2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之相等關(guān)系與不等關(guān)系

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之相等關(guān)系與不等關(guān)系

選擇題（共10小題）

1.已知實(shí)數(shù)〃，b,cd滿足：a>b>Q>c>d,則下列不等式一定正確的是（

A.a+d>b+cB.ad>bcC.a+c>b+dD.ac>bd

2.設(shè)集合A={x|y=/g(x-1)},B={x\x<-2},則AU(CRB)

A.(-2,1)B.[-2,1)C.[-2,D.(L+°°)

2—x

3.若p：<0,則p成立的一個(gè)必要不充分條件是（)

A.-B.|x|>lC.|x|>2D.2VxW5

4.若/={%CZ|分40},B={x|log5x<l),則AG5的元素個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

5.已知集合A={x|log?》l},B=[x\l<x<3],則AU5=()

A.[2,3)B.(1,+8)C.[2,+8)D.(0,+8)

6.設(shè)集合A={xEN[l<xV6},B={x|log2(x-1)<2},貝()

A.{x|l<x<6}B.{x|l<x<5}C.{3,4,5}D.{2,3,4）

7.命題p；&）“<1,命題q：lnx<l,則p是q成立的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

8.若集合M={久/0必尢<2},N={x|l<2X<4},則MUN=()

A.{x[0<xW2}B.{尤|0Wx<9}C.{x\x<9}D.{x|0<x<9}

9.已知A={久|黑昔<0},若2GA,則7〃的取值范圍是()

1111

A.~2~m<^2B,—2-m—2

C.7724—2或〉2D.TH4—2或771N

-1o

10.已知〃>0,Z?>0且4+b=l,則(1+i)(1+p的最小值是()

A.49B.50C.51D.52

二.填空題（共5小題）

11.已知%>0,則%+49的最小值為.

114

12.已知出?=亍〃，bE(0,1),則--+—7的最小值為；

'1-a1-b

13.已知%>1,求tf的最小值是.

14.已知兩個(gè)正數(shù)a,6的幾何平均值為1,則次+廬的最小值為.

8ab2+a18

15.已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足b+c=l,則一;——+——的最小值為_______.

bea+1

三.解答題(共5小題)

16.已知。+6=3(a>0,6>0).

(1)若|b-l|<3-a,求6的取值范圍；

(2)求Va+3+7b+2+(a+1)6的最大值.

17.己知函數(shù)/(x)=〃z-|x-2|,m&R,且/(尤+2)N0的解集為[-1,1].

(1)求機(jī)的值；

111

(2)若a,b,c￡(0,+8),且—+—+—=m,證明：a+26+3c》9.

a2b3c

18.已知a,b,c為正實(shí)數(shù)且a+2H3c=5.

⑴求?2+Z?2+c2的最小值；

(2)當(dāng)，2ab+，3ac+、6bc之5時(shí),求a+b+c的值.

19.已知函數(shù)/(x)=]\x+2|+|%-4|一。的定義域?yàn)橛?/p>

(1)求實(shí)數(shù)m的范圍；

41

(2)若根的最大值為九，當(dāng)正數(shù)a,Z?滿足...-+-----〃時(shí)，求4。+7/?的最小值.

a+5b3a+2b

20.已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镺,值域?yàn)锳.若DU4,則稱/(x)為型函數(shù)”；若AG。，則稱/

(x)為“N型函數(shù)”.

(1)設(shè)/(%)=必―產(chǎn)+8,。=口，用，試判斷了(%)是“〃型函數(shù)”還是“N型函數(shù)”；

1

(2)設(shè)〃乃=久2,g(x)=af(2+x)+"(2-x),若g(x)既是型函數(shù)”又是“N型函數(shù)”，求

實(shí)數(shù)a,。的值；

(3)設(shè)/(無)-2ax+b,D=[l,3],若/(x)為“N型函數(shù)”，求/(2)的取值范圍.

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之相等關(guān)系與不等關(guān)系

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足：a>b>O>c>d,則下列不等式一定正確的是()

A.a+d>b+cB.ad>bcC.a+c>b+dD.ac>bd

【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式；等式與不等式的性質(zhì).

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】A3?？膳e出反例，可根據(jù)不等式的基本性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)C

【解答】解：不妨設(shè)a=2,b—1,c--1,d--2,此時(shí)a+d=b+c,A錯(cuò)誤，

ad=-4<bc,B錯(cuò)誤；

因?yàn)閍>b,c>d,根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，同向可加性得到：a+c>b+d,C正確；

a=2,b=\,c=-1,d=-2時(shí)，ac=bd,。顯然錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.設(shè)集合A={x|y=/g(x-1)},B={x\x<-2],則AU(CRB)=()

A.(-2,1)B.[-2,1)C.[-2,+8)D.(1,+8)

【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法；交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合集合的運(yùn)算，即可求解.

【解答】解：合A={x|y=/g(x-1)}={小>1},CRB={X|X2-2},

故AU(CRB)=[-2,+8).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查并集、補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2—x

3.若p：<0,則p成立的一個(gè)必要不充分條件是()

A.-1WXW2B.|x|>lC.\x\>2D.2cxW5

【考點(diǎn)】其他不等式的解法；充分條件與必要條件.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；簡易邏輯；數(shù)學(xué)抽象.

【答案】B

2—x

【分析】解不等式一；<。得-1或x22,選出其必要不充分條件即可.

%+1

2—x

【解答】解：p：-----<0,即(2-尤)(x+1)W0且x豐-1,解得x<-1或了22,

x+1

所以p：》<-1或了22,

對(duì)于A,-1WXW2是p的既不充分也不必要條件；

對(duì)于8,|x|>l即x<-1或無>1,是p的必要不充分條件；

對(duì)于C,|尤|>2即x<-2或x>2,是p的充分不必要條件；

對(duì)于D,2<xW5是p的充分不必要條件；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式不等式的求解，還考查了充分必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

?y_?

4.若4="€2|公式0},B={x|log5x<l},則ACB的元素個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法；其他不等式的解法；交集及其運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】分別確定集合A,B,再求交集.

【解答】解：根據(jù)題意，可得集合A={xCZ|xW2或x>8},

2={x|0<尤<5},

則ACB={1,2},所以AAB的元素個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知集合4={刈08”21},B=(x\l<x<3],則AU8=()

A.[2,3)B.(1,+8)C.[2,+8)D.(0,+°0)

【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法；并集及其運(yùn)算.

【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】先求出集合A,然后結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可求解.

【解答】解：由A={x|log2x》l}=[2,+8),B={x|l<x<3},可得AUB=(1,+°°).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.設(shè)集合A={xeN[l<x<6},B={x|log2(x-1)<2},則4nB=()

A.{x|l<x<6}B.{x|l<x<5}C.{3,4,5}D.{2,3,4)

【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法；補(bǔ)集及其運(yùn)算.

【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】先求出兩集合，再求兩集合的交集即可.

【解答】解：：A={xeN[l<x<6}={2,3,4,5},

B={x|log2(x-1)<2}={x|0<x-l<4}={x|l<x<5},

：.APiB=[2,3,4).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.命題p：&尸<1,命題0lnx<\,則p是q成立的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法；充分條件與必要條件.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；簡易邏輯.

【答案】B

【分析】分別求出關(guān)于p,q成立的x的范圍，根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷即可.

【解答】解：V：即2x>0；

命題q：lnx<1,即：0<x<e,

則p是q成立的必要不充分條件，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關(guān)系以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)

題.

8.若集合M={久/093尤<2}，N={x\l<2X<4},則MUN=()

A.{x|0〈尤W2}B.{x|0Wx<9}C.{x\x<9}D.{x|0<x<9}

【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法；并集及其運(yùn)算.

【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】先化簡集合N,再根據(jù)集合的并集運(yùn)算求解.

【解答】解：由題意得知={尤|0<尤<9},N={x|0WxW2},則MUN={x[0Wx<9}.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，并集的運(yùn)算及定義，是基礎(chǔ)題.

9.已知2={x|券三<0},若2SA,則根的取值范圍是（）

1111

A.-2—<2B?—2—^—2

C.zn<—*或Tn〉*D.m<—

【考點(diǎn)】其他不等式的解法；元素與集合關(guān)系的判斷.

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】由己知結(jié)合元素與集合關(guān)系及分式不等式的求法即可求解.

【解答】解：因?yàn)?={x|第W0},

2m+l

若2CA,則

2m-l<0,

解得一'<m<2-

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了元素與集合關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知。>0,b>0且。+6=1,則(1+1)(1+1)的最小值是()

A.49B.50C.51D.52

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】先變形，再利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：:。>。，b>0且a+b=l,

（1+-）（1+算）=（1+小）（i§￡+§^）

aba+b

=(2+2)(9+孚)=—+^+26

abab

^27144+26=50,

9b16aa4

當(dāng)且僅當(dāng)一=——,即4=亍，時(shí)，等號(hào)成立，

(1+，)(1+1)的最小值是50,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題.

二.填空題(共5小題)

11.已知x>0,則％+1的最小值為4.

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】因?yàn)闊o>0,直接利用基本不等式求出其最小值.

【解答】解：：x>0,則％+122a=4,當(dāng)且僅當(dāng)了=［時(shí)，等號(hào)成立，

故答案為4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式的使用條件，并注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件,

屬于基礎(chǔ)題.

114

12.已知次?=5,a，bE(0,1),則--+7的最小值為10+4V2；

21-a1-b—

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式.

【答案】見試題解答內(nèi)容

11424

【分析】先根據(jù)條件消掉b,即將b=2代入原式得『+—=--+——+4,并乘“1”法，

2a1-a1-b2-2a2a-l

最后運(yùn)用基本不等式求其最小值

1

【解答】解：?.?"=卞a,bE(0,1),

.,1

??4而，

1

Al-40,1-Z?=l-7y->0,

：.2a-l>0,

141418a

------+--=+—p=+---------，

1—a1—b1—a11—a2ci—1

2a

14(2a-l)+4

1—CL2a—1'

14

+4,

1—CL2a—1

24

2^2a+2a-i+4,

12

=2宣+力)+4,

12

=2+)[(2-2a)+(2a-1)]+4,

2-2a2a-l

(客+)

=21+2+^^+4,

22(3+2知+4=2(3+2V2)+4=10+472,

2a-l2(2—2a)3-V2.

當(dāng)且僅當(dāng)——=-——時(shí)，即。=時(shí)取等號(hào),

2.-2.CL2ci—12

14

故——+―r的最小值為10+4V2,

1-a1-b

故答案為：10+4企

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應(yīng)用，涉及消元，裂項(xiàng)，湊配，乘1等恒等變形,

以及取等條件的確定，屬于難題.

13.已知尤>1,求x+dy的最小值是5.

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】直接利用關(guān)系式的變換和基本不等式，求出最小值.

【解答】解：由于x>l,所以x-l>0,

所以％+=(%-1)++1N2(x-1)?+1=5,當(dāng)且僅當(dāng)兀=3時(shí)，等號(hào)成立.

Jx,~~-LJLJ.M九—".L

故答案為：5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，基本不等式，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知兩個(gè)正數(shù)a,6的幾何平均值為1,則/+戶的最小值為2.

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】2.

【分析】由幾何平均值的定義得到成=1,利用基本不等式求解即可.

【解答】解：由題意得=1,即°6=1,故。?+必》2a6=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=l時(shí)，等號(hào)成立.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

Sab2+a18

15.已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足6+c=L則一;——+——的最小值為16.

bea+1

【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

oa卜2Ia[oQ卜,1o

【分析】變形得到「一+——=a-(―+-+2)+——，利用兩次基本不等式，求出最小值.

bea+1cba+1

【解答】解：任意的正實(shí)數(shù)a,b,c,滿足b+c=l,

8ab2+a188b2+i188b2+(匕+c)2189b2+2bc+c218

所以+---二a?+---=a?+---二a?+---二a?

bea+1bea+1bea+1bea+1

9bc18

(——+1+2)+——，

cba+1

由于b,c為正實(shí)數(shù),

QhrIQhcQhc12

故由基本不等式得一+->2/—?工=6,當(dāng)且僅當(dāng)一=即b=五，c=z時(shí)，等號(hào)成立，

cb7cbcb44

所以a,微+壬+2)+^28a+^=8(a+l)+^—822』8(a+1).磊—8=16,當(dāng)且僅當(dāng)

8(a+1)=，有，即a=*時(shí)，等號(hào)成立，

8ab2+a18sH

綜上t，---+—7的取小t值為r16.

bea+1

故答案為：16.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

三.解答題(共5小題)

16.已知4+8=3(〃>0,/?>0).

(1)若|b-l|V3-a,求人的取值范圍；

(2)求-a+3+7b+2+(a+1)力的最大值.

【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)&，3).

(2)8.

【分析】(1)由a+b=3得位-1|<6,則可得結(jié)果.

(2)利用基本不等式先求出Va+3+Vb+2的最值,再求出(a+1)6的最值，可得結(jié)果.

【解答】解：(1)因?yàn)椤?6=3(。>0,6>0),所以。=3-6且0<6<3,

所以也-1|<6,則

1

解得b>2，

1

又0<b<3,所以6的取值范圍為6，3).

(2)(a+l)bW(計(jì)*)2=(燮，=4,當(dāng)且僅當(dāng)a+l=6,即a=l,b=2時(shí)，等號(hào)成立,

rr/;―3rr~~^74+d+34+5+2d+b+13

V4xVtt+3+v4xV6+2<——-----1-----2——=2=o，

即Ja+3+Vb+2W4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=1,力=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以“a+3+7b+2+(a+l)b的最大值為4+4—8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.已知函數(shù)/(x)=m-\x-2\,meR,且/(x+2)20的解集為[-1,1].

(1)求機(jī)的值；

111

(2)右a,b,cE.(0,+°°),且一+—+—=m,證明：4+2b+3c29.

a2b3c

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】方程思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)運(yùn)用絕對(duì)值的解法，即可得到所求值;

(2)運(yùn)用乘1法和基本不等式，即可得到證明.

【解答】解：(1)函數(shù)/(%)=m-\x-2\,meR,且/(x+2)三0的解集為[-1,1],

可得機(jī)-|x|20的解集為[-1,1],即有[-m，m]={-1,1],

可得機(jī)=1；

11

(2)證明：a,b,cE(0,+°°),且一+一+一=1

a2b3c

…111

則a+2b+3c=(〃+2Z?+3c)(―+—+一)

a2b3c

2baa3c2b3c

=3+(一+一)+(一+一)+(一+一)

a2b3ca3c2b

務(wù)券2b3c

23+2+2.-+2

3c,2b

=3+2+2+2=9,

當(dāng)且僅當(dāng)。=2b=3c=3,取得等號(hào).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，注意運(yùn)用絕對(duì)值的含義，考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不

等式，以及滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.已知a,b,c為正實(shí)數(shù)且°+2。+3c=5.

(1)求/+貶+o2的最小值；

(2)當(dāng)72ab+73ac+、6bcN5時(shí),求a+6+c的值.

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；整體思想；對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)/+廬+°2的最小值為一.(2)a+b+c=fl.

14lo

【分析】(1)由已知條件，應(yīng)用三元柯西不等式求目標(biāo)式的最小值，注意等號(hào)成立條件；

(2)由基本不等式可得，2ab+"3ac+、6bcW5,結(jié)合條件得+"3ac+、6bc=5,從而求°、b、

c的值，即可得a+b+c的值.

【解答】解：(1)由柯西不等式得，

(a2+Z?2+c2)(12+22+32)》Q+26+3C)2=25,

故a2+Z>2+c2>需；

當(dāng)且僅當(dāng)［=5=3,即a=/，b=。=居時(shí)，等號(hào)成立；

25

故tz2+/?2+c2的最小值為一；

14

(2)由基本不等式可得，

a+2b2272ab,

a+3c2273ac,

2b+3c>y/6bc,

故2(〃+2/?+3c)>2(A/2ab+73cLe+，6bc),

故+V3ac+76bc<5,

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3cf且〃+2Z?+3c=5,

即〃=東b=I，時(shí)，等號(hào)成立，

又V2又+、3ac+yj6bc>5,

72ab+V3ac+、6bc=5,

即a=5，b=n，c=

a+b+c=

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元柯西不等式及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.己知函數(shù)/(x)=Jx+2|+—4|一』的定義域?yàn)镽.

(1)求實(shí)數(shù)"2的范圍；

41

(2)若機(jī)的最大值為力，當(dāng)正數(shù)a,b滿足-----+------時(shí)，求4。+76的最小值.

a+5b3a+2b

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可得出;

(2)利用柯西不等式的性質(zhì)即可得出.

【解答】解：(1).??函數(shù)的定義域?yàn)镽,：.\x+2\+\x-4|-/TI^O在R上恒成立，即mW(|尤+2|+|尤-4|)

mm9

???口+2|+僅-4|2|(x+2)-(x-4)|=6,

,,141141

(2)由(1)知n=6,4a+7b=((4a+76)(-------+----------)=h(a+56)+(3a+26)](--------+)

L3a+2b

6a+5b3a+2b6a+5b

>5,

當(dāng)且僅當(dāng)。=+，b=言時(shí)取等號(hào)，

3

.,.4a+7b的最小值為5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、函數(shù)的定義域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

20.已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)锳.若DG4,則稱/(%)為“M型函數(shù)”；若AUD則稱/

(x)為“N型函數(shù)”.

(1)設(shè)"%)=七二|七坦，。=[1,4],試判斷了(x)是型函數(shù)”還是“N型函數(shù)”；

1

(2)設(shè)〃切=X2,g(x)=af(2+x)+bf(2-x),若g(x)既是“/型函數(shù)”又是“N型函數(shù)”，求

實(shí)數(shù)a,6的值；

(3)設(shè)/(無)-2ax+b,￡>=[1,3],若/(x)為“N型函數(shù)”，求/(2)的取值范圍.

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域.

【專題】數(shù)形結(jié)合；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)f(x)是型函數(shù)”;

(2)a—-1,b—1；

(3)[1,2].

【分析】(1)利用基本不等式以及雙勾函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域可求解；

(2)分a>0,6<0和0<0,6>0結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解；

(3)分。不同的取值結(jié)合“N型函數(shù)”的定義即可求范圍.

【解答】解：(1)當(dāng)4]時(shí)，/(x)=y2-^%+8=x+1-5>4V2-5,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2a時(shí)取等號(hào)，

由于/(I)=4,/(4)=1,

所以函數(shù)/(%)的值域?yàn)?=[4夜—5,4],

因?yàn)?魚一5VI,所以。UA,

所以/(x)是型函數(shù)”；

(2)g(x)=aV2Tx+b<2^x,定義域?yàn)閇-2,2],

由題意得函數(shù)g(x)的值域也為[-2,2],

顯然仍<0,否則值域不可能由負(fù)到正，

當(dāng)a>0,6co時(shí)，g(無)在[-2,2]上單調(diào)遞增，

則”2)「藍(lán)2得『1,b=-1；

當(dāng)a<0,b>Q時(shí)，g(無)在[-2,2]上單調(diào)遞減，

,-,,,(0(2)=2a=—2?”,?

則I(??、ni.)侍Z。=-1，b=1；

(g(-2)=2匕=2

(3)f(x)—J?-2ax+b=(x-a)2+b-a2,D=[l,3],

由題意得函數(shù)/(x)的值域A[l,3],

當(dāng)aWl時(shí),f(x)的最小值/(I)=1-2a+b^l,

當(dāng)l<aW3時(shí)，/(無)的最小值/'(a)=b-a2^1,

當(dāng)a23時(shí),f(x)的最小值/(3)=9-6a+b^l,

當(dāng)aW2時(shí)，f(x)的最大值/(3)=9-6a+bW3,

當(dāng)a>2時(shí)，f(x)的最大值/(I)=l-2a+bW3,

因?yàn)?(2)=4-4a+b,由點(diǎn)(a,b)所在的可行域，

當(dāng)a=2,6=6時(shí)，f(2)取最大值，最大值為2,

當(dāng)/(2)—4-4a+b與l>—a2+l相切，

即a=2,6=5時(shí)，f(2)取最小值，最小值為1,

因此了(2)的取值范圍是[1,2].

【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，主要考查了基本不等式及函數(shù)單調(diào)性在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.元素與集合關(guān)系的判斷

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、元素與集合的關(guān)系：

一般地，我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集.元素一般用小寫字母a,

b,c表示，集合一般用大寫字母A,B,C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：aeA

或a^A.

2、集合中元素的特征：

(1)確定性：作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的.即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于還是不屬

于這集合是確定的.要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來判斷涉及的

總體是否能構(gòu)成集合.

(2)互異性：集合中的元素必須是互異的.對(duì)于一個(gè)給定的集合，他的任何兩個(gè)元素都是不同的.這個(gè)

特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素.

(3)無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān).這個(gè)特性通常被用來判斷兩個(gè)集合的關(guān)系.

【命題方向】

題型一：驗(yàn)證元素是否是集合的元素

典例1：已知集合己=｛雜=租2-“2,"丘Z]”求證：

(1)36A；

(2)偶數(shù)4k-2(垢Z)不屬于A.

分析：(1)根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；

(2)用反證法，假設(shè)屬于A,再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要

證的結(jié)論.

解答:解：(1)V3=22-I2,3GA；

(2)設(shè)4人-2eA,則存在相，nGZ,使4左-2=〃戶-層=(m+n)(機(jī)-〃)成立，

1、當(dāng)”2,〃同奇或同偶時(shí)，m-n,均為偶數(shù)，

/.(.tn-ri')(m+n)為4的倍數(shù)，與4%-2不是4的倍數(shù)矛盾.

2、當(dāng)w—奇，一偶時(shí)，m-n,77?+”均為奇數(shù)，

(m-n)(.m+n)為奇數(shù)，與4左-2是偶數(shù)矛盾.

綜上4k-2《上

點(diǎn)評(píng)：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷.分類討論的思想.

題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù).

典例2：已知集合4={“+2,2/+.},若36A,求實(shí)數(shù)a的值.

分析：通過3是集合A的元素，直接利用〃+2與2/+.=3,求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可.

解答：解：因?yàn)?CA,所以。+2=3或2/+。=3…（2分）

當(dāng)〃+2=3時(shí)，a=l,…（5分）

此時(shí)A={3,3},不合條件舍去，…（7分）

當(dāng)2〃2+〃=3時(shí)，〃=1（舍去）或。=—…（10分）

Q1

由a=—2，得2={］，3},成“…（12分）

故a=—楙…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力.

【解題方法點(diǎn)撥】

集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意.分類討論的思想方法常用于解決集合問題.

2.并集及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作AUR

符號(hào)語言：4口2={腓隹4或了68}.

實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是8中的元素；③x是A且是8中的元素.

運(yùn)算形狀：

?AUB=BUA.?AU0=A.?AUA=A.@AUB2A,@AUB=B^AQB.@AUB=0,兩個(gè)

集合都是空集.⑦AU（CuA）=U.⑧Cu（AUB）=（CUA）n（CUB）.

【解題方法點(diǎn)撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混

用；注意并集中元素的互異性.不能重復(fù).

【命題方向】掌握并集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)

的定義域，值域聯(lián)合命題.

3.交集及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

由所有屬于集合A且屬于集合8的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作ACB.

符號(hào)語言：AnB={x|xeA,且在團(tuán).

AC2實(shí)際理解為：x是A且是2中的相同的所有元素.

當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集.

運(yùn)算形狀：

①②AC0=0.③AnA=A.?AABGA,ACiBQB.⑤"B=A=AaB.⑥ACB=0,兩個(gè)

集合沒有相同元素.⑦an(CuA)=0.⑧Cu(AAB)=(CuA)U(CuB).

【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)

合命題.

4.補(bǔ)集及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作

U.(通常把給定的集合作為全集).

對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡

稱為集合A的補(bǔ)集，記作CuA,CuA=[x\xeU,且通4}.其圖形表示如圖所示的Venn

C人

圖.

【解題方法點(diǎn)撥】

常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補(bǔ)集常用于對(duì)立事件，否命題，反證法.

【命題方向】

通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補(bǔ)集的選擇題，有時(shí)出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、

值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn).

5.交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

集合交換律AnB=BHA,AUB=BUA.

集合結(jié)合律(ACB)CC=AC(BAO,(AUB)UC=AU(BUC).

集合分配律An(sue)=(Ans)u(ACO,AU(BAC)=(AUB)n(AUC).

集合的摩根律Cu(AHB)=CuAUCuB,Cu(AUB)=CuAHCuB.

集合吸收律AU(AAB)=A,AA(AUB)=A.

集合求補(bǔ)律AUCuA^U,AnC?A=<P.

【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答.

【命題方向】理解交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，每年高考一般都是單獨(dú)命題，一道選擇題或填空題，屬

于基礎(chǔ)題.

6.充分條件與必要條件

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、判斷：當(dāng)命題“若〃則為真時(shí)，可表示為pnq,稱p為q的充分條件，q是p的必要條件.事實(shí)上，

與“0今/'等價(jià)的逆否命題是“「4臺(tái)「p”.它的意義是：若q不成立，則p一定不成立.這就是說，q對(duì)

于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件.例如：p：x>2；q：x>0.顯然則等價(jià)于正分

則xCp一定成立.

2、充要條件：如果既有“p今“”，又有“qnp”，則稱條件p是4成立的充要條件，或稱條件q是p成立的

充要條件，記作“poq”.p與q互為充要條件.

【解題方法點(diǎn)撥】

充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一

不可.證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)

生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若pnq為真命題且qnp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若pnq為假命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若p=q為真命題且q=p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；

④若p=q為假命題且q=p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q

的關(guān)系.

【命題方向】

充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)

容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣.

7.等式與不等式的性質(zhì)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.不等式的基本性質(zhì)

(1)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,有且只有以下三種情況之一成立：

①〃-b>0；

@a<b^a-b<0；

③)〃-b~~0,

(2)不等式的基本性質(zhì)

①對(duì)稱性：d>bob<a：

②傳遞性：d>b,b>c=>a>c；

③可加性：d>b=>a+c>b+c,

④同向可加性：a>b,c>dna+c>b+d；

⑤可積性：a>b,c>O=^ac>bc；a>b,c<O^ac<bc；

⑥同向整數(shù)可乘性：a>b>0,c>d>U=>ac>bd；

⑦平方法則：a>b>O^an>bn（〃EN,且〃>1）；

⑧開方法則：a>b>O=>\[a>y/~b（虻N,且〃>1）.

8.不等關(guān)系與不等式

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

48

不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對(duì)于相等關(guān)系來說的，比如二與二就是相等關(guān)系.而

不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個(gè)式子，比方說〃a-b

>0就是不等式.

不等式定理

①對(duì)任意的b,有a>boa-b>0；a=b^a-b=0；a<b^>a-Z?<0,這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù).

②如果a>b,那么如果那么

③如果a>b,且b>c,那么〃>c；如果a>b,那么〃+c>b+c.

推論：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.

④如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果c<0,那么ac<bc.

【命題方向】

例1：解不等式：sinx另.

1

解：*.*sinx>

TT57T

:?2^rc+z（ZcZ）,

66

1-TT577"

???不等式sinx>和解集為{x|2加WxW2E+芥，任Z}.

這個(gè)題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點(diǎn)，這

個(gè)題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個(gè)周期的，然后加上所以周期就是最后的解.

11

例2：當(dāng)〃。>0時(shí)，4bo一〈一.

ab

1

證明：由次?>0,知一>0.

ab

11rli

又；a>b,：.a?訕Ab』SP->-;

jl1il1

右一V一,貝“一?ab<—?ab

abab

：.a>b.

這個(gè)例題就是上面定理的一個(gè)簡單應(yīng)用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯(cuò)的，直接舉個(gè)反例即可,

這種技巧在選擇題上用的最廣.

9.基本不等式及其應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或

等于它們的算術(shù)平均數(shù).公式為：—>y[ab(a20,620),變形為abW(―^―)2或者a+b^2-/ab.常

常用于求最值和值域.

實(shí)例解析

例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是.

2ab%2+24R

A：cifb均為負(fù)數(shù)，則+22.B：/--22.C：SITIXH—：—之4.D：Q6R+,(3—cC)(1)40.

b2aVx2+1sinxaJ

解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、2、D均滿足條件.

對(duì)于C選項(xiàng)中sinxW±2,

不滿足“相等”的條件，

再者situ?可以取到負(fù)值.

故選：C.

A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；8分子其實(shí)可以寫成

?+1+1,然后除以分母就可換成基本不等式.這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求y=號(hào)的最值？當(dāng)0〈尤<1時(shí)，如何求y=瑪?shù)淖畲笾?

解：當(dāng)％=0時(shí)，y=0,

當(dāng)“。時(shí)—=品=總

用基本不等式

若x>0時(shí)，OVyW學(xué)，

若x〈0時(shí)，一?WyVO,

綜上得，可以得出—乎〈孝，

?,?y=的最值是一孝與字

這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于o,沒有明確表示的話就需要討

論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素(函數(shù))相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；

最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果.

【解題方法點(diǎn)撥】

基本不等式的應(yīng)用

1、求最值

例1:求下列函數(shù)的值域.

(1)尸3N+*(2)產(chǎn)x+1

解：(1))=3x2+專之243x2.圭=戊...值域?yàn)樗?

(2)當(dāng)x>0時(shí)，尸x+：=2}

當(dāng)x<0時(shí)，y=x+1=~(-x-1)<-2\x-^=-2

zkXVX

...值域?yàn)?-00,-2152,+00)

2、利用基本不等式證明不等式

例2：已知a、b、ceR+,且a+b+c=l