高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）等式與不等式性質(zhì)（學(xué)生版+解析）

專(zhuān)題04等式與不等式性質(zhì)、一元二次不等式

（核心考點(diǎn)精講精練）

【備考策略】1.梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)

2.能夠利用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題

3.會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及根的個(gè)數(shù)

4.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式:并能用集合和區(qū)間表示

5.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)方程的聯(lián)系

考點(diǎn)梳理

知識(shí)講解

1箋#的，曲話(huà)

2.作差法比較大小關(guān)系

a-b>Q<=>a>b

a—b=boa=b

a-b<O<^a<b

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)稱(chēng)性a>b<^>b<a

性質(zhì)2傳遞性a>b,b>coa>c

性質(zhì)3可加性a>b=a+c>b+c

性質(zhì)4可乘性a>b,oQ^aobc

性質(zhì)5同向可加性a>b,c>da+ob+d

性質(zhì)6同向同正可乘性a>b>0,c>d>O=>ac>bd

n,!

性質(zhì)7可乘方性a>b>O=>a>Z?(neN+,n>2)

性質(zhì)8可開(kāi)方性a>b>4nf>&(neN+,?>2)

,,b+mbb~maa+maa-m

若a>b>0m>0,則一~;->------，(Z7—m>0)；T>TT";T<7----,(Z?—m>0).

9aa+maa-m')bb+mbb~m'7

4.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y=ax2+bx+c{a0)a>0a<0

/

函數(shù)圖象7：一「

開(kāi)口方向向上向下

b

對(duì)稱(chēng)軸方程X-------

2a

4ac-b2

最值y-,

4a

5.一元二次方程求根公式及韋達(dá)定理

一元二次方程求根公式

r~^

ax2+bx+c=0(aw0)的根為：x=-------{aw0,b1-4ac>0)

韋達(dá)定理(根與系數(shù)的關(guān)系)

b

%]+%2-.........

ax2+Zzx+c=0(aw0)的兩根為花,x；則<a

2c

%.入2=一

a

6.解一元二次不等式

“三個(gè)二次”：一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)的聯(lián)系

判別式

A>0A=0A<0

A=/?2-4ac

一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根

有兩個(gè)不等實(shí)根

ax2+bx+c-0（?手0）b無(wú)實(shí)數(shù)根

匹,X。（設(shè)%V冗2）X—x—------

的根A19-2a

二次函數(shù)

y-ax2+bx+c（a>0）

的圖象4^L|X\=ZX2XV

2

6zx+bx+c>0(a>0)[^x<x^c>x]

i2R

的解集

ax2-\-bx+c<0(Q>0)

{R%<X<X2}00

的解集

Qf+Zzx+cXXaWO）恒成立的充要條件是：a>0且廬一4QC<0（X￡R）.

Qr+bx+cVOmWO）恒成立的充要條件是：a<0且b2—4ac<0（xR）.

7.解分式不等式

②^〉oO/(x)g(x)〉0

①<0Of（x）g（x）<0

f(x)g(x)>0

③也<onp（哄次。

了（尤）I，（X）H。④tHi/(無(wú))?！?/p>

例題：

——>0=>(3x+2)(2x-3)>0=>x<一或x>3

2%—332

x—51

--------<0=>(x-5)(2x+l)<0=>——<x<5

2x+l2

3x-2(3x-2)(4x+l)<0

V0=><

4x+l4x+lwO

1-1

x<——或無(wú)之一

3x+l3%+l(3x+l)(3x-l)>0_,1-1

WOnNOn33x?—x>一

l-3x3x-l3%—1wO133

x豐一

3

x(x-l)>0x<0或x>l

-<l^--l<0=>—<0^—nx<0或x>l

XXXXx。0犬w0

8.解單絕對(duì)值不等式

W>a[a>0)=%<-1或%之〃

W<a(a>0)=>-6Z<x<4Z

國(guó)>1的解集為：{Rxv—1或%>1}

73

|2x+5|<2^-2<2x+5<2^-7<2x<-3^——<x<——

22

考點(diǎn)一、由不等式性質(zhì)判斷式子大小關(guān)系

典例引領(lǐng)

1.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若。，b,ceR,且。>b,則下列不等式一定成立的是（）

2

A.a+c>b—cB.（^a—b^c2>0C.ac>bcD.------>0

a-b

2.（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考一模）若a,b,。為實(shí)數(shù)，且c>0,則下列不等關(guān)系一定成立的是（）

A.a+cvb+cB.—<7-C.ac>bcD.b-a>c

ab

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列不等式正確的是（）

A.若ac?Nbc?,則

B.若￡〉￡,則〃</?

ab

C.若1+人>0,c—b>0,貝!Ja>c

...1a+ma

D.右a>0,b>0m>0,且〃</?,則^---->—

fb+mb

2.（2023?廣東廣州?廣州市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）^-<7<0,則下列結(jié)論中不正確的是（）

ab

A.a2<b2B.ab<b2

C.a+b<0D.同+例

3.（2023?湖南永州?統(tǒng)考三模）已知。也CER,下列命題為真命題的是（）

A.若Z?<a<0,則/?七2〈〃P2B.若人>〃>0>c,貝！]￡<，

ab

C.若c>b>a>0,則">"D.若Q>Z?>C>0,則.〉：十。

c-ac-bbb+c

4.（2023?吉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)。力,c,d滿(mǎn)足0<a<&c<d<0,則下列不等式一定成立的是（）

A.-<7B.c<bc

aba

考點(diǎn)二、由不等式范圍求解不等式范圍

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知人e[0,l],a+6e[2,4],則4a-26的取值范圍是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

即時(shí)檢測(cè)

f1<a+b<3

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知。，且滿(mǎn)足<17」則4a+2）的取值范圍是？

考點(diǎn)三、作差法或作商法比較式子大小關(guān)系

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）比較（2〃+1）（〃-3）與（〃-6）（2々+7）+45的大小.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a>人>0,比較勺4與廳的大小

a+b~a+b

2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知。>0,b>0,試比較牛耳與紇|的值的大小?

a-+ba+b

考點(diǎn)四、由不等式性質(zhì)證明不等式

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知求證----1------->-------

b-ca-ba-c

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）證明命題：“若在△回（?中〃、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，則

cab?

---<----+----”

1+C1+Q1+Z?

考點(diǎn)五、解不含參的一元二次不等式及分式不等式

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）求下列不等式的解集：

（1）-X2+8X-3>0;

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）解下列不等式：

（1）-3—+6x42

（2）9X2-6^+1>0

（3）x2<6x-10

（4）-1<X2+2X-1<2

2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式生:42.

3尤-4

考點(diǎn)六、解含參的一元二次不等式

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）解關(guān)于龍的不等式a?-（a+l）x+l<0（aeR）.

☆即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式/一4尤+140.

2.（2023?全國(guó)?IWJ二專(zhuān)題練習(xí)）解下列關(guān)于1的不等式方之+（々+2）X+1>。（々w0）.

考點(diǎn)七、一元二次不等式在對(duì)應(yīng)區(qū)間的恒成立和有解問(wèn)題

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式2x-l>"z（尤2一1）.若不等式對(duì)于相且-2?恒成立，求實(shí)

數(shù)x的取值范圍

2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知xe[-3,4].

（1）不等式aVf-2x+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若不等式aW尤2-2彳+2有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)aw[2,3]時(shí)，不等式依?一％+1-a?0恒成立，求x的取值范圍.

2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=尤2+2辦-a+2.

（1）若對(duì)于任意xeR"（x）20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）若對(duì)于任意xe[-U]"（x）20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（3）若對(duì)于任意ae[-11]"（幻>0成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

考點(diǎn)八、多選題綜合

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于尤的一元二次不等式必+5了+〃?<0的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，則

實(shí)數(shù)式的值可以是（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)。>b>O>c>d,則下列不等式正確的是（）

A.ab>cdB.a-d>b-cC.ad.2>be2D.—>—

bead

☆即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式依2+Zzx+c>0的解集為（-°0,-2）D（3,+8）,則（）

A.a>0

B.不等式Zzx+c〉。的解集是{x[%<-6}

C.a+b+c>G

D.不等式ex?-fcv+a<0的解集為（-8,-§）u（/,+8）

2.（2023?山東?校聯(lián)考二模）已知實(shí)數(shù)。也。滿(mǎn)足且a+b+c=0,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.------>-------B.a—c>2bC.a1>b1D.ab+bc>0

a-cb-c

3.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若（依-4乂/+匕慳。對(duì)任意xe（-o>⑼恒成立，其中a,b是整數(shù)，貝h+b的

可能取值為（）

A.-7B.—5C.—6D._17

好題沖關(guān)

【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】

3

1.（2023?遼寧丹東?統(tǒng)考二模）不等式一^>1的解集為（）

x+2

A.{乂x<l,xw_2}B.{x|x>l}

C.{x|-2<x<l}D.{x[%v-2或%>1},

2.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若a,b,ceR,且a>〃，則下列不等式一定成立的是（）

A.a+c>b—cB.（?—Z?）c2>0C.ac>bcD.------>0

a-b

3.（2023?遼寧鞍山?鞍山一中?？级＃┤魧?duì)任意的x6（0,+8）,%2—如+1>。恒成立，則機(jī)的取值范圍是（）

A.（一2,2）B.（2,+8）C.（—8,2）D.（—8,2]

4.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列不等式正確的是（）

A.ac2>be2,則

B.若一>不，貝

ab

C.若a+/7>0,c-b>0f貝

D.右a>0,Z?>0,m>0,且則---->—

b+mb

5.（2023?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考三模）不等式加-（〃+2卜+220.<0）的解集為（）

B.2

_a_

「2

u[1,+oo）D.（一00,l]u-,+°0

a

6.（2023?遼寧?朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）命題“VXGR,2日2+日Tv?！睘檎婷}的一個(gè)必要不充分

條件是（）

A.（-8,0）B.（—8,0]C.[—8,0]D.（—3,0）

7.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）汕￡（—2,2）”是“VXER,爐_陵+120成立，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

8.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知〃>人>0>0,則下列不等式正確的是（）

11

A.—<-B.a3c<b3ccD.1g->0

ac-b-c

9.（2023?山東?校聯(lián)考二模）已知實(shí)數(shù)a,6,c滿(mǎn)足a>b>c,且a+Hc=0,則下列說(shuō)法正確的是（）

11

A.>----B.a-c>2bC.a2>b2D.ab+bc>Q

a-cb-c

10.（2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)郡中學(xué)?？级＃┮阎獙?shí)數(shù)。力,。滿(mǎn)足Ovavbvc,則下列說(shuō)法正確的是（）

11bb+c

A.---->----B.->------

c—ab-aaa+c

11

C.D.ab+c1>ac+be

ab^c-a^

【能力提升】

1.（2023?海南?？?海南中學(xué)?？级＃┰O(shè)x,yeR,則“x<3且y<3”是“x+y<6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023?廣東廣州?廣州市培正中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）己知a/eR,貝必">0是。問(wèn)-何目>0的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知相>0,則J>b>0"是》—的（）

a+ma

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

4.(2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知a>A>0,c>d>0,則下列不等式成立的是()

、,,—ab

A.a+c>b-^-dB.—>—

dc

C.(a+b)c>(a+b)dD.ca+b>da+b

5.（2023?湖南永州?統(tǒng)考二模）已知a,O,c￡R,下列命題為真命題的是（）

A.若Z?<a<0,^b-c1<a-c2B.若b>a>U>c,貝!]—<—

ab

abc11-1八rtjaQ+c

C.若貝U——>——D.右Q>Z7>C>0,貝----

c—ac-bbb+c

6.（2023?吉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)。力,Gd滿(mǎn)足。則下列不等式一定成立的是（）

cc

A.—<—B.ac<bc

ab

a-ca-dcc

C.---->-----D.----->-----

b-cb-da-db-c

7.（2023?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）已知J<o,則下列不等式一定成立的有（）

ba

”1i<0

A.B.

ac

aa+c,'2

C.一〈------:D.bc<ba

bb+c,'2

專(zhuān)題04等式與不等式性質(zhì)、一元二次不等

式

（核心考點(diǎn)精講精練）

【備考策略】1.梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)

2.能夠利用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題

3.會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及根的個(gè)數(shù)

4.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式:并能用集合和區(qū)間表示

5.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)方程的聯(lián)系

考點(diǎn)梳理

知識(shí)講解

a箋#的枇店

nh

性質(zhì)5如果a=b,cwO,那么一二—；

cc

1O.作差法比較大小關(guān)系

a-b>Q<^>a>b

a-b=bca=b

a-b<Q<^a<b

11.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)稱(chēng)性a〉bob<a

性質(zhì)2傳遞性a>b,b>coa>c

性質(zhì)3可加性a>b^>a+c>b+c

性質(zhì)4可乘性a>b,c>0^aobc

性質(zhì)5同向可加I性a>b,c>d^a+c>b+d

性質(zhì)6同向同正可乘性a>b>Q,c>d>O=>ac>bd

,,

性質(zhì)7可乘方性a>b>O^>a">Z?(neN+,n>2)

性質(zhì)8可開(kāi)方性a>b>0=>y[a>>4b{neN+,n>2)

b+mbb-maa+maa-m

若則一~;->----；

4>b>0,m>0,aa+maa-m,('fe—m>0)'Tb>b~\-TmTb-b--~--m-,('fe—m>0)7.

12.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

y=ax2+bx+c(a0)a>0a<0

函數(shù)圖象A/

7；

開(kāi)口方向向上向下

b

對(duì)稱(chēng)軸方程x=-----

2a

4ac-b2

最值y—.

4a

13.一元二次方程求根公式及韋達(dá)定理

一元二次方程求根公式

ax2+bx+c=0(aw0)的根為：x="土----(aw0,b2-Aac>0)

2a'7

韋達(dá)定理(根與系數(shù)的關(guān)系)

b

%+々=---

ax2+Zzx+c=0(aw0)的兩根為x,x；則<a

r2c

西?％2二一

a

14.解一元二次不等式

“三個(gè)二次”：一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)的聯(lián)系

判別式

A>0A=0A<0

A=Z?2-4ac

一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根

有兩個(gè)不等實(shí)根

ax2+bx+c-0（?w0）b無(wú)實(shí)數(shù)根

x,x（設(shè)/<x）X——-----

的根122A2a

4/

二次函數(shù)uV

y=ax2+bx+c(a>0)

的圖象X|vvX2|Xl=X2X

ax2-\-bx+c>0(a>0){小<石或C/}

R

的解集

?+Z?%+c<0(a>0)

{R%<%<X2)00

的解集

加+陵+。>0（〃/0）恒成立的充要條件是：a>0且Z?2—4?c<0（x^R）.

Q^+bx+cVogwo）恒成立的充要條件是：〃<0且Z?2—4?c<0（x^R）.

15.解分式不等式

①黑<Oo/（x）g（x）<。②〉。o/（6（6〉。

7(%)^(%)<o④twf(x)g(x)>0

③著。"176。I了(*。

例題：

——>0=>(3%+2)(2%-3)>0=>%<一或%

2%-332

x—5

<0(x—5)(2%+1)<0—/<%<5

2x+l

12

——<x<—

(3x-2)(4x+l)<012

43n——<%<—

4x+l4x+lw0143

%w——

4

I-i

x<——或x>-

(3x+l)(3x-l)>0151

2￡±1<O^^±1>O^33xW—x>一

l-3x3x-l3x-lwO133

xw一

3

I11—VV—1x(x-1)>0x<0或x>l

—Win——l〈0n—-<0=>--NOnInx<0或x>l

XXXXxw0%w0

16.解單絕對(duì)值不等式

W>a(a>O)nxW—a或xNa

W<a(a>0)n—a<x<a

W>1的解集為：{%|x<—1或X>1}

73

|2x+542n—2K2x+5K2n—7K2xW—3n——<x<——

1122

考點(diǎn)一、由不等式性質(zhì)判斷式子大小關(guān)系

典例引領(lǐng)

4^4...........

1.(2023?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若。，b,ceR,且。>b,則下列不等式一定成立的是

()

/\2H

A.a+c>b—cB.ya—b)c>0C.ac>bcD.------>0

a-b

【答案】B

【分析】利用不等式的性質(zhì)，判斷選項(xiàng)的結(jié)論是否成立.

【詳解】若〃=2,b=l,c=-2,滿(mǎn)足但a+c=O,b-c=3,a+c>b-c不成立，

A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

a>b,c2>0,則有々/之灰^,gp(^a-b^c2>0,B選項(xiàng)正確;

a>b,當(dāng)cKO時(shí)，ac>歷不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

當(dāng)B=o時(shí),=0,則D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

a-b

故選：B

2.（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考一模）若a,b,c為實(shí)數(shù)，且a<6,c>0,則下列不等關(guān)系一定

成立的是（）

1<1

A.a+c<b+cB.^<bC.ac>bcD.b-a>c

【答案】A

【分析】由不等式的基本性質(zhì)和特值法即可求解.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)

或同一個(gè)整式，不等號(hào)方向不變，則a+A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等

號(hào)方向改變，若〃=一2,b=-\,則B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等

號(hào)方向不變，c>0,G<a<b^>ac<bc,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椤?gt;0,所以無(wú)法判斷人-〃與。大小，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列不等式正確的是（）

A.若ac2Nbc1,貝Ija'h

B.若則

ab

C.若a+b>0,c-b>0,則

D.若a>0,b>0,m>0,且〃<b,貝lj>—

b+mb

【答案】D

【分析】舉例說(shuō)明選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤；利用作差法證明選項(xiàng)D正確.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)c=0,a=-l,b=2時(shí)滿(mǎn)足a/之尻巳但。<匕，所以A錯(cuò)誤；

cc

對(duì)于B,當(dāng)。=一1,a=-2人=一3時(shí)，滿(mǎn)足一>不，但所以B錯(cuò)誤；

fab

3

對(duì)于C,由不等式的基本性質(zhì)易知a+c>0,當(dāng)〃=一1,人=5,。=2時(shí)滿(mǎn)足a+b>0,。一/?>0,

但所以C錯(cuò)誤；

一十a(chǎn)+ma（a+m）b-a（b+m）（b-a）ma+ma-十也

對(duì)于D,----------=--------7------r;--------=77-------">。，所以^---->丁，故D正確.

b+mbyb+m）b（^b+mjbb+mb

故選：D.

2.(2023?廣東廣州?廣州市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))若工<；<0,則下列結(jié)論中不正確的是

ab

()

A.a2<b2B.ab<b2

C.a-^b<QD.|4+例

【答案】D

【解析】由題意先求出b<，<0,根據(jù)它們的關(guān)系分別用作差法判斷A和B選項(xiàng)，利用不等

式的性質(zhì)判斷。選項(xiàng)，由幾何意義判斷。選項(xiàng).

【詳解】解：<一<丁<。，.,./?<4?<0?

ab

A>Qb<a<0,/.a-b1=(a-b)(a-^-b)<0,則〃？〈力2,故A對(duì)；

B>ab-b1=b(a-b)<0,則"故3對(duì)；

C、Qb<a〈b,/-a+b<0,故C對(duì)；

D、Qb<a<0,.1。1+16=1〃+切成立，故。不對(duì).

故選：D.

3.(2023?湖南永州?統(tǒng)考三模)已知4ccR,下列命題為真命題的是()

A.若b〈a〈U,則/B.若Z?>a>0>c,則一<—

ab

?ab

C.若c>b>a>0,則---->----D.右a>Z7>c>0,貝U—>------

c—ac—bbb+c

【答案】BD

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合作差法逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，ac2-be2=c2{a-b),因?yàn)槿?lt;。<0,所以〃一人>0,所以

所以。2(〃—》)之0,即：/>c2<a-c2f故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于B項(xiàng)，￡一￡=絲二色，因?yàn)樨?gt;。>0>。，所以c(6-a)<0,必>0,所以

abab

ccc(b-a)八口rcc

一—7=-5——<0,即1：故B項(xiàng)正確；

ababab

，一.abc(a-b)_,~,

對(duì)于C項(xiàng)，------------------...—，因?yàn)樗詂-a>0,c-b>0,a-b<G,

c-ac-b(c-a)(c-b)

abc(a-b)<0,即：W

所以故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

c-ac-b(c-a)(c-b)c-ac-b

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)檑遖+ca(b+c)—b(a+c)_(a—b)c

b+cb(b+c)b(b+c)

又因?yàn)閍>Z?>c>0,所以a-b>0,b+c>Q,

▽,、，（“一匕）。nUHaa+c,,

所以訴y>°'即：廣訂7'故D項(xiàng)正確?

故選：BD

4.（2023?吉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)"c,d滿(mǎn)足0<a<b,c<d<0,則下列不等式一定

成立的是（）

A.-<yB.c<bc

aba

b-cb-da-db-c

【答案】AC

【分析】根據(jù)作差法，結(jié)合舉反例判斷即可.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)?又0<a<6,c<0,故）一a）°<o,則故A

abababab

正確;

對(duì)B,取a=l,Z?=2,c=-1,因?yàn)椤?1>2一=；,故B錯(cuò)誤;

a—cd—d——c)—(々_1)(匕_。)(a-/?)((?一1)

對(duì)C,因?yàn)橛深}意，c<d,

b-cb—d(6—c)(6—d)—，

(a—b)(c—d).a—ca—d

b>c,b>d,故>0,即ar---->-----故C正確;

(b-c)(b-d)b-cb-d

-2-21?,cc

對(duì)D,取a=l,b=2,c=—2,d=—l,則1-(-1)―_1,2-(-2)~~2'貝!]----<——故D錯(cuò)

a-db-c

誤;

故選：AC

考點(diǎn)二、由不等式范圍求解不等式范圍

匕典例引領(lǐng)

1.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知a-be[0,l],a+6e[2,4],則4a-26的取值范圍是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【答案】B

【分析】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計(jì)算求解.

【詳解】設(shè)4a—2Z?=M(a—b)+”(a+b)=(m+n)a—(m—")b,

m+n=4m=3

所以C，解得

m-n=2n=l

所以4a—26=3(a—b)+(〃+/?),

又〃一人￡[0,1],々+人￡[2,4],

所以356閆0,3],4〃-2b?2,7],故A,C,D錯(cuò)誤.

故選：B.

即時(shí)檢測(cè)

f1<a+b<3

1.（2023?全國(guó)?局三專(zhuān)題練習(xí)）已知。，Z?GR,且滿(mǎn)足1貝!J4a+2b的取值范

[—1<a—b<1

圍是？

【答案】[2,10]

【分析】由4。+2，=3（。+勿+團(tuán)-公，再結(jié)合同向不等式的可加性求解即可.

/、/、[A+B=4（A=3

【詳解】設(shè)4a+?=AS+6）+B（?！?）,貝U-叫,，解得々一，

所以4a+2Z?=3（a+/?）+（〃-/?）,

又l<a+b<3,所以3?3（a+Z?）?9,

又一〃<1,

所以3—l<4a+2Z?V9+l,

即2<4a+2b?10.

故4a+2b的取值范圍為[2,10].

考點(diǎn)三、作差法或作商法比較式子大小關(guān)系

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）比較（2a+l）（a-3）與（a—6）（2a+7）+45的大小.

【答案】（2o+l）（<7-3）<（o-6）（2a+7）+45

【分析】做差比較大小即可.

[詳解],.,（2a+l）（a-3）-[（<2-6）（2a+7）+45]=（2a2-5a-3）-（2tz2-5<a+3）=-6<0,

（2a+l）（a-3）<（a—6）（2a+7）+45.

即時(shí)檢測(cè)

1（2。23?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a>，>。，比較工與公的大小

/_/72a_h

【答案】—;——7>-------

a+Z?a+b

【分析】先判斷兩個(gè)式子的符號(hào)，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.

【詳解】???a>b>0^a+b>0,a-b>0,

a+ba+ba+b

.（a+b>」，2ab

2222

"a-b~a+b~a+b'

a+b

a2+b2a+b

2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知a>0,b>0,試比較之耳.與胃的值的大小.

a+ba+b

【答案】若a>b,貝若?！捶剑瑒t^;若。=6,〃2_/72a_b

ct+h〃+Z?a+h。+Z?/+從a+b