第2節(jié)解一元二次不等式（知識點精講）

第2節(jié)解一元二次不等式考點一一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))x≠－\f(b,2a)))R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??

考點二恒成立問題由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0對任意實數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4ac＜0.))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0對任意實數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b2－4ac＜0.))重難點題型1、等式與不等式例1.（2024高二下·湖南婁底·學業(yè)考試）若，則下列各式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及反例即可求解.【詳解】對于A，因為，不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，所以，故A正確；對于B，因為，不等式兩邊同時乘（或除以）同一個小于的整式，不等號方向改變，所以，故B錯誤；對于C，因為，不等式兩邊同時乘（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變，所以，故C錯誤；對于D，若，，此時，故D錯誤.故選：A.例2.（2324高一上·湖南益陽·期末）（多選題）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進行判斷可得結(jié)論.【詳解】因為，，根據(jù)不等式的性質(zhì)，則，故A正確；同理：，故BC正確.如，，但不成立，故D錯誤.故選：ABC【變式訓練1】、（2324高二下·安徽蕪湖·階段練習）下列命題中真命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)一一判定選項即可.【詳解】對于A，若，顯然不能得出，故A錯誤；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若，則，故C錯誤；對于D，若，則，故D正確.故選：D【變式訓練2】、（2324高一上·云南昭通·期末）（多選題）已知，，則下列不等式中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用不等式性質(zhì)一一判定即可.【詳解】因為，所以，所以，則A錯誤；由可得，，則B錯誤；由，可得，則C正確；由可知，，故，則D正確．故選：AB．重難點題型2、一次二次不等式（不含參數(shù)）例3.（2324高一上·北京·期中）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法計算可得.【詳解】不等式，即，解得，所以不等式的解集為.故選：A例4．（2324高一上·北京·期中）解關(guān)于的不等式.(1);(2)(3).【答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】由公式解不含參數(shù)的一元二次不等式，分類討論解含參數(shù)的一元二次不等式.【詳解】（1）不等式，即，解得，所以不等式的解集為；（2）不等式，即，解得或，所以不等式的解集為；（3）不等式，當時，解集為或，當時，解集為或，當時，解集為.【變式訓練3】、（2324高一上·湖南婁底·期末）不等式的解集是．【答案】【分析】直接根據(jù)因式分解的方法求解即可.【詳解】由題意，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：.【變式訓練4】、（2324高一上·北京東城·期中）求不等式的解集.(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】把一元二次不等式的左邊分解因式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象即得其解集.【詳解】（1）由可得，則得或，故不等式的解集為；（2）由可得，則得,故不等式的解集為.重難點題型3、一次二次不等式（含有參數(shù)）例5.（2324高一上·廣東珠?！て谥校ǘ噙x題）已知關(guān)于的不等式的解集為，，，則（）A．B．C．的解集是D．的解集是或【答案】CD【分析】由題意可得1和5是方程的兩根，且，利用韋達定理可得與的關(guān)系，然后逐項判斷可得答案.【詳解】由題意可得和5是方程的兩根，且，由韋達定理可得，得，對于A，因為，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，不等式，即，即，得，∴不等式的解集是，故C正確；對于D，由不等式，得，即，則，得或，即解集為或，故D正確.故選：CD.例6.（2223高一上·江蘇宿遷·階段練習）若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，直接求解不等式即可.【詳解】由，得，解不等式，得，所以不等式的解集是.故選：A例7.（2324高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分類討論，結(jié)合一元二次不等式解集的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由題意可知恒成立，當時，恒成立，當時需滿足，即，求得，所以實數(shù)的取值范圍是故選：C【變式訓練5】、（2324高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，則不等式的解集是（用集合表示）．【答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出b、c與a的關(guān)系，代入所求不等式，求出解集即可．【詳解】不等式的解集為，∴，且1，2是方程的兩個實數(shù)根，∴，解得，，其中；∴不等式化為，即，解得，因此所求不等式的解集為.故答案為：．【變式訓練6】、（2324高一上·山東濱州·期末）一元二次不等式對于一切實數(shù)都成立，實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】利用二次不等式恒成立的條件得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】因為是一元二次不等式，所以，又對一切實數(shù)成立，所以，解得，則的取值范圍是.故答案為：.【變式訓練7】、（2324高一下·河北張家口·開學考試）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定一元二次不等式的解集求出，再代入解不等式即可.【詳解】不等式的解集為，則是方程的兩個根，且，于是，解得，則不等式為，解得或，所以不等式的解集為或.故選：D重難點題型4、分式不等式例8.（2324高一下·安徽·階段練習）不等式的解集為（

）A．或 B． C．或 D．【答案】A【分析】移項、通分，再轉(zhuǎn)化為等價的一元二次不等式，解得即可.【詳解】不等式，即，等價于，解得或，所以原不等式的解集為或.故選：A例9.（2324高一上·新疆喀什·期末）不等式的解集是.【答案】【分析】利用分式不等式的解法做即可.【詳解】……①……②由①②可得的解集為：.故答案為：.【變式訓練8】、（2324高一下·湖南株洲·階段練習）關(guān)于的不等式：的解集為（

）A． B．C