第三章 一元一次方程6類題型突破

第三章一元一次方程（題型突破）【考點一等式的基本性質(zhì)】例題：（2023秋·廣西南寧·八年級南寧二中?？奸_學(xué)考試）下列判斷正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）如下圖可以表示的等式變形是（

）（其中、、均為正數(shù)）

A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么2．（2023秋·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）下列說法中錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【考點二一元一次方程的定義】例題：（2023春·福建泉州·七年級統(tǒng)考期中）若是關(guān)于x的一元一次方程，則a的值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）如果方程是關(guān)于的一元一次方程，則．3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如果是關(guān)于x的一元一次方程，則m＝．【考點三一元一次方程的解】例題：（2023秋·甘肅蘭州·七年級?？计谀╆P(guān)于x的方程的解是，則a的值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·吉林長春·七年級校聯(lián)考期中）若是方程的解，則的值為．2．（2023春·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的方程的解為，則代數(shù)式的值為．【考點四解一元一次方程】例題：（2023秋·七年級課時練習(xí)）解方程：(1)； (2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）解方程：(1)； (2)．2．（2023春·河北秦皇島·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）解方程(1) (2)；3．（2023春·河南南陽·七年級校考階段練習(xí)）解方程：(1) (2)4．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）解方程．(1) (2)【考點五列一元一次方程】例題：（2023秋·七年級課時練習(xí)）一個長方形場地的周長為米，長比寬的倍少米．如果設(shè)這個場地的寬為米，那么可以列出方程為．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·七年級課時練習(xí)）某學(xué)校在“讀一本好書”活動中，為學(xué)生購買了名著《三國演義》20套，《西游記》16套，共用了1820元，其中《三國演義》每套比《西游記》每套多1元，求《三國演義》和《西游記》每套各多少元？設(shè)《西游記》每套元，可列方程為．2．（2023秋·七年級課時練習(xí)）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作．書中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問：有多少匹大馬、多少匹小馬？若設(shè)小馬有匹，則可列方程為．3．（2023春·山東泰安·六年級?？奸_學(xué)考試）某工廠有28名工人生產(chǎn)A、B兩種零件，每人每天可以生產(chǎn)A零件500個或B零件800個．1個A零件需要配4個B零件，為使每天生產(chǎn)的兩種零件剛好配套．應(yīng)安排生產(chǎn)A零件的工人多少名？設(shè)應(yīng)安排生產(chǎn)A零件的工人x名，根據(jù)題意可列出方程．【考點六一元一次方程的應(yīng)用】例題：（2023春·福建福州·九年級校考期中）“曹沖稱象”是中國民間流傳很廣的故事，故事中稱象的方案是這樣的；先將象牽到船上，并在船側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出，然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個搬運工，這時水位恰好在標(biāo)記位置，如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個搬運工，水位在標(biāo)記位置不變，若每塊條形石的重量都是240斤，求該頭象的重量是多少？（假設(shè)每個搬運工體重都相同）【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·七年級課堂例題）某車間有28名工人生產(chǎn)甲、乙兩種零件，平均每人每天可生產(chǎn)甲種零件12個或乙種零件18個，要使每天生產(chǎn)的甲、乙兩種零件按配套組裝，則生產(chǎn)這兩種零件的工人應(yīng)該如何安排？2．（2023秋·全國·七年級課堂例題）某商店購進(jìn)一批文化衫，將文化衫打折銷售．如果每件文化衫按標(biāo)價的5折出售，那么每件將虧本20元；如果每件文化衫按標(biāo)價的8折出售，那么每件將盈利40元．(1)每件文化衫的標(biāo)價是多少元？(2)如果按成本價售出，那么該文化衫打了幾折？3．（2023秋·福建福州·七年級福建省福州第一中學(xué)校考開學(xué)考試）甲乙兩地相距480公里，一列慢車從甲地開出，每小時行60公里，一列快車從乙地開出，每小時行140公里．(1)慢車先開1小時，快車再開．兩車相向而行．問快車開出多少小時后兩車相遇？(2)兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？4．（2023秋·山東泰安·六年級統(tǒng)考期末）某校六年級準(zhǔn)備觀看電影《萬里歸途》，由各班班長負(fù)責(zé)買票，每班人數(shù)都多于40人，票價每張30元，一班班長問售票員買團體票是否可以優(yōu)惠，售票員說：40人以上的團體票有兩種優(yōu)惠方案可選擇：方案一：全體人員可打8折；方案二：若打9折，有5人可以免票．(1)若二班有42名學(xué)生，則他該選擇哪個方案？(2)一班班長思考一會兒說，我們班無論選擇哪種方案要付的錢是一樣的你知道一班有多少人嗎？

第三章一元一次方程（題型突破）參考答案【考點一等式的基本性質(zhì)】例題：（2023秋·廣西南寧·八年級南寧二中?？奸_學(xué)考試）下列判斷正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)依次判斷．【詳解】解：A、若，且時，則，故本選項不符合題意；B、若，則，故本選項符合題意；C、若，則，故本選項不符合題意；D、若，則，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】此題考查了等式的性質(zhì)，熟記等式的性質(zhì)并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）如下圖可以表示的等式變形是（

）（其中、、均為正數(shù)）

A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】C【分析】觀察圖形可得，兩邊的物品都變?yōu)橹暗囊话?，天平仍平衡，結(jié)合等式的性質(zhì)，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：由圖可得：兩邊的物品都變?yōu)橹暗囊话耄炱饺云胶?，∴圖中可以表示的等式變形是：如果，那么，故選：C．【點睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)一：等式兩邊同時加上或者是減去同一個整式，等式仍然成立．性質(zhì)二：等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的整式，等式仍然成立．2．（2023秋·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）下列說法中錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：A中，當(dāng)時，不一定成立，錯誤，故符合要求；B中，當(dāng)，則，正確，故不符合要求；C中，當(dāng)，由，可得，正確，故不符合要求；D中，當(dāng)，則，正確，故不符合要求；故選：A．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．【考點二一元一次方程的定義】例題：（2023春·福建泉州·七年級統(tǒng)考期中）若是關(guān)于x的一元一次方程，則a的值為．【答案】【分析】根據(jù)一元一次方程的定義列出關(guān)于的式子，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元一次方程，∴且，解得．故答案為：．【點睛】本題考查的是一元一次方程的定義，熟知只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)次數(shù)為1的方程叫做一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程，進(jìn)而分別判斷即可．【詳解】解：①，②，③，④，⑤中一元一次方程是④⑤，共2個．故選：B．【點睛】此題主要考查了一元一次方程的定義，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．2．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）如果方程是關(guān)于的一元一次方程，則．【答案】【分析】根據(jù)一元一次方程的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵方程是關(guān)于的一元一次方程，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程．3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如果是關(guān)于x的一元一次方程，則m＝．【答案】【分析】利用一元一次方程的定義，即可得出關(guān)于的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出的值．【詳解】解：是關(guān)于的一元一次方程，，解得：，的值為．故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次方程的定義以及絕對值，牢記一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【考點三一元一次方程的解】例題：（2023秋·甘肅蘭州·七年級?？计谀╆P(guān)于x的方程的解是，則a的值為．【答案】【分析】將代入，即可求出a的值．【詳解】解：把代入得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握使方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值，是方程是解．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·吉林長春·七年級校聯(lián)考期中）若是方程的解，則的值為．【答案】【分析】由是方程的解，可得，再把化為，再代入求值即可．【詳解】解：∵是方程的解，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是求解代數(shù)式的值，一元一次方程的解的含義，熟練的利用整體法求解代數(shù)式的值是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的方程的解為，則代數(shù)式的值為．【答案】16【分析】根據(jù)方程的解滿足方程，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解一元一次方程，可得a的值，再根據(jù)代數(shù)式求值，可得答案．【詳解】解：將代入，得，解得，當(dāng)時，．故答案為：16．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，利用方程的解滿足方程得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵．【考點四解一元一次方程】例題：（2023秋·七年級課時練習(xí)）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）去分母，去括號，移項合并，最后系數(shù)化為1求解即可；（2）去分母，移項合并，最后系數(shù)化為1求解即可．【詳解】（1）解：去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得；（2）解：去分母，得，移項、合并同類項，得，系數(shù)化為1，得．【點睛】本題考查了解一元一次方程．解題的關(guān)鍵在于正確的運算．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1的步驟求解即可；（2）根據(jù)去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1的步驟求解即可．【詳解】（1）移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得；（2）去分母得：；去括號得：；移項得：；合并同類項，得：；系數(shù)化為1，得：．【點睛】本題考查解一元一次方程，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向形式轉(zhuǎn)化．2．（2023春·河北秦皇島·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）解方程(1)(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）先移項，再合并同類項，最后把未知數(shù)的系數(shù)化為“1”即可；（2）先去分母，再去括號，移項，合并同類項，最后把未知數(shù)的系數(shù)化為“1”即可；【詳解】（1）解：，移項，得，合并同類項，得，將系數(shù)化為1，得；（2）解：－＝1；去分母，得，去括號，得，移項合并，得，將系數(shù)化為1，得．【點睛】本題考查的是一元一次方程的解法，熟記解一元一次方程的步驟與方法是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·河南南陽·七年級?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）按照去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的順序運算即可；（2）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的順序運算即可．【詳解】（1）解：去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：；（2）去分母得：去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：；【點睛】本題考查一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）解方程．(1)(2)【答案】(1)(2)【詳解】（1）去括號可得：，移項可得：，合并同類項可得：，系數(shù)化1可得：（2）去分母可得：，去括號可得：，移項可得：，合并同類項可得：，系數(shù)化1可得：【點睛】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．【考點五列一元一次方程】例題：（2023秋·七年級課時練習(xí)）一個長方形場地的周長為米，長比寬的倍少米．如果設(shè)這個場地的寬為米，那么可以列出方程為．【答案】【分析】設(shè)這個場地的寬為米，則長為米，然后根據(jù)長方形的周長公式即可解答．【詳解】解：設(shè)這個場地的寬為米，則長為米，由題意可得：．故答案為．【點睛】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、設(shè)出未知數(shù)、明確等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·七年級課時練習(xí)）某學(xué)校在“讀一本好書”活動中，為學(xué)生購買了名著《三國演義》20套，《西游記》16套，共用了1820元，其中《三國演義》每套比《西游記》每套多1元，求《三國演義》和《西游記》每套各多少元？設(shè)《西游記》每套元，可列方程為．【答案】【分析】設(shè)《西游記》每套元，則《三國演義》每套元，根據(jù)“共用了1820元”列出方程即可．【詳解】解：設(shè)《西游記》每套元，則《三國演義》每套元，可列方程為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出等量關(guān)系，列出方程．2．（2023秋·七年級課時練習(xí)）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作．書中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問：有多少匹大馬、多少匹小馬？若設(shè)小馬有匹，則可列方程為．【答案】【分析】審題，明確等量關(guān)系，建立方程．【詳解】解：根據(jù)題意，得；故答案為：．【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用；審題明確等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東泰安·六年級?？奸_學(xué)考試）某工廠有28名工人生產(chǎn)A、B兩種零件，每人每天可以生產(chǎn)A零件500個或B零件800個．1個A零件需要配4個B零件，為使每天生產(chǎn)的兩種零件剛好配套．應(yīng)安排生產(chǎn)A零件的工人多少名？設(shè)應(yīng)安排生產(chǎn)A零件的工人x名，根據(jù)題意可列出方程．【答案】【分析】設(shè)應(yīng)安排生產(chǎn)A零件的工人x名，則生產(chǎn)B零件的工人名，根據(jù)1個A零件需要配4個B零件列出方程即可．【詳解】解：設(shè)應(yīng)安排生產(chǎn)A零件的工人x名，則生產(chǎn)B零件的工人名，根據(jù)題意得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系式，生產(chǎn)的B零件數(shù)為A零件數(shù)的4倍．【考點六一元一次方程的應(yīng)用】例題：（2023春·福建福州·九年級?？计谥校安軟_稱象”是中國民間流傳很廣的故事，故事中稱象的方案是這樣的；先將象牽到船上，并在船側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出，然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個搬運工，這時水位恰好在標(biāo)記位置，如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個搬運工，水位在標(biāo)記位置不變，若每塊條形石的重量都是240斤，求該頭象的重量是多少？（假設(shè)每個搬運工體重都相同）【答案】大象的重量是5160斤．【分析】設(shè)每個搬運工體重是斤，根據(jù)題意，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)每個搬運工體重是斤，由題意，得：，解得：；∴；答：大象的重量是5160斤．【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系，列出一元一次方程，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·七年級課堂例題）某車間有28名工人生產(chǎn)甲、乙兩種零件，平均每人每天可生產(chǎn)甲種零件12個或乙種零件18個，要使每天生產(chǎn)的甲、乙兩種零件按配套組裝，則生產(chǎn)這兩種零件的工人應(yīng)該如何安排？【答案】生產(chǎn)甲種零件的工人為人，則生產(chǎn)乙種零件的為人【分析】設(shè)生產(chǎn)甲種零件的工人為x人，則生產(chǎn)乙種零件的為人，根據(jù)“每天生產(chǎn)的甲、乙兩種零件按配套組裝”列方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)生產(chǎn)甲種零件的工人為x人，則生產(chǎn)乙種零件的為人，由題意可得，，解得，，則，答：生產(chǎn)甲種零件的工人為人，則生產(chǎn)乙種零件的為人【點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找到等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·七年級課堂例題）某商店購進(jìn)一批文化衫，將文化衫打折銷售．如果每件文化衫按標(biāo)價的5折出售，那么每件將虧本20元；如果每件文化衫按標(biāo)價的8折出售，那么每件將盈利40元．(1)每件文化衫的標(biāo)價是多少元？(2)如果按成本價售出，那么該文化衫打了幾折？【答案】(1)每件文化衫的標(biāo)價為200元(2)該文化衫打了6折【分析】（1）設(shè)每件文化衫的標(biāo)價為元．根據(jù)題意即可列出一元一次方程求解；（2）計算出每件文化衫的成本價即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)每件文化衫的標(biāo)價為元．根據(jù)題意，得，解得．答：每件文化衫的標(biāo)價為200元．（2）解：每件文化衫的成本價是（元）．設(shè)該文化衫打了折．根據(jù)題意，得．解得．答：該文化衫打了6折．【點睛】本題考查了一元一次方程的實際應(yīng)用．正確理解題意是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·福建福州·七年級福建省福州第一中學(xué)校考開學(xué)考試）甲乙兩地相距480公里，一列慢車從甲地開出，每小時行60公里，