6.1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第六章計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理人教A版

數(shù)學(xué)

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)學(xué)習(xí)單元1

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是人們在大量實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上歸納出來的基本規(guī)律,它們是推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的依據(jù),其基本思想和方法貫穿本章內(nèi)容的始終.從思想方法的角度看:運用分類加法計數(shù)原理解決問題就是將一個復(fù)雜問題分解為若干“類別”,然后各個擊破,分類解決;分步乘法計數(shù)原理則是將一個復(fù)雜問題的解決過程分解為若干“步驟”,先對每一個步驟進(jìn)行細(xì)致分析,再整合為一個完整的過程.本學(xué)習(xí)單元通過具體的實例,讓學(xué)生經(jīng)歷由分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的探究過程,理解“分步”與“分類”的區(qū)別和聯(lián)系.在此基礎(chǔ)上,提出本學(xué)習(xí)單元的研究路徑:實際問題—分類加法計數(shù)原理—實際問題—分步乘法計數(shù)原理—應(yīng)用.這也是學(xué)習(xí)本單元的知識明線,具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下圖所示:本學(xué)習(xí)單元的最終學(xué)習(xí)目標(biāo)是正確理解“完成一件事情”的含義,根據(jù)實際問題的特征,正確區(qū)分“分類”或“分步”,能歸納得出分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,能應(yīng)用它們解決簡單的實際問題.在學(xué)習(xí)過程中,認(rèn)真感悟“分類”與“分步”的聯(lián)系與區(qū)別,體會數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理.(數(shù)學(xué)抽象)2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數(shù)問題.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

分類加法計數(shù)原理完成一件事有

不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=

種不同的方法.

名師點睛應(yīng)用分類加法計數(shù)原理的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,怎么才算是完成這件事.(2)確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),準(zhǔn)確地對“這件事”進(jìn)行分類,不同類方案中的方法互不相同,也就是分類必須既“不重復(fù)”也“不遺漏”.從集合的角度看,若完成一件事分兩類方案,兩類方案可看作集合A,B,則A∩B=?,A∪B=U(U表示全集).兩類

m+n微思考分類加法計數(shù)原理中每類方案的特征是什么?提示

每類方案中的任何一種方法都可以獨立完成這件事.知識點2

分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要

步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=

種不同的方法.

名師點睛應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事必須要完成幾步.(2)根據(jù)題意正確分步,要求各步之間必須關(guān)聯(lián),只有按照這幾步逐步地去做,才能完成這件事,各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏.兩個

m×n微思考分類加法計數(shù)原理每一類方案中的方法和分步乘法計數(shù)原理每一步中的方法有何區(qū)別?提示

分類加法計數(shù)原理每一類方案中的每種方法都可以單獨完成一件事情,而分步乘法計數(shù)原理每一步中的方法不能獨立完成一件事情.知識點3

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:回答的都是有關(guān)做一件事的

種數(shù)的問題.

2.區(qū)別:分類加法計數(shù)原理針對的是

問題,其中各種方法

,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對的是

問題,各個步驟中的方法

,只有每一個步驟都完成才算做完這件事.

微思考當(dāng)一個事件既需要分步又需要分類時,分步和分類有何先后順序嗎?不同方法

“分類”相互獨立

“分步”互相依存

提示

當(dāng)一個事件既需要分步又需要分類時,通常要明確是先分類后分步還是先分步后分類,并且要明確分類的標(biāo)準(zhǔn)和分步的程序問題.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1如果完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,在第3類方案中有m3種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法?問題2如果完成一件事需要n個步驟,第1步有m1種不同的方法,第2步有m2種不同的方法,第3步有m3種不同的方法……第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法?探究點一分類加法計數(shù)原理問題3如果完成一件事情有n類不同的方案,每一類方案有多種不同的方法,那么計算完成這件事的方法數(shù),我們采用分類加法計數(shù)原理.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,如何解決以下實際問題?有什么啟發(fā)?【例1】

某校高三共有三個班,各班人數(shù)如下表:班級男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,有多少種不同的選法?(2)從高三(1)班男生、高三(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,有多少種不同的選法?解

(1)從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,共有三類不同的方案.第1類,從高三(1)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法;第2類,從高三(2)班中選出1名學(xué)生,有60種不同的選法;第3類,從高三(3)班中選出1名學(xué)生,有55種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,不同選法的種數(shù)為50+60+55=165.(2)從高三(1)班男生、高三(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,共有三類不同的方案.第1類,從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第2類,從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第3類,從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生,有20種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從高三(1)班男生、高三(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,不同選法的種數(shù)為30+30+20=80.規(guī)律方法

利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路

探究點二分步乘法計數(shù)原理問題4如果完成一件事情有n個不同的步驟,每一個步驟有多種不同的方法,那么計算完成這件事的方法數(shù),我們采用分步乘法計數(shù)原理.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,如何解決以下實際問題?【例2】

一種號碼鎖有4個撥號盤,每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字,這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字的組合號碼?(各位置上的數(shù)字允許重復(fù))解

4個撥號盤組成四位數(shù)字的組合號碼可以分四步完成:第1步,第1個撥號盤有10種撥號方式,所以m1=10;第2步,第2個撥號盤有10種撥號方式,所以m2=10;第3步,第3個撥號盤有10種撥號方式,所以m3=10;第4步,第4個撥號盤有10種撥號方式,所以m4=10.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共可以組成N=10×10×10×10=10

000個四位數(shù)字的組合號碼.規(guī)律方法

利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路

探究點三兩個計數(shù)原理的應(yīng)用問題5當(dāng)完成一件事情有n類不同的方案,其中的若干類方案可以分為多個步驟完成這件事情.此時完成這件事情,我們需要將分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理一起使用.如何正確地“分類”與“分步”,解決以下實際問題?【例3】

某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教,有多少種不同的選法?解

由題意知,有1人既會英語又會日語,6人只會英語,2人只會日語.設(shè)既會英語又會日語的人為甲,則甲有入選、不入選兩類情形,入選后又要分兩種:(1)教英語;(2)教日語.第1類:甲入選.(1)甲教英語,再從只會日語的2人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有1×2=2種選法;(2)甲教日語,再從只會英語的6人中選1人,由分步乘法計數(shù)原理,有1×6=6種選法.故甲入選的不同選法種數(shù)為2+6=8.第2類:甲不入選.可分兩步:第1步,從只會英語的6人中選1人有6種選法,第2步,從只會日語的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計數(shù)原理知,有6×2=12種不同的選法.綜上,不同選法種數(shù)為8+12=20.規(guī)律方法

1.使用兩個原理的原則使用兩個原理解題時,一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是將較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決;“分步”就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟,然后逐步解決.2.應(yīng)用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計數(shù)原理進(jìn)行計算.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)分類加法計數(shù)原理;(2)分步乘法計數(shù)原理.2.方法歸納:分類討論.3.常見誤區(qū):分不清“分類”與“分步”的判斷方法,導(dǎo)致計數(shù)錯誤.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123456789101112A級必備知識基礎(chǔ)練1.十字路口來往的車輛,如果不允許掉頭,則不同的行車路線有(

)A.24種

B.16種

C.12種

D.10種C解析

可分為四類,從每一個方向的入口進(jìn)入都可作為一類,如圖,從第1個入口進(jìn)入時,有3種行車路線;同理,從第2個,第3個,第4個入口進(jìn)入時,都分別有3種行車路線.由分類加法計數(shù)原理可得,不同的行車路線種數(shù)為3+3+3+3=12.故選C.1234567891011122.將3個不同的小球放入4個盒子中,不同放法種數(shù)為(

)A.81 B.64C.14 D.12B解析

將3個不同的小球放入4個盒子中,每個小球不同放法的種數(shù)都為4.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同放法的種數(shù)為4×4×4=64.1234567891011123.若x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,則滿足條件的不同的有序自然數(shù)對(x,y)的個數(shù)是(

)A.15 B.12 C.5 D.4A解析

利用分類加法計數(shù)原理.當(dāng)x=1時,y=0,1,2,3,4,5,有6個不同的有序自然數(shù)對;當(dāng)x=2時,y=0,1,2,3,4,有5個不同的有序自然數(shù)對;當(dāng)x=3時,y=0,1,2,3,有4個不同的有序自然數(shù)對.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得,不同的有序自然數(shù)對的個數(shù)為6+5+4=15.1234567891011124.有不同的語文書9本,不同的數(shù)學(xué)書7本,不同的英語書5本,從中選出不屬于同一學(xué)科的書2本,則不同的選法有(

)A.21種

B.315種

C.153種 D.143種D解析

由題意,選一本語文書、一本數(shù)學(xué)書的選法種數(shù)為9×7=63,選一本數(shù)學(xué)書、一本英語書的選法種數(shù)為7×5=35,選一本語文書、一本英語書的選法種數(shù)為9×5=45.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為63+45+35=143.故選D.1234567891011125.數(shù)獨是一種受人喜愛的數(shù)學(xué)游戲.如圖是數(shù)獨的一個簡化版,由3行3列9個單元格構(gòu)成.玩該游戲時,需要將數(shù)字1,2,3(各3個)全部填入單元格,每個單元格填一個數(shù)字,要求每一行、每一列均有1,2,3這三個數(shù)字,則不同的填法有(

)A.12種

B.24種

C.72種

D.216種A解析

先填第一行,有3×2×1=6種不同填法,再填第二行第一列,有2種不同填法,當(dāng)該單元格填好后,其他單元格唯一確定.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有6×2=12種不同的填法.故選A.1234567891011121234567891011126.某班小張等4名同學(xué)報名參加A,B,C三個課外活動小組,每名同學(xué)限報其中一個小組,且小張不能報A小組,則不同的報名方法有(

)A.27種

B.36種

C.54種

D.81種C解析

小張的報名方法有2種,其他3名同學(xué)的報名方法各有3種,由分步乘法計數(shù)原理知,共有2×3×3×3=54種不同的報名方法,故選C.1234567891011127.為了進(jìn)一步做好社區(qū)疫情防控工作,從6名醫(yī)護(hù)人員中任意選出2人分別擔(dān)任組長和副組長,則有

種不同的選法.

30解析

第1步,從6人中選1人擔(dān)任組長,共有6種不同的選法;第2步,從剩余5人中選1人擔(dān)任副組長,共有5種不同的選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,從6名醫(yī)護(hù)人員中任意選出2人分別擔(dān)任組長和副組長共有6×5=30種不同的選法.1234567891011128.由1,2,3這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒有重復(fù))所組成的自然數(shù)有

個.

15解析

分三類:第一類,一位數(shù)有1,2,3,共3個自然數(shù);第二類,兩位數(shù)有12,21,23,32,13,31,共6個自然數(shù);第三類,三位數(shù)有123,132,213,231,321,312,共6個自然數(shù).根據(jù)分類加法計數(shù)原理,所組成的自然數(shù)的個數(shù)為3+6+6=15.123456789101112B級關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)有4位教師在同一年級的4個班中分別擔(dān)任數(shù)學(xué)老師,在數(shù)學(xué)測驗時要求每位教師不能在本班監(jiān)考,則監(jiān)考的方法有(

)A.8種 B.9種

C.10種 D.11種AB12345678910111210.計劃在4個體育館舉辦排球、籃球、足球3個項目的比賽