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文檔簡介
猜想04與圓相關(guān)的幾何綜合(6種模型)
?題型目錄展示?
題型一:兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型
題型二:阿氏圓
題型三:瓜豆原理
題型四:圓中定值問題
題型五:圓中最值問題
題型六:輔助圓模型
—題型通關(guān)專訓(xùn)?
題型一:兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型
一.選擇題(共2小題)
1.(2022春?新洲區(qū)期末)已知平面直角坐標(biāo)系中有A(2,2)、B(4,0)兩點(diǎn),若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使
△ABC為等腰三角形,則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是()
2.(2022秋?沙洋縣校級期末)平面直角坐標(biāo)系中,已知A(1,2)、8(3,0).若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使4
ABC為等腰三角形,則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是()
A.5B.6C.7D.8
二.填空題(共2小題)
3.(2022秋?龍亭區(qū)校級期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,8分別在y軸和x軸上,ZABG?=60°,
在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P,使得是等腰三角形,則符合條件的點(diǎn)P共有個.
4.(2021秋?鄰水縣期末)平面直角坐標(biāo)系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使△ABC
為等腰三角形,則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是.
題型二:阿氏圓
—.填空題(共2小題)
1.(2022秋?永嘉縣校級期末)如圖所示,ZACB=60°,半徑為2的圓。內(nèi)切于尸為圓O上一動
點(diǎn),過點(diǎn)P作PM,PN分別垂直于/ACB的兩邊,垂足為M、N,則PM+2PN的取值范圍
為.
A
2.(2021秋?龍鳳區(qū)期末)如圖,在RtZsABC中,ZC=90°,AC=9,BC=4,以點(diǎn)C為圓心,3為半徑
做OC,分別交AGBC于。,E兩點(diǎn),點(diǎn)尸是OC上一個動點(diǎn),則工B4+PB的最小值為
3
3.(2021秋?定海區(qū)期末)如圖1,正方形。48c邊長是2,以。1為半徑作圓,P為弧AC上的一點(diǎn),過點(diǎn)
尸作交AB于點(diǎn)連結(jié)PO、PA,設(shè)尸〃=%,PA^n.
(1)求證:ZPOA=2ZPAM;
(2)探求小、”的數(shù)量關(guān)系,并求"-根最大值;
(3)如圖2:連結(jié)尸8,設(shè)PB=h,求料〃+2祖的最小值.
題型三:瓜豆原理
一.填空題(共6小題)
1.(2021秋?忠縣期末)如圖,在△ABC中,ZACB=90°,點(diǎn)。在8C邊上,BC=5,CD=2,點(diǎn)E是邊
AC所在直線上的一動點(diǎn),連接。E,將DE繞點(diǎn)。順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到。尸,連接8R則8F的最
小值為____________________.
2.(2021秋?嘉興期末)如圖,OO的直徑A8=2,C為。。上動點(diǎn),連結(jié)CB,將C8繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)
90°得到CD,連結(jié)OD,則OD的最大值為.
D
3.(2022春?槐蔭區(qū)期末)如圖,正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點(diǎn)、,且BE=1,尸為AB邊上的一
個動點(diǎn),連接EF,以Ef1為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為
4.(2021秋?沐陽縣校級期末)如圖,線段43=2,點(diǎn)C為平面上一動點(diǎn),且/ACB=90°,將線段AC的
中點(diǎn)尸繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A。,連接8。,則線段B0的最大值為.
Q4
5.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,BC=6,tan/ACB=2點(diǎn)尸在邊AC上
運(yùn)動(可與點(diǎn)A,C重合),將線段2尸繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段。尸,連接2。,CD,則CO
長的最小值為.
6.(2022秋?和平區(qū)校級期末)如圖,長方形A8CD中,AB=3,BC=4,E為BC上一點(diǎn),且BE=1,F為
A8邊上的一個動點(diǎn),連接ER將EF繞著點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置,連接FG和CG,則CG
的最小值為.
二.解答題(共1小題)
7.(2021秋?武昌區(qū)期末)如圖1,在△ABC中,BE平分/ABC,CT平分/AC8,BE與CF交于點(diǎn)、D.
(1)若/BAC=74°,則/BZ)C=;
(2)如圖2,ZBAC=90°,作交A8于點(diǎn)求證:DM=DE;
(3)如圖3,ZBAC=60°,ZABC=SQ°,若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn),點(diǎn)M在直線BC上,
連接MG,將線段GM繞點(diǎn)G逆時針旋轉(zhuǎn)90°得GN,NG=MG,連接。N,當(dāng)。N最短時,直接寫出/
MGC的度數(shù).
題型四:圓中定值問題
一.解答題(共3小題)
1.(2021秋?吉林期末)某公園計(jì)劃砌一個形狀如圖1的水池(圖中長度單位:加),后有人建議改為如圖2
的形狀,且外圓直徑不變.
【問題】請你計(jì)算兩種方案中的圓形水池的周長,確定哪一種方案砌的圓形水池的周邊需要的材料多.
【猜想驗(yàn)證】如圖3,如果將圖2中的小圓半徑改為ri,n,n,且ri+r2+r3=r,其他條件不變,猜想【問
題】中的結(jié)論是否改變,并說明理由.
【拓展】如圖4,若將圖3中三個小圓改為W個小圓,小圓半徑分別為廠1,T2,…,廠”,且,l+f2+…+5=
r,直接寫出圖4中所有圓的周長總和.
【應(yīng)用】元寶是中國古代的貨幣,在今天也有著富貴吉祥的寓意,王師傅準(zhǔn)備建設(shè)一個形如元寶的花壇,
如圖5,花壇是由4個半圓所圍成,最大半圓的半徑為2.1米,直接寫出花壇周邊需要的材料總長(結(jié)果
保留TT).
圖1圖2圖3圖4圖5
2.(2022秋?天河區(qū)校級期末)如圖①,已知。。是△A8C的外接圓,ZABC=ZACB=a(45°<a<90°,
。為篇上一點(diǎn),連接CD交A8于點(diǎn)E.
(1)連接BC,若/CQB=40°,求a的大??;
(2)如圖②,若點(diǎn)8恰好是向中點(diǎn),求證:C^=BE,BA;
(3)如圖③,將C£(分別沿2C、AC翻折得到CM、CN,連接MN,若CD為直徑,請問處是否為定
MN
值,如果是,請求出這個值,如果不是,請說明理由.
3.(2021春?海曙區(qū)校級期末)如圖1,E點(diǎn)為x軸正半軸上一點(diǎn),OE交x軸于4、8兩點(diǎn),交y軸于C、
。兩點(diǎn),P點(diǎn)為劣弧標(biāo)上一個動點(diǎn),且A(-2,0),E(2,0).
(1)前的度數(shù)為°;
(2)如圖2,連結(jié)尸C,取PC中點(diǎn)G,連結(jié)OG,則0G的最大值為;
(3)如圖3,連接B4,PC.若C。平分/PC。交B4于。點(diǎn),求線段AQ的長;
(4)如圖4,連接出、PD,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時(不與8、C兩點(diǎn)重合),求證:PC+PD為定值,并求出這個
PA
定值.
題型五:圓中最值問題
一.填空題(共3小題)
1.(2022秋?海安市期末)如圖,在△ABC中,AB=8,BC=6,D為BC上一點(diǎn)、,當(dāng)/CAB最大時,連接
AD并延長到E,使BE=BD,則AD-DE的最大值為.
2.(2022秋?江門期末)如圖,在矩形ABCZ)中,A8=3,BC=4,E為邊BC上一動點(diǎn),/為AE中點(diǎn),G
為DE上一點(diǎn),BF=FG,則CG的最小值為.
3.(2021秋?綿陽期末)如圖,矩形的頂點(diǎn)A,C分別在無軸、y軸上,點(diǎn)2的坐標(biāo)為(4,3),QM
是△AOC的內(nèi)切圓,點(diǎn)M點(diǎn)尸分別是OM,x軸上的動點(diǎn),則8P+PN的最小值是.
解答題(共6小題)
4.(2021秋?汶上縣期末)如圖,在△ABC中,AB^AC,于點(diǎn)。,于點(diǎn)E,以點(diǎn)。為圓
心,OE為半徑作圓。交A。于點(diǎn)孔
(1)求證:AC是。。的切線;
(2)若/AOE=60°,OE=3,在BC邊上是否存在一點(diǎn)尸使PF+PE有最小值,如果存在,請求出PF+PE
的最小值.
A
5.(2021秋?花都區(qū)期末)如圖,。。是△ABC的外接圓,AB為直徑,弦平分N8AC,過點(diǎn)。作射線
AC的垂線,垂足為M,點(diǎn)£為線段上的動點(diǎn).
(1)求證:是O。的切線;
(2)若/3=30°,AB=8,在點(diǎn)E運(yùn)動過程中,EC+EM是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若
不存在,說明理由;
(3)若點(diǎn)E恰好運(yùn)動到NAC8的角平分線上,連接CE并延長,交O。于點(diǎn)R交于點(diǎn)P,連接AF,
CP=3,EF=4,求AF的長.
備用圖1備用圖2
6.(2023春?豐城市期末)如圖1,在矩形A8CD中,AD=12,A8=8,點(diǎn)E在射線A8上運(yùn)動,將
沿翻折,使得點(diǎn)A與點(diǎn)G重合,連接AG交。E于點(diǎn)孔
(1)【初步探究】當(dāng)點(diǎn)G落在8c邊上時,求BG的長;
(2)【深入探究】在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中,8G是否存在最小值,如果存在,請求出最小值;如果不存在,
請說明理由;
(3)【拓展延伸】如圖3,點(diǎn)尸為BG的中點(diǎn),連接AP,點(diǎn)E在射線A2上運(yùn)動過程中,求AP長的最
Ge
大值.(圖1)(圖2)(圖3)
7.(2021秋?秦淮區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A與點(diǎn)8的坐標(biāo)分別是(1,0),(7,0).
(1)對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)P,給出如下定義:如果/APB=45°,那么稱點(diǎn)尸為線段AB的“完美點(diǎn)”.
①設(shè)A、B、P三點(diǎn)所在圓的圓心為C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是,G)C的半徑是
②y軸正半軸上是否有線段A8的“完美點(diǎn)”?如果有,求出“完美點(diǎn)”的坐標(biāo);如果沒有,請說明理由;
(2)若點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動,則當(dāng)/AP8的度數(shù)最大時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
8.(2021秋?椒江區(qū)期末)如圖1,已知OO的內(nèi)接四邊形ABC。,AB//CD,BC//AD,AB=6,8C=8.
(1)求證:四邊形ABC。為矩形.
(2)如圖2,E是AD上一點(diǎn),連接CE交于點(diǎn)F連接AC.
①當(dāng)點(diǎn)。是々中點(diǎn)時,求線段。尸的長度.
②當(dāng)16s△DCF=3S四邊形ABCD時,試證明點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).
(3)如圖3,點(diǎn)E是O。上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與A、C重合),連接EA、EC、OE,點(diǎn)I是的內(nèi)心,
點(diǎn)M在線段0E上,且ME=2MO,則線段Ml的最小值為____________
不
BBB
圖1圖2圖3
9.(2020秋?樂亭縣期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)8(0,6),動點(diǎn)C在以原點(diǎn)。
為圓心,半徑為3的O。上,連接OC,過點(diǎn)。作OOLOC,。。與。。相交于點(diǎn)。(其中點(diǎn)C,O,D
按逆時針方向排列),連接A8
(1)當(dāng)OCHNB時,ZBOC的度數(shù)為;
(2)連接AC,8C,點(diǎn)C在。。上運(yùn)動的過程中,當(dāng)△ABC的面積最大時,請直接寫出△A8C面積的最
大值是.
(3)連接AD,當(dāng)OC〃AQ,點(diǎn)C位于第二象限時,
①求出點(diǎn)C的坐標(biāo);
②直線BC是否為的切線?并說明理由.
題型六:輔助圓模型
一.解答題(共10小題)
1.(2021秋?武夷山市期末)如圖,C為線段42上一點(diǎn),分別以AC、8C為邊在A3的同側(cè)作等邊△HAC
與等邊△OC2,連接。
(1)如圖1,當(dāng)/O”C=90°時,直接寫出。C與CH的數(shù)量關(guān)系為;
(2)在(1)的條件下,點(diǎn)C關(guān)于直線。”的對稱點(diǎn)為E,連接AE、BE,求證:CE平分/AE隊(duì)
(3)現(xiàn)將圖1中△OCB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度a(0°<a<90°),如圖2,點(diǎn)C關(guān)于直線07/的
對稱點(diǎn)為E,則(2)中的結(jié)論是否成立并證明.
2.(2021秋?自貢期末)在△ABC中,AB=AC,過點(diǎn)C作CD_LBC,垂足為C,NBDC=/BAC,AC與BD
交于點(diǎn)E.
(1)如圖1,ZABC=60°,BD=6,求。C的長;
(2)如圖2,AM±BD,ANLCD,垂足分別為M,N,CN=4,求。B+OC的長.
3.(2022秋?任城區(qū)校級期末)【閱讀】
輔助線是幾何解題中溝通條件與結(jié)論的橋梁.在眾多類型的輔助線中,輔助圓作為一條曲線型輔助線,
顯得獨(dú)特而隱蔽.
性質(zhì):如圖①,若/ACB=/AO8=90°,則點(diǎn)。在經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓上.
【問題解決】
運(yùn)用上述材料中的信息解決以下問題:
(1)如圖②,已知D4=O8=QC.
求證:ZADB=2ZACB.
(2)如圖③,點(diǎn)A,8位于直線/兩側(cè).用尺規(guī)在直線/上作出點(diǎn)C,使得NACB=90°.(要求:要有
畫圖痕跡,不用寫畫法)
(3)如圖④,在四邊形ABC。中,ZCAZ)=90°,CBLDB,點(diǎn)P在CA的延長線上,連接。RZADF
=ZABD.
求證:OE是△AC。外接圓的切線.
4.(2021秋?吁哈縣期末)(1)【學(xué)習(xí)心得】
小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后,感覺到一些幾何問題,如果添加輔助圓,運(yùn)用圓的知識解決,
可以使問題變得非常容易.
例如:如圖1,在△ABC中,AB=AC,/BAC=90°,。是△ABC外一點(diǎn),且AD=AC,求N8DC的度
數(shù),若以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑作輔助圓OA,則點(diǎn)C、。必在OA上,N8AC是OA的圓心角,而/
BOC是圓周角,從而可容易得到/3OC=°.
(2)【問題解決】
如圖2,在四邊形A8CD中,ZBAD=ZBCD=9O°,/BDC=25°,求/BAC的度數(shù).
小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法,可以使問題快速解決,他是這樣思考的:△A3。的外接圓就是以8。
的中點(diǎn)為圓心,18。長為半徑的圓;4BCD的外接圓也是以BD的中點(diǎn)為圓心,工8。長為半徑的圓.這
22
樣A、B、C、。四點(diǎn)在同一個圓上,進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出/BAC的度數(shù),請運(yùn)用小剛的思路
解決這個問題.
(3)【問題拓展】
如圖3,在△ABC中,ZBAC=45°,是BC邊上的高,且8。=6,CD=2,求的長.
A
A
到噎23圖30°
5.(2021秋?寬城區(qū)期末)【問題原型】如圖①,在。。中,弦BC所對的圓心角NBOC=90°,點(diǎn)A在優(yōu)
弧BC上運(yùn)動(點(diǎn)A不與點(diǎn)8、C重合),連結(jié)A3、AC.
(1)在點(diǎn)A運(yùn)動過程中,NA的度數(shù)是否發(fā)生變化?請通過計(jì)算說明理由.
(2)若BC=2,求弦AC的最大值.
【問題拓展】如圖②,在△A8C中,BC=4,ZA=60°.若M、N分別是A8、8C的中點(diǎn),則線段MN
的最大值為.
A4
圖①圖②
6.(2021秋?泗陽縣期末)如圖,已知A2_LMN于點(diǎn)2,且AB=10cm,將線段AB繞點(diǎn)B按逆時針方向旋
轉(zhuǎn)角a(0WaW360°)得到線段BC,過點(diǎn)C作CQ_LMN于點(diǎn)D,OO是△80的內(nèi)切圓,直線A。、
BC相交于點(diǎn)
(1)若a=60°,貝!IC£)=_______cm.
(2)若AOJ_8c
①點(diǎn)H馬。0的位置關(guān)系是_______;
A.點(diǎn)8在O。外
8.點(diǎn)H在。。上
C.點(diǎn)以在O。內(nèi)
②求線段AO的長度.
(3)線段AB繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,求點(diǎn)O運(yùn)動的路徑長
7.(2021秋?開福區(qū)校級期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M在無軸負(fù)半軸上,。加與尤軸交于A、B
兩點(diǎn)(A在8的左側(cè)),與y軸交于C、。兩點(diǎn)(點(diǎn)C在y軸正半軸上),且CD=2?0M,點(diǎn)8的坐標(biāo)為
(3,0),點(diǎn)尸為優(yōu)弧CA。上的一個動點(diǎn),連結(jié)CP,過點(diǎn)M作于點(diǎn)E,交BP于點(diǎn)、N,連結(jié)
AN.
(1)求OM的半徑長;
(2)當(dāng)8尸平分/ABC時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動時,求線段AN的最小值.
8.(2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末)在等腰直角△ABC中,ZACB=90°,。是線段BC上一點(diǎn),延長BC至
點(diǎn)、E,使得CE=CD,過點(diǎn)E作EGLAO于點(diǎn)G,交A?于點(diǎn)尸.
(1)如圖1,連接CG,若4。平分/BAC,CG=2,求的長;
(2)如圖2,反是平面內(nèi)一點(diǎn),連接DA平分NEDH,/BAH=2/CAD,用等式表示線段B。、
BF、0
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