初中數(shù)學(xué)九年級(jí)復(fù)習(xí)：最優(yōu)化

專題10最優(yōu)化

閱讀與思考

數(shù)學(xué)問題中常見的一類問題是：求某個(gè)變量的最大值或最小值；在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常碰到一些

帶有“最”字的問題，如投入最少、效益最大、材料最省、利潤(rùn)最高、路程最短等，這類問題我們稱之

為最值問題，解最值問題的常見方法有：

1.配方法

由非負(fù)數(shù)性質(zhì)得［±匕，之0.

2.不等分析法

通過解不等式（組），在約束條件下求最值.

3.運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)

對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+cQ/0）,若自變量為任意實(shí)數(shù)值，則取值情況為:

b4ac-Z?2

(1)當(dāng)x=———時(shí),y

2a最小值4a

_b4ac-b2

(2)當(dāng)。＜0,x=———時(shí),y

2a最大值4a

4.構(gòu)造二次方程

利用二次方程有解的條件，由判別式A20確定變量的取值范圍，進(jìn)而確定變量的最值.

例題與求解

3x2+6x+5

【例1】當(dāng)尤變化時(shí)，分式可----------的最小值是.

一X2+X+1

2

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

解題思路：因分式中分子、分母的次數(shù)相等，故可將原分式用整式、真分式的形式表示，通過配方

確定最小值.

【例2】已知且2x+y=l,貝?。?x2+16x+3y2的最小值為（）

1927

A.■—B.3C.--D.13

77

（太原市競(jìng)賽試題）

解題思路：待求式求表示為關(guān)于尤（或y）的二次函數(shù)，用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值，需注意的是變

量無、y的隱含限制.

【例3】f（x）=-y+y,在的范圍內(nèi)最小值2a,最大值2b,求實(shí)數(shù)對(duì)（a,b）.

解題思路:本題通過討論a,b與對(duì)稱軸x=0的關(guān)系得出結(jié)論.

【例4】（1）已知y=Jl—x+,X—2的最大值為最小值b，求Q2+Z;2的值.

（“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”競(jìng)賽試題）

（2）求使J無2+4+*—J+16取得最小值的實(shí)數(shù)X的值.

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

（3）求使,9x2+4+J9x2—12盯+4y2+1+J4y2—16y+20取得最小值時(shí)x,y的值.

（“我愛數(shù)學(xué)”初中生夏令營(yíng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

解題思路：解與二次根式相關(guān)的最值問題，除了利用函數(shù)增減性、配方法等基本方法外，還有下列

常用方法：平方法、判別式法、運(yùn)用根式的幾何意義構(gòu)造圖形等.

【例5】如圖，城市A處位于一條鐵路線上，而附近的一小鎮(zhèn)8需從A市購(gòu)進(jìn)大量生活、生產(chǎn)用品,

如果鐵路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半，問：該如何從8修筑一條公路到鐵路邊，使從A到8的運(yùn)費(fèi)最低？

（河南省競(jìng)賽試題）

解題思路：設(shè)鐵路與公路的交點(diǎn)為C,4。=%千4千米〃千米，機(jī)千米，又設(shè)

鐵路每千米的運(yùn)費(fèi)為a元，則從A到8的運(yùn)費(fèi)S=a'—Jy2—也2,2紗,通過有理化，將式子整理

為關(guān)于y的方程.

【例6】(1)設(shè)x,x，…，x(%>-)，為％—r+1個(gè)互不相同的正整數(shù)，JUx+x.H----1-

rr+lkrr-ti

%=2003,求A的最大可能值.

’(香港中學(xué)競(jìng)賽試題)

(2)a,b,c為正整數(shù)，且。2+加=04,求c的最小值.

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：對(duì)于(1),因廠=1,對(duì)左一r+1=%—1+1=左個(gè)正整數(shù)XI,%2，…，X,不妨設(shè)入<九2<…

<,=2013,可見，只有當(dāng)各項(xiàng)外,%，…，々的值愈小時(shí)，才能使左愈大(項(xiàng)數(shù)愈多)，通過放縮求人

的最大值；對(duì)于(2),從(2+。)=匕2入手.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.已知三個(gè)非負(fù)數(shù)a,b,c,滿足3a+26+c=5和2a+6—3c=l,若機(jī)=3a+b—7c,則的最

小值為，最大值為.

2.多項(xiàng)式°=2/—4移+5y2—12y+13的最小值為.

3.已知x,y,z為實(shí)數(shù)，且x+2y—z=6,x—y+2z=3,那么N+y2+z2的最小值為.

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

4.若實(shí)數(shù)a,b,c,滿足成+6+c2=9,則代數(shù)式(a—6)2+(b-c)2+(c—a)2的最大值為()

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

5.已知兩點(diǎn)4(3,2)與8(1,—1),點(diǎn)尸在y軸上且使B4+PB最短，則尸的坐標(biāo)是()

1111

A.(0,--)B.(0,0)C.(0,―)D.(0,--)

(鹽城市中考試題)

6.正實(shí)數(shù)x,y滿足q=l,那么L+7J—的最小值為()

%44y4

155

A.-B.-C.1D.-E.Jr2

284

(黃岡市競(jìng)賽試題)

7.某公司試銷一種成本單價(jià)為500元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時(shí)的銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，又不

高于800元/件，經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y（件）與銷售單價(jià)X（元/件）可近似看作一次函數(shù)y=履+6的

關(guān)系（如圖所不）.

（1）根據(jù)圖象，求一次函數(shù)y=的解析式;

（2）設(shè)公司獲得的毛利潤(rùn)（毛利潤(rùn)=銷售總價(jià)-成本總價(jià)）為S元.

①試用銷售單價(jià)X表示毛利潤(rùn)；

②試問：銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該公司可獲得最大毛利潤(rùn)？最大毛利潤(rùn)是多少？此時(shí)的銷量是多

少？

（南通市中考試題）

8.方程X2+（2〃?—Lk+Cw—6）=0有一根不大于—1,另一根不小于1,

（1）求加的取值范圍;

（2）求方程兩根平方和的最大值與最小值.

（江蘇省競(jìng)賽試題）

9.已知實(shí)數(shù)b滿足Q2+=1,求Q2-+匕2的最大值與最小值.

（黃岡市競(jìng)賽試題）

10.已知a,b,c是正整數(shù)，且二次函數(shù)y=a%2+bx+c的圖象與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,若

點(diǎn)A,B到原點(diǎn)的距離都小于1,求a+b+c的最小值.

（天津市競(jìng)賽試題）

11.某單位花50萬元買回一臺(tái)高科技設(shè)備，根據(jù)對(duì)這種型號(hào)設(shè)備的跟蹤調(diào)查顯示：該設(shè)備投入使

用后，若將養(yǎng)護(hù)和維修的費(fèi)用均攤到每一天，則有結(jié)論：第x天應(yīng)付的養(yǎng)護(hù)與維修費(fèi)為［卜-1）+5。。

兀.

（1）如果將設(shè)備從開始投入使用到報(bào)廢所需的養(yǎng)護(hù)與維修費(fèi)及購(gòu)買設(shè)備費(fèi)用的總和均攤到每一天,

叫作每天的平均損耗，請(qǐng)你將每天的平均損耗y（元）表示為使用天數(shù)x（天）的函數(shù).

（2）按照此行業(yè)的技術(shù)和安全管理要求，當(dāng)此設(shè)備的平均損耗達(dá)到最小值時(shí)，就應(yīng)當(dāng)報(bào)廢，問：

該設(shè)備投入使用多少天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢？

（河北省競(jìng)賽試題）

B級(jí)

1.a,b是正數(shù)，并且拋物線y=%2+ax+2b和y=X2+2bx+a都與*軸有公共點(diǎn)，則以+加的

最小值是.

2.設(shè)x,y,z都是實(shí)數(shù)，且滿足x+y+z=l,xyz=2,則|%|+卜|+上|的最小值為

3.如圖，B船在A船的西偏北45°處，兩船相距10、笈物7,若A船向西航行，8船同時(shí)向南航行,

且8船的速度為A船速度的2倍，那么A、B兩船的最近距離為km.

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

北

4.若a,b,c,d是乘積為1的四個(gè)正數(shù)，貝U代數(shù)式a2+b2+c2+d2+ab+bc+ac+ad+bd+cd的

最小值為（）

A.0B.4C.8D.10

（天津市競(jìng)賽試題）

5.已知x,y,z為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足3x+2y+z=5,x+y-z=2.若s=2x+y-z,貝!]s的最大

值與最小值的和為（）

（天津市選拔賽試題）

6.如果拋物線yx2klxk1與X軸的交點(diǎn)為A,B,頂點(diǎn)為C,那么AABC的面積的最

小值為（）

A.1B.2C.3D.4

7.某商店將進(jìn)貨價(jià)每個(gè)10元的商品按每個(gè)18元售出時(shí)，每天可賣出60個(gè)，商店經(jīng)理到市場(chǎng)上做

了一番調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，若將這種商品的售價(jià)（在每個(gè)18元的基礎(chǔ)上）每提高1元，則日銷售量就減少5

個(gè)；若符這種商品的售價(jià)（在每個(gè)18元的基礎(chǔ)上）每降低1元，則日銷量就增加10個(gè)，為獲得每日最

大利潤(rùn)，此商品售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)多少元？

（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

8.有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)依次是P（萬元）和q（萬元），它們

與投入資金x（萬元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式：P1x,q（6.今有3萬元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品,

55

為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少？能獲得多大的利潤(rùn)？

（紹興市競(jìng)賽試題）

9.已知為x,y,z為實(shí)數(shù)，且xyz5,xyyzzx3,試求z的最大值與最小值.

bc

10.已知三個(gè)整數(shù)a,b,c之和為13,且一二不，求〃的最大值和最小值，并求出此時(shí)相應(yīng)的b與

ab

c值.

（四川省競(jìng)賽試題）

11.設(shè)乙,%,…，x是整數(shù)，并且滿足：

12n

①一lWxi.W2,i—1,2,…，n

②x,+x_H--------\-x—19

12n

③x,2+x2+***+x2=99

12n

求X3+x3H----------\~X3的最大值和最小值.

12n

（國(guó)家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題）

12.已知X],叼…，工40都是正整數(shù)，且----^40=58，若X12+42d----------^4（）2的最大值為

最小值為與，求A+呂的值.

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

專題10最優(yōu)化

2

例1.4提示：原式=6--------.

（X+1）2-1

例2.B提示：由-iWyWl有0g1,則z=2x2+16x+3y2=14x2+4x+3是開口向上，對(duì)稱軸為了=-；的拋

物線.

例3.分三種情況討論：@0<a<b,則人尤）在砂上單調(diào)遞減，.?猶a）=26,/（b）=2a,

Q213

2b=-一十一a=l

即<22解得I

b213

2。=———十——

22

②〃〈店0,貝IjAx)在爛爛b上單調(diào)遞增，.\/(a)=2a,16)二26

ca213

2cl———+

即《,22此時(shí)滿足條件的(a,b)不存在.

c,b213

2b=——+—

22

1313

③〃<0<6,此時(shí)為0在l=0處取得最大值，即26=/(0)=1,b=—，而於)在x=a或x=b處取最小值

131/13、\13八。213

2a.Va<0,則2a<0,又?.?*)或丁)=-不x(丁)2+〉0,：.f{d)=2a,即2a=,貝!1

T■乙T■乙乙乙

a=—2-JT7

<,13

b=—

I4

__13

綜上，(a,b)=(1,3)或(-2--J17,—)

11?3r3

例4.(1)—<X<1,y2=]+2j-(X—4)2+記.當(dāng)4a時(shí)，尸取得最大值1,<2=1;

11723

當(dāng)X或％=1時(shí)，W取得最小值2，匕=3-.故。2+匕2=].

(2)如圖，AB=8,設(shè)AC=x,貝ljBC=8-x,AD=2,CD=02+4,BE=4,CE=J(8-X)2+16

BF=AD=2.

4x2+4+J(8-x”+16=CD+CE>DE=JDF2+EF2=/82+(4+2”=10

BCEB4c

當(dāng)且僅當(dāng)。，C,E三點(diǎn)共線時(shí)，原式取最小值.此時(shí)△EBCS^/MC,有石===3=2,

188

從而x=AC=WAB=§.故原式取最小值時(shí)，x=—.

(3)如圖,

原式二jb-(-2)2]+(3x—0)2+,(1-0)2+(2y-3x)2+j(3-1"+(4-2y”

=AB+BC+CD>AD,其中A(-2,0),B(0,3無),C(l,2y)Q(3,4),并且當(dāng)點(diǎn)2,C在線段A。上時(shí)，原式取

3x42y4

得最小值，此時(shí)z=m，-y=5.

例5.由S=a(n-Jy2-m2)+2ay,得an-S+2ay=a正—〃2,兩邊平方，經(jīng)整理得

3a2y2+^a(an-S)y+(an-S)2+。2加2=0.因?yàn)殛P(guān)于y的一元二次方程有實(shí)數(shù)解，所以

-S)1-4x3a2\an-S”+a^m2]>0,可化為(S-a〃)2>3a21nl.

S>an,S-an>J3am,即S2a"+｛兄加，故s最小a”+招a/n.

k*+1)

例6(1)設(shè)x/l,X2>2,x注,于是1+2+...+左+…+乙=2003,即-------V2003

)t(jt+l)<4006,,,,62x63=3906<4006<4032=63x64,AK62.當(dāng)兒=1,x=2,...x=61,%。二112時(shí)，原等式

126162

成立，故左的最大可能值為62.

C?—a=bZ?(b+1)b(b+1)

(2)若取〈，，貝*2=由小到大考慮b,使1為完全平方數(shù).當(dāng)b=8時(shí)，。2=36,

則c=(),從而“=28.下表說明c沒有比6更小的正整數(shù)解.顯然，表中c4.3的值均不是完全平方數(shù)，故c

的最d、值為6.

CC4x3(x3<c4)C4-%3

2161,817,8

3811,8,27,6480,73,54,17

42561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,40

56251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113

_5

A級(jí)--2.13.14提示：y=：5—x,z=4—x,原式=3(x—3)2+14.4.A提示:

~711

原式二27—(〃+加-c)2.5.D6.C7.(l)y=~x-1-1000(500^x^800)(2)?5=(x-500)(—x+1000)=

—/+150(h—500000(500WxW800);②S—(x—750)2+62500,即銷售單價(jià)定為750時(shí)，公司可獲最大毛利潤(rùn)

62500元，此時(shí)銷量為250件.8.(1)—44〃W2(2)設(shè)方程兩根為x,,x,,則xf+x2=45-2)2+102,

121244

31

由此得兒2+工2最小值為10-,最大值為101.9.設(shè)展一〃匕+6=匕又“z+ab+6ui②，由①②得〃/?二一(1

1242

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—k),于是有(〃+/?)2=:(3—左)20,:?kW3,從而a+b=±J).故”，b是方程t2t+~~

的兩實(shí)根，由4三0,得;WZW3.10.設(shè)A(XpO),B(4，0),其中%],凡是方程。承+灰+(?=0的兩

根，則有x+x=-2<0,%%=￡>0,得％<0,x<0,由4=b2—^ac>0,Wb>2\[ac.VI(?AI=lxI<1,\OB\=\x\<\,

12a12a1212

—l<x2<0,于是c<a.由于q是正整數(shù)，已知拋物線開口向上，且當(dāng)犬二一1時(shí)，

對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)值大于0,HPa—b+c>Ofa+c>b.又〃，b,c是正整數(shù)，有Q+C，Z?+1>2〃7+1,從而

a+c>2yfac+1,則(■7^->/C)2>[J~a-^J~c>ij~ac+1>2于是a>4-,即a25,故b>2-Jac》

2x/sTT=2>/5,即b25.因此，取a=5,b=5,c=l,y=5N+5x+l滿足條件，故a+b+c的最小值為

11.11,(1)該設(shè)備投入使用x天，每天平均損耗為

1111Y-]11xfY-1)

y=-[5000001-(-x0+500)+(-x1+500)+(-x2+500)++(——+500)]=-[500000+500x+-x——-]

x4444x42

500000x1

=---------+—+499—?

x88⑵尸”Uf+崛川等哈嗯?當(dāng)且僅當(dāng)T4

即x=2000時(shí)，等號(hào)成立.故這臺(tái)設(shè)備投入使用2000天后應(yīng)當(dāng)報(bào)廢.

B級(jí)1.20提示：a2—8620,4〃-4a>0,從而辦》64b2>64a,。24,b^4.2.4提示：構(gòu)

造方程.3.2x/5提示：設(shè)經(jīng)過/小時(shí)后，A,8船分別航行到A1，外設(shè)44尸，則

B^=5/110-xl2+110-2x12=^5(%-6)2+20.4.D提示：屋+房22a6,c^+d^>2cd,：,a^+c^+d^

、2(ab+cd)、4jabed=4.:.ab+cd，2,同理6c+ad22,ac+bd.^2.5.A提示：x=s—2》0,y=5一

±sNO,z=l—1s20,解得2WsW3,故s的最大值與最小值的和為5.6.A提示：148=1，2+2)+5,

33

k-1k2-\-OkA-51

C(——,----------------)，S=4*2+2k+5)3,而依+2k+5=(k+l)2+4?4.7.設(shè)此商品每個(gè)售價(jià)

24ABC8

為x元,每日利潤(rùn)為S元.當(dāng)x》18時(shí)，有S=[60—5(x—18)](x—10)=—5(x—20)2+500,即當(dāng)商品提價(jià)

為20元時(shí)，每日利潤(rùn)為500元；當(dāng)xW18時(shí)，S=[60+10(18—x)](x—10)=—10(x—17)2+490,即當(dāng)商品

降價(jià)為17元時(shí)，每日利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為490元，綜上，此商品售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)20元.8.設(shè)對(duì)

甲、乙兩種商品的資金投入分別為x,(3一勸萬元,設(shè)獲取利潤(rùn)為s,則s=1x+。y/n,s--x=-石二嚏，

5555

兩邊平方，經(jīng)整理得無2+(9—10s)x+25s2—27=0,..?關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)解，；.(9-105)2-4X

1QQ

(2552-27)^0,解得嬴=1.05,進(jìn)而得％=0.75(萬元)，3-x=2.25(萬元).即甲商品投入0.75萬

元，乙商品投入2.25萬元，獲得利潤(rùn)1.05萬元為最大.9.y=5~x~Zf代入孫+yx+?=3,得好

1Q

+(z—5)x+(z2—5z+3)=0.Yx為實(shí)數(shù)，=(z-5)2—4(z2—5z+3)^0,解得一IWzW一，故z的最大值

3

1Qhr

為一，最小值為一1?10.設(shè)一=—=%,則c=ax2,于是，a+b+c=13,化為。(承+1+1)=13.

3ab

aWO,...N+x+l—上=0①.又0,b,c為整數(shù)，則方程①的解必為有理數(shù)，即公=8-3>0,得到

aa

1,，且