2024年上海市中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理綜合檢測(cè)過關(guān)卷（解析版）

專題11勾股定理及其逆定理綜合過關(guān)檢測(cè)

（考試時(shí)間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一、選擇題（本題共10小題，每題3分，共30分）

1.如圖，RtAABC中，?B90?,AB=6,BC=9,將.ASC折疊，使點(diǎn)C與AB的中點(diǎn)。重合，折痕

交AC于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)、N,則線段CN的長(zhǎng)為（）

r10

A.4B.5C.—D.—

53

【答案】B

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理.熟練掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

由題意知，BD=^-AB=3,由折疊的性質(zhì)設(shè)DN=CN=x,則BN=9—x,由勾股定理得，BD2=DN2-BN2,

2

即32--（9f。計(jì)算求解即可.

【詳解】解:由題意知，BD=\AB=3,

2

由折疊的性質(zhì)可知，DN=CN,

設(shè)DN=CN=x,貝l]3N=9—x,

由勾股定理得，BD2=DN2-BN2,即32=/_（9-4，

解得，x=5,

故選：B.

2.如圖，是一張直角三角形紙片的示意圖，其中NC=90。，AC=4,BC=8,沿著OE折疊該紙片，使點(diǎn)

8與點(diǎn)A重合，則8。的長(zhǎng)為（）

A.4B.C.6D.5

4

【答案】D

【分析】本題考查了折疊問題，勾股定理.根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得，AD=BD,

BC=8,

:.CD=S-BD,

ZC=90°,

AC2+CD2=AD2,

42+(8-BD)2=B￡>2,

BD=5,

故選：D.

3.如圖，在Rt/XABC紙片中，NA=90。，AB=4,AC=3,將RtAABC紙片按圖示方式折疊，使點(diǎn)A恰好

落在斜邊3C上的點(diǎn)E處，3。為折痕，則下列四個(gè)結(jié)論：①9平分/ABC；?AD=DE；③DE=EC；

④，DEC的周長(zhǎng)為4,其中正確的個(gè)數(shù)有()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，先由勾股定理求出BC=5,由折疊的性質(zhì)可得

BE=AB=4,AD=DE,ZABD=ZEBD,則CE=3C-8E=1,8￡>平分/ABC,再根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式

可得DEC的周長(zhǎng)=AC+CE=4,根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明DE=EC,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：?.,在Rt^ABC紙片中，ZA=90°,AB=4,AC=3,

BC=yjAC2+AB2=5'

由折疊的性質(zhì)可得BE=AB=4,AD=DE,ZABD=ZEBD,

:.CE=BC-BE=1,BD平分/ABC,

：.DEC的周長(zhǎng)=￡)E+CE+CD=Ar>+CD+CE=AC+CE=4,

故①②④正確；

根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明DE=EC,

，正確的只有①②④,

故選：C.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將長(zhǎng)方形AOCD沿直線AE折疊(點(diǎn)E在邊0c上)，折疊后點(diǎn)。恰好落

在邊0C上的點(diǎn)尸處，若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(13,5),則點(diǎn)E的坐標(biāo)是()

C.(2.4,1)D.(13,2.4)

【答案】D

【分析】本題主要考查了翻折變換，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì).先根據(jù)點(diǎn)。的坐標(biāo)得到AD=OC=13,

OA=CD=5,再由折疊的性質(zhì)得到=AF=AD=13,利用勾股定理求出。尸=12,則C/=l,設(shè)

CE=x,則OE=EF=5—x,由勾股定理得(5-X)2=/+F,解方程即可得到答案.

【詳解】:?四邊形AOCD是長(zhǎng)方形，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(13,5),

AAD=OC=13,O4=CD=5,

由折疊的性質(zhì)可得￡>E=EF，AF=AD=13,

?*-OF=VAF2-OA2=V132-52=12>

CF=OC-OF=\,

設(shè)CE=x,貝?。荨?gt;E=￡F=5-x,

在RtZkCEF中，由勾股定理得EF-=CE2+CF2,

(5-X)2=X2+12,

解得x=2.4,

CE=2.4,

E(13,2.4),

故選：D.

5.如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABC。折疊，使點(diǎn)。落在BC邊的中點(diǎn)E處，折痕為MN,則線段CN

的長(zhǎng)是()

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理和折疊的性質(zhì)，先根據(jù)題意得到BC=CD=8cm,ZC=90°,則由線段

中點(diǎn)的定義得到CE=4cm,由折疊的性質(zhì)可得硒=DV,設(shè)EN=DN=xcm,則CN=（8-x）cm,在

及△CEN中，由勾股定理建立方程f=4?+（8-尤『，解方程即可得到答案.

【詳解】解：由題意得，BC=CD=8cm,ZC=90°,

??,點(diǎn)E是3C的中點(diǎn)，

CE=—BC=4cm,

2

由折疊的性質(zhì)可得EN=DV,

設(shè)EN=DN=xcm,則CN=CD-Z>A^=（8-x）cm,

在RtZXCEN中，由勾股定理得加2=。石2+皈2,

222

.??X=4+（8-X）,

解得x=5,

8—x=3,

/.CN=3cm,

故選A.

6.如圖，在RtAABC,NC=9（）o,AC=4,5C=3,將，ACD沿著AD折疊，使C點(diǎn)落在AB邊上的點(diǎn)E處，則

的長(zhǎng)為（）

235

【答案】B

【分析】題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出AB長(zhǎng)，再利用折疊和

角平分線的性質(zhì)得到MBGD\NC,最后利用三角形的面積計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：■/RtZXABC,ZC=90°,AC=4,BC=3,

AB=VAC2+BC2=A/42+32=5>

由折疊可得/C4D=/BM>,ZDEC=ZDCA=90。,

：.MBGDNC,

又：S=-BCAC=-CDAC+-ABDE,

人“ARcC222

Kp|x3x4=1c￡>x4+1x5-Cr）,

4

解得：CD=~,

故選B.

7.如圖，RtAABC,ZACB=90°,AC=3,BC=4,將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在A3上的點(diǎn)。處；再

將邊BC沿C/翻折，使點(diǎn)8落在8的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)9處，兩條折痕與斜邊48分別交于點(diǎn)瓜廠,則線段

的長(zhǎng)為（）

34?

A.-B.-C.—D.⑺

【答案】B

【分析】首先根據(jù)折疊可得CD=AC=3,B'C=BC=4,ZACE=ZDCE,ZBCF=AB'CF,CEYAB,

129

CD=1,然后求得△ECF是等腰直角三角形，進(jìn)而求得N?FB=90。，EF=q,ED=AE=-,

3.

DF=EF-ED=~,由勾股定理即可求得皮尸的長(zhǎng).此題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì),

勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)首先根據(jù)折疊可得CD=AC=3,B'C=BC=4,ZACE=/DCE,

ZBCF=ZB'CF,CErAB,

???BrD=BrC-CD=4-3=l,ZDCE+ZBfCF=ZACE-^-ZBCF,

ZACB=90°,

：.ZECF=45°,

???是等腰直角三角形

:.EF=CE,NEFC=45。,

：.ZBFC=NB，F(xiàn)C=180?！猌CFE=135°,

JZB'FB=90°,

?：S^ABC=^AC.BC=^AB-CE,

ACxBC=ABxCE,

,?1根據(jù)勾股定理求得AB=7AC2+BC2=V32+42=5，

Z.CE=y,

；.EF=*ED=AE=yjAC2-CE2=|,

3

/.DF=EF-ED=~,

：.B'F=>JB'D2-DF2=|,

故選：B.

8.如圖，在Rt^ABC中，AB=9,BC=6,IB90?.將ABC折疊，使點(diǎn)A與8C的中點(diǎn)。重合，則BN

的長(zhǎng)是（）

A.4B.3C.6D.5

【答案】A

【分析】此題考查了翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)的定義以及方程思想，設(shè)BN=x,

則由折疊的性質(zhì)可得DN=AN=9-x,根據(jù)中點(diǎn)的定義可得班＞=3,在RtaRVO中，根據(jù)勾股定理可得關(guān)

于x的方程，解方程即可求解；

【詳解】解：設(shè):BN=x,由折疊的性質(zhì)可得DN=4V=9—x,

?.?。是BC的中點(diǎn)，BC=6,

：.BD=3,

在RtABND中，x2+32=（9-x）2,

解得x=4,

即3N=4,

故選：A.

9.ABC中，Nk,NB,NC的對(duì)邊分別記為a,b,c,有下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.如果a:Z?:c=7:24:25,則NC=90。

B.如果NA:ZB:NC=3:4:5,則ABC為直角三角形

C.如果a,b,c長(zhǎng)分別為6,8,10,則a,b,c是一組勾股數(shù)

D.如果NA-/3=/C,貝UABC為直角三角形

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理.根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定

理，勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析判斷即可.

【詳解】解：A、：a:b:c=7:24:25,

:,設(shè)a=1k,b=24k,c=25k,

a2+b2=（7左丫+（24左y=625k2,c2=（25左）？=625k2,

a1+b2-c1<

：.ZC=90°,故不符合題意;

B、VZA:ZB:ZC=3:4:5,ZA+ZB+ZC=180°,

/.ZC=180°x—--=75°,

3+4+5

...ABC不是直角三角形，故符合題意;

C、-：a,b,c長(zhǎng)分別為6,8,10,

/.a2+b2=c2,且a,6,c的長(zhǎng)都是正整數(shù)，

:.a,b,。是一組勾股數(shù).故不符合題意；

D、VZA-ZS=ZC0,

ZA+NB+/C=180。②，

將①代入②得：2ZA=180。，

ZA=90°,

ABC是直角三角形，故不符合題意.

故選：B.

10.如圖，在,ABC中，ZC=90°,以,ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，如果正方形AOVM和正方形

BCG5的面積分別為6和8,那么正方形即的面積是（）

DE

A.14B.10C.100D.84

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理直接求解即可，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：正方形AGVM和正方形5CG/的面積分別為6和8,

/.AC2=6,BC2=8,

ZC=90°,

/.AB2=AC2+BC2=6+8=14,

正方形ABED的面積為14,

故選：A.

二、填空題（本題共10小題，每題3分，共30分）

11.如圖，折疊邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCD,折痕是DM,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分別延長(zhǎng)ME、DE交AB

于點(diǎn)RG.若點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，則/G=cm.

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得OE=OC=4,EM=Q0=2,連接，設(shè)FE=x,由勾股定理求出x的值，得出3尸,

連接MG,證明RtMEG^RtMBG,設(shè)BG=EG=m,再結(jié)合勾股定理可得答案.

???四邊形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=DA=4,ZA=ZB=ZC=ZCDA=90°,

:點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

BM=CM=-BC=-x4=2,

22

由折疊得，ME=CM^2,DE=DC=DA^4,ZDEM=ZC=90°,

:.NDEF=90。,NFEG=90。,

'：DF=DF,ZA=ZDEF=90°,

：.RtAD尸式RtEDF,

AF=EF,

設(shè)尸E=尤，則有AF=x,

BF=4—x,

又在RtFMB中，（X+2）2=22+（4—X?，

4

解得，尤=§，

448

FE=AF=~,BF=4一一=-

333

連接MG,

同理可得：RtMEG%RMBG,

:?設(shè)BG=EG=m,

/.m=l,

：.FG=--1=~,

33

故答案為：j.

12.如圖，三角形紙片A3C中，ZACB=90°,AC=4,BC=6.沿過點(diǎn)C的直線4將紙片折疊，使點(diǎn)A落

在邊上的點(diǎn)。處；再沿直線6將紙片折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)。重合.若直線6與8c的交點(diǎn)為E,則CE的長(zhǎng)

是.

【分析】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，根據(jù)折疊，可知AC=CD,ED=EB,進(jìn)

一步可知/CDE=90。，設(shè)CE=x,在RtaCDE中，根據(jù)勾股定理列方程，求解即可，熟練掌握折疊的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)折疊，可知AC=CD,ED=EB,

：.ZA=ZCDA,ZEDB=ZB,

ZAC3=90。，

ZA+ZB=9Q°,

：.ZCDA+ZEDB=90°,

：.ZCDE=90°,

設(shè)CE=x,

VAC=4,BC=6,

ACD=4,BE=6-x,

ED=6—x,

在RtaADE中，根據(jù)勾股定理，得：42+(6-尤y=三，

13

解得：X=

/.CE=—,

3

13

故答案為：—.

13.如圖，A5C中，ZC=90°,AB=10,AC=6,點(diǎn)。是邊3C上一點(diǎn).若沿AD將ACD翻折，則AD=.

【答案】3H

【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出BC=y/AB2-AC2=710^=8.

根據(jù)折疊得出A￡=AC=6,DE=DC,設(shè)DE=OC=X,則3D=8T,根據(jù)勾股定理得出4?+三=（8—X）2,

求出C￡>=3,最后根據(jù)勾股定理求出=^JCD2+AC2=732+62=3赤.

【詳解】解：在RtA4CB中，由勾股定理可知AO+BC?=A",

BC=siAB2-AC2=A/102-62=8，

由折疊的性質(zhì)得：AE=AC=6,DE=DC,

：.BE=AB-AE=10-6=4,

設(shè)DE=OC=x,貝l]BD=8-X,

在RtzXBED中，BE2+DE2=BD2>

：.42+X2=（8-X）2.

x=3,

：.CD=3,

AD=yJCD2+AC2=A/32+62=375;

故答案為：3卮

14.如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形8、C、。的面積依次

為8、6、18,則正方形A的面積為.

【答案】4

【分析】本題考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的幾何意義，知道直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊

的平方.

根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：由勾股定理，得正方形E的面積=正方形8的面積+正方形A的面積，得正方形E的面積=正

方形D的面積-正方形C的面積，

則正方形A的面積=18-6-8=4,

故答案為：4.

15.有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形

圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，變成了如圖，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉

茂”，請(qǐng)你算出“生長(zhǎng)”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是.

【答案】2025

【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)

規(guī)律解答即可.本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么

a2+b2=d.

【詳解】解：如圖，由題意得，正方形A的面積為1,由勾股定理得，正方形2的面積+正方形C的面積=1,

.丁生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得，“生長(zhǎng)”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

“生長(zhǎng)”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,……

“生長(zhǎng)”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2025,

故答案為：2025.

16.如圖是“畢達(dá)哥拉斯樹”的“生長(zhǎng)”過程：如圖1,一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，經(jīng)過第一次“生長(zhǎng)”后在它的上

側(cè)長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形，面積分別為6和8,且三個(gè)正方形所圍成的三角形是直角三角形，則。的值為；再經(jīng)

過一次“生長(zhǎng)”后變成了圖2.如此繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，第2024次“生長(zhǎng)”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形

【答案】V1428350

【分析】本題主要考查的是勾股定理、圖形的變化規(guī)律等知識(shí)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角

邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正方形的面積公式求出第一個(gè)正方形的面積，即可求得a的值；再根據(jù)勾股定理求出經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”

后在它的上側(cè)生長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形的面積和，總結(jié)規(guī)律，然后按照規(guī)律解答即可.

【詳解】解:如圖：

...第一個(gè)正方形的面積為

由勾股定理得，AB-=AC2+BC2,

AC2+BC2^AB2=〃，即經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)生長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形的面積和為

.?.“2=8+6,即。=舊，“生長(zhǎng)”第1次后所有正方形的面積和為2a2，

同理：“生長(zhǎng)”第2次后所有正方形的面積和為3〃，

則“生長(zhǎng)”第2024次后所有正方形的面積和為2025"=2025x14=28350,

故答案為：JIZ，28350.

17.如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形48、C的面積依次

為6、8、9,則正方形。的面積為.

【答案】23

【分析】根據(jù)勾股定理可得正方形4B的面積之和等于正方形E的面積，正方形C、E的面積之和等于正

方形。的面積，即可得到結(jié)果.

本題考查的是勾股定理，本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握股定理，即可完成.

由題意得，正方形E的面積為6+8=14,

則正方形D的面積14+9=23.

故答案為：23

18.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,其面積標(biāo)記為以8為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三

角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為邑,…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則邑。23的值為.

【答案】了〉

【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的面積以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)

面積的變化找出變化規(guī)律"s“”是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意求出面積標(biāo)記為邑的正方形的邊長(zhǎng)，得

到S2，同理求出邑，得到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答.

【詳解】解:

..1.CDE是等腰直角三角形,

DE=CE,1CED90?,

CD2=DE2+CE2=IDE2,

?*.DE=—CD,

2

即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的變倍,

,/正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,

d=22=4=4xg),

面積標(biāo)記為S,的正方形邊長(zhǎng)為1*2=&,

2

則S2=(@2=2=4xg),

面積標(biāo)記為邑的正方形邊長(zhǎng)為孝X收”

2

貝I|S3=12=1=4XI

面積標(biāo)記為S4的正方形的邊長(zhǎng)為#xl=#,

貝11$2023的值為：

故答案為：

19.如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注

解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖連接四條線段得到如圖2的新的圖案，如果圖1中的直

角三角形的長(zhǎng)直角邊為9,短直角邊為4,圖2中的陰影部分的面積為S,那么S的值為.

【答案】65

【分析】本題主要考查勾股定理中的趙爽弦圖模型、三角形和正方形面積公式，陰影部分由四個(gè)全等的三

角形和一個(gè)小正方形組成，分別求三角形和小正方形面積即可.

【詳解】解：由題意得，陰影部分四個(gè)直角三角形是全等的，且長(zhǎng)為9-4=5,寬為4,

.*.5=4x1x4x5+5x5=40+25=65,

2

故答案為：65.

20.如圖，在11ABe中，。是邊上一點(diǎn)，BD=1,CD=3,BC=M，AD=不，則AC的長(zhǎng)為.

【答案】4

【分析】本題考查了勾股定理與勾股逆定理的綜合運(yùn)用：先由三邊的數(shù)值關(guān)系，得/a?=NCQ4=90。,

根據(jù)勾股定理列式計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：；8。=1,CD=3,BC=加,

：.BD2+CD-=10,BC2=（Vio）2=10,

即BD2+CD2=BC2,

故NCC?=NCZM=90。，

?*-AC=ylAD2+DC2=j7+9=4,

故答案為：4.

三、解答題三、解答題（本題共3題,共40分）

21（12分）.在3ABe中，ZC=90°,AC'=4,BC=3.把_ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到DBE（Q0<a<90°）,

點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D.

L）

K；

R

CACMACA

圖1備用圖1備用圖2

（1）當(dāng)（z=90。時(shí)，在圖1中作出旋轉(zhuǎn)后的.（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）;

(2)在(1)的條件下，連接AD,則AD的長(zhǎng)為；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，直線。E分別交C4,54于點(diǎn)N,若AAW為等腰三角形，求AM的長(zhǎng).

【答案】(1)作圖過程見解析，

⑵5應(yīng)

⑶AM=5-亞或AW=3

【分析】3421726244929536(1)過點(diǎn)8作AC的平行線，根據(jù)全等三角形判定定理(SSS),截取3E=BC,

BD=BA,ED=CA,即可做出旋轉(zhuǎn)90。后的▲OBE,

(2)根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得二八R4是等腰直角三角形，即可求出AD的長(zhǎng)，

(3)分AM、AN、MN分別為底的情況進(jìn)行討論，根據(jù)等角對(duì)等邊，及勾股定理進(jìn)行求解，

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形存在性問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)等腰三角形存在的可能

性進(jìn)行分情況討論，結(jié)合圖形找到等量關(guān)系，進(jìn)行求解.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)B作/RR4=NB4C,在上截取防使班=3C,分別以點(diǎn)B、點(diǎn)E為圓心，A3、

C4長(zhǎng)為半徑做圓，交點(diǎn)即為點(diǎn)。(方法不止一種)，

(2)ZC=90°,AC=4,BC=3,

AB=VAC2+BC2=A/&2-4?CA/42+32=5，

連接AD,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，/ABD=a=90。，DB=AB,

.'ABD為等腰直角三角形，

AD=y/AB2+DB2=A/52+52=572，

故答案為：5^/2，

(3)當(dāng)AM為底時(shí)，NM=NA,ZNMA=ZNAM,連接

NBDE=NBAC,

:.ZDBN=ZBDN,

:.NB=ND,設(shè)NB=ND=a,貝!]NM=Ml=5-a,

:.NE=4—a,ME-NM—NE—5—a—(A-a)=1,

在RtABCAl和RtBEM中,

[BC^BE

[BM=BM，

.-.RtBCM且RtBEM(HL),

:.CM=EM=1,

.?.3=4—1=3,

(O°<?<90°)不存在AN為底的情況，

當(dāng)跖V為底時(shí)，AM=AN,ZANM=ZAMN,

D

NBDE=/BAC,

ZDBN=ZDNB,

;.DN=DB=5,NE=DN-ED=5-4=1,

BN=4BE。+NE，=A/32+12=A/10，

：.AM=AN=AB-BN=5-J10,

故答案為：AM=5-W或40=3.

22（14分）.在RtAABC中，NC=90。，點(diǎn)M為邊A3的中點(diǎn)，點(diǎn)。在邊BC上.

(1)若AC=3,BC=4,MD±AB(如圖①)，求MD的長(zhǎng)；

(2)過點(diǎn)M作與邊AC交于點(diǎn)E(如圖②)，試探究：線段AE、ED.08三者之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)。“=翌；

O

⑵即2=AE2+B￡)2.理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).

(1)證明也是線段A3的垂直平分線，利用勾股定理求得的=個(gè)，AB^5,再利用面積法求解即可;

O

(2)作AN〃3C交DM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,證明4430絲△BDAf(AAS),推出AN=&),MN=MD,由

線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，得到?。?硒，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解:連接AD,

:點(diǎn)M為邊42的中點(diǎn)，M