2024年中考數(shù)學試題分類匯編：三角形及全等三角形（40題）解析版

專題18三角形及全等三角形（40題）

一、單選題

1.（2024?陜西?中考真題）如圖，在ABC中，ABAC=90°,AO是BC邊上的高，E是。C的中點，連接4E,

則圖中的直角三角形有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】本題主要考查直角三角形的概念.根據(jù)直角三角形的概念可以直接判斷.

【詳解】解：由圖得△AB。，ABC,AADC,VADE為直角三角形，

共有4個直角三角形.

故選：C.

2.（2024?河北?中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段3。一定是ABC的（）

A.角平分線B.高線C.中位線D.中線

【答案】B

【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據(jù)作圖痕跡可得3。，AC,從而可得答案.

【詳解】解：由作圖可得：BD1AC,

線段BD一定是,ABC的高線；

故選B

3.（2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題）將一個含30。角的三角尺和直尺如圖放置，若4=50。，則N2的度

數(shù)是（）

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【答案】B

【分析】本題考查了對頂角的性質，三角形內角和定理.根據(jù)對頂角相等和三角形的內角和定理，即可求

解.

Z2=Z4=180°-90°-Z3=90°-50°=40°,

故選：B.

4.（2024.四川涼山.中考真題）數(shù)學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的

解決方案是：在工件圓弧上任取兩點43,連接作AB的垂直平分線8交48于點。，交A?于點C,

測出"=40cm,10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識.由垂徑定理，可得出50的長；設圓心為。，連接08,在

及△08。中，可用半徑表示出0。的長，進而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的

直徑長.

【詳解】解：：8是線段48的垂直平分線，

直線CO經(jīng)過圓心，設圓心為0,連接03.

第2頁共31頁

RtAOBD中,BD=-AB=20cm,

2

根據(jù)勾股定理得:

OD2+BD2=OB2,即：

（C?B-10）2+202=（9B2,

解得:08=25；

故輪子的半徑為25cm,

故選：C.

5.（2024?云南?中考真題）已知AF是等腰ABC底邊上的高，若點尸到直線的距離為3,則點尸到

直線AC的距離為（）

37

A.—B.2C.3D.一

22

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的性質定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

由等腰三角形“三線合一”得到"平分/B4C,再角平分線的性質定理即可求解.

【詳解】解:如圖，

是等腰ASC底邊上的高，

?e?AF平分^BAC,

/.點尸到直線AB,AC的距離相等，

???點尸到直線48的距離為3,

點尸到直線AC的距離為3.

故選：C.

6.（2024.四川涼山.中考真題）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90,DE垂直平分AB交BC于點。，若ACD

的周長為50cm,貝i]AC+3C=（）

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45cmC.50cmD.55cm

【答案】c

【分析】本題考查了線段垂直平分線的的性質，由線段垂直平分線的的性質可得A3=血，進而可得二ACD

的周長=AC+CD+AD=AC+CD+=AC+3C=50cm,即可求解，掌握線段垂直平分線的的性質是解

題的關鍵.

【詳解】解：垂直平分A3,

/.AD=BD,

ACD的周長=AC+CD+AD=AC+CD+3D=AC+3C=50cm,

故選：C.

7.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC=6,BC=4,分別以點A,點8為圓心，大

于［AB的長為半徑作弧，兩弧交于點E,F,過點E,尸作直線交AC于點O,連接80,則△BCD的周

2

長為（）

8C.10D.12

【答案】C

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質即可證明AD=BD,根據(jù)△3CD的

周長=3￡）+8+3。=4）+8+小7=4。+30即可求出答案.

【詳解】解：由作圖知，E尸垂直平分A8,

AD=BD,

.,.△BCD的周長=+CD+3C=+CD+8C=AC+3C,

AB=AC=6,BC=4,

.?.△BCD的周長=6+4=10,

故選：C.

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8.（2024?湖北.中考真題）平面坐標系xOy中，點A的坐標為（T,6）,將線段繞點。順時針旋轉90。,

則點A的對應點A的坐標為（）

A.（4,6）B.（6,4）C.（Y,—6）D.（―6,Y）

【答案】B

【分析】本題考查坐標系下的旋轉.過點A和點A分別作x軸的垂線，證明Q4'C（AAS）,得到

AC=OB=4,OC=AB=6?據(jù)此求解即可.

【詳解】解：過點A和點4分別作％軸的垂線，垂足分別為BC,

:點A的坐標為（-4,6）,

OB=4,AB=6,

??,將線段Q4繞點。順時針旋轉90°得至IJ04,

r

：.OA=OAfZAOA=90°f

ZAOB=90°-ZA'OC=ZOAC,

.AO3-OA'C（AAS）,

A'C=OB=4,OC-AB=6,

?e?點A的坐標為（6,4）,

故選：B.

9.（2024.北京?中考真題）下面是“作一個角使其等于NAOB”的尺規(guī)作圖方法.

（1）如圖，以點。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交Q4,。3于點C,D；

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B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

【答案】A

【分析】根據(jù)基本作圖中，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，解答即可.

本題考查了作一個角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據(jù)是解題的關鍵.

【詳解】解：根據(jù)上述基本作圖，可得OC=O'C',OD=O'iy,CD=C'D',

故可得判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，

故選A.

10.（2024?廣東廣州?中考真題）下列圖案中，點。為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影

部分的兩個三角形關于點。對稱的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了圖形關于某點對稱，掌握中心對稱圖形的性質是解題關鍵.根據(jù)對應點連線是否過點

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。判斷即可.

【詳解】解：由圖形可知，陰影部分的兩個三角形關于點。對稱的是C,

故選：C.

H.（2024?青海?中考真題）如圖，0c平分/A03,點P在0c上，PDLOB,PD=2,則點尸到。4的

距離是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】本題考查了角平分線的性質定理.過點尸作尸于點E,根據(jù)角平分線的性質可得PE=BD,

即可求解.

【詳解】解：過點尸作PELOA于點E,

D

平分/AO3,PD1OB,PELOA,

：.PE=PD=2,

故選：C.

12.（2024.四川涼山?中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放,點E在A8的延長線上,當DFAB

時，NEDF的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.30°D.45°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角的性質，掌握平行線的性質，是解題的關鍵.證明

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ZAED=ZFDE=30°,再利用NED3=NABC-NAED,進行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：Z￡E）F=30°,ZABC=45°,

,/DF//AB,

ZAED=ZFDE=30°,

Z.EDB=ZABC-ZAED=45°-30°=15°；

故選B.

13.（2024?天津?中考真題）如圖，Rt^AfiC中，ZC=90°,ZB=40°,以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，

交A8于點E,交AC于點尸；再分別以點為圓心，大于;EF的長為半徑畫弧，兩?。ㄋ趫A的半徑

相等）在ZB4c的內部相交于點P；畫射線相，與BC相交于點。，則—ADC的大小為（）

A不B

A.60B.65C.70D.75

【答案】B

【分析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質，由直角三角形兩銳角互

余可求出N54C=50。，由作圖得440=25。，由三角形的外角的性質可得/ADC=65。，故可得答案

【詳解】解:VZC=90°,ZB=40°,

ABAC=90°—NB=90°-40°=50°,

由作圖知，AP平分/B4C,

/.ABAD=-ABAC=-x50°=25°,

22

XZA￡>C=ZB+ZBAD,

ZADC=400+25°=65°,

故選：B

14.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在ABC中，AB=3y/2,AC=2,以2C為邊作RtBCD,BC=BD,

點。與點A在BC的兩側，則AD的最大值為（）

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A.2+372B.6+20C.5D.8

【答案】D

【分析】如圖，把ABC繞B順時針旋轉90°得到乙HBD,求解AH=VAB2+BH2=6，結合AD4DH+AH，

（A,H,。三點共線時取等號），從而可得答案.

【詳解】解：如圖，把，ABC繞B順時針旋轉90。得到△HBD,

ZABH=90°,

?*-AH=VAB2+BH2=6，

'：AD<DH+AH,（A",。三點共線時取等號）,

的最大值為6+2=8,

故選D

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，旋轉的性質，三角形的三邊關系，二次根式的乘法運算，做出合

適的輔助線是解本題的關鍵.

15.（2024?山東煙臺?中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下,

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，中垂線的性質

和判定，根據(jù)作圖痕跡，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：第一個圖為尺規(guī)作角平分線的方法，OP為/A08的平分線;

第二個圖，由作圖可知：OC=OD,OA=OB,

AC=BD,

'：ZAOD^ZBOC,

：./\AOD^/\BOC,

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NOAD=NOBC,

?：AC=BD,ZBPD=ZAPC,

：.BPD^tAPC,

：.AP=BP,

'：OA=OB,OP=OP,

：.△AOP^ABOP,

：.ZAOP=ZBOP,

；.0P為/AC?的平分線；

第三個圖，由作圖可知NACP=NAOB,OC=CP,

CP//BO,/COP=NCPO,

：.?CPO?BOP

：.ZCOP=ZBOP,

為NAOB的平分線；

第四個圖，由作圖可知：OP1CD,OC=OD,

為NAOB的平分線；

故選D.

16.（2024?安徽?中考真題）在凸五邊形ABCDE中，AB=AE,BC=DE,尸是CO的中點.下列條件中，

不能推出AF與CD一定垂直的是（）

A.ZABC=ZAEDB./RAF=/FAF

C.NBCF=NEDFD.ZABD=ZAEC

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形“三線合一”性質的應用，熟練掌握全等三角形

的判定的方法是解題的關鍵.

利用全等三角形的判定及性質對各選項進行判定，結合根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質即可證得結論.

【詳解】解:A、連接AC、AD,

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.AC3烏ADE(SAS),

AC=AD

又：點廠為CD的中點

AAFLCD,故不符合題意;

B、連接BREF,

VAB=AE,ZBAF=ZEAF,AF=AF,

.ABF^AEF(SAS),

:.BF=EF,ZAFB^ZAFE

又：點尸為CO的中點，

CF=DF,

'：BC=DE,

；._CBF￡DEF(SSS),

NCFB=ZDFE,

：.ZCFB+ZAFB=ZDFE+ZAFE=90°,

：.AF1CD,故不符合題意；

C、連接3REF,

;點尸為C￡＞的中點，

CF=DF,

'：NBCF=Z.EDF,BC=DE,

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；..CBF且ADEF(SAS),

:.BF=EF,NCFB=ZDFE,

VAB=AE,AF=AF,

：..ABF^AEF(SSS),

/.ZAFB=ZAFE,

：.ZCFB+ZAFB=ZDFE+ZAFE=90°,

AAFLCD,故不符合題意；

D、ZABD=ZAEC,無法得出題干結論，符合題意；

故選：D.

17.(2024?浙江?中考真題)如圖，正方形ABCD由四個全等的直角三角形(△A8E,ABCRZ\CDG,ADA//)和

中間一個小正方形EFGH組成，連接DE.若AE=4,5E=3,則DE=()

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質，全等三角形的信紙，求得HE的長度，利用勾股定理即可

解答，利用全等三角形的性質得到“E=1是解題的關鍵.

【詳解】解:是四個全等的直角三角形，AE=4,BE=3

:.AH=EB,DH=AE=4,

:.HE=AE-AH=1,

四邊形EFG”為正方形，

:.ZDHE=90°,

DE=[DH?+HE，=而，

故選：C.

18.（2024?內蒙古赤峰?中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程/_10x+21=0的兩個根，則這個三角形

的周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

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【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系及周長，由方程可得再=3,

%=7,根據(jù)三角形的三邊關系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進而即可求出三角形的周長，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關系是解題的關鍵.

【詳解】解：由方程一一10刀+21=0得，為=3,x2=7,

V3+3<7,

???等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

.,?這個三角形的周長為3+7+7=17,

故選：C.

二、填空題

19.（2024?四川成都?中考真題）如圖，AABC沿ACDE,若NO=35。，/ACB=45。，則/OCE的度數(shù)

【分析】本題考查了三角形的內角和定理和全等三角形的性質，先利用全等三角形的性質，求出

NCED=ZACB=45。，再利用三角形內角和求出/DCE的度數(shù)即可.

【詳解】解：由八旬。絲△CDE,ZD=35°,

：.NCED=ZACB=45°,

'：ZD=35°,

：.ZDCE=180°-ZD-ZCED=180°-35°-45°=100°,

故答案為：100。

20.（2024.甘肅臨夏.中考真題）如圖，在.ABC中，點A的坐標為（0,1）,點3的坐標為（4,1）,點C的坐標

為（3,4）,點。在第一象限（不與點C重合），且△AB。與，ABC全等，點。的坐標是.

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【答案】（1,4）

【分析】本題考查坐標與圖形，三角形全等的性質.利用數(shù)形結合的思想是解題的關鍵.根據(jù)點O在第一

象限（不與點C重合），且△鈿￡＞與ABC全等，畫出圖形，結合圖形的對稱性可直接得出

【詳解】解：：點。在第一象限（不與點C重合），且△ABD與二ABC全等，

AAD=BC,AC=BD,

.?.可畫圖形如下，

由圖可知點C、D關于線段AB的垂直平分線x=2對稱，則。（1,4）.

故答案為：。,4）.

21.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，ABC中，。是AB上一點，CF//AB,D、E、P三點共線,

請?zhí)砑右粋€條件,使得=（只添一種情況即可）

【答案】DE=EF或AD=CF（答案不唯一）

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答.根

據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一.

第14頁共31頁

【詳解】解：：CF〃AB

ZA^ZECF,ZADE=ZCFE,

；?添加條件DE=EF,可以使得。ADE^CFE（AAS）,

添加條件AD=CF,也可以使得:ADE%CFE（ASA）,

AE=CE；

故答案為：DE=EF或AD=CF（答案不唯一）.

22.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，ABC中，BCD=30°,N4CB=80。，CD是邊AB上的高，AE是

/C4S的平分線，則NAEB的度數(shù)是.

【答案】100。/100度

【分析】本題考查了三角形內角和以及外角性質、角平分線的定義.先求出NACD=5O。，結合高的定義,

得NZMC=40。，因為角平分線的定義得NC4E=20。，運用三角形的外角性質，即可作答.

【詳解】解：V^BCD=30°,/ACB=80。，

ZACD=50°,

：8是邊A8上的高，

AZADC=90°,

ZZMC=40°,

：AE是的平分線，

ZCAE=-ZDAC=20°,

2

ZAEB=ZCAE+ZACB=20°+80°=100°.

故答案為：100。.

23.（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，直線。b,直線Ua,Zl=120°,則N2=

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【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角性質，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，求出/3的度數(shù),

根據(jù)三角形的外角的性質，得至?。?3=90。+/2,即可求出N2的度數(shù).

【詳解】解:?:ab,

：.Z3=Z1=12O°,

I±a,

：./3=/2+90。，

Z2=30°；

故答案為：30.

24.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.則NA=

【答案】66

【分析】本題考查了平行線的性質，等邊對等角，三角形外角的性質，根據(jù)等邊對等角可得NE=NC=33°,

根據(jù)三角形的外角的性質可得NOOE=66。，根據(jù)平行線的性質，即可求解.

【詳解】解：：OC=OE,ZC=33°,

ZE=ZC=33°,

ZDOE=ZE+ZC=66°,

'：AB//CD,

：.ZA=ZDOE=66°,

故答案為：66.

25.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知NAO3=50。，點尸為/AO3內部一點，點M為射線Q4、

點N為射線02上的兩個動點，當cPMN的周長最小時，則.

第16頁共31頁

A

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質,三角形內角和定理的應用；作點尸關于。4,

02的對稱點跖P2.連接。耳OP2.則當N是《舄與Q4,02的交點時，的周長最短，根據(jù)

對稱的性質結合等腰三角形的性質即可求解.

【詳解】解：作P關于。4,的對稱點與P2.連接。耳OP2.則當N是耳￡與。4,。8的交點

時，PMN的周長最短，連接《尸、P2P,

P、［關于Q4對稱,

NROP=2/MOP,OF[=OP,P{M=PM,ZOP{M=ZOPM,

同理，/P20P=2/NOP,OP=OP2,AOP2N=ZOPN,

,APXOP2=/ROP+/ROP=2(NMOP+NNOP)=2ZAOB=100°,OPX=OP2=OP,

△《Og是等腰三角形.

AOP2N=AOP{M=40°,

ZMPN=ZMPO+ZNPO=ZOP2N+NO《M=80°

故答案為：80°.

26.（2024?四川廣元?中考真題）點方是正五邊形ABCD￡邊。石的中點，連接5廠并延長與CD延長線交于

點G,則/3GC的度數(shù)為.

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A

【分析】連接8。，8E,根據(jù)正多邊形的性質可證ABE^CBD（SAS）,得至115￡=血，進而得到BG是。E

的垂直平分線，即/?G=90。，根據(jù)多邊形的內角和公式可求出每個內角的度數(shù)，進而得到/FDG=72。，

再根據(jù)三角形的內角和定理即可解答.

【詳解】解：連接80,BE,

:五邊形ABCDE是正五邊形，

AS=5C=CD=AE,ZA=ZC

.ABE^_CBD（SAS）,

/.BE=BD,

:點尸是OE的中點，

?*.3G是。E的垂直平分線，

ZDFG=90°,

52xl8

:在正五邊形ABCDE中，ZCDE=（-）°=1080；

5

ZFDG=180°-ZCDE=72°,

Z.G=180°-ZDFG-ZFDG=180°-90°-72°=18°.

故答案為：18。

【點睛】本題考查正多邊形的性質，內角，全等三角形的判定及性質，垂直平分線的判定，三角形的內角

和定理，正確作出輔助線，綜合運用相關知識是解題的關鍵.

27.（2024?湖南?中考真題）如圖，在銳角三角形A3C中，AO是邊3c上的高，在胡，BC上分別截取線

段8E,BF,使BE=BF；分別以點E,尸為圓心，大于;EP的長為半徑畫弧，在/ABC內，兩弧交于點

P,作射線3尸，交于點M,過點M作于點N.若MN=2,AD=4MD,則AM=.

第18頁共31頁

c

p

一

ANyEB

【答案】6

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質等知識，根據(jù)作圖可知平分/ABC,根據(jù)角平分線的

性質可知AM=MV=2,結合A￡>=4A/D求出AD,AM.

【詳解】解：作圖可知3P平分，ABC,

：A￡）是邊8c上的高，MNJ.AB,MN=2,

：.MD=MN=2,

'：AD=4MD,

：.AZ）=8,

AM=AD-MD=6,

故答案為：6.

28.（2024.重慶?中考真題）如圖，在ABC中，延長AC至點。，使C￡>=C4,過點。作D底〃CB,且DE=OC,

連接AE交3c于點b.^ZCAB=ZCFA,CF=1,則防=.

【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例證AF=EF,進而得DE=CD=AC=2CF=2,AD=4,再證明

CAB^DEA,得BC=AD=4,從而即可得解.

【詳解】解：：CD=C4,過點。作r>E〃CB,CD=CA,DE=DC,

FACA

：.——=——=1,CD=CA=DE,

FECD

：.AF=EF,

：.DE=CD=AC=2CF=2,

：.AD=AC^CD=4f

■:DE//CB,

:?NCFA=/E,/ACB=ND,

■:ZCAB=ZCFAf

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:./CAB=/E,

VCD^CA,DE=CD,

，CA=DE,

,CAB^DEA,

BC=AD=4,

：.BF=BC—CF=3,

故答案為：3,

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判

定及性質，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質是解題的關

鍵.

29.（2024?陜西?中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC,E是邊43上一點，連接CE,在BC右側作"〃AC,

且族=AE,連接CP.若AC=13,3c=10,則四邊形EBFC的面積為.

【答案】60

【分析】本題考查等邊對等角，平行線的性質，角平分線的性質，勾股定理:過點C作◎7±AB,CNLBF,

根據(jù)等邊對等角結合平行線的性質，推出=產(chǎn)，進而得到aw=OV,得到S<M=SACE，進而得

到四邊形￡BFC的面積等于設AM=X,勾股定理求出0/的長，再利用面積公式求出ABC的面

積即可.

【詳解】解：=

：.ZABC=ZACB,

'：BF//AC,

：.ZACB=NCBF,

：.ZABC=NCBF,

：.BC^ZABF,

過點C作◎/_L四，CN±BF,

第20頁共31頁

c

**S=—AE-CM,S=—BF-CN,且BF=AE,

ACE22CBF

???Q0,CBF—-QuACE，

J四邊形仍尸。的面積=SCBF+sCBE=SACE+sCBE=S.CBA

AC=13,

AB=13,

設=則：BM=13-x,

由勾股定理，得：CM2=AC2-AM1=BC2-BM2,

A132-X2=102-(13-X)2,

SCRA=—AB-CM=60,

四邊形￡BPC的面積為60.

故答案為：60.

30.(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，以點。為圓心，適當長為半徑畫弧,

交x軸正半軸于點交y軸正半軸于點N,再分別以點N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩

弧在第一象限交于點X,畫射線由，若H(2"l,a+1),則。=

第21頁共31頁

【答案】2

【分析】此題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖和性質，坐標與圖形的性質，根據(jù)作圖方法可得點打在第一

象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質和第一象限內點的坐標符號可得答案.

【詳解】解：根據(jù)作圖方法可得點打在第一象限角平分線上；點打橫縱坐標相等且為正數(shù)；

2a—1=々+1,

解得：a-2,

故答案為：2.

31.（2024?四川內江?中考真題）如圖，在ASC中，ZDC￡=40°,AE^AC,BC=BD,則/ACB的度

數(shù)為;

【答案】100。/100度

【分析】本題考查三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，角的和差.

根據(jù)三角形的內角和可得NCDE+NCED=140。，根據(jù)AE=AC,3c=3。得至=,

ZBCD=ZBDC,從而/ACE+/BCD=140。，根據(jù)角的和差有/4CB=NACE+/BCD-NCDE,即可解

答.

【詳解】解：：NDCE=40。，

二ZCDE+ZCED=180°-Z.DCE=140°,

'：AE=AC,BC=BD,

：.ZACE^ZAEC,NBCD=NBDC,

：.ZACE+/BCD=ZCDE+NCED=140°

ZACB=ZACE+/BCE=ZACE+/BCD-Z.CDE=140°—40°=100。.

故答案為：100°

三、解答題

32.（2024?四川樂山?中考真題）知：如圖，AB平分/CW,AC^AD.求證：NC=/D.

第22頁共31頁

AB

D

【答案】見解析

【分析】利用SAS證明ACNB/ADAS,即可證明/C=/O.

【詳解】解：四平分/C4D,

:.ZCAB^ZDAB,

在ACAB和AZMS中,

AC=AD

<ZCAB=ZDAB,

AB=AB

AC4B^ADAB(SAS),

.'.ZC=ZD.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，熟練掌握SAS、AAS、ASA、SSS等全等三角形的判定

方法是解題的關鍵.

33.(2024?四川內江?中考真題)如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，AD=BE,AC=DF,BC=EF

⑵若ZA=55。，ZE=45°,求/戶的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)80°

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練地掌握全等三角形的判定和性質是解決本題的關

鍵.

(1)先證明45=。后，再結合已知條件可得結論；

(2)證明NA=NFDE=55。，再結合三角形的內角和定理可得結論.

第23頁共31頁

【詳解】（1）證明：=

/.AD+DB=BE+DB,^AB=DE

VAC=DF,BC=EF

.ABC區(qū)DEF（SSS）

（2）,/△ABC出ADEF,ZA=55。，

ZA=ZFDE=55°,

NE=45。，

/?ZF=180-ZFDE一NE=80°

34.（2024?江蘇鹽城?中考真題）已知：如圖，點A、B、C、。在同一條直線上，AE//BF,AE=BF.

若,則AB=CZX

請從①CE〃。/；②CE=DF；③NE=N尸這3個選項中選擇一個作為條件(寫序號)，使結論成立，并

說明理由.

【答案】①或③(答案不唯一)，證明見解析

【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質，①根據(jù)平行線的性質得出NA=/FBD,ND=NEC4,再

由全等三角形的判定和性質得出47=3。，結合圖形即可證明；②得不出相應的結論；③根據(jù)全等三角形

的判定得出AEgBFD(SAS),結合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵.

【詳解】解：選擇①CE；

VAE//BF,CE//DF,

：.ZA=NFBD,ND=NECA,

'：AE=BF,

：..AEC^BFD(AAS),

AC=BD,

；.AC—BC=BD—BC,即AB=CD；

選擇②CE=D產(chǎn)；

無法證明AAEC絲ABFD,

無法得出AB=CD；

選擇③NE=NP；

第24頁共31頁

9AE//BF,

：.ZA=ZFBD,

?：AE=BF,ZE=NF,

???AEC竺RFD（ASA）,

AC—BD,

：.AC-BC=BD-BC,即AB=CD；

故答案為：①或③（答案不唯一）

35.（2024?廣西?中考真題）如圖，在ABC中，ZA=45°,AC>BC.

（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線/,分別交AS,AC于點O,E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法,

標明字母）

⑵在（1）所作的圖中，連接BE,若AB=8,求8E的長.

【答案】（1）見詳解

⑵40

【分析】（1）分別以A、8為圓心，大于為半徑畫弧，分別交AB,AC于點。，E,作直線OE,則

直線/即為所求.

（2）連接3E,由線段垂直平分線的性質可得出班=A￡,由等邊對等角可得出/EBA=NA=45。，由三角

形內角和得出/班A=90。，則得出一ABE為等腰直角三角形，再根據(jù)正弦的定義即可求出8E的長.

【詳解】（1）解：如下直線/即為所求.

（2）連接8E如下圖:

第25頁共31頁

VOE為線段A8的垂直平分線，

BE=AE,

：.ZEBA=ZA=45°,

：.ZBEA=9Q0,

???為等腰直角三角形，

..BEy/2

??sinAA=--=-----,

AB2

，BE=AB--=^—=^y[2

22

【點睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形內

角和定理以及正弦的定義.掌握線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵.

36.(2024?四川南充?中考真題)如圖，在ABC中，點。為BC邊的中點，過點8作BE〃AC交AD的延

長線于點E.

⑴求證：BDE&CDA.

(2)若求證：BA=BE

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，中垂線的判定和性質：

(1)由中點，得到由3E〃AC,得到NE=ND4C,ND3E=NC,即可得證;

(2)由全等三角形的性質，得到即=A￡＞,進而推出8￡＞垂直平分AE,即可得證.

【詳解】(1)證明：￡＞為BC的中點，

第26頁共31頁

:.BD=CD.

BE//AC,

ZE=ADAC,ZDBE=ZC；

'/E=NDAC

在.BD石和CZM中，＜NOBE=NC

BD=CD

BDE^OM(AAS)；

(2)證明：

:.ED二AD

AD_LBC,

.?.3。垂直平分AE,

BA=BE-

37.(2024?云南?中考真題)如圖，在ABC和△AED中，AB=AE,ZBAE=ZCAD,AC=AD.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵.利用“SAS”

證明△ABC也△AED,即可解決問題.

【詳解】證明：ZBAE=NCAD,

..ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,ABAC=AEAD,

在，ABC和△AED中，

AB=AE

<ABAC=NEAD,

AC=AD

ABC^AED（SAS）.

38.（2024.江蘇蘇州?中考真題）如圖，,ABC中，AB=AC,分別以8,C為圓心，大于長為半徑畫

2

弧，兩弧交于點D,連接8。，CD,AD,A￡）與BC交于點E.

第27頁共31頁

A

⑴求證：△AB￡)四△AGO；

⑵若8￡>=2,ZSDC=120°,求BC的長.

【答案】(1)見解析

(2)BC=2A/3

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，解直角三角形等知