數(shù)學(xué)單元測試：第二章圓錐曲線與方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章測評(時間90分鐘滿分100分）一、選擇題(本大題共10個小題，每小題4分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1若焦點在x軸上的橢圓eq\f（x2,2)＋eq\f（y2,m）＝1的離心率為eq\f(1,2），則m等于(）A.eq\r（3)B.eq\f(3，2)C.eq\f(8,3)D。eq\f(2,3）2已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f（3，4)x，則此雙曲線的（)A．焦距為10B．實軸與虛軸分別為8和6C．離心率是eq\f（5,4）或eq\f（5，3）D．離心率不確定3P是橢圓eq\f（x2，9)＋eq\f(y2，5)＝1上的動點，過P作橢圓長軸的垂線，垂足為M，則PM的中點的軌跡方程為(）A.eq\f(4x2，9)＋eq\f(y2，5）＝1B.eq\f(x2，9)＋eq\f(4y2,5）＝1C.eq\f(x2，9)＋eq\f(y2，20）＝1D。eq\f(x2，36)＋eq\f(y2，5)＝14與圓x2＋y2－4x＝0外切，又與y軸相切的圓的圓心的軌跡方程是（)A．y2＝8xB．y2＝8x（x＞0)或y＝0(x＜0）C．y2＝8x或y＝0D．y2＝8x（x≠0）5已知點A為雙曲線x2－y2＝1的左頂點，點B和點C在雙曲線的右分支上，△ABC是等邊三角形，則△ABC的面積是（)A。eq\f（\r（3）,3)B。eq\f（3\r（3)，2)C．3eq\r（3)D．6eq\r(3)6雙曲線的虛軸長為4，離心率e＝eq\f(\r(6),2)，F(xiàn)1、F2分別是它的左右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點,且|AB|是|AF1|、｜AF2｜的等差中項,則｜BF1｜等于()A．8eq\r(2）B．4eq\r(2)C．2eq\r(2)D．87設(shè)A、B∈R，A≠B,且A·B≠0，則方程Bx－y＋A＝0和方程Ax2－By2＝AB在同一坐標系下的圖象大致是圖中的（)8設(shè)拋物線y2＝2x的焦點為F，過點M(eq\r(3),0)的直線與拋物線相交于A，B兩點,與拋物線的準線相交于點C，|BF｜＝2，則△BCF與△ACF的面積之比eq\f(S△BCF,S△ACF)等于（）A。eq\f(4，5）B.eq\f（2,3）C.eq\f(4，7)D。eq\f(1，2)9已知點P是拋物線y2＝2x上的動點,點P在y軸上的射影是M，點A的坐標是(eq\f（7,2），4）,則｜PA|＋｜PM|的最小值為(）A.eq\f(7,2）B．4C。eq\f(9，2)D．510雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1(a＞0,b＞0)的兩焦點為F1、F2，|F1F2｜＝2c,P為雙曲線上一點,PF1⊥PF2，則P到實軸的距離等于（)A。eq\f(b2,c)B。eq\f（a2,c）C.eq\f(b2，a）D。eq\f（c2,a)二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分,共20分．把答案填在題中的橫線上）11橢圓x2＋eq\f(y2,2)＝1的離心率為________．12若橢圓eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2,b2)＝1（a＞b＞0）的離心率為eq\f(\r（5）－1，2），則雙曲線eq\f（x2，b2）－eq\f(y2，a2）＝1的離心率是________．13直線l：x－y＋1＝0和橢圓eq\f（x2,4)＋eq\f(y2，3)＝1相交于A,B兩點，則弦｜AB｜＝________。14已知雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的虛軸的上端點為B，過點B引直線l與雙曲線的左支有兩個不同的交點，則直線l的斜率的取值范圍是________．15以下命題:①兩直線平行的充要條件是它們的斜率相等．②過點（x0，y0）與圓x2＋y2＝r2相切的直線方程是x0x＋y0y＝r2.③平面內(nèi)到兩定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．④拋物線上任意一點M到焦點的距離等于點M到其準線的距離．其中正確命題的序號是________．三、解答題(本大題共4個小題,共40分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16(9分）動點P(x,y）到定點A(2，0）與到定直線l：x＝4的距離之和為6，求點P的軌跡．17（10分)已知雙曲線的方程是eq\f（x2，9)－eq\f(y2,16）＝1,求以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線的標準方程及拋物線的準線方程．18（10分)設(shè)拋物線y2＝4px（p＞0）的準線與x軸的交點為M，過點M作直線l交拋物線于A、B兩點．(1）求線段AB中點的軌跡方程;(2)若線段AB的垂直平分線交對稱軸于N（x0，0）,求證：x0＞3p。19（11分）已知橢圓C1的方程eq\f（x2,4）＋y2＝1.(1)F1,F2為C1的左右焦點，求橢圓上滿足eq\o（PF1，\s\up6(→）)·eq\o(PF2，\s\up6(→))＝0的點P的軌跡方程C2;(2)若過曲線C2內(nèi)一點P0(－1，1）作弦AB,當弦AB被點P0平分時，求直線AB的方程；(3)雙曲線C3的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C3的左、右頂點分別是C1的左、右焦點，若直線l：y＝kx＋eq\r(2)與雙曲線C3恒有兩個不同的交點M和N,且eq\o（OM，\s\up6(→)）·eq\o（ON，\s\up6(→）)＞2(其中O為原點）．求k的取值范圍．參考答案1解析:a＝eq\r(2），c＝eq\r(2－m)，eq\f(c,a)＝eq\f（\r(2－m）,\r（2）)＝eq\f（1,2)，所以eq\r(2－m）＝eq\f(\r（2)，2）。又m＞0,所以m＝eq\f（3，2)。所以選B.答案：B2解析：由雙曲線漸近線方程y＝±eq\f（3,4）x，所以eq\f(b,a)＝eq\f(4，3）或eq\f(b,a）＝eq\f（3，4）。e＝eq\f(c，a）＝eq\f(\r(a2＋b2)，a）＝eq\r（1＋\f（b,a)2）＝eq\f（5,4）或eq\f(5，3)。所以選C。答案：C3解析：用代入法，設(shè)P(x1,y1），中點（x，y)，則x1＝x,y1＝2y，代入橢圓方程即得．答案：B4解析:設(shè)圓心(x，y)(x≠0)，則eq\r（x－22＋y2)＝2＋|x|，化簡得y2＝4x＋4｜x｜,當x＞0時，y2＝8x；當x＜0時，y＝0.答案:B5解析：由雙曲線關(guān)于x軸對稱，可知BC⊥x軸．設(shè)△ABC邊長為a，則B點坐標（eq\f（\r(3)，2）a－1，eq\f（a,2))，代入雙曲線方程，得(eq\f(\r（3）a，2）－1）2－eq\f（a2,4）＝1，得a＝2eq\r（3)或a＝0(舍去）．所以S△ABC＝eq\f(\r(3)，4)(2eq\r(3))2＝3eq\r（3).答案:C6解析：由題意，b＝2，a＝2eq\r(2）,c＝2eq\r（3)，由|AB｜是｜AF1｜、|AF2｜的等差中項及雙曲線的定義得|BF1|＝a.答案：C7解析：方程Ax2－By2＝AB可變?yōu)閑q\f（x2，B)－eq\f（y2,A）＝1，令x＝0,直線可變?yōu)閥＝A。結(jié)合A、B、C選項可知A＜0，故不選C.令y＝0，直線可變?yōu)閤＝－eq\f(A,B），由選項A可知－eq\f(A,B)＜0，則eq\f(A，B）＞0，與A圖矛盾．對于D，A＞0，eq\f(x2，B）－eq\f(y2,A）＝1表示焦點在x軸的雙曲線，故與D矛盾．所以選B項．答案：B8解析：由|BF|＝2小于點M到準線的距離（eq\r（3)＋eq\f(1，2）)知點B在A、C之間，由拋物線的定義知點B的橫坐標為eq\f(3,2），代入得y2＝3，則B(eq\f(3，2)，－eq\r(3）)〔另一種可能是(eq\f（3，2）,eq\r（3）)〕，那么此時直線AC的方程為eq\f（y－0，－\r(3）－0)＝eq\f(x－\r（3)，\f(3，2）－\r(3)），即y＝eq\f（2x－\r(3），2－\r(3）),把y＝eq\f(2x－\r(3),2－\r(3）)代入y2＝2x,可得2x2－7x＋6＝0，可得x＝2，則有y＝2,即A(2,2)，那么S△BCF∶S△ACF＝BC∶AC＝(eq\f(3,2)＋eq\f(1,2））∶（2＋eq\f（1,2)）＝4∶5.答案：A9解析:設(shè)拋物線焦點為F,連結(jié)AF，AF與拋物線的交點P為所求P點，此時|PA｜＋｜PM｜＝｜PA｜＋|PF|－eq\f（1,2）≥|AF｜－eq\f(1,2)＝eq\f（9，2)。答案：C10解析：由PF1⊥PF2,得｜PF1｜2＋|PF2｜2＝4c2.又∵｜|PF1｜－｜PF2｜|＝2a，∴|PF1｜｜PF2|＝2b2?！帱cP到實軸的距離為eq\f（｜PF1||PF2｜，｜F1F2｜）＝eq\f（b2，c).答案：A11答案:eq\f(\r(2）,2)12解析：e1＝eq\f（\r（5)－1，2)＝eq\f（\r(a2－b2),a)＝eq\r（1－\f（b2,a2)),eq\f(b2,a2）＝eq\f(\r(5)－1,2），雙曲線的離心率e2＝eq\r（\f（a2＋b2,b2)）＝eq\r（\f（a2，b2)＋1）＝eq\r(\f(2,\r(5)－1）＋1）＝eq\r（\f(\r（5）＋1,2)＋1）＝eq\r（\f（6＋2\r（5），4)）＝eq\f（\r（5）＋1，2）。答案:eq\f(\r（5）＋1，2）13解析：設(shè)A(x1，y1），B（x2，y2)，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,\f（x2,4）＋\f（y2，3）＝1））可得7x2＋8x－8＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(8,7),x1x2＝－eq\f(8，7)。由弦長公式可得｜AB｜＝eq\r（1＋k2）|x2－x1｜＝eq\r(1＋12）·eq\r（－\f（8，7）2－4×－\f（8,7）)＝eq\f(24，7)。答案:eq\f(24，7)14解析:因為B(0，1)，設(shè)過點B的直線l：y＝kx＋1,與eq\f(x2,4）－y2＝1聯(lián)立，消去y得(eq\f（1，4）－k2)x2－2kx－2＝0.當eq\f(1,4）－k2＝0,即k＝±eq\f(1，2）,有一個交點；當eq\f(1，4)－k2≠0時，若有兩個不同的交點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4k2＋8\f（1,4)－k2＞0，，\f(2,k2－\f(1,4)）＞0，，\f(2k，\f(1，4）－k2)＜0，）)得eq\f（1，2）＜k＜eq\f(\r（2），2).綜上所述得k的取值范圍為eq\f(1,2)＜k＜eq\f（\r(2)，2）。答案：(eq\f(1,2），eq\f(\r（2),2）)15解析：①中斜率不一定存在；②點（x0，y0）不一定在圓上；③當2a＝|F1F2|時，軌跡為線段．答案:④16分析：應(yīng)用直接法求點P的軌跡方程即可．解：作PQ⊥l，垂足為Q，則P點的軌跡就是集合{P||PA｜＋｜PQ｜＝6｝，即eq\r（x－22＋y2）＋｜x－4|＝6。當x≥4時，方程為y2＝－16(x－6）(x≤6）；當x＜4時，方程為y2＝8x(x≥0）．故P點的軌跡為兩條拋物線弧y2＝8x（0≤x＜4)和y2＝－16（x－6）（4≤x≤6）．17分析:由雙曲線方程可求其右頂點坐標，從而求出拋物線的焦參數(shù)p.解:∵雙曲線eq\f(x2，9）－eq\f（y2，16）＝1的右頂點坐標是(3，0),∴eq\f（p,2）＝3，且拋物線的焦點在x軸的正半軸上．∴所求拋物線的方程和準線方程分別為y2＝12x和x＝－3。18分析：應(yīng)用點斜式設(shè)出l的方程，借助于中點坐標公式及根與系數(shù)的關(guān)系求得AB中點的軌跡方程．將x用k表示出來,通過k的范圍求得x0的范圍．解：（1)拋物線y2＝4px（p＞0）的準線為x＝－p∴M(－p,0)．設(shè)l：y＝k（x＋p)(k≠0)，代入y2＝4px，得k2x2＋2(k2－2)px＋k2p2＝0,由Δ＝4(k2－2)2p2－4k4p2＞0得－1＜k＜1(k≠0）,設(shè)線段AB的中點為Q（x,y)，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（x1＋x2，2)＝\f（2，k2)－1p，，y＝kx＋p＝\f（2p，k)，))消去k，得y2＝2p(x＋p)（x＞p），這就是所求的軌跡方程．(2）由(1)知線段AB的中點Q(（eq\f（2,k2)－1）p，eq\f（2p，k)），線段AB的垂直平分線方程為y－eq\f(2p,k)＝－eq\f(1，k)[x－（eq\f(2,k2)－1)p］，令y＝0得x0＝(eq\f(2，k2）＋1)p，因為0＜k2＜1，所以x0＞3p.19解:(1）設(shè)點P（x，y)，由eq\f(x2，4)＋y2＝1，知F1(－eq\r（3）,0)，F(xiàn)2(eq\r（3)，0)，由eq\o(PF1，\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6（→））＝0得所求軌跡方程為x2＋y2＝3。(2)當弦AB被點P0平分時,OP0⊥AB，∵kOP0＝－1，∴kAB＝1,故直線AB的方程為y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.(3)設(shè)雙曲線C3的方程為eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1，則a2＝4－1＝3