第四章 幾何圖形初步11類壓軸題專練

第四章幾何圖形初步（壓軸題專練）【題型一幾何體中點(diǎn)、棱、面】例題：幾何知識(shí)．（1）長方體有_____個(gè)面，_____條棱，_____個(gè)頂點(diǎn)．（2）圓柱體由_____個(gè)面圍成，圓錐由_____個(gè)面圍成，它們的底面都是_____．（3）已知三棱柱有5個(gè)面、6個(gè)頂點(diǎn)、9條棱，四棱柱有6個(gè)面、8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱，五棱柱有7個(gè)面、10個(gè)頂點(diǎn)、15條棱，……，由此類推n棱柱有_____個(gè)面，_____個(gè)頂點(diǎn)，_____條棱．【變式訓(xùn)練】1.如圖所示，是我們熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱．(1)填寫下表：立體圖形頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)棱數(shù)三棱柱五棱柱六棱柱(2)設(shè)棱柱（為正整數(shù)，且）的頂點(diǎn)數(shù)為、棱數(shù)為、面數(shù)為，根據(jù)表中數(shù)據(jù)猜想________．2.如圖1至圖3是將正方體截去一部分后得到的多面體.(1)根據(jù)要求填寫表格：面數(shù)（f）頂點(diǎn)數(shù)（v）棱數(shù)（e）圖1圖2圖3(2)猜想f、v、e三個(gè)數(shù)量間有何關(guān)系；(3)根據(jù)猜想計(jì)算，若一個(gè)多面體有頂點(diǎn)數(shù)2013個(gè)，棱數(shù)4023條，試求出它的面數(shù).3.綜合與實(shí)踐新年晚會(huì)是我們最歡樂的時(shí)候，會(huì)場(chǎng)上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形．下面是常見的一些多面體：操作探究：(1)通過數(shù)上面圖形中每個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)（）、面數(shù)（）和棱數(shù)（），填寫下表中空缺的部分：多面體頂點(diǎn)數(shù)（）面數(shù)（）棱數(shù)（）四面體4六面體86八面體812十二面體2030通過填表發(fā)現(xiàn)：頂點(diǎn)數(shù)（）、面數(shù)（）和棱數(shù)（）之間的數(shù)量關(guān)系是，這就是偉大的數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707—1783）證明的這一個(gè)關(guān)系式．我們把它稱為歐拉公式；探究應(yīng)用：(2)已知一個(gè)棱柱只有七個(gè)面，則這個(gè)棱柱是棱柱；(3)已知一個(gè)多面體只有8個(gè)頂點(diǎn)，并且過每個(gè)頂點(diǎn)都有3條棱，求這個(gè)多面體的面數(shù)．4.觀察下列多面體，并把下表補(bǔ)充完整.名稱三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱圖形頂點(diǎn)數(shù)6棱數(shù)9面數(shù)5（1）根據(jù)表中的規(guī)律判斷，十二棱柱有___________個(gè)面，共有___________個(gè)頂點(diǎn)，共有___________條棱；（2）若某個(gè)棱柱由30個(gè)面構(gòu)成，則這個(gè)棱柱為___________棱柱；（3）若一個(gè)棱柱的底面多邊形的邊數(shù)為，則它有___________個(gè)側(cè)面，共___________個(gè)面，共有___________個(gè)頂點(diǎn)，共有___________條棱；（4）觀察上表中的結(jié)果，請(qǐng)寫出，，之間關(guān)系式___________．【題型二根據(jù)三視圖求原幾何體的小立方塊的個(gè)數(shù)】例題：一個(gè)幾何體是由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成，從左面、上面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖如圖所示，這樣的幾何體只有一種嗎？它最多需要多少個(gè)小正方體？最少需要多少個(gè)小正方體？【變式訓(xùn)練】1.如圖是由一些棱長都為的小正方體組合成的簡單幾何體．(1)從正面、左面和上面觀察這個(gè)幾何體，請(qǐng)你在下面相應(yīng)的位置分別畫出你所看到的幾何體的形狀圖；(2)如果在這個(gè)幾何體上再添加一些小正方體，并保持從左面和上面所看到的幾何體的形狀圖不變，最多可以再添加塊小正方體．2.由8個(gè)棱長都為的小正方體搭成的幾何體如左圖．(1)請(qǐng)利用圖2中的網(wǎng)格畫出這個(gè)幾何體從正面看、從左面看和從上面看到的形狀圖．（一個(gè)網(wǎng)格為小立方體的一個(gè)面）(2)圖1中8個(gè)小正方體搭成的幾何體的表面積（包括與地面接觸的部分）是cm2．(3)若要用大小相同的小立方塊搭一個(gè)幾何體，使得它從上面和左面看到的形狀圖與你在圖2方格中所畫的形狀圖相同，則搭這樣的一個(gè)幾何體最多需要個(gè)小立方塊．【題型三線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】例題：（1）如圖1，點(diǎn)C在線段上，M，N分別是，的中點(diǎn)．若，，求的長；

（2）設(shè)，C是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），①如圖2，M，N分別是，的三等分點(diǎn)，即，，求的長；②若M，N分別是，的n等分點(diǎn)，即，，直接寫出的值．【變式訓(xùn)練】1.如圖，已知點(diǎn)B在線段上，，，P、Q分別為線段、上兩點(diǎn)，，，則線段的長為．【題型四角n等分線的有關(guān)計(jì)算】例題：在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個(gè)角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【變式訓(xùn)練】1.定義：從的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為（

）A．或或 B．或或C．或或 D．或或2.已知，以射線為起始邊，按順時(shí)針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，若，求的度數(shù)；(2)備用圖①，當(dāng)時(shí)，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)備用圖②，當(dāng)時(shí)，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).【題型五分類討論思想在線段的計(jì)算中的應(yīng)用】例題：畫直線，并在直線上截取線段，再在直線上截取線段，則線段的長是．【變式訓(xùn)練】1．兩根木條，一根長，另一根長，將它們一端重合且放在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為．2．有、兩根木條，長度分別為24cm、18cm，將它們的一端重合且放在同一條直線上，此時(shí)、兩根木條中點(diǎn)之間的距離為cm．3．將一根繩子對(duì)折后用線段表示，現(xiàn)從處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為，若，則這條繩子的原長為．【題型六分類討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】例題：已知，，平分，則等于．【變式訓(xùn)練】1．已知，，則的度數(shù)是．2．已知，平分，射線與所形成的角度是，那么的度數(shù)是3．已知射線是的三等分線，射線為的平分線，若，則．4．如圖，長方形紙片，點(diǎn)P在邊上，點(diǎn)M，N在邊上，連接，．將對(duì)折，點(diǎn)D落在直線上的點(diǎn)處，得折痕；將對(duì)折，點(diǎn)A落在直線上的點(diǎn)處，得折痕．若，則．【題型七整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問題】例題：（1）如圖，已知線段，點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)．①若，則線段的長度是_________；②若，，求線段的長度(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)；（2）在（1）中，把點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)改為：點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，，．其它條件不變，則線段的長度是___________（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）【變式訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．(1)若線段，，則線段的長為(2)若為線段上任一點(diǎn)，滿足，其它條件不變，求的長；(3)若原題中改為點(diǎn)在直線上，滿足，，，其它條件不變，求的長．2．（1）如圖1，點(diǎn)C在線段上，M，N分別是，的中點(diǎn),若，，求的長．（2）設(shè)，C是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．①如圖2，當(dāng)M，N分別是，的中點(diǎn)時(shí)，的長是___________；②如圖3，若M，N分別是，的三等分點(diǎn)，即，，請(qǐng)直接寫出線段的長．【題型八整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問題】例題：已知：如圖，在的內(nèi)部，平分平分．

(1)當(dāng)時(shí)，___________；(2)當(dāng)時(shí)，___________；(3)當(dāng)時(shí)，___________；(4)猜想：不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于________的度數(shù)的一半．【變式訓(xùn)練】1．已知為直線AB上一點(diǎn)，將一直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．射線平分．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)在圖1中，若，直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)將圖1中的直角三角板繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．2．解答下列問題如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：和，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．

(1)一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．

(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

3．如圖，已知，三角形是一個(gè)直角三角形，平分．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，__________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，__________；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)，借助圖3計(jì)算；(4)由（1），（2），（3）問可知，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．（用來表示，無需說明理由）【題型九線段和與差綜合問題】例題：已知點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．

(1)若，，線段在線段上移動(dòng)．①如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長；②若點(diǎn)在線段上，且，，求的長；(2)若，線段在直線上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式，求的值．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)C在線段上，，點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)求線段的長；(2)若點(diǎn)C在線段的延長線上，且滿足，點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)，求的長．2．如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，．

(1)圖中共有多少條線段，請(qǐng)寫出這些線段；(2)求的長；(3)若點(diǎn)在直線上，且，求的長．3．如圖，是線段上一點(diǎn)，，，兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)沿射線向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動(dòng)．(1)若點(diǎn)，的速度分別是，．①若，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)了時(shí)，求的值；②若點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，求；(2)若動(dòng)點(diǎn)，的速度分別是，，點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求的長度．4．如圖，將一段長為厘米繩子拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊.若將繩子沿、點(diǎn)折疊，點(diǎn)、分別落在，處.(1)如圖2，若，恰好重合于點(diǎn)處，展開拉直后如圖3，求的長；(2)若點(diǎn)落在的左側(cè)，且，畫出展開拉直后的圖形，并求的長度；(3)若點(diǎn)落在的右側(cè)，且，畫出展開拉直后的圖形，并求的長度.【題型十線段上動(dòng)點(diǎn)定值問題】例題：如圖，已知線段，，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長度．(2)當(dāng)線段在線段上從左向右或從右向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷線段的長度是否發(fā)生變化，如果不變，請(qǐng)求出線段的長度；如果變化，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)．

(1)若，求線段的長；(2)若C為線段上任一點(diǎn)，滿足，其他條件不變，你能猜想的長度嗎？請(qǐng)直接寫出你的答案．(3)若C在線段的延長線上，且滿足，M、N分別為的中點(diǎn)，你能猜想MN的長度嗎？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．2．如圖，B是線段上一動(dòng)點(diǎn)，沿以的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，C是線段的中點(diǎn)，cm，設(shè)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（t不超過10）

(1)當(dāng)時(shí)，________cm．(2)當(dāng)時(shí)，求線段的長．(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，若的中點(diǎn)為E，則的長是否變化？若不變，求出的長；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．3．探究題：如圖①，已知線段，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)．(1)若點(diǎn)恰好是中點(diǎn)，則____________；(2)若，求的長；(3)試?yán)谩白帜复鏀?shù)”的方法，設(shè)“”，請(qǐng)說明不論取何值（不超過），的長不變．4．應(yīng)用題：如圖，已知線段，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)．(1)若，求的長；(2)若為的中點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)試著說明，不論點(diǎn)在線段上如何運(yùn)動(dòng)，只要不與點(diǎn)和重合，那么的長不變．【題型十一線段上動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問題】例題：如圖，C是線段上一點(diǎn)，，，點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度沿向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B；點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s

(1)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，求t的值；(2)是否存在某一時(shí)刻，使得C、P、Q這三個(gè)點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)?若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練】1．A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為8．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．(1)當(dāng)時(shí)，的長為______，點(diǎn)P表示的有理數(shù)為______；(2)若點(diǎn)P為的中點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為______；(3)當(dāng)時(shí)，求t的值．2．材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，我們稱為點(diǎn)在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過來，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即以原速返回，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．則當(dāng)為何值時(shí)，等式成立．

第四章幾何圖形初步（壓軸題專練）參考答案【題型一幾何體中點(diǎn)、棱、面】例題：幾何知識(shí)．（1）長方體有_____個(gè)面，_____條棱，_____個(gè)頂點(diǎn)．（2）圓柱體由_____個(gè)面圍成，圓錐由_____個(gè)面圍成，它們的底面都是_____．（3）已知三棱柱有5個(gè)面、6個(gè)頂點(diǎn)、9條棱，四棱柱有6個(gè)面、8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱，五棱柱有7個(gè)面、10個(gè)頂點(diǎn)、15條棱，……，由此類推n棱柱有_____個(gè)面，_____個(gè)頂點(diǎn)，_____條棱．【答案】612832圓形【分析】（1）根據(jù)長方體的特征即可得到答案；（2）根據(jù)圓柱和圓錐的特征即可得到答案；（3）根據(jù)棱柱的特征進(jìn)行分析，即可得到答案．【詳解】解：（1）長方體有6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)，故答案為：6，12，8；（2）圓柱體由3個(gè)面圍成，圓錐由2個(gè)面圍成，它們的底面都是圓形，故答案為：3，2，圓形；（3）已知三棱柱有5個(gè)面、6個(gè)頂點(diǎn)、9條棱，四棱柱有6個(gè)面、8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱，五棱柱有7個(gè)面、10個(gè)頂點(diǎn)、15條棱，……，由此類推n棱柱有個(gè)面，個(gè)頂點(diǎn)，條棱，故答案為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了常見幾何體的基礎(chǔ)知識(shí)，解題關(guān)鍵是具備空間想象能力．【變式訓(xùn)練】1.如圖所示，是我們熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱．(1)填寫下表：立體圖形頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)棱數(shù)三棱柱五棱柱六棱柱(2)設(shè)棱柱（為正整數(shù)，且）的頂點(diǎn)數(shù)為、棱數(shù)為、面數(shù)為，根據(jù)表中數(shù)據(jù)猜想________．【答案】(1)，，；，，；，，(2)【分析】（1）根據(jù)所給的圖形，數(shù)一數(shù)直接得出結(jié)果；（2）把（1）中的結(jié)果代入，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【詳解】（1）根據(jù)圖形，可以得出三棱柱有個(gè)頂點(diǎn)，個(gè)面，條棱；五棱柱有個(gè)頂點(diǎn)，個(gè)面，條棱；六棱柱有個(gè)頂點(diǎn)，個(gè)面，條棱；故答案為：，，；，，；，，．（2）三棱柱：，，，；五棱柱：，，，；六棱柱：，，，；猜想：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)所給的材料，仔細(xì)觀察圖形，找出一般規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．2.如圖1至圖3是將正方體截去一部分后得到的多面體.(1)根據(jù)要求填寫表格：面數(shù)（f）頂點(diǎn)數(shù)（v）棱數(shù)（e）圖1圖2圖3(2)猜想f、v、e三個(gè)數(shù)量間有何關(guān)系；(3)根據(jù)猜想計(jì)算，若一個(gè)多面體有頂點(diǎn)數(shù)2013個(gè)，棱數(shù)4023條，試求出它的面數(shù).【答案】(1)7，9，14.6，8，12，7，10，15；(2)；(3)它的面數(shù)是2012【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)出即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果得出；（3）代入求出即可；【詳解】（1）圖1，面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，圖2，面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，圖3，面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，故答案為：7，9，14.6，8，12，7，10，15．（2）由表格數(shù)據(jù)可得：．（3）∵∴，，即它的面數(shù)是2012．【點(diǎn)睛】本題考查了截一個(gè)幾何體，圖形的變化類的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)（1）中的結(jié)果得出規(guī)律3.綜合與實(shí)踐新年晚會(huì)是我們最歡樂的時(shí)候，會(huì)場(chǎng)上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形．下面是常見的一些多面體：操作探究：(1)通過數(shù)上面圖形中每個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)（）、面數(shù)（）和棱數(shù)（），填寫下表中空缺的部分：多面體頂點(diǎn)數(shù)（）面數(shù)（）棱數(shù)（）四面體4六面體86八面體812十二面體2030通過填表發(fā)現(xiàn)：頂點(diǎn)數(shù)（）、面數(shù)（）和棱數(shù)（）之間的數(shù)量關(guān)系是，這就是偉大的數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707—1783）證明的這一個(gè)關(guān)系式．我們把它稱為歐拉公式；探究應(yīng)用：(2)已知一個(gè)棱柱只有七個(gè)面，則這個(gè)棱柱是棱柱；(3)已知一個(gè)多面體只有8個(gè)頂點(diǎn)，并且過每個(gè)頂點(diǎn)都有3條棱，求這個(gè)多面體的面數(shù)．【答案】(1)表見解析，(2)五(3)6【分析】（1）通過觀察，發(fā)現(xiàn)棱數(shù)頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)；（2）根據(jù)棱柱的定義進(jìn)行解答即可；（3）由（1）得出的規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：填表如下：多面體頂點(diǎn)數(shù)（）面數(shù)（）棱數(shù)（）四面體446六面體8612八面體6812十二面體201230頂點(diǎn)數(shù)（）、面數(shù)（）和棱數(shù)（）之間的數(shù)量關(guān)系是，故答案為：；（2）解：一個(gè)棱柱只有七個(gè)面，必有2個(gè)底面，有個(gè)側(cè)面，這個(gè)棱柱是五棱柱，故答案為：五；（3）解：由題意得：棱的總條數(shù)為（條），由可得,解得：，故該多面體的面數(shù)為6．【點(diǎn)睛】本題考查了多面體與棱柱的認(rèn)識(shí)，點(diǎn)線面體的相關(guān)概念，正確看出圖形中各量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4.觀察下列多面體，并把下表補(bǔ)充完整.名稱三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱圖形頂點(diǎn)數(shù)6棱數(shù)9面數(shù)5（1）根據(jù)表中的規(guī)律判斷，十二棱柱有___________個(gè)面，共有___________個(gè)頂點(diǎn)，共有___________條棱；（2）若某個(gè)棱柱由30個(gè)面構(gòu)成，則這個(gè)棱柱為___________棱柱；（3）若一個(gè)棱柱的底面多邊形的邊數(shù)為，則它有___________個(gè)側(cè)面，共___________個(gè)面，共有___________個(gè)頂點(diǎn)，共有___________條棱；（4）觀察上表中的結(jié)果，請(qǐng)寫出，，之間關(guān)系式___________．【答案】填表見解析；（1）；（2）；（3）；（4）【分析】由三棱柱的頂點(diǎn)數(shù)為：，棱數(shù)為：，面數(shù)為：；四棱柱的頂點(diǎn)數(shù)為：，棱數(shù)為：，面數(shù)為：；五棱柱的頂點(diǎn)數(shù)為：，棱數(shù)為：，面數(shù)為：；六棱柱的頂點(diǎn)數(shù)為：，棱數(shù)為：，面數(shù)為：，即可填表．根據(jù)已知的面、頂點(diǎn)和棱與幾棱柱的關(guān)系，可知棱柱一定有個(gè)面，個(gè)頂點(diǎn)和條棱，進(jìn)而得出（1）（2）和（3）的答案；（4）根據(jù)表格可總結(jié)出規(guī)律得出之間的關(guān)系．【詳解】解：填表如下：名稱三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱圖形

頂點(diǎn)數(shù)

棱數(shù)面數(shù)（1）十二棱柱有個(gè)面，共有個(gè)頂點(diǎn)，共有條棱．故答案為：14，24，36；（2）某個(gè)棱柱由個(gè)面構(gòu)成，則這個(gè)棱柱為棱柱．故答案為：28；（3）若一個(gè)棱柱的底面多邊形的邊數(shù)為，則它有個(gè)側(cè)面，共有個(gè)面，共有個(gè)頂點(diǎn)，共有條棱．故答案為：，，，；（4）之間的關(guān)系：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何規(guī)律型問題，熟記常見棱柱的特征，進(jìn)而可以總結(jié)一般規(guī)律：棱柱有個(gè)面，個(gè)頂點(diǎn)和條棱是解題關(guān)鍵．【題型二根據(jù)三視圖求原幾何體的小立方塊的個(gè)數(shù)】例題：一個(gè)幾何體是由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成，從左面、上面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖如圖所示，這樣的幾何體只有一種嗎？它最多需要多少個(gè)小正方體？最少需要多少個(gè)小正方體？【答案】不止一種，最多需要15個(gè)小正方體，最少需要10個(gè)小正方體【分析】利用從上看的圖形，在從上面看到的圖上寫出最多以及最少時(shí)小正方體的個(gè)數(shù)，可得結(jié)論．【詳解】結(jié)合左面看到的幾何體，在從上面看到的圖上寫出最多以及最少時(shí)小正方體的個(gè)數(shù)，如圖：

最多有：（個(gè)），最少有：（個(gè)），即可知：這樣的幾何體不止一種，最多需要15個(gè)小正方體，最少需要10個(gè)小正方體．【點(diǎn)睛】本題考查從不同角度觀看幾何體的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是具有一定的空間想象力，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練】1.如圖是由一些棱長都為的小正方體組合成的簡單幾何體．(1)從正面、左面和上面觀察這個(gè)幾何體，請(qǐng)你在下面相應(yīng)的位置分別畫出你所看到的幾何體的形狀圖；(2)如果在這個(gè)幾何體上再添加一些小正方體，并保持從左面和上面所看到的幾何體的形狀圖不變，最多可以再添加塊小正方體．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）從正面看所得到的圖形，從左往右有4列，分別有1，3，1，1個(gè)小正方形；從左面看所得到的圖形，從左往右有2列，分別有1，3個(gè)小正方形；從上面看所得到的圖形，從左往右有4列，分別有2，1，1，1個(gè)小正方形．（2）保持持從上面看和從左面看不變，可以在第1列后面一排添加2個(gè)，第3列添加2個(gè)，第4列添加2個(gè)，最多添加6個(gè)小正方體．【詳解】（1）如圖所示：（2）保持從左面和上面所看到的幾何體的形狀圖不變，最多可以再添加塊小正方體．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了從不同方向觀察幾何體，在畫圖時(shí)一定要將物體的邊緣、棱、頂點(diǎn)都體現(xiàn)出來，看得見的輪廓線都畫成實(shí)線，看不見的畫成虛線，不能漏掉．2.由8個(gè)棱長都為的小正方體搭成的幾何體如左圖．(1)請(qǐng)利用圖2中的網(wǎng)格畫出這個(gè)幾何體從正面看、從左面看和從上面看到的形狀圖．（一個(gè)網(wǎng)格為小立方體的一個(gè)面）(2)圖1中8個(gè)小正方體搭成的幾何體的表面積（包括與地面接觸的部分）是cm2．(3)若要用大小相同的小立方塊搭一個(gè)幾何體，使得它從上面和左面看到的形狀圖與你在圖2方格中所畫的形狀圖相同，則搭這樣的一個(gè)幾何體最多需要個(gè)小立方塊．【答案】(1)見解析(2)32(3)9【分析】（1）根據(jù)從正面、從左面和從上面看到的形狀畫出圖形即可；（2）分前后、左右、上下統(tǒng)計(jì)正方形的個(gè)數(shù)即可；（3）由俯視圖易得最底層小正方體的個(gè)數(shù)，由左視圖找到其余層數(shù)里最多個(gè)數(shù)相加即可．【詳解】（1）解：這個(gè)幾何體從正面看、從左面看和從上面看到的形狀圖如下：（2）圖1中8個(gè)小正方體搭成的幾何體的表面積（包括與地面接觸的部分）是，故答案為：32（3）若要用大小相同的小立方塊搭一個(gè)幾何體，使得它從上面和左面看到的形狀圖與你在圖2方格中所畫的形狀圖相同，則搭這樣的一個(gè)幾何體最多需9個(gè)小立方塊．故答案為：9【點(diǎn)睛】此題考查了從不同方向看幾何體、幾何體的表面積等知識(shí)，熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【題型三線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】例題：（1）如圖1，點(diǎn)C在線段上，M，N分別是，的中點(diǎn)．若，，求的長；

（2）設(shè)，C是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），①如圖2，M，N分別是，的三等分點(diǎn)，即，，求的長；②若M，N分別是，的n等分點(diǎn)，即，，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）由中點(diǎn)的定義可得，然后根據(jù)求解即可；（2）由，可得，然后根據(jù)求解即可；（3）仿照（2）的過程求解即可．【詳解】解：（1）∵M(jìn)，N分別是，的中點(diǎn)∴∵∴（2）①∵∴∵∴；②．【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．【變式訓(xùn)練】1.如圖，已知點(diǎn)B在線段上，，，P、Q分別為線段、上兩點(diǎn)，，，則線段的長為．【答案】7【分析】根據(jù)已知條件算出BP和CQ，從而算出BQ，再利用PA=BP+BQ得到結(jié)果．【詳解】解：∵AB=9，BP=AB，∴BP=3，∵BC=6，CQ=BC，∴CQ=2，∴BQ=BC-CQ=6-2=4，∴PQ=BP+BQ=3+4=7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離，線段的和差，熟練掌握線段上兩點(diǎn)間距離的求法，靈活運(yùn)用線段的和差倍分關(guān)系解題是關(guān)鍵．【題型四角n等分線的有關(guān)計(jì)算】例題：在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個(gè)角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意得出或，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵，射線為的三等分線．∴或，∴，∴的度數(shù)為或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，理解題意，分類討論是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.定義：從的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為（

）A．或或 B．或或C．或或 D．或或【答案】C【分析】分四種情況，分別計(jì)算，即可求解．【詳解】解：如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，；如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，；如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，；如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，；綜上，為或或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角的有關(guān)計(jì)算，畫出圖形，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．2.已知，以射線為起始邊，按順時(shí)針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，若，求的度數(shù)；(2)備用圖①，當(dāng)時(shí)，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)備用圖②，當(dāng)時(shí)，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).【答案】(1)；(2)；理由見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)圖形可知，繼而根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)圖形得出，計(jì)算，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況討論，①當(dāng)時(shí)，射線與重合，射線與互為反向延長線，②當(dāng)時(shí)，如圖4，射線、在的外部，結(jié)合圖形分析即可求解．【詳解】（1）如圖1，，在內(nèi)部，，，，，；（2）；理由如下：如圖2，，射線、分別在內(nèi)、外部，，，，；（3）①當(dāng)時(shí)，射線與重合，射線與互為反向延長線，則，，如圖3，，，，，；②當(dāng)時(shí)，如圖4，射線、在的外部，如圖4，則，，，，，，，.綜合①②得．【點(diǎn)睛】本題考查了結(jié)合圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【題型五分類討論思想在線段的計(jì)算中的應(yīng)用】例題：畫直線，并在直線上截取線段，再在直線上截取線段，則線段的長是．【答案】3或7/7或3【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長線上時(shí)，利用線段的和與差即可求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長線上時(shí)，，故答案為：3或7．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和與差，熟練掌握其計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．兩根木條，一根長，另一根長，將它們一端重合且放在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為．【答案】或．【分析】設(shè)，，根據(jù)題意分兩種情況：①如圖1，兩根木條如圖放置，有一端重合，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得，，再由即可得出答案；②如圖2，兩根木條如圖放置，有一端重合，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得，，再由即可得出答案．【詳解】解：設(shè)，，根據(jù)題意，①如圖1，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴；②如圖2，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴．綜上所述，兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離及線段的和差，中點(diǎn)的定義，本題運(yùn)用了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法．熟練掌握兩點(diǎn)的距離及線段和差的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．2．有、兩根木條，長度分別為24cm、18cm，將它們的一端重合且放在同一條直線上，此時(shí)、兩根木條中點(diǎn)之間的距離為cm．【答案】3或21【分析】假設(shè)端點(diǎn)B和端點(diǎn)D重合，分兩種情況如圖：①不在上時(shí)，，②在上時(shí)，，分別代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：假設(shè)端點(diǎn)B和端點(diǎn)D重合如圖，設(shè)較長的木條為，較短的木條為，∵M(jìn)、N分別為、的中點(diǎn)，∴，，①如圖1，不在上時(shí)，（cm），②如圖2，在上時(shí)，（cm），綜上所述，兩根木條的中點(diǎn)間的距離是21cm或3cm，故答案為：3或21．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，主要利用了線段的中點(diǎn)定義，解題的關(guān)鍵是在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．3．將一根繩子對(duì)折后用線段表示，現(xiàn)從處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為，若，則這條繩子的原長為．【答案】140或210/210或140【分析】根據(jù)繩子對(duì)折后用線段表示，可得繩子的長度是的2倍，分類討論，的2倍最長，可得，的2倍最長，可得的長，再根據(jù)線段間的比例關(guān)系，可得答案．【詳解】解：①當(dāng)?shù)?倍最長時(shí)，得，，，，∴這條繩子的原長為，②當(dāng)?shù)?倍最長時(shí)，得，，，∴這條繩子的原長為．綜上所述，這條繩子的原長為或．故答案為：140或210．【點(diǎn)睛】此題考查了線段的和差倍分及分類討論的思想，根據(jù)線段之間的比例關(guān)系列式為解題關(guān)鍵．【題型六分類討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】例題：已知，，平分，則等于．【答案】或【分析】分兩種情況：利用角平分線的定義即可求解．【詳解】解：當(dāng)如圖所示時(shí)：

平分，，，，當(dāng)如圖所示時(shí)：

平分，，，．故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義，利用分類討論解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．已知，，則的度數(shù)是．【答案】或【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)；②當(dāng)在的外部時(shí)，分別求解即可得到答案．【詳解】解：①如圖，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，

，，，；②如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，

，，，；綜上可知，的度數(shù)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的和差計(jì)算，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．2．已知，平分，射線與所形成的角度是，那么的度數(shù)是【答案】或/50或30【分析】分兩種情況：射線在的上方和射線在的下方，根據(jù)角平分線的定義和角的和差分別計(jì)算即可．【詳解】解：如圖1，

∵，平分，∴，∵射線與所形成的角度是，∴，∴；如圖2，

∵，平分，∴，∵射線與所形成的角度是，∴，∴；綜上可知的度數(shù)是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義和角的和差計(jì)算，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．已知射線是的三等分線，射線為的平分線，若，則．【答案】或【分析】根據(jù)三等分線的定義可得或，畫出圖形，進(jìn)行分類討論即可．【詳解】解：∵射線是的三等分線，∴或，當(dāng)時(shí)，如圖：∵，，∴，∵射線為的平分線，∴，∴；

當(dāng)時(shí)，如圖：∵，，∴，∵射線為的平分線，∴，∴；

故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的三等分線和角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握角的三等分線有兩條．4．如圖，長方形紙片，點(diǎn)P在邊上，點(diǎn)M，N在邊上，連接，．將對(duì)折，點(diǎn)D落在直線上的點(diǎn)處，得折痕；將對(duì)折，點(diǎn)A落在直線上的點(diǎn)處，得折痕．若，則．【答案】或【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方時(shí)，可得，由翻折變換的性質(zhì)可知，，由可得答案；當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方時(shí)，設(shè)，，則可以得到，由翻折變換的性質(zhì)可知，，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方時(shí)．∵，∴，由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴，∴．當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的下方時(shí)，設(shè)，，則，由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴．綜上所述，滿足條件的或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)算，翻折的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．【題型七整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問題】例題：（1）如圖，已知線段，點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)．①若，則線段的長度是_________；②若，，求線段的長度(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)；（2）在（1）中，把點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)改為：點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，，．其它條件不變，則線段的長度是___________（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）【答案】（1）①4，②，（2）或或【分析】（1）①根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，即可求解；②，即可求解；（2）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論即可：當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右邊時(shí)．【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)，，∴，∴，故答案為：4；②∵點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)，，∴，∴；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，由（1）可得：；當(dāng)點(diǎn)C在A左邊時(shí)，，∵點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右邊時(shí)，∵點(diǎn)M、N分別是線段，的中點(diǎn)，，∴，∴；綜上：或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義，具有分類討論的思想．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．(1)若線段，，則線段的長為(2)若為線段上任一點(diǎn)，滿足，其它條件不變，求的長；(3)若原題中改為點(diǎn)在直線上，滿足，，，其它條件不變，求的長．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，再由點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，可得，，再由，即可求解；（2）由點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，可得，，再由，即可求解；（3）分三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：，，，又點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；故答案為：；（2）解：點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，根據(jù)題意，準(zhǔn)確得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（1）如圖1，點(diǎn)C在線段上，M，N分別是，的中點(diǎn),若，，求的長．（2）設(shè)，C是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．①如圖2，當(dāng)M，N分別是，的中點(diǎn)時(shí)，的長是___________；②如圖3，若M，N分別是，的三等分點(diǎn)，即，，請(qǐng)直接寫出線段的長．【答案】（1）6

（2）①

②【分析】（1）由，得，根據(jù)M，N分別是，的中點(diǎn)，即得，故；（2）①由M，N分別是，的中點(diǎn)，知，即得，故；②由，知，即得,故；【詳解】解：（1）M，N分別是，的中點(diǎn)故答案為：6（2）①M(fèi)，N分別是，的中點(diǎn)故答案為：②故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．【題型八整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問題】例題：已知：如圖，在的內(nèi)部，平分平分．

(1)當(dāng)時(shí)，___________；(2)當(dāng)時(shí)，___________；(3)當(dāng)時(shí)，___________；(4)猜想：不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于________的度數(shù)的一半．【答案】(1)(2)40(3)40(4)【分析】（1）（2）（3）利用角平分線的定義求得和的度數(shù)，再求得，進(jìn)一步計(jì)算即可求解；（4）由（1）（2）（3）可得出結(jié)論；【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：45；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：40；（3）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：40；（4）解：由以上（1）（2）（3）得出結(jié)論，即不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于的度數(shù)的一半．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義、角的計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線定義得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解．【變式訓(xùn)練】1．已知為直線AB上一點(diǎn)，將一直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處．射線平分．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)在圖1中，若，直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)將圖1中的直角三角板繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)20°(2)(3)144°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）設(shè)，依次表示出，，，，最后根據(jù)列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，且，所以，因?yàn)樯渚€平分所以因?yàn)樗?/p>

（2）因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，且，所以，因?yàn)樯渚€平分所以因?yàn)樗裕?）設(shè)，則，，因?yàn)樗砸驗(yàn)樗越獾靡驗(yàn)樗?【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，余角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用余角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．解答下列問題如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：和，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．

(1)一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．

(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或【分析】（1）根據(jù)“巧分線”定義，一個(gè)角的平分線將一個(gè)角均分成兩個(gè)等角，大角是這兩個(gè)角的兩倍即可解答；(2)根據(jù)“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可；(3)根據(jù)“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可．【詳解】（1）解：如圖1：∵平分，∴,∴根據(jù)巧分線定義可得是這個(gè)角的“巧分線”．故答案為：是．

（2）解：如圖3：①當(dāng)時(shí)，則；②當(dāng)，則，解得：；③當(dāng)，則，解得：．綜上，可以為．（3）解：如圖3：①當(dāng)時(shí)，則；②當(dāng)，則，解得：；③當(dāng)，則，解得：．綜上，可以為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的計(jì)算、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意、理解“巧分線”的定義是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知，三角形是一個(gè)直角三角形，平分．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，__________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，__________；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)，借助圖3計(jì)算；(4)由（1），（2），（3）問可知，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．（用來表示，無需說明理由）【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)角的和差先求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，再利用角的和差即可解答；（2）同（1）的思路求解即可；（3）先根據(jù)角的和差求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，再利用角的和差求解即可；（4）分，與三種情況，分別結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；故答案為：；

（2）解：如圖2，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；故答案為：；

（3）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；

（4）解：當(dāng)時(shí)，如圖1，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；

當(dāng)時(shí)，如圖2，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；當(dāng)時(shí)，如圖3，由（3）的結(jié)論可得；綜上：．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差計(jì)算和角平分線的定義，熟練掌握角之間的數(shù)量關(guān)系、靈活應(yīng)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【題型九線段和與差綜合問題】例題：已知點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．

(1)若，，線段在線段上移動(dòng)．①如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長；②若點(diǎn)在線段上，且，，求的長；(2)若，線段在直線上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式，求的值．【答案】(1)①；②或(2)或【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，，①由線段中點(diǎn)的定義得到，求得，由線段的和差得到；②點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，可以根據(jù)進(jìn)行求解，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，，求出的長度，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，設(shè)，，則，，，求得，當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，設(shè)，，則，，，求得，分別代入關(guān)系式即可得出答案．【詳解】（1）解：①，，，，，如圖，

為中點(diǎn)，，，；②如圖，

，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，如圖

，，，，，綜上所述，的長為或；（2），，滿足關(guān)系式，如圖，當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)：

設(shè)，，則，，，，，，，，，解得，，

；如圖，當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)：

設(shè)，，則，，，，，，，，，解得，，

．故答案為是或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，熟悉各線段間的和、差及倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)C在線段上，，點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)求線段的長；(2)若點(diǎn)C在線段的延長線上，且滿足，點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出的長度，再根據(jù)線段的和差進(jìn)行求解即可；（2）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出的長度，再根據(jù)線段的和差進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）∵，點(diǎn)M分別為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵點(diǎn)N分別為的中點(diǎn)，∴，∴；（2）如圖，∵點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)和線段的和差，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，．

(1)圖中共有多少條線段，請(qǐng)寫出這些線段；(2)求的長；(3)若點(diǎn)在直線上，且，求的長．【答案】(1)圖中的線段有，，，，，共條(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形，數(shù)出線段即可求解．（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)，即可求解；（3）分點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)在延長線上時(shí)，兩種情況分別討論即可求解．【詳解】（1）解：圖中的線段有，，，，，共條，

（2）點(diǎn)為的中點(diǎn)，，．，；（3）分兩種情況討論：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，

；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在延長線上時(shí)，

，，；綜上，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了線段數(shù)量問題，線段中點(diǎn)以及線段和差問題，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．如圖，是線段上一點(diǎn)，，，兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)沿射線向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動(dòng)．(1)若點(diǎn)，的速度分別是，．①若，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)了時(shí)，求的值；②若點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，求；(2)若動(dòng)點(diǎn)，的速度分別是，，點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求的長度．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①先計(jì)算，再計(jì)算；②利用中點(diǎn)的性質(zhì)求解；（2）將用其它線段表示即可．【詳解】（1）解：①由題意得：，．．②點(diǎn)C到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則：，，．（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，，．．【點(diǎn)睛】本題考查線段上動(dòng)點(diǎn)問題、求線段的長度，充分利用中點(diǎn)和線段的倍數(shù)關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．4．如圖，將一段長為厘米繩子拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊.若將繩子沿、點(diǎn)折疊，點(diǎn)、分別落在，處.(1)如圖2，若，恰好重合于點(diǎn)處，展開拉直后如圖3，求的長；(2)若點(diǎn)落在的左側(cè)，且，畫出展開拉直后的圖形，并求的長度；(3)若點(diǎn)落在的右側(cè)，且，畫出展開拉直后的圖形，并求的長度.【答案】(1)厘米(2)厘米(3)厘米【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出，，進(jìn)而根據(jù)即可求解；（2）先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，得出，，根據(jù)即可求解；（3）先根據(jù)題意畫出圖形，同（2）的方法即可求解．【詳解】（1）解：∵繩子沿、點(diǎn)折疊，點(diǎn)、分別落在、處，、恰好重合于點(diǎn)處，∴，，∴；（2）∵，，∴.根據(jù)題意得，、分別為、的中點(diǎn)，∵，，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)落在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，∵，∴.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差，線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【題型十線段上動(dòng)點(diǎn)定值問題】例題：如圖，已知線段，，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長度．(2)當(dāng)線段在線段上從左向右或從右向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷線段的長度是否發(fā)生變化，如果不變，請(qǐng)求出線段的長度；如果變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)不變，還是，理由見解析【分析】（1）由題意可得，，結(jié)合中點(diǎn)的含義可得；（2）由已知可得，，再由，結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)即可解．【詳解】（1）解∶，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，；（2）線段的長度不發(fā)生變化．點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差運(yùn)算，中點(diǎn)的含義；熟練掌握線段的和差運(yùn)算，靈活應(yīng)用中點(diǎn)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)．

(1)若，求線段的長；(2)若C為線段上任一點(diǎn)，滿足，其他條件不變，你能猜想的長度嗎？請(qǐng)直接寫出你的答案．(3)若C在線段的延長線上，且滿足，M、N分別為的中點(diǎn)，你能猜想MN的長度嗎？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，圖及理由見解析【分析】（1）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解；（3）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∴∴線段的長為．（2）解∶∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴；（3）解∶，理由如下∶如圖:

∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，明確題意、準(zhǔn)確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．如圖，B是線段上一動(dòng)點(diǎn)，沿以的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，C是線段的中點(diǎn)，cm，設(shè)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（t不超過10）

(1)當(dāng)時(shí)，________cm．(2)當(dāng)時(shí)，求線段的長．(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，若的中點(diǎn)為E，則的長是否變化？若不變，求出的長；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)4(2)3cm(3)不變，5cm【分析】（1）利用路程等于速度乘以時(shí)間可得答案；（2）當(dāng)時(shí)，而，先求解，再利用中點(diǎn)的含義可得答案；（3）由的中點(diǎn)為E，C是線段的中點(diǎn)，可得BD．從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，而，∴．∵C是的中點(diǎn)，∴即線段的長為3cm．（3）不變，如圖，

∵的中點(diǎn)為E，C是線段的中點(diǎn)，∴BD．∴即的長為5cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的中點(diǎn)的含義，線段的和差運(yùn)算，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題的關(guān)鍵．3．探究題：如圖①，已知線段，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)．(1)若點(diǎn)恰好是中點(diǎn)，則___________