江西省上饒市余干縣2024屆九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2023-2024學(xué)年江西省上饒市余干縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列食品標(biāo)識中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A.綠色飲品 B.綠色食品

C.有機食品 D.速凍食品2.一元二次方程x2+5x+1=0根的情況是(

)A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根3.若點P(x,y)在第四象限內(nèi)，且|x|=2，|y|=3，則點P關(guān)于原點對稱的點為(

)A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3)4.如圖，正方形ABCD和正方形EFGO的邊長都是1，正方形EFGO繞點O旋轉(zhuǎn)時，兩個正方形重疊部分的面積是(

)

A.14 B.12 C.135.將拋物線y=-3x2先向左平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式為(

)A.y=-3(x+1)2+2 B.y=-3(x-1)2+26.在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-mx+1與二次函數(shù)y=x2+m的圖象可能是A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。7.拋物線y=-(x+3)2的頂點坐標(biāo)為______．8.關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0的一個根為-1，則m的值為______．9.若點P(m,1)關(guān)于原點的對稱點Q(-2,n)，那么m+n=______．10.如圖，點A的坐標(biāo)為(0,1)，點B是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC.若點C的坐標(biāo)為(m,5)，則B點的坐標(biāo)為______．

11.電影《長津湖》一上映，第一天票房2.05億元，若每天票房的平均增長率相同，三天后累計票房收入達10.53億元，平均增長率記作x，方程可以列為______．12.將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起(其中∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°)，若固定△ACD，改變△BCE的位置(其中點C位置始終不變)，且∠ACE<135°，點E在直線AC的上方.當(dāng)△ACD的一邊與△BCE的某一邊平行時，則∠ACE所有可能的度數(shù)為：______．三、解答題：本題共11小題，共84分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。13.(本小題6分)

解方程：

(1)x2+4x-12=0．

(2)(x+414.(本小題6分)

如圖，拋物線y=ax2-5x+4a與x軸相交于點A，B，且過點C(5,4)．

(1)求a的值和該拋物線頂點P的坐標(biāo)；

(2)15.(本小題6分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點，AB/?/CD，請僅用無刻度的直尺按要求畫出圖中拋物線的對稱軸：

(1)如圖1，點C，D在拋物線上；

(2)如圖2，四邊形ABCD為矩形．

16.(本小題6分)

如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到△AEF，點E落在BC邊上，EF與AC交于點G．

(1)求證：△ABE是等邊三角形；

(2)若∠ACB=28°，求∠FGC的度數(shù)．17.(本小題6分)

某次數(shù)學(xué)活動時，數(shù)學(xué)興趣小組成員小融擬研究函數(shù)y=-12(x-2)2+|x-2|+3的圖象和性質(zhì)．

(1)x……-2012346……y……-1m3.53n3-1……其中，m的值為______，n的值為______；

(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出上表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，再根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)圖象；

(3)根據(jù)函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：______．18.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有兩個不相等的實數(shù)根．

(1)求k的取值范圍；

(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x219.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，AC=125cm，動點P從點B開始沿邊BA向點A以2cm/s的速度移動(不與點A重合)，動點Q從點C開始沿邊CB向B以4cm/s的速度移動(不與B重合).如果P、Q分別從B、C同時出發(fā)，設(shè)運動時間為x(s)，四邊形APQC的面積為y(cm2).

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求自變量x的取值范圍；

20.(本小題8分)

如圖，菱形ABCD，∠D=120°，E為菱形內(nèi)一點，連結(jié)EC、EB.再將EB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°到FB，連結(jié)FA、EF，且EF交AB于點G．

(1)求證：AF=CE；

(2)若∠EBC=45°，求∠AGE的大?。?1.(本小題9分)

網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某果園在網(wǎng)絡(luò)平臺上直播銷售荔枝.已知該荔枝的成本為6元/kg，銷售價格不高于18元/kg，且每售賣1kg需向網(wǎng)絡(luò)平臺支付2元的相關(guān)費用，經(jīng)過一段時間的直播銷售發(fā)現(xiàn)，每日銷售量y(kg)與銷售價格x(元/kg)之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．

(1)求y與x的函數(shù)解析式．

(2)當(dāng)每千克荔枝的銷售價格定為多少元時，銷售這種荔枝日獲利最大，最大利潤為多少元？22.(本小題9分)

閱讀下面材料，并解決問題：

(1)如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．

為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB=______；

(2)基本運用

請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題：

如圖②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點且∠EAF=45°，求證：EF2=BE2+FC2；

(3)能力提升

如圖③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點O為Rt△ABC內(nèi)一點，連接AO，BO，CO23.(本小題12分)

已知二次函數(shù)y=ax2-2ax．

(1)二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=______；

(2)當(dāng)0≤x≤3時，y的最大值與最小值的差為4，求該二次函數(shù)的表達式；

(3)若a<0，對于二次函數(shù)圖象上的兩點P(x1,y1)，Q(x2,答案和解析1.答案：D

解析：解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

故選：D．

根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．

本題考查了軸對稱圖形及中心對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形沿對稱軸疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合．2.答案：A

解析：解：一元二次方程x2+5x+1=0中的a=1，b=5，c=1，

則這個方程根的判別式為Δ=52-4×1×1=21>0，

所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．

故選：A3.答案：B

解析：解：∵P(x,y)在第四象限內(nèi)，

∴y<0，x>0，

又∵|x|=2，|y|=3，

∴x=2，y=-3，

∴點P關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)是(-2,3)．

故選：B．

根據(jù)P(x,y)在第四象限內(nèi)可以判斷x，y的符號，再根據(jù)|x|=2，|y|=3就可以確定點P的坐標(biāo)，進而確定點P關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)．

本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，由點所在的象限能判斷出坐標(biāo)的符號，同時考查了關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)之間的關(guān)系，難度一般．4.答案：A

解析：解：

∵四邊形ABCD和四邊形OEFG都是正方形，

∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=∠EOG=90°，

∴∠BON+∠BOM=∠MOC+∠BOM=90°

∴∠BON=∠MOC．

在△OBN與△OCM中，

∠OBN=∠OCMOB=OC∠BON=∠COM，

∴△OBN≌△OCM(ASA)，

∴S△OBN=S5.答案：A

解析：解：將拋物線y=-3x2向左平移1個單位所得直線解析式為：y=-3(x+1)2；

再向上平移2個單位為：y=-3(x+1)2+2，即y=-3(x+1)2+2．

故選：6.答案：D

解析：解：∵二次函數(shù)為y=x2+m，

∴a=1>0，

∴二次函數(shù)的開口方向向上，

∴排除C選項．

∵一次函數(shù)y=-mx+1，

∴b=1>0，

∵一次函數(shù)經(jīng)過y軸正半軸，

∴排除A選項．

當(dāng)m>0時，則-m<0，

一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，

二次函數(shù)y=x2+m經(jīng)過y軸正半軸，

∴排除B選項．

當(dāng)m<0時，則-m>0

一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，

二次函數(shù)y=x2+m經(jīng)過y軸負半軸，

∴D選項符合題意．

故選：D．

根據(jù)一次函數(shù)的b=1和二次函數(shù)的a=1即可判斷出二次函數(shù)的開口方向和一次函數(shù)經(jīng)過y7.答案：(-3,0)

解析：解：∵拋物線的解析式為y=-(x+3)2，

∴拋物線頂點坐標(biāo)為(-3,0)，

故答案為：(-3,0)．

由二次函數(shù)的頂點式可得二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k8.答案：-3

解析：解：∵關(guān)于x的方程x2-2x+m=0的一個根是-1，

∴1+2+m=0，

解得m=-3，

故答案為：9.答案：1

解析：解：∵點P(m,1)關(guān)于原點的對稱點是Q(-2,n)

∴m=2，n=-1，

∴m+n=2-1=1．

故答案為：1．

根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得m、n的值，即可解答．

此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)律．10.答案：(4,0)

解析：解：過C作CD⊥y軸于點D，如圖：

∵∠BAC=90°，

∴∠BAO+∠CAD=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CAD=∠ABO，

∵∠AOB=∠CDA=90°，AB=AC，

∴△AOB≌△CDA(AAS)，

∵OA=CD，OB=AD，

∵點A的坐標(biāo)為(0,1)，點C的坐標(biāo)為(m,5)，

∴OA=1，AD=5-1=4，

∴OB=4，

∴B(4,0)，

故答案為：(4,0)．

過C作CD⊥y軸于點D，通過證得△AOB≌△CDA(AAS)，得出OA=CD=1，OB=AD=4，可得點B的坐標(biāo)，

本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．11.答案：2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)解析：解：由題意得，第一天票房2.05億元，第二天票房2.05(1+x)億元，第三天票房2.05(1+x)2億元，則：

2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53．

故答案為：2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)212.答案：30°或45°或120°

解析：解：①當(dāng)BC/?/AD時，

∵BC/?/AD，

∴∠BCD=∠D=30°，

∴∠ACB=90°+30°=120°，

∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=120°-90°=30°；

②當(dāng)BE/?/AC時，如圖，

∵BE/?/AC，

∴∠ACE=∠E=45°；

③當(dāng)AD/?/CE時，如圖，

∵AD/?/CE，

∴∠DCE=∠D=30°，

∴∠ACE=90°+30°=120°；

④當(dāng)BE/?/CD時，如圖，

∵BE/?/CD，

∴∠DCE=∠E=45°，

∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°，

綜上所述：當(dāng)∠ACE=30°或45°或120°時，有一組邊互相平行．

故答案為：30°或45°或120°．

分4種情況進行討論：①BC/?/AD；②BE//AC；③AD//CE；④BE//CD；結(jié)合平行線的判定與性質(zhì)進行求解即可．

本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，注意利用兩角互余的性質(zhì)，角的和差進行計算．13.答案：解：(1)∵x2+4x-12=0，

∴(x-2)(x+6)=0，

則x-2=0或x+6=0，

解得x1=2，x2=-6；

(2)∵(x+4)2=5(x+4)，

∴(x+4)(x-1)=0，

則x+4=0解析：利用因式分解法求解即可．

本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．14.答案：解：(1)把C(5,4)代入y=ax2-5x+4a，得：25a-25+4a=4，

解得：a=1，

∴y=x2-5x+4=(x-52)2-94，

∴頂點P的坐標(biāo)為(52,-94)；

(2)∵解析：(1)把C(5,4)代入y=ax2-5x+4a即可求得的值，利用配方法即可求得頂點坐標(biāo)；

(2)根據(jù)頂點P的坐標(biāo)為(52,-94)15.答案：解；(1)如圖1，直線PQ為所作；

(2)如圖2，直線PQ為所作．

解析：(1)連接AC、BD，它們相交于P點，再畫出DA和CB的延長線的交點，則利用拋物線的對稱性可判斷直線PQ為拋物線的對稱軸；

(2)先作出BDD和AC的交點P，再作直線CD交拋物線于E、F，接著作出EA和FB的延長線的交點Q，則利用拋物線的對稱性可判斷直線PQ為拋物線的對稱軸．

本題考查了拋物線與x軸的交點：拋物線與x軸的兩交點為拋物線上的對稱點．16.答案：(1)證明：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到△AEF，

∴AB=AE，∠BAE=60°，

∴△ABE是等邊三角形．

(2)解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到△AEF，

∴∠BAE=∠CAF=60°，∠ACB=∠AFE=28°，

∵∠FGC是△AGF的外角，

∴∠FGC=∠CAF+∠AFE=88°．

解析：(1)根據(jù)全等三角形的判定定理證明．

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，結(jié)合三角形的外角定理計算．

本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和等邊三角形的判定，充分利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．17.答案：3

3.5

圖象關(guān)于直線x=2對稱

解析：解(1)當(dāng)x=0時，y=-2+2+3=3，即m=3，

當(dāng)x=3時，y=-0.5+1+3=3.5，即n=3.5

故答案為：3，3.5

(2)圖象如圖所示：

(3)觀察圖象可知，圖象關(guān)于直線x=2對稱，

故答案為圖象關(guān)于直線x=2對稱．

(1)把x=0，x=3分別代入函數(shù)表達式，即可得出m，n的值；

(2)把表格中7個點畫在坐標(biāo)系中，根據(jù)點的變化趨勢，即可畫出此函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合圖象，可得圖象關(guān)于直線x=2對稱或最大值為3.5等．

本題考查了的二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，可以根據(jù)自變量的取值范圍分別作出對應(yīng)的函數(shù)圖象即可得出整個函數(shù)的圖象．解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．18.答案：解：(1)∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，

∴Δ=(2k+1)2-4k2=4k+1>0，

解得：k>-14；

(2)當(dāng)k=1時，方程為x2+3x+1=0解析：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，熟練掌握方程的根的情況與判別式的值間的關(guān)系及韋達定理是解題的關(guān)鍵．

(1)由方程有兩個不相等的實數(shù)根知Δ>0，列不等式求解可得；

(2)將k=1代入方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=-319.答案：解：(1)∵出發(fā)時間為x?s，點P的速度為2cm/s，點Q的速度為4cm/s，

∴PB=(12-2x)cm，BQ=4x?cm，

∴y=12×12×24-12×(12-2x)×4x，

∴y=4x2-24x+144；

(2)由x>012-2x>0，解得0<x<6．

(3)不能．

理由：4x2-24x+144=172，

解得：x1=7，x2解析：(1)利用兩個直角三角形的面積差求得答案即可；

(2)構(gòu)建不等式組求解即可；

(3)利用(1)的函數(shù)建立方程求解判斷即可．

本題屬于四邊形綜合題，注意二次函數(shù)的實際運用，一元二次方程的實際運用，掌握三角形的面積計算方法是解決問題的關(guān)鍵．20.答案：解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∠D=120°，

∴∠ABC=120°，AB=CB．

又∵EB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°到FB，

∴EB=FB，

∴∠FBA+∠ABE=∠ABE+∠EBC=120°，

∴∠FBA=∠EBC，

在△AFB與△CEB中，

∵EB=FB∠EBC=∠FBABC=AB，

∴△AFB≌△CEB(SAS)，

∴AF=CE；

(2)∵∠ABC=120°，∠EBC=45°，

∴∠ABE=75°．

又∵∠EBF=120°，EB=FB，

∴∠GEB=180°-120°2解析：(1)先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ABC=120°，AB=CB，再由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出EB=FB，根據(jù)SAS定理得出△AFB≌△CEB，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)先求出∠ABE的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)求出∠GEB的度數(shù)，再由∠AGE=∠ABE+∠GEB即可得出結(jié)論．

本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)后所得圖形與原圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．21.答案：解：(1)設(shè)每日銷售量y(kg)與銷售價格x(元/kg)之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系為y=kx+b，

∴8k+b=220014k+b=1600，

解得k=-100b=3000，

∴y與x的函數(shù)解析式為y=-100x+3000；

(2)設(shè)每千克荔枝的銷售價格定為x元時，銷售這種荔枝日獲利為w元，

根據(jù)題意得，w=(x-6-2)(-100x+3000)=-100x2+3800x-24000=-100(x-19)2+12000，

∵a=-100<0，對稱軸為x=19，

∴當(dāng)x=19時，w有最大值為12000解析：(1)由日獲利=(銷售單價-成本)×日銷售量，可求解；

(2)由二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大利潤，即可求解．

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)關(guān)系式是本題的關(guān)鍵．22.答案：解：(1)∵△ACP'≌△ABP，

∴AP'=AP=3，CP'=BP=4，∠AP'C=∠APB，

由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PA

P'=60°，

∴△AP

P'為等邊三角形，

PP'=AP=3，∠AP'P=60°，

易證△PP'C為直角三角形，且∠PP'C=90°，

∴∠APB=∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150°；

故答案為：150°；

(2)如圖2，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE'，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE'=AE，CE'=BE，∠CAE'=∠BAE，∠ACE'=∠B，∠EAE'=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠E'AF=∠CAE'+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°，

∴∠EAF=∠E'AF，

在△EAF和△E'AF中，

AE=AE'∠EAF=∠E'AFAF=AF

∴△EAF≌△E'AF(SAS)，

∴E'F=EF，

∵∠CAB=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠E'CF=45°+45°=90°，

由勾股定理得，E'F2=CE'2+FC2，

即EF2=BE2+FC2．

(3)如圖3，將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A'O'B處，連接OO'，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，

∴AB=2，

∴BC=AB2-AC2=3，

∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，

∴△A'O'B如圖所示；

∠A'BC=∠ABC+60°=30°+60°=