上海市戲劇學(xué)院附中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

上海市戲劇學(xué)院附中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N．下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則平分C.若，則 D.若，延長(zhǎng)AO交直線于點(diǎn)D，則D，B，N三點(diǎn)共線2．設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（）A. B.C. D.3．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.4．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為4天，那么感染人數(shù)超過(guò)1000人大約需要（）（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染）A.20天 B.24天C.28天 D.32天5．某研究所計(jì)劃建設(shè)n個(gè)實(shí)驗(yàn)室，從第1實(shí)驗(yàn)室到第n實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)費(fèi)用依次構(gòu)成等差數(shù)列，已知第7實(shí)驗(yàn)室比第2實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)費(fèi)用多15萬(wàn)元，第3實(shí)驗(yàn)室和第6實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)費(fèi)用共為61萬(wàn)元.現(xiàn)在總共有建設(shè)費(fèi)用438萬(wàn)元，則該研究所最多可以建設(shè)的實(shí)驗(yàn)室個(gè)數(shù)是（）A.10 B.11C.12 D.136．若橢圓上一點(diǎn)到C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，則（）A.1 B.3C.6 D.1或37．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則（）A.19 B.21C.23 D.388．閱讀如圖所示程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出S的結(jié)果是（）A.128 B.64C.16 D.329．設(shè)異面直線、的方向向量分別為，，則異面直線與所成角的大小為（）A. B.C. D.10．已知向量，若，則（）A. B.5C.4 D.11．隨機(jī)抽取甲乙兩位同學(xué)連續(xù)9次成績(jī)（單位：分），得到如圖所示的成績(jī)莖葉圖，關(guān)于這9次成績(jī)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.甲成績(jī)的中位數(shù)為33 B.乙成績(jī)的極差為40C.甲乙兩人成績(jī)的眾數(shù)相等 D.甲成績(jī)的平均數(shù)低于乙成績(jī)的平均數(shù)12．如圖，用隨機(jī)模擬方法近似估計(jì)在邊長(zhǎng)為e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中陰影部分的面積，先產(chǎn)生兩組區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)和，因此得到1000個(gè)點(diǎn)對(duì)，再統(tǒng)計(jì)出落在該陰影部分內(nèi)的點(diǎn)數(shù)為260個(gè)，則此陰影部分的面積約為（）A.0.70 B.1.04C.1.86 D.1.92二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．桌面排列著100個(gè)乒乓球，兩個(gè)人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個(gè)乒乓球人為勝利者．條件是：每次拿走球的個(gè)數(shù)至少要拿1個(gè)，但最多又不能超過(guò)5個(gè)，這個(gè)游戲中，先手是有必勝策略的，請(qǐng)問(wèn)：如果你是最先拿球的人，為了保證最后贏得這個(gè)游戲，你第一次該拿走_(dá)__個(gè)球14．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_______15．已知函數(shù)（1）若時(shí)函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)任意的，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍16．若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別a，b，c．已知2bcosB=ccosA+acosC（1）求B；（2）若a=2，，設(shè)D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求線段BD的長(zhǎng)18．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn).（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：.19．（12分）已知函數(shù)（1）若在上不單調(diào)，求a的范圍；（2）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)20．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)A，B是橢圓C的上，下頂點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA與橢圓C的另一交點(diǎn)為E，直線PB與橢圓C的另一交點(diǎn)為F．證明：直線EF過(guò)定點(diǎn)21．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)的和.22．（10分）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為5.（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且N為線段的中點(diǎn)，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)求出焦點(diǎn)為、點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出可判斷AC；時(shí)可得，．由可判斷B；求出點(diǎn)坐標(biāo)可判斷D.【詳解】如圖，若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；時(shí)，因?yàn)?，所以．又，，所以不平分，選項(xiàng)B不正確；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)椋?，直線的方程為，所以，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)D，所以則，所以D，B，N三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D正確；故選：D.2、B【解析】利用求解.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以.故選：B3、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.4、B【解析】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過(guò)n輪傳染，總共感染人數(shù)為：即，解得，所以感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要24天，故選：B【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類(lèi)討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程5、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，列出方程組，求出的值，進(jìn)而求出令根據(jù)題意令，即可求解.【詳解】設(shè)第n實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)費(fèi)用為萬(wàn)元，其中，則為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則由題意可得，解得，則.令，即，解得，又，所以，，所以最多可以建設(shè)12個(gè)實(shí)驗(yàn)室.故選：C.6、B【解析】討論焦點(diǎn)的位置利用橢圓定義可得答案.【詳解】若，則由得（舍去）；若，則由得故選：B.7、A【解析】由已知及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到公差d，再利用前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知，得，解得，所以.故選：A8、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫(xiě)出執(zhí)行步驟，即可確定輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯，其執(zhí)行步驟如下：1、成立，則；2、成立，則；3、成立，則；4、成立，則；5、不成立，輸出；故選：C9、C【解析】利用空間向量夾角的公式直接求解.【詳解】，，，.由異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成的角為.故選：C10、B【解析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得.【詳解】由于，所以.故選：B11、D【解析】按照莖葉圖所給的數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績(jī)?yōu)椋?1，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，平均數(shù)為；乙的成績(jī)?yōu)椋?0，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數(shù)為42，平均數(shù)為；由以上數(shù)據(jù)可知，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確；故選：D.12、D【解析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可直接求出答案.【詳解】易知，根據(jù)幾何概型的概率公式，得，所以.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】根據(jù)題意，由游戲規(guī)則，結(jié)合余數(shù)的性質(zhì)，分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，第一次該拿走4個(gè)球，以后的取球過(guò)程中，對(duì)方取個(gè)，自己取個(gè)，由于，則自己一定可以取到第100個(gè)球.故答案為：414、【解析】根據(jù)給定條件求出正項(xiàng)等比數(shù)列的公比即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，依題意，，即，而，解得，所以.故答案為：15、（1）（2）【解析】（1）將函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，令，求導(dǎo)確定單調(diào)性求出極值即可求解；（2）求導(dǎo)確定單調(diào)性，結(jié)合以及得，由得，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，．函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，即有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根令，則，令得或，在和上均減函數(shù)，在上為增函數(shù)，極小值為，極大值為，的取值范圍是；【小問(wèn)2詳解】，且，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，，又，，又，又在上恒成立，即，即當(dāng)時(shí)，恒成立在上單減，故最小值為，的取值范圍是16、1【解析】由兩條直線垂直可知，進(jìn)而解得答案即可.【詳解】因?yàn)閮蓷l直線垂直，所以.故答案為：1.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得，由此求得.（2）利用正弦定理求得，由列方程來(lái)求得.【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理得，因?yàn)?，所以?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，由正弦定理：得，，或（舍去），，，所以由得，，18、（1）；（2）（?。唬áⅲ┳C明見(jiàn)解析.【解析】（1）求出，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；（2）（?。└鶕?jù)題意對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，等價(jià)轉(zhuǎn)化，且構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，即可求得參數(shù)的取值范圍；（ⅱ）根據(jù)（?。┲兴蟮玫脚c的等量關(guān)系，求得并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，則問(wèn)題得證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，故，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問(wèn)2詳解】（ⅰ）因?yàn)?，故可得，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，則，無(wú)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，若在有一個(gè)零點(diǎn)，即在有一個(gè)零點(diǎn)，也即在有一個(gè)零點(diǎn)，又，則單調(diào)遞增，則只需，解得.綜上所述，若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，則；（ⅱ）由（?。┛芍?，若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，則，也即，則，令，則，又在都是單調(diào)增函數(shù)，故是單調(diào)增函數(shù)，又，故，則在單調(diào)遞增，則，故，即證.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)以及最值；處理問(wèn)題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，以及充分利用零點(diǎn)存在定理，熟練掌握構(gòu)造函數(shù)法，屬綜合困難題.19、（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）由：存在使來(lái)求得的取值范圍.（2）利用分離常數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】，在上遞增，由于在上不單調(diào)，所以存使，，所以.【小問(wèn)2詳解】，令，當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，，所以在遞減；在遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；.由此畫(huà)出大致圖象如下圖所示，所以，當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，通過(guò)解方程組，即可求出答案.（2）法一：設(shè)，，；當(dāng)時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出直線PA的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后即可求出直線EF的方程，從而證明直線EF過(guò)定點(diǎn).法二：首先根據(jù)時(shí)直線EF的方程為，可判斷出直線EF過(guò)的定點(diǎn)M必在y軸上，設(shè)為；然后同方法一，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)，即可求出的值.【小問(wèn)1詳解】由題意，知，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】法一：設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，直線PA的方程為，由，得解得，所以．所以同理可得所以直線EF的斜率為，所以直線EF的方程為，整理得，所以直線EF過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)在y軸上，EF的方程為，顯然過(guò)點(diǎn)綜上，直線EF過(guò)定點(diǎn)法二：當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，E，F(xiàn)分別與B，A重合，直線EF的方程為，若直線EF過(guò)定點(diǎn)M，則M必在y軸上，可設(shè)當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，設(shè)，，，則直線PA的方程為，由，得，解得，所以，所以，同理可得，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，所以，所以，整理得，因?yàn)?，所以，解得，即所以直線EF過(guò)定點(diǎn)21、（1）證明見(jiàn)解析；（2），.【解析】（1）證明出，即可證得結(jié)論成立；（2）由（1）的結(jié)論并確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分