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文檔簡介
2025屆湖北省孝感市七校教學聯(lián)盟高三數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.22.已知集合,,,則()A. B. C. D.3.若,則下列關系式正確的個數(shù)是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.44.已知為坐標原點,角的終邊經(jīng)過點且,則()A. B. C. D.5.如圖,在底面邊長為1,高為2的正四棱柱中,點是平面內(nèi)一點,則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為()A.2 B.3 C.4 D.56.已知空間兩不同直線、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于7.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.268.已知雙曲線()的漸近線方程為,則()A. B. C. D.9.如圖所示,已知雙曲線的右焦點為,雙曲線的右支上一點,它關于原點的對稱點為,滿足,且,則雙曲線的離心率是().A. B. C. D.10.若復數(shù)是純虛數(shù),則()A.3 B.5 C. D.11.若復數(shù)滿足,則(其中為虛數(shù)單位)的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.412.正項等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點,則()A. B.1 C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,其中,為正的常數(shù),且,則的值為_______.14.拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為________.15.在正奇數(shù)非減數(shù)列中,每個正奇數(shù)出現(xiàn)次.已知存在整數(shù)、、,對所有的整數(shù)滿足,其中表示不超過的最大整數(shù).則等于______.16.棱長為的正四面體與正三棱錐的底面重合,若由它們構(gòu)成的多面體的頂點均在一球的球面上,則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點,點在第一象限,為左頂點,為下頂點,交軸于點,交軸于點.(1)求橢圓的標準方程;(2)若,求點的坐標.18.(12分)如圖,在四棱柱中,底面為菱形,.(1)證明:平面平面;(2)若,是等邊三角形,求二面角的余弦值.19.(12分)如圖,在四棱錐中,是等邊三角形,,,.(1)若,求證:平面;(2)若,求二面角的正弦值.20.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)某大學開學期間,該大學附近一家快餐店招聘外賣騎手,該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案:方案規(guī)定每日底薪100元,外賣業(yè)務每完成一單提成2元;方案規(guī)定每日底薪150元,外賣業(yè)務的前54單沒有提成,從第55單開始,每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務量,現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)隨機選取一天,估計這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務量不少于65單的概率;(2)從以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)看,新聘騎手選擇日工資方案的概率為,選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應聘,四人選擇日工資方案相互獨立,求至少有兩名騎手選擇方案的概率,(3)若僅從人日均收入的角度考慮,請你為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說明理由.(同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)22.(10分)已知函數(shù),不等式的解集為.(1)求實數(shù),的值;(2)若,,,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
推導出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時要認真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用,屬于中檔題.2、D【解析】
根據(jù)集合的基本運算即可求解.【詳解】解:,,,則故選:D.【點睛】本題主要考查集合的基本運算,屬于基礎題.3、D【解析】
a,b可看成是與和交點的橫坐標,畫出圖象,數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令,,作出圖象如圖,由,的圖象可知,,,②正確;,,有,①正確;,,有,③正確;,,有,④正確.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小,考查學生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.4、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應用和二倍角的正弦公式,考查計算能力.5、A【解析】
根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀,結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知,三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形,其面積都是,正視圖與側(cè)視圖的面積之和為,故選:A.【點睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和,解答的關鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀,考查空間想象能力與計算能力,屬于基礎題.6、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線也成立,故不正確;答案C中的直線可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線也有可能垂直于直線,故不正確.應選答案C.7、D【解析】
利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點睛】本題考查組合的應用,此類問題注意實際問題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.8、A【解析】
根據(jù)雙曲線方程(),確定焦點位置,再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因為雙曲線(),所以,又因為漸近線方程為,所以,所以.故選:A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.9、C【解析】
易得,,又,平方計算即可得到答案.【詳解】設雙曲線C的左焦點為E,易得為平行四邊形,所以,又,故,,,所以,即,故離心率為.故選:C.【點睛】本題考查求雙曲線離心率的問題,關鍵是建立的方程或不等關系,是一道中檔題.10、C【解析】
先由已知,求出,進一步可得,再利用復數(shù)模的運算即可【詳解】由z是純虛數(shù),得且,所以,.因此,.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、復數(shù)模的運算,考查學生的運算能力,是一道基礎題.11、B【解析】
根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知復數(shù)對應的點在以原點為圓心,1為半徑的圓上,再根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可確定,即可得的最大值.【詳解】由知,復數(shù)對應的點在以原點為圓心,1為半徑的圓上,表示復數(shù)對應的點與點間的距離,又復數(shù)對應的點所在圓的圓心到的距離為1,所以.故選:B【點睛】本題考查了復數(shù)模的定義及其幾何意義應用,屬于基礎題.12、B【解析】
根據(jù)可導函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為,得出,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解:依題意、是函數(shù)的極值點,也就是的兩個根∴又是正項等比數(shù)列,所以∴.故選:B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標和性質(zhì)以應用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
把已知等式變形,展開兩角和與差的三角函數(shù),結(jié)合已知求得值.【詳解】解:由,得,,即,,又,,解得:.為正的常數(shù),.故答案為:.【點睛】本題考查兩角和與差的三角函數(shù),考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.14、【解析】
設拋物線上任意一點的坐標為,根據(jù)拋物線的定義求得,并求出對應的,即可得出結(jié)果.【詳解】設拋物線上任意一點的坐標為,拋物線的準線方程為,由拋物線的定義得,解得,此時.因此,拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為.故答案為:.【點睛】本題考查利用拋物線的定義求點的坐標,考查計算能力,屬于基礎題.15、2【解析】
將已知數(shù)列分組為(1),,共個組.設在第組,,則有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.16、【解析】
由棱長為的正四面體求出外接球的半徑,進而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長,可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,進而求出體積與表面積,設內(nèi)切圓的半徑,由等體積,求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由題意可知:多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于,連接,如圖則,且為外接球的直徑,可得,設三角形的外接圓的半徑為,則,解得,設外接球的半徑為,則可得,即,解得,設正三棱錐的高為,因為,所以,所以,而,所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,所以,設內(nèi)切球的半徑為,,即解得:.故答案為:.【點睛】本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力、運算求解能力,求解時注意借助幾何體的直觀圖進行分析.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)由題意得,求出,進而可得到橢圓的方程;(2)由(1)知點,坐標,設直線的方程為,易知,可得點的坐標為,聯(lián)立方程,得到關于的一元二次方程,結(jié)合根與系數(shù)關系,可用表示的坐標,進而由三點共線,即,可用表示的坐標,再結(jié)合,可建立方程,從而求出的值,即可求得點的坐標.【詳解】(1)由題意得,解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知點,,由題意可設直線的斜率為,則,所以直線的方程為,則點的坐標為,聯(lián)立方程,消去得:.設,則,所以,所以,所以.設點的坐標為,因為點三點共線,所以,即,所以,所以.因為,所以,即,所以,解得,又,所以符合題意,計算可得,,故點的坐標為.【點睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關系的應用,考查平行線的性質(zhì),考查學生的計算求解能力,屬于難題.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可知,只需證明平面即可.由為菱形可得,連接和與的交點,由等腰三角形性質(zhì)可得,即能證得平面;(2)由題意知,平面,可建立空間直角坐標系,以為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,再分別求出平面的法向量,平面的法向量,即可根據(jù)向量法求出二面角的余弦值.【詳解】(1)如圖,設與相交于點,連接,又為菱形,故,為的中點.又,故.又平面,平面,且,故平面,又平面,所以平面平面.(2)由是等邊三角形,可得,故平面,所以,,兩兩垂直.如圖以為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系.不妨設,則,,則,,,,,,設為平面的法向量,則即可取,設為平面的法向量,則即可取,所以.所以二面角的余弦值為0.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的應用,以及利用向量法求二面角,意在考查學生的直觀想象能力,邏輯推理能力和數(shù)學運算能力,屬于基礎題.19、(1)詳見解析(2)【解析】
(1)如圖,作,交于,連接.因為,所以是的三等分點,可得.因為,,,所以,因為,所以,因為,所以,所以,因為,所以,所以,因為平面,平面,所以平面.又,平面,平面,所以平面.因為,、平面,所以平面平面,所以平面.(2)因為是等邊三角形,,所以.又因為,,所以,所以.又,平面,,所以平面.因為平面,所以平面平面.在平面內(nèi)作平面.以B點為坐標原點,分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,所以,,,.設為平面的法向量,則,即,令,可得.設為平面的法向量,則,即,令,可得.所以,則,所以二面角的正弦值為.20、(1);(2)【解析】
(1)分類討論去絕對值號,即可求解;(2)原不等式可轉(zhuǎn)化為在R上恒成立,分別求函數(shù)與的最小值,根據(jù)能同時成立,可得的最小值,即可求解.【詳解】(1)①當時,不等式可化為,得,無解;②當-2≤x≤1時,不等式可化為得x>0,故0<x≤1;③當x>1時,不等式可化為,得x<2,故1<x<2.綜上,不等式的解集為(2)由題意知在R上恒成立,所以令,則當時,又當時,取得最小值,且又所以當時,與同時取得最小值.所以所以,即實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法,分類討論,函數(shù)的最值,屬于中檔題.21、(1)0.4;(2);(3)應選擇方案,理由見解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,可求得該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務量不少于65單的頻率,即可估算其概率;(2)根據(jù)獨立重復試驗概率求法,先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率,再由對立事件概率性質(zhì)即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率;(3)設騎手每日完成外賣業(yè)務量為件,分別表示出方案
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