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文檔簡介
2024-2025學年北京市房山區(qū)高三(上)入學數(shù)學試卷
一、單選題:本題共10小題,每小題4分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求
的。
1.已知集合a={x|-3<x<1],B={x\-l<久<2},則4UB=()
A.{x|-3<x<2]B.{x|-l<%<1}C.{-2-1,0,1}D.{-1,0}
2.若復數(shù)z滿足不\=貝ijz=()
A.1—iB.-1—iC.-1+iD.1+i
2
3.雙曲線久2-7=1的漸近線方程為()
1
A.y=-%B.y=±2xC.y=2xD.y=-2x
4.已知圓(%—1)2+(y+3)2=r2(r>0)與直線%—y+2=0相切,則r=()
A.2B.mC.2^/3D.3^/2
5.(2%-§4的展開式中的常數(shù)項為()
A.-24B.-6C.6D.24
6.設向量Z=(%-1,%)工=-2),則“%=3”是“213”的()
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
7.已知函數(shù)/(%)=^sinajx-^-cosajx(a)>0)的圖象與直線y=1的相鄰兩個交點間的距離等于兀,則3=
()
A.4B.2C.1D.1
8.已知正四棱錐P-4BCD的八條棱長均為4,Q是底面上一個動點,PO<3,則點Q所形成區(qū)域的面積為
A.1B.nC.4D.471
9.近年來純電動汽車越來越受消費者的青睞,新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風口,Penkert于1898年提
出蓄電池的容量C(單位:X/i),放電時間t(單位:九)與放電電流/(單位:Z)之間關系的經(jīng)驗公式:C=嚴?
t,其中幾為常數(shù).為測算某蓄電池的Pe迎ert常數(shù)九,在電池容量不變的條件下,當放電電流
I=304時,放電時間1=15/1;當放電電流/=404時,放電時間七=8瓦若計算時取國2k0.3,
國3、0.477,則該蓄電池的常數(shù)幾大約為()
第1頁,共10頁
A.1.25B.1.75C.2.25D.2.55
1i
10.已知集合/={(%,y)|(%-<0}^={(x,y)\-<x<2,-<y<2},S是集合/nB表示的平面圖
形的面積,貝US=()
9Q
A.1B-oC.2Dq-
二、填空題:本題共5小題,每小題5分,共25分。
11.拋物線N=4y的準線方程為.
一2
12.在平面直角坐標系%。y中,角a與角0均以。%為始邊,它們的終邊關于y軸對稱.若s譏a=耳,則si印=
13.己知函數(shù)/(%)={](:■溫“Lx耳:若a=°,則八1)=:若f。)在R上單調遞增,貝必的一
個值為.
14.如圖1,一個正四棱柱形的密閉容器水平放置,其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊,容器內盛
有小升水時,水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P.如果將容器倒置,水面也恰好經(jīng)過點P(圖2),設正四棱柱的
局為九1,正四棱錐的高為八2,
第2頁,共10頁
15.古希臘畢達開拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù).他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀,把數(shù)
分成許多類.如圖,第一行圖形中黑色小點個數(shù):1,3,6,10,…稱為三角形數(shù),第二行圖形中黑色小點
個數(shù):1,4,9,16,…稱為正方形數(shù),記三角形數(shù)構成數(shù)列{即},正方形數(shù)構成數(shù)列{%},給出下列四個
結論:
①數(shù)列{即}的一個通項公式是即=跡/;
②2025既是三角形數(shù),又是正方形數(shù);.△A
③*+*+*+…+*<*
(4)VmeN,m之2,總存在p,qEN.使得=即+與成立.
其中所有證確結論的序號是.
三、解答題:本題共6小題,共85分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
16.(本小題13分)
在銳角aaBC中,角a,B,C的對邊分別為a,b,c,且避a—26sM4=0.
(I)求角B的大??;
(II)再從下面條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知,求△ABC的面積.
條件①:c=2,C=p
條件②:b=也c=2.
注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答計分.
17.(本小題13分)
已知四棱錐P—2BCD中,PA,平面ABC。,四邊形48CD為菱形,PA=4。=2,E為2。的中點.
①若F為PC的中點,求證:EF〃平面P4B;
(II)若BD=2也.求平面P4B與平面PEC夾角的余弦值.
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18.(本小題14分)
某企業(yè)產(chǎn)品利潤依據(jù)產(chǎn)品等級來確定:其中一等品、二等品、三等品的每一件產(chǎn)品的利潤分別為100元、
50元、50元.為了解產(chǎn)品各等級的比例,檢測員從流水線上隨機抽取了100件產(chǎn)品進行等級檢測、檢測結果
如下表:
產(chǎn)品等級一等品二等品三等品
樣本數(shù)量(件)503020
①從流水線上隨機抽取1件產(chǎn)品,估計這件產(chǎn)品是一等品的概率;
(II)若從流水線上隨機抽取3件產(chǎn)品,這3件產(chǎn)品的利潤總額為X.求X的分布列和數(shù)學期望;
(III)為了使每件產(chǎn)品的平均利潤不低于80元,產(chǎn)品中的一等品率至少是多少?
19.(本小題15分)
己知橢圓E:g+^=l(a>b>0)的一個頂點為(2,0)樵距為2M.過點(ni,0)(7n>2)且斜率不為零的直線
與橢圓E交于不同的兩點4B,過點力和C(l,0)的直線AC與橢圓E的另一個交點為D.
①求橢圓E的方程及離心率;
(II)若直線BD與%軸垂直,求加的值.
20.(本小題15分)
X
已知函數(shù)f(x)=彘,直線2為曲線y=/(久)在點(t/(t))處的切線.
(I)當t=0時,求出直線/的方程;
(II)若g(x)=/'(x),求g(x)的最小值;
(in)若直線/與曲線y=/(%)相交于點(s,/(s)),且s<t,求實數(shù)t的取值范圍.
21.(本小題15分)
已知數(shù)列4:%,a2,a3,an(n23)的各項均為正整數(shù),設集合T={x\x=a;,l<i<j<n],記T
的元素個數(shù)為P(T).
(I)若數(shù)列41,3,5,6,求集合7,并寫出P(T)的值;
(n)若a是遞減數(shù)列,求證:“a為等差數(shù)列”的充要條件是“p(r)=n-1”;
(in)已知數(shù)列42,22,23,2n,求證:p(r)=硬嚴.
第4頁,共10頁
參考答案
1.A
2.C
3.5
4.D
5.D
6.A
7.B
8.B
9.C
10.B
ll.y=-1
12-
13.01(答案不唯一)
14(
15.①③④
16懈:(I)因為誨-26si九4=0,由正弦定理可得避sinA—2s出BsinA=0,
在銳角△ABC中,sinA>0,可得sinB=半,
77
可得B=]
(II)若選條件①:c=2,C=^,由正弦定理可得=公?,
b2廠
即理=否,解得b=76,
22
因為sinA=sin(F+C)=sin。+今=sin^cos^+cos^sin^=號乂浮+三義號=",
所以S△麗=^bcsinA=義xmx2x於:"=1+產(chǎn);
若選條件②:b=也c=2,
在銳角三角形中,由正弦定理可得心=肅,
SLTLDoL/ic?
即嚕=森3可得sinC=<可得C=1
SITIC2看
第5頁,共10頁
因為sinA=sin(B+C)=sine+今=sin^cos^+cos£sig=岑義孝+"'¥=";■,
所以$4ABC=^bcsinA=2xmx2X%也=
乙乙4Z
17.解:(1)證:設PB的中點M,連接MF,AM,如圖所示:
1
???四邊形2BCD為菱形,E為力。的中點,BC//AE,AE=^BC,
又F為PC的中點,???MF//BC,且MF=|BC,
MF//AE,MF=AE,四邊形MFEA為平行四邊形,
EF//AM,又EF呈面PAB,AMu面P4B,
£T〃面248;
(2)當BD=2的時,AB2+AD2=BD2,四邊形4BCD為正方形,
又241面4BCD,以48,AD,4P所在直線為x軸,y軸,z軸,建立坐標系,如圖所示:
貝必(0,0,0),P(0,0,2),£(0,1,0),C(2,2,0),麗=(0,-1,2),fT=(2,1,0),
設面PEC的法向量為元=(久,y,z),貝|{,毛=;,即匕0°,令y=2,貝!Jx=-1,z=1,?'.n
=(T,2,l),
又AE1AB,AE1PA,且力BCAP=A,AE1面P4B,
故荏=(0,1,0)可以作為面248的一個法向量,
第6頁,共10頁
Icos<n,版>|=夜彳=坐.
即平面P4B與平面PEC夾角的余弦值.
18.解:①設概率為P,由題意得P=50+3°+20=|;
(II)首先,我們把二等品和三等品視為一個整體,
則單次抽到一等品的概率為《抽到二等品和三等品這個整體的概率為今
當X=150時,抽到的產(chǎn)品一定在二等品和三等品這個整體里,
所以P(X=150)=或(5。6)3=*
當X=200時,P(X=200)=6弓)16)2=1
當X=250時,PQX=250)=C轉產(chǎn)即=|,
當X=300時,P(X=300)=C|(1)3(1)0=I,
故分布列見下表:
X150200250300
P1331
8888
所以數(shù)學期望為E(X)=150+200XI+250X|+300X5=225;
OOOO
(in)設產(chǎn)品中的一等品率為刈故非一等品率為1-久,
所以100久+50(1—久)280,解得*20.6,
所以產(chǎn)品中的一*等品率至少是60%.
19.解:(I)因為橢圓的一個頂點為(2,0),焦距為2#,
所以a=2,c=y/2,所以力=福,故橢圓的方程為¥+[=1,
4Z
故離心率為e=?=乎;
a2
(II)如圖,設的方程為丫=左。一771),「(久切),「(久222),
第7頁,共10頁
"x2,y2_1
聯(lián)立方程組佟=,加),可得曲韻―"+喈一』,
而/=TH2k4呼+1-m2fe4+2k2=(2—苧)M+1>0,
2m2M
mk4mk2-----1_2m2V2—4
所以打+%2=I?=X1X=
4+21+2H'21+2k2
因為過點4和C(l,0)的直線ac與橢圓E的另一個交點為D,
所以4C,。三點共線,所以灰,而共線,
因為BO與X軸垂直,所以、2),故4C=(1—久1,一%),CD=(^2~1,—y2)>
故得—yi(%2—1)+丫2(1-%1)=0,所以——1)+女(%2-血)(11%1)=
化簡得k[Qi+比2)(瓶+1)-2X1久2-2利=0,所以k[含贛x(m+1)-2x華雪段~2利=0,
而吃。,所以受'(6+1)-2><^^-2爪=°,一26+8=°,解得加=4,故m的值為4.
20.解:(I)因為(。)=三,則斜率k=r(0)=1,
又/(。)=0,
則函數(shù)y=/(久)在點(0,0)處的切線[的方程為久-y=0;
(II)g(x)=/。)=衰,》eR,
則g'Q)=整,
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令"(%)=0,得%=2,
則當%G(一8,2)時,g'(%)<0,函數(shù)單調遞減,
當久G(2,+8)時,/(%)>0,函數(shù)單調遞增,
1
所以9(X)的最小值為g(2)=-葭;
(in)由八%)=會,得=寧,則r(t)=寧,
可得曲線y=八町在(叮(0)處的切線方程為了—捺=詈0-1),
即y=^rx+|-
令八(X)=£—
顯然h(t)=o,H(x)=M—9,
令m(x)=爰-V'
y_?
則7n'(%)=-^r=0,得X=2,
所以1(%)在(-8,2)上單調遞減,在(2,+8)上單調遞增.
若t<2,%e(一8,1)時,
所以"(%)>0,
則廿(%)在(一8,t)上單調遞增,且h(t)=0,
所以以%)在(-8?上無零點,舍去;
若力>2,
因為>一《,
elez
所以%e(一8由時,h'(x)min=T(2)=<°,
則h(x)在(-8,久0)上單調遞增,在(Xo,t)上單調遞減,
而無趨于-8久時,h(久)趨于-8,
所以無(無)在(0,t)上存在零點.
故t的取值范圍是(2,+8).
21.解:(1)由題意,數(shù)列41,3,5,6,
可得3-1=2,5-1=4,6-1=5,5-3=2,6-3=3,6-5=1,
所以集合T={123,4,5},所以P(T)=5.
第9頁,共10頁
(2)證明:必要性:若/為等差數(shù)列,且/是遞減數(shù)列,設/的公差為d(d<0),
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