新高考數(shù)學一輪復習講義：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（原卷版+解析）

專題09指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

【命題方向目錄】

命題方向一：指數(shù)塞的運算

命題方向二：指數(shù)方程、指數(shù)不等式

命題方向三：指數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質

命題方向四：比較指數(shù)式的大小

命題方向五：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

命題方向六：指數(shù)函數(shù)性質的綜合問題

【2024年高考預測】

2024年高考仍將重點考查指數(shù)與指數(shù)函數(shù)，考查利用指數(shù)運算及利用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質比較大小、

處理單調性、解不等式等問題，難度為中檔題.

【知識點總結】

1、指數(shù)及指數(shù)運算

（1）根式的定義：

一般地，如果/="，那么》叫做。的〃次方根，其中（〃>1,weN*）,記為標，”稱為根指數(shù)，。稱

為根底數(shù).

（2）根式的性質：

當〃為奇數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的〃次方根是一個負數(shù).

當〃為偶數(shù)時，正數(shù)的，次方根有兩個，它們互為相反數(shù).

（3）指數(shù)的概念：指數(shù)是幕運算中的一個參數(shù)，。為底數(shù)，〃為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上

角，幕運算表示指數(shù)個底數(shù)相乘.

（4）有理數(shù)指數(shù)幕的分類

〃個

①正整數(shù)指數(shù)基a..a（〃eN*）；②零指數(shù)暴。°=1（。/0）；

③負整數(shù)指數(shù)基〃eN*）；④0的正分數(shù)指數(shù)嘉等于0,0的負分數(shù)指數(shù)嘉沒有意義.

a

（5）有理數(shù)指數(shù)塞的性質

①a"‘a"=a"""（a>0,m,〃e。）；②（a"'）"=a"'"（a>0,m,〃e。）；

m

③（aty=a"W工a>0,b>0,m&Q）.④值=標g>Q，相，〃e。）.

2、指數(shù)函數(shù)

y=ax

0<Q<1a>l

圖象

4L

o]1%

性質①定義域R,值域（。，+8）

②a0=l,即時x=0,y=l,圖象都經過（0，1）點

③a，=a，即x=l時，>等于底數(shù)。

④在定義域上是單調減函數(shù)在定義域上是單調增函數(shù)

⑤xvO時，ax>1;%>0時，Q<ax<1xvO時，Ova'vl;%>0時，ax>1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

【方法技巧與總結】

1、指數(shù)函數(shù)圖象的關鍵點（0,1）,（i,?）,

2、如圖所示是指數(shù)函數(shù)（1）y=（2）y=此（3）y=/,（4）y=才的圖象，則c>d>l>a>b>0,

即在第一象限內，指數(shù)函數(shù)>=優(yōu)（。>0且。片1）的圖象越高，底數(shù)越大.

3、指數(shù)式大小比較方法

①單調性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行比較.

②中間量法：當指數(shù)式的底數(shù)和指數(shù)各不相同時，需要借助中間量“0”和“1”作比較.

③分類討論法：指數(shù)式的底數(shù)不定時，需要分類討論底數(shù)的情況，在利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行比較.

④比較法：有作差比較與作商比較兩種

【典例例題】

命題方向一：指數(shù)塞的運算

例1.（2023?全國?高三專題練習）78-2715=.

例2.(2023?全國?高三專題練習)已知|x+3|+(y-l)2+A/x+z-4=0,求x+yz=

例3.（2023?全國?高三專題練習）（T.8）°

7inQ7

變式L（2023?全國?高三專題練習）（2，產+0.12+（2山）3一3?°+"=.

92748

3x-3x

變式2.（2023?全國?高三專題練習）已知=0+1,則〃+〃二

ax+ax

變式3.（2023?全國?高三專題練習）若加H—=3,則蘇H—-=

mm

變式4.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）已知々+々7=3,下列結論正確的是（）

A.儲+a2=7B.々3+〃-3=]g

D

C-a-土君-?+七=2下

【通性通解總結】

（1）指數(shù)塞的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)累統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)累，以便利用法則計算，還應注意：

①必須同底數(shù)塞相乘，指數(shù)才能相加.

②運算的先后順序.

（2）運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).

命題方向二：指數(shù)方程、指數(shù)不等式

例4.（2022秋?遼寧?高三朝陽市第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知網(wǎng)和馬是方程9*-3工+2+3=0的兩根,

9國+9電

貝U=?

例5.（2022秋?上海虹口?高三華東師范大學第一附屬中學校考階段練習）若為、巧為方程罐

的兩個實數(shù)解，則須+%=

11

例6.（2022.全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（%）=-+〃為奇函數(shù)，則方程=[的解是％=

r

變式5.（2022.全國?高三專題練習）方程log3（2,-2T）-log3（4+4T）=-l的解集為

變式6.（2023?全國?高三專題練習）己知函數(shù)/（x）=2工-x-1,則不等式/（%）>0的解集是

3（x-D

變式7.（2023?上海青浦?統(tǒng)考一模）不等式2*2-3<1I的解集為.

i>i的解集為

變式8.（2023?全國?高三專題練習）不等式

變式9.（2023?全國?高三專題練習）不等式10,-6*-3、21的解集為

3

變式10.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考一模）請寫出滿足方程3'-\=log5y的一組實數(shù)對（％y）：.

【通性通解總結】

利用指數(shù)的運算性質解題.對于形如a"'：'afM>b,小工）<匕的形式常用“化同底”轉化，再利用

指數(shù)函數(shù)單調性解決；或用“取對數(shù)”的方法求解.形如。優(yōu)+C=0或8優(yōu)+C屋）（0）的形式，可

借助換元法轉化二次方程或二次不等式求解.

命題方向三：指數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質

例7.（2023.遼寧鞍山?校聯(lián)考一模）函數(shù)〃x）是定義在R上的偶函數(shù),且“1+X）=/（1）,若xe[0,l],

/（x）=2\則〃2023）=（）

A.4B.2C.1D.0

例8.（2023?全國?高三專題練習）設“x）=",且/⑴=2,則/（0）+八2）=（）

A.4B.5C.6D.7

例9.（2023春?河北?高三統(tǒng)考學業(yè)考試）若函數(shù)丁=（>-機-1）?川是指數(shù)函數(shù)，則用等于（）

A.-1或2B.—1

C.2D.1

變式11.（2023?河北?高三學業(yè)考試）己知函數(shù)〃"=優(yōu)">0,且"1）的圖象經過點（2,4）,則（）

A.gB.2C.-D.44的值為

24

變式12.（2023?天津河東?一模）如圖中，①②③④中不屬于函數(shù)y=31y=2x,y=W中一個的是（）

M

A.①B.②1C.③D.@

變式13.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)。=恰有一個零點，則機的取值范圍是（）

A.（l,+oo）B.{0}D（1，+8）'C.{0}u[l,+co）D.[l,+oo）

變式14.（2023?全國?高三專題練習）已知％=，%=3,，刈=1°￡，則在同一平面直角坐標

系內，它們的圖象大致為（）

-XX

必號已為居

/、\2X-I\,x<2

變式15.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（?=11,若實數(shù)。也。滿足a<b<c,且

-x+4,x>2

/（a）=/（/>）=/（c）,則2"。+2*的取值范圍為（）

A.（4,8）B.（4,16）C.（8,32）D.（16,32）

變式16.（2023秋?黑龍江七臺河?高三?？计谥校┖瘮?shù)y=0i+4（a>0,且awl）的圖象過定點P,則點

尸的坐標是（）

A.（1,5）B.（1,4）C.（0,4）D.（4,0）

變式17.（2023?全國?高三專題練習）若指數(shù)函數(shù)〃力=/2（。>0且awl）的圖象恒過定點尸，且點尸在

線段土+；=1（。>0*>0）上，則2a+人的最小值為（）

ab

A.5+20B.4+272C.8D.9

【通性通解總結】

解決指數(shù)函數(shù)有關問題，思路是從它們的圖像與性質考慮，按照數(shù)形結合的思路分析，從圖像與性質

找到解題的突破口，但要注意底數(shù)對問題的影響.

命題方向四：比較指數(shù)式的大小

231

例10.（2023?全國局三專題練習）已知〃=3§，0=c=4§，則（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

\_

例11.（2023?陜西商洛?統(tǒng)考三模）已知a=A『，6=sinl,c=log52,則（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

J>0,且［心］=X，2y=log),x,則(

例12.（2023?海南?校聯(lián)考模擬預測）已知%>0,)

A.0<y<x<lB.0<x<^<1C.x>y>lD.y>x>l

Z[\2022

變式18.（2023?吉林四平?四平市實驗中學?？寄M預測）已知Q=2022盛"二矗，。二叫2。22

則a,。,c的大小關系是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

變式19.(2023?全國?高三專題練習)設a=309,b=905,c=W\貝U().

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.b>c>a

【通性通解總結】

指數(shù)式大小比較方法

①單調性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行比較.

②中間量法：當指數(shù)式的底數(shù)和指數(shù)各不相同時，需要借助中間量“0”和“1”作比較.

③分類討論法：指數(shù)式的底數(shù)不定時，需要分類討論底數(shù)的情況，在利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行比較.

④比較法：有作差比較與作商比較兩種

命題方向五：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

例13.（2023?全國?高三專題練習）若不等式［3工（51）-Rjogs/jWO對任意的正整數(shù)X恒成立，貝心的取

值范圍是.

例14.（2023?全國?高三專題練習）若關于x的不等式4al<3x-4（?>0,且awl）對于任意的x>2恒成

立，則。的取值范圍為.

例15.（2023?全國?高三專題練習）已知1+2,+4,也>0對一切無上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

12

變式20.（2023?全國?高三專題練習）已知塞函數(shù)/（a=（/_3卜/32在（0,+8）上單調遞減，函數(shù)

火力=3工+加，對任意占總存在％目1,2］使得/（芯）=力仁），則加的取值范圍為__________.

變式21.（2023?全國?高三專題練習）己知了（log2X）=x+：

⑴求了⑺的解析式，并求函數(shù)'=/（尤）-2的零點；

⑵若/（無）=3,求〃2x）；

（3）若對任意xeR,不等式“2元）2時（x）-6恒成立，求實數(shù)機的最大值.

變式22.（2023?全國?高三專題練習）設函數(shù)/（力=3'-20一'（。＞0,。21,左eR）,/（x）是定義域為R的奇

函數(shù)

（1）確定左的值

⑵若"1）=3,判斷并證明的單調性；

⑶若。=3,使得2〃2x）（（/l+l）/（x）對一切xe[-2，T恒成立，求出2的范圍.

變式23.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)〃尤）=2*-4二

⑴當機=0時，求關于x的不等式“力＞-2的解集；

⑵若對五目05，不等式〃尤）＞22,恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

【通性通解總結】

已知不等式能恒成立求參數(shù)值（取值范圍）問題常用的方法：

U）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調性求解；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；

（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結合的方法求解.

命題方向六：指數(shù)函數(shù)性質的綜合問題

例16.（2023?全國?高三專題練習）對于定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）,當x＞0時，〃切=2'+乙丁則

該函數(shù)的值域為.

例17.（2023?全國?高三專題練習）己知函數(shù)〃力=%2,g（x）=m-2*+2（mA0）,若％,Bx2,

使得g（%）=/（々），則實數(shù)m的取值范圍是.

例18.（2023?全國?高三專題練習）若函數(shù)〃尤）=k-同-1的值域為[-1,y），則實數(shù)。的取值范圍為.

變式24.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)〃尤）=V+2,-2一工，若實數(shù)a、b滿足/（26）+/?伊-1）=0,

則6/1+21的最大值為.

變式25.（2023春?河南周口?高三?？茧A段練習）函數(shù)=38的單調遞增區(qū)間為.

變式26.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)〃尤）-三，則使得/（2o）<〃a-3）成立的。的

取值范圍是.

變式27.（2023?全國?高三專題練習）求函數(shù)y=的單調區(qū)間.

變式28.（2023?全國?高三專題練習）若函數(shù)y=a\a>1）在區(qū)間［1,2］上的最大值與最小值的差為2,則?=

變式29.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)=機S'+m+G,若方程/（-無）+/（x）=0有解，則

實數(shù)加的取值范圍是.

變式30.（2023?全國?高三專題練習）若21=血-2『+丁,貝ijJ（尤+2）、+/+J（x-2）2+丁的最小值為

變式31.（2023?全國?高三專題練習）設方程-5=0的解為毛，巧，方程”83苫+芯-5=°的解為％,

X4,貝1］玉+工2+七+無4=.

變式32.（2022.全國?高三專題練習）已知網(wǎng)是方程無+lgx=3的一個根，%方程x+10*=3的一個根，則

&%.

【通性通解總結】

（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助

中間量.

（2）求解與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，要明確復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問

題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷.

【過關測試】

一、單選題

1.（2023?河北?校聯(lián)考一模）已知集合人={劃尤2_2x<0},集合3={x|2i-14O},則473=（）

A.{x[0<x<2}B.{x|0<x<2}C.{x|x<2}D.{x|x<2}

2.（2023?江西?校聯(lián)考二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調節(jié)免疫功能，增強機體免疫

力.草莓味甘、性涼，有潤肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛.根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到

大依次分為4個等級，其等級x（x=L2,3,4）與其對應等級的市場銷售單價y（單位：元/千克）近似滿足函

數(shù)關系式〉=6皿〃.若花同樣的錢買到的1級草莓比4級草莓多1倍，且1級草莓的市場銷售單價為24元/千克,

則3級草莓的市場銷售單價最接近（）（參考數(shù)據(jù)：蚯=1.26,孤。1.59）

A.30.24元/千克B.33.84元/千克C.38.16元/千克D.42.64元/千克

3.（2023?北京?高三專題練習）設函數(shù)/（無）=,2'X-a,若/（x）為增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

[x,x>a

A.（0,4]B.[2,4]

C.[2,+oo）D.[4,+oo）

4.（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預測）已知a=b=sin30,c=log52,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

5.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)二，若對于任意的尤e⑵3],不等式/（尤）+/（4-2元）V1

2"+22

恒成立，則實數(shù)，的取值范圍是（）

A.[5,+QO）B.[4,+oo）C.（-oo,6]D.（一8,4]

6.（2023?全國?模擬預測）已知實數(shù)m,〃滿足3"=機，（26）"=〃，?=—log（2m+n）,則一=（）

22m

A.2B.4C.3D.-

23

7.（2023?全國?高三專題練習）下列結論中，正確的是（）

A.設則“B.若川=2,則加=±蚯

C.若。+。一=3,貝Ua5+q-5=±6D.*2—%）4=2—萬

,,

8.（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)機，小/滿足加=lg（2'+8'），n=log8（10-2）,則（）

A.|m-n|<|^-n|,|m-/|<|z--n|B.|m-n|<|/-n|,|m-f|>|z--fz|

C.|m-n|>|^-n|,|m-^|<|^—n|D.|m-n|>|^-n|,|m—z|>|/—H|

二、多選題

9.（2023?全國?高三專題練習）已知a,bcR,則使“a+匕＞1”成立的一個必要不充分條件是（）

4b+1

A.a2+b2＞1B.IaI+1*|＞1C.20+2b＞1D.-+-------＞10

ab

10.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)y=（〃2—4a+4）辦是指數(shù)函數(shù)，則〃的值不可以是（）

A.4B.3C.2D.1

11.（2023?廣東深圳?紅嶺中學?？寄M預測）己知函數(shù)/（對:/1，則（）

A.函數(shù)是增函數(shù)

B.曲線y=F（x）關于（0,；］對稱

C.函數(shù)“X）的值域為（0,口

D.曲線y=『（x）有且僅有兩條斜率為g的切線

12.（2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)〃x）=e1則（）

A.當再時，""）＞0B.當尤2＞玉＞1時，xlf（x2）＜x2f（xl）

石-x2

C.當占＜々＜一1時，無2,（羽）"/（々）D.當。＞-■時，方程#（x）=a有兩個解

e

三、填空題

13.（2023?上海奉賢?上海市奉賢中學?？既＃c尸（2,16）、Q（log23"）都在同一個指數(shù)函數(shù)的圖像上，則

t=.

P

14.（2023?全國?高三專題練習）需求價格彈性系數(shù)%=/百?Q'（P）（其中Q'（P）為。（尸）的導數(shù)）表示在

一定時期內當一種商品的價格產變化1%時所引起的該商品需求量。變化的百分比.已知某種商品的需求量

。關于價格P的函數(shù)關系式為2（尸）=1.『（b為常數(shù)），若該商品當前價格為4元，E］為-0.5,則需求

量Q=.

15.（2023?全國?高三專題練習）有下列三個不等式：①2°4＜5°2＜4°3；②5》＞6；③61ng則正確不

等式的序號為

16.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（乃=9-3印+’（其中。是常數(shù)）.若當xw［0,1］時,恒有人尤）＜0

成立，則實數(shù)c的取值范圍為.

四、解答題

17.(2023?全國?高三專題練習)求J1+/」二^竺

V1+3左

ax2—4x+3

18.(2023?全國?高三專題練習)己知函數(shù)/(x),若一⑴的值域是(0,+?)),求。的值.

19.(2023.全國?高三專題練習)設定義在R上的偶函數(shù)〃x)和奇函數(shù)g(x)滿足〃x)+g(x)="(其中“>l),

且外1)=1

⑴求函數(shù)〃尤)和g(x)的解析式；

⑵若/z(x)=〃2x)-4g⑺+力的最小值為-7,求實數(shù)%的值.

20.(2023?江西宜春?高三江西省豐城中學校考開學考試)已知函數(shù)〃力=優(yōu)+6(。，b為常數(shù)，a>0且"1)

的圖象經過點4(1,8),5(2,14).

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

(2)若關于無不等式，+，-4V0對Vxe[-2,2]都成立，求實數(shù)2的取值范圍.

21.(2023?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學校考階段練習)已知函數(shù)與/'(x)的圖象關

于直線V=%對稱的圖象過點(2,1).

⑴求。的值；

(2)求不等式的解集.

22.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)〃x)=3,且/(a+2)=18,函數(shù)8(力=30-4”.

⑴求g(x)的解析式；

⑵若關于X的方程g(x)-加8,=0在區(qū)間［-2,2］上有實數(shù)根，求實數(shù)機的取值范圍.

專題09指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

【命題方向目錄】

命題方向一：指數(shù)塞的運算

命題方向二：指數(shù)方程、指數(shù)不等式

命題方向三：指數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質

命題方向四：比較指數(shù)式的大小

命題方向五：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

命題方向六：指數(shù)函數(shù)性質的綜合問題

[2024年高考預測】

2024年高考仍將重點考查指數(shù)與指數(shù)函數(shù)，考查利用指數(shù)運算及利用指數(shù)函數(shù)的圖像

與性質比較大小、處理單調性、解不等式等問題，難度為中檔題.

【知識點總結】

1、指數(shù)及指數(shù)運算

(1)根式的定義：

一般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中(">1,weN*),記為標，〃稱

為根指數(shù)，“稱為根底數(shù).

(2)根式的性質：

當〃為奇數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的〃次方根是一個負數(shù).

當”為偶數(shù)時，正數(shù)的〃次方根有兩個，它們互為相反數(shù).

(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是暴運算a"(a40)中的一個參數(shù)，。為底數(shù)，"為指數(shù)，指數(shù)

位于底數(shù)的右上角，幕運算表示指數(shù)個底數(shù)相乘.

(4)有理數(shù)指數(shù)基的分類

〃個

①正整數(shù)指數(shù)募.a(”仁叱)；②零指數(shù)塞

③負整數(shù)指數(shù)累。一"=4(aw0,〃eN*)；④0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0,0的負分數(shù)指

a

數(shù)幕沒有意義.

(5)有理數(shù)指數(shù)累的性質

①?！?=*"(a>0,m,n&Q).②S)"=a'"”(a>0,m,n&Q).

@(ab)m=ambm(a>0,b>0,meQ)-④值=>gQ，m,〃eQ).

2、指數(shù)函數(shù)

y=優(yōu)

0VQ<1a>\

圖象

<L

-o|~；二

o|1

性質①定義域R，值域（0,+8）

②/=1,即時x=o,y=i,圖象都經過（0，D點

③優(yōu)=a，即x=l時，>等于底數(shù)a

④在定義域上是單調減函數(shù)在定義域上是單調增函數(shù)

⑤尤<0時，ax>1;X>0時，0v優(yōu)<1x<0時，0<優(yōu)<1;尤>0時，ax>\

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

【方法技巧與總結】

1、指數(shù)函數(shù)圖象的關鍵點（0,1）,（1,。），

2、如圖所示是指數(shù)函數(shù)（1）y=優(yōu)，（2）y=bx,（3）y=c3（4）》=小的圖象，

則c>d>l>a>6>0,即在第一象限內，指數(shù)函數(shù)y=a'（a>0且"1）的圖象越高，底

數(shù)越大.

3、指數(shù)式大小比較方法

①單調性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行比較.

②中間量法：當指數(shù)式的底數(shù)和指數(shù)各不相同時，需要借助中間量“0”和“1”作比較.

③分類討論法：指數(shù)式的底數(shù)不定時，需要分類討論底數(shù)的情況，在利用指數(shù)函數(shù)的單

調性進行比較.

④比較法：有作差比較與作商比較兩種

【典例例題】

命題方向一：指數(shù)塞的運算

例1.（2023?全國?高三專題練習）78-2715=.

【答案】石-君/-用行

【解析】小8—2屏='（布-國=亞-6

故答案為：V5-V3

例2.（2023?全國?高三專題練習）已知|x+3|+（y—I）?+J尤+z-4=0,求x+yz=

【答案】4

【解析】因為k+3|+(y-iy+Jx+z-4=0,

]x+3|=0x=-3

所以(y-i)2=o解得，》=1，所以-3+lx7=4,

Jx+z-4=0z=7

故答案為：4.

例3.（2023?全國?高三專題練習）

【答案】19

3

【解析】(一1.8)。+[|)x5一得+收=1+]|[x^]-X+9t

2°

4(3V-x249

=l+-x--10+32=l+-x——10+27=19.

9094

故答案為：19

7IQ47

變式L(2023?全國?高三專題練習)(2,嚴+0.r2+(2上)3_31。+?=.

92748

【答案】100

【解析】原式=(式+(101)-2+(|^p-3xl+||

5937

=-+100+—-3+—

31648

80+27+370()_3

484848

=3+100-3

=100.

?3x

變式2.（2023?全國?高三專題練習）已知。功=0+1,則“+"

ax+a~x

【答案】2A/2-1

【解析】/=0+1,

3x3xax+a~xa2x-l+a2x

a+a-_J2.x1,-2x1

—a—1+a=-\/2+1—1+=2后-L

ax+a~xax+a~xV2+1

故答案為：2夜-1

變式3.（2023?全國?高三專題練習）若機+工=3,則m2+—=

mm

【答案】7

22

【解析】在等式機+工=3兩邊平方可得(機=m+_L+2m~=m+-^+2=9,

mImJmmm

因止匕，加2H——=7.

m

故答案為：7.

變式4.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）已知°+/=3,下列結論正確的是（）

A./+=7B.々3+。-3=18

Ca2+a2=±#D.ciy[uH---7=-=2-\/5

ay/a

【答案】ABD

【解析】由。2+。2=（。+。）—2=3?—2=7,所以A正確;

由〃3+〃3=(〃+"1)(〃2—]+〃2)=3x(7—1)=18,所以B正確；

1,1

田（M+"2）2=a+a]+2=3+2=5，

因為二＞（r1＞（r所以￡+/=石，所以c錯誤；

]3_31_1

2

由Cls[uH=6/2+Q2=2+。）（n-1+a'）=-\/5x（3-1）=2A/5,所以D正確.

Na

故選：ABD.

【通性通解總結】

（1）指數(shù)塞的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)嘉統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)累，以便利用法則計算,

還應注意：

①必須同底數(shù)累相乘，指數(shù)才能相加.

②運算的先后順序.

（2）運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).

命題方向二：指數(shù)方程、指數(shù)不等式

例4.（2022秋?遼寧?高三朝陽市第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知王和馬是方程

9國+9熱

9，一3*+2+3=0的兩根，貝IJ----------=.

玉+尤2

【答案】75

【解析】方程可化為（3*）2-9-3，+3=0,由韋達定理得3為+39=9,3'-39=3,

所以3%+也=3,得尤1+%=1.

又9皆+9?=付+3町一2.3為竽=81-6=75,

9西+9句

所以=75.

石+x2

故答案為：75

例5.（2022秋?上海虹口?高三華東師范大學第一附屬中學?？茧A段練習）若毛、巧為方程

_工+1

優(yōu)=（'「（°>1）的兩個實數(shù)解，貝1」網(wǎng)+々=.

【答案】-1

【解析】因為0>1,且優(yōu)=1口3=々4，所以，x=1-l,BPx2+x-l=0,

A=l+4=5>0,

由題意可知，A、巧為方程爐+尤-1=0的兩根，由韋達定理可得芯+尤2=T.

故答案為：-1.

例6.（2022.全國?高三專題練習）已知函數(shù)〃尤）=不片+。為奇函數(shù)，則方程=；的解

是％=.

【答案】-1

【解析】因為函數(shù)〃彳）=￡+。為奇函數(shù)，故〃0）=土+。=0,解得”=-3,故

（即=5故3（3工+1）=4,解得x=T

故答案為：-1

變式5.（2022?全國?高三專題練習）方程1唱（2^-2^）-log3（牢+4-*）=-1的解集為

【答案】/限（1+0}/暇―2~^一/%（1+收）

【解析】由題意知,l+log3(2*-2T)=log3(4'+4T),gplog33(2^-2^=log3(4^+4^),

所以3(2'-2-)=(4*+4一*)，有3(2*-2r)=(2工-2一守+2,

即（2*-2T）2—3（2,—2一工）+2=0,解得2工一2T=1或2A-2T=2，

當2:2-”=1時，有22,—2，-1=0,得2'=匕好或2'=上至（舍去），

22

解得x=log2；

當2*-27=2時，有22-22-1=0，即（2匚1）2=2,得2'=1+忘或2、=1-&（舍去）

解得x=log2（友+1）,

所以方程的解集為：｛log?笥叵,Iogz（夜+1）｝

故答案為：｛log21+f,log2（3+1）｝

變式6.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（x）=2*-尤-1,則不等式/。）>0的解集是

【答案】（-8,0）51,+8）

【解析】因為/（x）=2*-x-l,所以〃尤）>。等價于2、>尤+1,

在同一直角坐標系中作出y=2"和y=x+l的圖像如圖：

兩函數(shù)圖像的交點坐標為（0,1），（L2）,

由圖可知：當x<0或x>l時，2*>x+l成立，

所以不等式/。）>0的解集為：（3,0）51,+8）.

故答案為：（—0,0）51,”）.

變式7.（2023?上海青浦?統(tǒng)考一模）不等式2,必-3<；的解集為

【答案】（-3,2）

【解析】函數(shù)y=2工在R上單調遞增，則

2*2-2x-3<（；）3"-DO2『-2x-3<^-1）_^-3<-3（%-1）,

BPx2+x-6<0,解得-3<x<2,

所以原不等式的解集為（-3,2）.

故答案為：（-3,2）

變式8.（2023?全國?高三專題練習）不等式>1的解集為.

【答案】（-哈。）

【解析】由、］=可得x<。，故解集為（一8,0）.

故答案為：（-°0,。）.

變式9.（2023?全國?高三專題練習）不等式1（/-6工-3*21的解集為.

【答案】［1,+向

【解析】由io—并,可得片］+用+品Li.

因為產,y=圖［y=］筒均為R上單調遞減函數(shù)

則/（X）在R上單調逆減，且"1）=1,

/.%>1

故不等式10l-6A-3x>l的解集為［1,+℃）.

故答案為：［1,+8）.

3

變式10.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考一模）請寫出滿足方程3工-\=log5y的一組實數(shù)對

【答案】（答案不唯一）

3

【解析】：3x-；=log5y,

.3,-2

,,y=52'

.,.令x=0得：y=5,即：（0,

故答案為:（答案不唯一）.

【通性通解總結】

利用指數(shù)的運算性質解題.對于形如^3=6,aM>b,<6的形式常用“化同底”

轉化，再利用指數(shù)函數(shù)單調性解決；或用“取對數(shù)”的方法求解.形如。2工+8優(yōu)+c=o或

。2工+8優(yōu)+施(0)的形式，可借助換元法轉化二次方程或二次不等式求解.

命題方向三：指數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質

例7.(2023.遼寧鞍山.校聯(lián)考一模)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且〃l+x)=〃l-尤)，

若xe[0,l],〃x)=2',貝|/(2023)=()

A.4B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】因為〃l+x)=〃l—x),且/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以〃l+x)=〃x-l),

令f=X-l,則尤=f+l,

所以/Q+2)=/⑺，即/(》)=/(尤+2),

所以函數(shù)的周期為2,

所以“2023)=/(1011x2+l)=/(1)=2.

故選：B.

例8.(2023?全國?高三專題練習)設〃力="，且"1)=2,則40)+/(2)=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】由題意，函數(shù)〃力=優(yōu)，

因為〃1)=2,可得"1)="=2,解得a=2,gp/(x)=2\

所以〃0)+〃2)=2。+22=5.

故選：B.

例9.(2023春?河北?高三統(tǒng)考學業(yè)考試)若函數(shù)>=(加-加-1)加是指數(shù)函數(shù)，則加等于

()

A.-1或2B.-1

C.2D.1

【答案】C

m2-m-1=1

【解析】由題意可得相>。，解得m=2.

故選：C.

變式11.(2023?河北?高三學業(yè)考試)已知函數(shù)〃x)="(a>0,且a21)的圖象經過點(2,4),

貝Ij()

A.）B.2C.-D.4a的值為

【答案】B

【解析】因為函數(shù)（。＞0,且awl）的圖象經過點（2,4）,

所以"=4,解得：a=2.

故選：B.

變式12.（2023?天津河東?一模）如圖中，①②③④中不屬于函數(shù)y=3"y=2"

C.③D.④

【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質可知:

①是y=的部分圖象；③是y=2”的部分圖象；④是y=3￡的部分圖象；

所以只有②不是指數(shù)函數(shù)的圖象.

故選：B.

變式13.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)“x）=p-l卜機恰有一個零點，則機的取值范圍

是（）

A.（l,+oo）B.{0}u（l,+8）C.{0}u[l,+＜z＞）D.[l,+oo）

【答案】C

【解析】由題設，＞=|2工-1|與，=〃2只有一個交點，

又y=|2*-1|的圖象如下：

：.me{0}D[1,+8).

故選：C.

變式14.（2023?全國?高三專題練習）已知,%=3',y3=W-\y4=10\則在同

一平面直角坐標系內，它們的圖象大致為（）

【解析】為=3*與%=1。'是增函數(shù)，與%=107=（'）是減函數(shù)，在第一象限內

該直線與四條曲線交點的縱坐標的大小對應各底數(shù)的大小，易知：選A.

故選：A

/、12x-l|,x<2

變式15.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=F1,若實數(shù)。也c滿足

—x+4,x>2

a<b<c,且〃a)=/3)=〃c),貝！12"+。+2"。的取值范圍為()

A.(4,8)B.(4,16)C.(8,32)D.(16,32)

【答案】D

【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖，

當x<0時，/(x)=|2v-l|=l-2Je(O,l),

由圖可知，/(?)=/(&)=/(C)G(O,1),即4一c?0,l)

得3<c<4,貝!|8<2。<16,

由=即|2"T=|2"-1|,得1_2。=2y1，求得2。+2:2，

...2。+。+2"。=2。(2。+2")=2x2。e(16,32),

故選：D

變式16.