外角的定義等知識，熟練掌握直角三角形的性質、證明三角形全等是解題的關鍵．7．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點M，連接OM，下列結論：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正確的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】由題意易得∠AOC=∠BOD，然后根據三角形全等的性質及角平分線的判定定理可進行求解．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∠AOD是公共角，∴∠COD+∠AOD=∠BOA+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠ODB=∠OCA，故①②正確；過點O作OE⊥AC于點E，OF⊥BD于點F，BD與OA相交于點H，如圖所示：∵∠AHM=∠OHB，∠AMB=180°-∠AHM-∠OAC，∠BOA=180°-∠OHB-∠OBD，∴∠AMB=∠BOA=40°，∴∠OEC=∠OFD=90°，∵OC=OD，∠OCA=∠ODB，∴△OEC≌△OFD（AAS），∴OE=OF，∴OM平分∠BMC，故③④正確；所以正確的個數有4個；故選A．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定及角平分線的判定定理，熟練掌握全等三角形的性質與判定及角平分線的判定定理是解題的關鍵．8．（2023春·廣東梅州·八年級校聯考開學考試）如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個數為（）A．① B．①② C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】由SAS證明ΔAOC?ΔBOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正確；由全等三角形的性質得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性質得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正確；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖所示：則∠OGC=∠OHD=90°，由AAS證明ΔOCG?ΔODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分線的判定方法得出MO平分∠BMC，④正確；由∠AOB=∠COD，得出當∠DOM=∠AOM時，OM才平分∠BOC，假設∠DOM=∠AOM，由ΔAOC?ΔBOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出ΔCOM?ΔBOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③錯誤；即可得出結論．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，在ΔAOC和ΔBOD中，{OA=OB∴ΔAOC?ΔBOD(SAS)，∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正確；∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性質得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=40°，②正確；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖2所示：則∠OGC=∠OHD=90°，在ΔOCG和ΔODH中，{∠OCA=∠ODB∴ΔOCG?ΔODH(AAS)，∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正確；∵∠AOB=∠COD，∴當∠DOM=∠AOM時，OM才平分∠BOC，假設∠DOM=∠AOM∵ΔAOC?ΔBOD，∴∠COM=∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO=∠BMO，在ΔCOM和ΔBOM中，{∠COM=∠BOM∴ΔCOM?ΔBOM(ASA)，∴OB=OC，∵OA=OB∴OA=OC與OA>OC矛盾，∴③錯誤；綜上所述，正確的是①②④；故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的外角性質，角平分線的判定等知識，熟悉相關性質是解題的關鍵．9．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，△ABC是等邊三角形，∠ADC＝30°，AD＝2，BD＝3，則CD的長為（

）A．5 B．4 C．3 D．3【答案】A【分析】在CD外側作等邊△CDE，連接AE，易證∠ACE=∠BCD，進而可以證明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，在Rt△ADE中根據勾股定理可以求得DE【詳解】解：在CD外側作等邊△CDE，連接AE，則∠ADE=90°，DE=DC，∠DCE=60°，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，CD=CE∠BCD=∠ACE∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∵在Rt△ADE中，D∴DE=5∴CD=5故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△ACE≌△BCD是解題的關鍵．10．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點B、C、D在同一條直線上，AD與BE相交于點G，BE與AC相交于點F，AD與CE相交于點H，則下列結論①△ACD≌△BCE②∠AGB＝60°③BF＝AH④△CFH是等邊三角形⑤連CG，則∠BGC＝∠DGC．其中正確的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】試題分析：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，∵BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，∴△BCE≌△ACD（SAS）；故①正確；∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠BFC=∠AFG，∴∠AGB=∠ACB=60°，故②正確；在△BCF和△ACH中，∠CBF=∠CAH，BC=AC，∠BCF=∠ACH，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH，BF=AH；故③正確；∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等邊三角形；故④正確；連接CG，過C點作CM⊥BE，作CN⊥AD，∵△BCE≌△ACD，CM⊥BE，CN⊥AD，∴CM=CN，∴GC平分∠BGD，∴∠BGC=∠DGC，故⑤正確．故選：D．考點：1．全等三角形的判定與性質；2．等邊三角形的判定與性質．二、解答題11．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，在等邊△ABC中，點D是AB邊上一點，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉60°后得到CE，連接AE、DE．

(1)判斷△CDE是什么特殊的三角形并證明；(2)求證：AC平分∠BAE；(3)若S△ACDS△ACE【答案】(1)△CDE是等邊三角形，理由見解析(2)證明見解析(3)3【分析】（1）根據旋轉的性質得到將線段CD繞點C按順時針方向旋轉60°后得到CE，求得∠ECD=60°，CE=CD，根據等邊三角形的性質即可得到結論；（2）根據等邊三角形的性質得到∠B=∠ACB=60°，AC=BC，根據全等三角形的性質得到∠EAC=∠B=60°，根據角平分線的定義即可得到結論；（3）根據三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）解：△CDE是等邊三角形，證明：∵將線段CD繞點C按順時針方向旋轉60°后得到CE，∴∠ECD=60°，CE=CD，∴△CDE是等邊三角形；（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AC=BC，∴∠ECD=∠ACB=60°，∴∠ECD?∠ACD=∠ACB?∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，CE=CD∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCDSAS∴∠EAC=∠B=60°，∵∠BAC=60°，∴∠EAC=∠CAD，∴AC平分∠BAE；（3）解：∵S△ACD又∵△ACE≌△BCD，∴S△ACE∴S△ACD∴ADBD∴ADDB的值為3【點睛】本題是綜合題，考查了旋轉變換的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，三角形的面積公式．解題的關鍵是掌握全等三角形的判定定理．12．（2023春·安徽宿州·七年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，若最大內角是最小內角的n倍（n為大于1的整數），則稱△ABC為n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A=20°，∠B=40°，∠C=120°，則稱△ABC為6倍角三角形．

(1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，則△ABC為______倍角三角形；(2)若一個等腰三角形是2倍角三角形，求最小內角的度數；(3)如圖，點E在DF上，BE交AD于點C，AB=AD，∠BAD=∠EAF，∠B=∠D=25°，∠F=75°．找出圖中所有的n倍角三角形，并寫出它是幾倍角三角形．【答案】(1)3(2)36°或45°(3)圖中的n倍角三角形有△ABC和△DEC，它們都是5倍角三角形【分析】（1）根據三角形的內角和求出∠C，再利用n倍角三角形的定義即可求解．（2）設最小內角的度數為x，則最大內角為2x，分兩種情況：一是當最小內角為等腰三角形的頂角時，二是當最小內角為等腰三角形的底角時，利用三角形內角和即可求解．（3）利用ASA證明△BAE≌△DAF，得到AE=AF，求得∠EAF=180°?75°×2=30°，進而得到∠ACB，即可得到△ABC為5倍角三角形，同理可得【詳解】（1）解：在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，∴∠C=180°?∠A?∠B=180°?35°?40°=105°，∵105°÷35°=3，∴△ABC為3倍角三角形，故答案為：3．（2）設最小內角的度數為x，則最大內角為2x，當最小內角為等腰三角形的頂角時，則底角為2x，得：x+2x+2x=180°，解得x=36°，當最小內角為等腰三角形的底角時，則頂角為2x，得：x+x+2x=180°，解得x=45°，∴最小內角的度數為36°或45°．（3）∵∠BAD=∠EAF，∴∠BAE=∠DAF，在△BAE和△DAF中，∠BAE=∠DAFAB=AD∴△BAE≌∴AE=AF，∵∠F=75°，∴∠EAF=180°?75°×2=30°，∴∠BAD=∠EAF=30°，∵∠B=25°，∴∠ACB=180°?∠B?∠BAD=125°，∵125°÷25°=5，∴△ABC為5倍角三角形，∵∠D=25°，∠DCE=∠ACB=125°，∴∠CED=180°?∠D?∠DCE=30°，∵125°÷25°=5，∴△DEC為5倍角三角形，∴圖中的n倍角三角形有△ABC和△DEC，它們都是5倍角三角形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質、三角形內角和，解題的關鍵是理解n倍角三角形的定義．13．（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF．

(1)求證：Rt△ABE(2)若∠CAE=32°，求∠ACF度數．【答案】(1)見解析(2)58°【分析】（1）根據“HL”證明Rt△ABE（2）根據AB=BC，∠ABC=90°，得出∠CAB=∠ACB=45°，求出∠BAE=∠CAB?∠CAE=45°?32°=13°，根據全等三角形的性質求出∠BCF=∠BAE=13°，根據∠ACF=∠BCF+∠ACB求出最后結果即可．【詳解】（1）證明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt∵AE=CF，AB=BC，∴Rt△ABE（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，∵∠BAE=∠CAB?∠CAE=45°?32°=13°，由（1）知Rt△ABE∴∠BCF=∠BAE=13°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵熟練掌握等腰三角形的判定方法，證明Rt△ABE14．（2023春·遼寧沈陽·七年級沈陽市第一二六中學?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，點E在BC邊上，AE=AB．將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G．

(1)求證：EF=BC(2)若∠ABC=63°，∠ACB=25°，則∠FGC的度數．【答案】(1)見解析(2)79°【分析】（1）根據“邊角邊”證明△ABC≌（2）根據等腰三角形的性質，（1）中的全等可得∠ABC=∠AEB=∠AEF，進而可求∠FEC=54°，再根據三角形的外角性質即可求解．【詳解】（1）解：由旋轉可得AC=AF，∵∠CAF=∠BAE，∴∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC，即∠BAC=∠EAF，∴在△ABC和△AEF中，AB=AE∠BAC=∠EAF∴△ABC≌∴BC=EF，即EF=BC．（2）解：在△ABC中，∠ABC=63°，∠ACB=25°，∴∠ABC=∠AEB=63°，由（1）中，△ABC≌△AEF(SAS∴∠AEF=63°，∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°，∴∠FEC=180°?∠AEB?∠AEF=180°?63?63°=54°，∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=54°+24°=79°，故答案為：79°．【點睛】本題主要考查三角形的全等與判定，等腰三角形的性質，三角形的外角的性質，掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵．15．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，C為線段AE上一動點（點C不與點A，E重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O．(1)求證：AD=BE；(2)求∠AOB．【答案】(1)見解析(2)60°【分析】（1）利用SAS證明△ACD?△BCE，得AD=BE；（2）結合（1）可得∠CBE=∠CAD，然后利用三角形內角和定理即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵△ABC、△CDE是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD?△BCESAS∴AD=BE；（2）解：∵△ACD?△BCE，∴∠CBE=∠CAD，∵∠APC=∠BPO，∴∠AOB=∠ACB=60°．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，證明△ACD?△BCE是解題的關鍵．16．（2023春·陜西西安·七年級西安市第八十三中學?？茧A段練習）如圖，點A，B，C在一條直線上，分別以AB，BC為邊在AC的同側作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE，連接AE，DC，則AE與DC相等嗎？請說明理由．

【答案】相等，證明見解析【分析】根據等邊三角形的性質可得AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，推得∠ABE=∠CBD，根據全等三角形的判定可得△ABE≌△DBCSAS【詳解】∵△ABD、△BCE都是等邊三角形∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABE=∠CBD，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠CBE∴△ABE≌∴AE=DC．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．17．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD，相交于點F．

(1)求證：△DAC≌△BAE；(2)求證：BE=DC；(3)求∠DFE的度數．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)120°【分析】（1）由三角形ABD與三角形ACE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩對邊相等，兩三角形的內角都為60°，利用等式的性質得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得證；（2）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的對應邊相等即可得到BE=DC；（3）由△DAC≌△BAE，利用全等三角形的對應角相等得到∠ACD=∠AEB，而∠DFE為三角形EFC的外角，利用外角的性質列出關系式，等量代換后即可求出其度數．【詳解】（1）解：證明：∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△DAC≌△BAESAS（2）∵△DAC≌△BAE，∴BE=DC；（3）∵△DAC≌△BAE，∴∠ACD=∠AEB，則∠DFE=∠FEC+∠FCE=∠FEC+∠ACD+∠ACE=∠FEC+∠AEB+∠ACE=∠AEC+∠ACE=120°．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，以及三角形的外角性質，熟練掌握等邊三角形的判定與性質是解本題的關鍵．18．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠CAB+∠CBA=120°，點D，E分別在邊AC，BC上，且AD=BE，以DE為邊作等邊△DEF，連接AF，BF．求證：△FAB是等邊三角形．

【答案】見解析【分析】設AC、BF相交于點O，根據三角形的內角和定理求出∠C=60°，根據等邊三角形的性質可得DF=EF，∠DFE=60°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠ADF=∠BEF，然后利用“邊角邊”證明△ADF和△BEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF=BF，全等三角形對應角相等可得∠AFD=∠BFE，再求出∠AFB=∠DFE=60°，然后根據等邊三角形的判定方法證明即可．【詳解】解：證明：如圖，設AC、BF相交于點O，∵∠CAB+∠CBA=120°，∴∠C=60°，∵△DEF是等邊三角形，∴DF=EF，∠DFE=60°，由三角形的外角性質得，∠ADF=∠DFE+∠DOF，∠BEF=∠C+∠COE，∵∠DFE=∠C=60°，∠DOF=∠COE，∴∠ADF=∠BEF，在△ADF和△BEF中，AD=BE∠ADF=∠BEF∴△ADF≌△BEF(SAS∴AF=BF，∠AFD=∠BFE，∴∠AFB=∠DFE=60°，∴△FAB是等邊三角形．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記各性質與三角形全等的判定方法是解題的關鍵，難點在于求出∠ADF=∠BEF．19．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．

(1)如圖1，當點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=°．(2)如圖2，設∠BAC=α，∠BCE=β．當點D在線段BC上移動，則α、β之間有怎樣的數量關系？請說明理由；(3)如圖2，當點D在線段BC上，如果∠BAC=60°，D點為△ABC中BC邊上的一個動點（D與B、C均不重合），當點D運動到什么位置時，△DCE的周長最??？請?zhí)角簏cD的位置，并求出此時∠EDC的度數，直接寫出你的結論．【答案】(1)90(2)α+(3)當點D運動到BC的中點時，△DEC是周長最小，此時∠EDC=30°【分析】（1）由等腰直角△ABC、△ADE易證△CAE≌△BADSAS，即可得出∠B=∠ACE=45°（2）證明△CAE≌△BADSAS推出∠B=∠ACE（3）由全等三角形的性質可得出BD=CE，可推出BD+CD=CE+CD=BC由△DCE的周長＝DE+CD+CE=DE+BC，BC為定值，推出DE定值最小時，△DCE得到周長最小，根據此線段最短即可解決問題．【詳解】（1）解：∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAC=∠DAC+∠BAD，∴∠CAE=∠BAD，∴△CAE≌△BADSAS∴∠B=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+（2）解：α+∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC，∴∠B=∠ACB，∵∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAC=∠DAC+∠BAD，∴∠CAE=∠BAD，∴△CAE≌△BADSAS∴∠B=∠ACE，∴β=∠ABC+∴α+（3）解：∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∵AD=AE，∠DAE=∠BAC，∴△DCE是等邊三角形，∵△CAE≌△BADSAS∴BD=CE∴BD+CD=CE+CD=BC，∵△DCE的周長=DE+CD+CE=DE+BC，∵BC為定值，∴DE最小時，△DCE得到周長最小，∵DE=AD，∴AD⊥BC時，AD定值最小，此時BD=CD=CE，∴∠EDC=1∴當點D運動到BC的中點時，△DCE是周長最小，此時∠EDC=30°．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題．三、填空題20．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市真光中學?？奸_學考試）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤恒成立的結論有．（把你認為正確的序號都填上）【答案】①②③⑤【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，和∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA(ASA)，再根據∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據內錯角相等，兩直線平行，可知②正確；③同②得：△ACP≌△BCQ，即可得出結論；④根據∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④錯誤；⑤利用等邊三角形的性質，BC∥DE，再根據平行線的性質得到【詳解】解：①∵△ABC和△CDE為等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，①正確；②∠DCP=180°?2×60°=60°=∠ECQ，在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BECCD=CE∴△CDP≌△CEQ(ASA∴CP=CQ，∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠QPC=∠BCA，∴PQ∥③同②得：△ACP≌△BCQ，∴AP=BQ，③正確；④∵DE>QE，且DP=QE，∴DE>DP，故④錯誤；⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵△DCE是等邊三角形，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴⑤正確；故答案為：①②③⑤．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．21．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，△ABC是邊長為5的等邊三角形，BD=CD，∠BDC=120°．E、F分別在AB、AC上，且∠EDF=60°，則三角形AEF的周長為．【答案】10【分析】延長AB到N，使BN=CF，連接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根據SAS證△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根據SAS證△EDF≌△EDN，推出EF=EN，易得△AEF的周長等于AB+AC．【詳解】解：延長AB到N，使BN=CF，連接DN，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，BD=DC∠NBD=∠FCD∴△NBD≌△FCD（SAS），∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，DE=DE∠EDF=∠EDN∴△EDN≌△EDF（SAS），∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．∵△ABC是邊長為5的等邊三角形，∴AB=AC=5，∵BE+CF=EF，∴△AEF的周長為：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，故答案為：10．【點睛】本題考查了等邊三角形性質和判定，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，全等三角形的性質和判定的綜合運用．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．22．（2023春·七年級課時練習）如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點H，連接CH，則∠CHE=．【答案】65°【分析】先判斷出ΔACD?ΔBCE，再判斷出ΔACM?ΔBCN即可得到CH平分∠AHE，即可得出結論．【詳解】解：如圖，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在ΔACD和ΔBCE中，CA=CB∴ΔACD?ΔBCE(SAS)；過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵ΔACD?ΔBCE，∴∠CAM=∠CBN，在ΔACM和ΔBCN中，∠CAM=∠CBN∴ΔACM?ΔBCN，∴CM=