數(shù)學單元測試：第一章立體幾何初步

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精本章測評BENZHANGCEPING(時間90分鐘，滿分100分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1下列說法中正確的是（）A．棱柱的側面可以是三角形B．由6個大小一樣的正方形所組成的圖形是正方體的展開圖C．正方體各條棱長都相等D．棱柱的各條棱都相等2空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(）A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面BDC3下面幾何體的軸截面一定是圓面的是（)A．圓柱B．圓錐C．球D．圓臺4下列說法正確的是（)A．三點確定一個平面B．四邊形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．平面α和平面β有不同在一條直線上的三個交點5如果正六棱柱的底面是邊長為a的正六邊形，棱柱的高也等于a，那么,經(jīng)過不相鄰側棱的截面的最大面積為（)A．a2B。eq\r(3）a2C．2a2D．2eq\r(3）a26一棱錐被平行于底面的平面所截,若截面與底面的面積之比為1∶eq\r（2）,則此棱錐的一條側棱被分成的兩段的長度之比為(）A．1∶eq\r(2）B．1∶2C．1∶（eq\r（4,2）－1)D．1∶(eq\r（2）＋1)7用若干個大小相同，棱長為1的正方體擺成一個立體模型，其三視圖如下根據(jù)三視圖回答此立體模型共有正方體的個數(shù)為（)A．4B．5C．6D．78正四棱臺兩底面邊長分別為a,b，側面積等于兩個底面積的和,那么它的高為(）A.eq\f(ab,a＋b）B.eq\f（a＋b,ab）C。eq\f（a2b2,a2＋b2)D。eq\f(a2＋b2,a2b2)9兩相同的正四棱錐組成如下圖所示的幾何體,可放在棱長為1的正方體內，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上,則這樣的幾何體體積的可能值有（)A．1個B．2個C．3個D．無窮多個10有一容積為1立方單位的正方體容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1及對角線B1C的中點各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置,則該容器可裝水的最大容積是（）A.eq\f(1,2)B.eq\f(7，8)C。eq\f(11,12)D.eq\f（47，48)二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中的橫線上)11已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M，若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于________．12如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、DD1的中點，則過D、E、F三點的截面截正方體所得截面形狀是________．13李師傅用鐵皮做10節(jié)同樣大小的圓柱形通風管，每節(jié)長80cm，底面直徑20cm，一共需要鐵皮________．14三棱錐A—BCD是長方體木料的一角，現(xiàn)欲從頂點A沿著底面BCD的垂線方向鉆孔，則出口位置是三角形BCD的______（填“重心”、“垂心”、“內心”、“外心"）．15下列說法正確的是________．①若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；②若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③若四個側面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱．三、解答題（本大題共4小題，共40分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16(9分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點D是AB的中點，求證：AC1∥平面CDB1.17（10分)已知：如圖,直線l∩平面α＝M，直線l在平面α上的射影是直線m，直線aα,并且a⊥m，求證：a⊥l。18(10分）某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖所示．墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH,下半部分是長方體ABCD—EFGH。右上圖、右下圖分別是該標識墩的主視圖和俯視圖．主視圖俯視圖（1)請畫出該安全標識墩的左視圖；(2）求該安全標識墩的體積；(3)證明直線BD⊥平面PEG.19(11分）已知：棱錐V—ABC的底面積是64cm2，平行于底面的截面面積是4cm2,棱錐頂點V在截面和底面上的射影分別是O1、O，過O1O的三等分點作平行于底面的截面，求各截面的面積．參考答案1解析：根據(jù)棱柱的定義可知，棱柱的側面都是平行四邊形，側棱長相等，但是側棱和底面內的棱長不一定相等，而正方體的所有棱長都相等．答案:C2答案:D3解析:圓柱、圓錐、圓臺的軸截面分別是矩形、三角形、等腰梯形，而球的軸截面是圓面．答案：C4解析：不共線的三點確定一個平面,所以A錯誤；四邊形的四個頂點不一定共面,所以B錯誤；假設兩個平面α和平面β有不同在一條直線上的三個交點,那么這兩個平面重合，所以D錯誤；兩條平行直線確定一個平面,梯形的一組對邊平行，則梯形一定是平面圖形，所以C正確．答案：C5解析：首先要分析經(jīng)過不相鄰側棱的截面的情況．其中面積最大的截面面積顯然為a·2a＝2a2.答案：C6解析：如圖,∵eq\f（S截，S底)＝（eq\f(A1B1,AB））2，∴eq\f(A1B1，AB)＝eq\f(1,\r(4,2）），而eq\f(A1B1,AB）＝eq\f（SA1,SA)＝eq\f（1,\r(4，2)），eq\f(SA1，SA－SA1）＝eq\f(1，\r（4,2)－1),即eq\f（SA1,A1A）＝eq\f（1,\r（4,2)－1)，∴側棱被分成兩段的長度之比為1∶(eq\r（4,2）－1）．答案:C7解析:依三視圖，可知立體模型的直觀圖為，所以共有5個正方體．答案:B8解析：設高為h，斜高為h1，因為側面積為S側＝4×eq\f(1，2)(a＋b)×h1＝2（a＋b）h1，上下底面積之和為a2＋b2，∴2（a＋b)h1＝a2＋b2，所以，h1＝eq\f(a2＋b2,2（a＋b)),故h＝eq\r（h\o\al(2,1）－[\f(1,2）（b－a）］2）＝eq\r（\f（（a2＋b2）2－(b2－a2）2,4（a＋b）2）)＝eq\f(ab,a＋b).答案：A9解析：由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心是正四棱錐底面正方形ABCD的中心，由對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積,問題轉化為邊長為1的正方形的內接正方形有多少種．因為正方形的內接正方形的大小不一樣，所以如圖所示可知有無數(shù)個．答案:D10解析:當水平面調整為如圖△EB1C時容器的容積最大，最大容積為V＝1－eq\f（1，3)×eq\f（1,2)×eq\f(1,2）×1×1＝eq\f(11，12）。答案：C11解析：如圖所示:圓M的面積為3π,則半徑MB＝eq\r(3）。設球半徑為R，則（eq\f(R,2））2＋(eq\r(3））2＝R2，得R2＝4.∴S球＝4πR2＝16π.答案：16π12解析:取A1B1中點G，則截面應為DD1GE，易證為矩形．答案:矩形13解析：所做的每個柱體的底面半徑為10cm，高為80cm，故每個柱體的側面積為2π·10·80＝1600π（cm2），故總共需要的鐵皮面積為1600π×10＝16000π(cm2）.答案：16000πcm214解析：如圖所示，出口的位置為O點，連接AO，則AO⊥平面BCD，所以AO⊥CD。又由已知易知BA⊥平面ACD，所以AB⊥CD，所以CD⊥平面ABO，所以BO⊥CD，連接BO并延長交CD于點E，則BE⊥CD，同理可證得DC⊥BC，CO⊥BD,所以O點位置是三角形BCD的垂心．答案:垂心15解析：根據(jù)棱柱的概念能判斷側棱和底面垂直的就是直棱柱，否則就不是，可以逐個進行驗證．答案:②④16分析：證明直線與平面平行可以利用三角形中位線找出平行線即可．證明:如圖，設CB1與C1B的交點為E，連接DE,∵D是AB的中點，E是BC1的中點,∴DE∥AC1.∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.17分析：轉化為證明直線a垂直于直線l和m確定的平面均可．證明：如圖所示，設斜足為M，在直線l上取異于點M的一點P，過P作PA⊥α于點A,連接MA,則直線MA就是直線m.∵PA⊥α，aα?！郟A⊥a。又∵a⊥m,m平面PMA，PA平面PMA，m∩PA＝A，∴a⊥平面PMA。又∵l平面PMA，∴a⊥l。18分析：本題主要考查組合體的三視圖，體積以及線面位置關系等基礎知識．考查空間想象能力．解：（1)左視圖同主視圖，如下圖所示．(2）該安全標識墩的體積為V＝VP—EFGH＋VABCD—EFGH＝eq\f(1，3)×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3）．(3)證明：如圖，連結EG，HF及BD,EG與HF相交于點O，連結PO.由正四棱錐的性質可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF。又EG⊥HF,∴HF⊥平面PEG.又BD∥HF，∴BD⊥平面PEG.19分析：頂點到已知截面的距離h1與原棱錐高h的關系,可由已知截面面積與底面積的量的關系得到，從而各截面對應的高與原棱錐的高的關系可以求出，再運用一般棱錐截面性質可以求得各截面面積．證明：設棱錐的高為h，其頂點到已知截面的距離VO1＝h1，O1O的三等分點為O2、O3，由已知得eq\f(h\o\al（2，1）,h2）＝eq\f（4,64），∴eq\f(h1,h)＝eq\f(1,4），∴h1＝eq\f（1，4)h，∴O1O＝VO－VO1＝h－eq\f（1,4)h＝eq\f(3，4)h，而O1O2＝O2O3＝O3O，則O1O2＝O2O3＝O3O＝eq\f(1，3)·eq\f(3，4)h＝eq\f(1，4）h?！郪O2＝eq\f(1，4)h＋eq\f（1，4