2024-2025學年河南省焦作某中學高二（上）開學數(shù)學試卷（A卷）+答案解析

2024?2025學年河南省焦作十一中高二（上）開學數(shù)學試卷（A卷）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若復數(shù)z滿足（1—2，）?z=5（，是虛數(shù)單位），則2的虛部為（）

A2五B*

A-丁C.2/D.2

,~5~

2.已知空知向量方=（2,-2,—1）,了=（3,0,1），則向量方在向量才上的投影向量是（）

y,-|)C.(|,0$

A片,TB.D（空,。,乎）

3.已知a=1cos6°—Zsin6°，b=J1-cos50°

，則有（)

222

A.Q〉bB.a<bC.a=bD.不能確定

4.若。是△48。所在平面內(nèi)的一點，且滿足。萬一初|=|海+W—2a|，則的形狀是（）

A.等邊三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形

5.已知圓柱的高為2,它的兩個底面的圓周在直徑為2方的同一個球的球面上，則圓柱的表面積為（）

A.4：V5TVB.(8+6通)在C.D.(10+4\/5)7r

6.已知兩非零向量了與方的夾角為120。，且同=2,恨方―了|=4g，貝［J?=（）

A.8B.6C.4D.2

7.在棱長為2的正方體48。。-中，E,b分別是5?和的中點，則直線ZC與平面環(huán)

所成角的正弦值為（）

A275RyiO02通ny15

5555

8.已知直線/和平面a,且〃/a,/的方向向量為"T=（2,m,1）,平面a的一個法向量為方=（一1,\歷,九）,

（m>0,n>0）,則工+速的最小值為（）

mn

A.^2B.2C.2V2D.4

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

7T7T

9.函數(shù)Z/=sin（2x+w）的圖象向右平移a個單位后與函數(shù)/（①）的圖象重合，則下列結論正確的是（）

OO

77r

A./Q）的一個周期為一2五B./（乃的圖象關于，=—適對稱

C./=:是/⑶的一個零點D./⑺在（二,雪）單調(diào)遞減

61212

第1頁，共13頁

10.直線/的方向向量為兩個平面。，力的法向量分別為殖，病，則下列命題為真命題的是()

A.若主，看，則直線江平面a

B.若涓上兆，則平面a,平面。

17T

C.若cos(忒回=彳，則平面a,。所成銳二面角的大小為w

2o

D.若cos(守,4)=?，則直線/與平面a所成角的大小為：

11.下列各式與tana相等的是()

/l—cos2asina

B.------------

V1+cos2a1+cosa

1+cos(7r+2a)1_1—cos2a

(ae(0,7T))D.--------------

2cosasin2a

三、填空題：本題共3小題，每小題5分,共15分。

12.已知點A(l,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為.

13.設常數(shù)。使方程sinc+V^cosar=a在閉區(qū)間［0,2用上恰有三個解3,x2,23,則的+3+制=.

14.的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,C.若△AB。的面積為近士三二則4=.

4

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

7T

已知向量|才|=3,|『=2,才與胃的夾角為?

O

(I)求正?丁及|2+7

(n)求(丁+2萬)?(才—3%).

16.(本小題15分)

在①b=v^csinB-6cosC-②(2sin4-sinB)a+(2sinB一sinA)b=2csin。這兩個條件中任選一個,

補充在下列問題中，并解答.

已知△4BC的角4,B,。對邊分別為a,b,c,c=/，而且______.

⑴求C;

⑵求△AB。周長的最大值.

17.(本小題15分)

在正方體48。?！?場GOi中，E,歹分別是底面4場。和側(cè)面的中心.

(1)求證：2CU平面

(2)求證：平面BiEF〃平面48D

第2頁，共13頁

18.（本小題17分）

2

已知函數(shù)/⑶=sin（2“c+-）-2cos>0）,xlt於是方程/（二）=0的兩個不相等的實根，且團—?2|

的最小值為兀

（1）求函數(shù)八/）的解析式；

⑵若ceg,阿/⑵的值域是[―jo],求機的取值范圍.

19.（本小題17分）

在空間直角坐標系中有長方體4BCD—AB'C'O',且4B=2,AD=4,AAf=2>求平面與平

面/AD夾角的余弦值.

第3頁，共13頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由(l—2，>z=5,得z=/^="5,：2：)+力,

.?.2的虛部為2.

故選：D.

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查向量在向量上投影向量的求法，考查運算求解能力，是基礎題.

結合題意，利用向量的數(shù)量積公式結合投影向量的求法即可得到答案.

【解答】

解：?向量記=(2,—2,-1),b=(3,0,1)，

..?才?了=2x3+(—2)x0+(-1)x1=5，@=3,

，向量了在向量耳上的投影向量為4A=鵬=7=(?力，

故選：A.

3.【答案】B

【解析】解：a=]cos6°...—sin60=cos60°cos6°—sin60°sin6°=cos(60°+6°)=cos66°=sin24°，

/I—cos50°.

b=\---------=sm25，

V2

函數(shù)4=sin/在(0°,90°)上單調(diào)遞增，24°<25°,故sin24°<sin25°,故a<b,

故選：B.

由題意利用三角恒等變換化簡a、b,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結論.

本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】【分析】

第4頁，共13頁

本題給出向量等式，判斷三角形/8C的形狀，著重考查了平面向量的加法法則、減法法則和三角形的形狀

判斷等知識，屬于中檔題.

由向量的減法法則，將題中等式化簡得囪=+前進而得至!!|工田-前|=|六+而|,由此可

得以/8、/C為鄰邊的平行四邊形為矩形，得到△ABC是直角三角形.

【解答】

解：?:第=熊-忒，AS=o^

\0^-0^\=\o^+od-201\，sp|C5|=\AS+A5\

???屈=混_/，.?.四_苑=|混+就I,

由此可得以/夙為鄰邊的平行四邊形為矩形，

ZBAC=90%得△48。的形狀是直角三角形.

故選：D

5.【答案】D

【解析】解：設球的半徑為兄=迷，圓柱的底面所在的圓的半徑為r,

則r='岳一（gx2）2=

所以圓柱的表面積S=27rr2+2x2ivr=10?r+4x/5?r=（10+4\/5）7T.

故選：D.

設球的半徑為尺，圓柱的底面所在的圓的半徑為r,由勾股定理可求出廠的值，而圓柱的表面積

S=2?rr2+2x2irr＞代入r的值即可得解.

本題考查圓柱與球的簡單計算，考查學生的空間立體感和運算能力，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查平面向量的模長、數(shù)量積運算，對式子進行平方處理是解決平面向量模長問題的常用手段，考查

學生的運算能力，屬于基礎題.

先把|2天-了|=4①，兩邊平方，再展開，并結合平面向量的數(shù)量積運算進行求解即可.

【解答】

解：由題可知，（2方—了產(chǎn)=48，

4|^|2-4|^|-|T|cos120°+|T|2=48,

第5頁，共13頁

即4x4-4x2x|引x(-1)+|T|2=48,

解得，|了|=4.(負值舍去)

故選：C.

7.【答案】B

【解析】解：如圖，以N為原點，AB,AD,所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系,

由空間直角坐標系中有棱長為2的正方體4BCD-小區(qū)。山1，

點￡,尸分別是BQi和小A的中點,

可得4(0,0,0),5(2,0,0),0(2,2,0),F(0,l,2),

則就=(2,2,0),加=(2,0,0),衣=(0,1,2)，

設平面48M的法向量為君=的?/,?),

??J~rt-=2x=0

'[-AP=y+2z=0'

取沙=2,可得立=0,z=-l,

所以記=(0,2,—1),

設直線/C與平面48環(huán)所成角6,

\'rt-Ad\4_

則sin0=

國H而一2方＞通一可

即直線NC與平面砂所成角的正弦值為Y竺.

5

故選：B.

建立空間直角坐標系，根據(jù)題意，求得向量五苕和平面環(huán)的法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.

本題考查利用向量法求線面角，屬于中檔題.

8.【答案】C

第6頁，共13頁

【解析】解：依題意可得：T-7?=-2+V2m+n=0?即，^加+幾=2,

所以;(V^nz+n)=1,

所以工+1:點工+逗乂四山+力二;仁0+呸+網(wǎng)),

mn2mn2mn

一~、ncmc

又77i>0,n>0,所以一>0,一〉0,

mn

匚匚[、in2mJn2m-/-

所以一+—22A/------=2V2，

mn\mn

當且僅當巴=也時，即加=V2,九=1時，取到等號，

mn2

所以工+逛=々20+?+也)》2四，故4B,。錯誤，C正確.

mn2mn

故選：c.

因為z〃a,所以/的方向向量與平面。的法向量垂直，再根據(jù)基本不等式，利用常數(shù)代換求解.

本題考查向量的數(shù)量積的求法及基本不等式的應用，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

7T7T

【解析】解：?.?函數(shù)V=sin(2c+a)的圖象向右平移行個單位后與函數(shù)/⑺的圖象重合，

OO

”2)=sin[2(z-1)+1]=sin(2/-1),

.?./(叼的一個周期為一2n，故/正確；

,、7T7T

沙=/(2)的對稱軸滿足：2x--=fc7T+-,kez,

o/

.?.當k=—2時，"=/磔)的圖—象關于2=—三77r對稱，故B正確；

由/⑶=sin(2/—勺=0,2/一1=而得c=",?./==是/⑶的一個零點，故C正確;

oo266

當力e(―訪，行)時，2/—Qe(―5,5)，/./(2)在(—高，行)上單調(diào)遞增，故。錯誤?

izizozziz1Z

故選：ABC.

根據(jù)圖象的平移得出函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期判斷力,利用對稱性判斷3,根據(jù)零點定義判斷

C,利用正弦型函數(shù)對稱性判斷O.

本題考查的知識點：函數(shù)的圖象的平移變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

10.【答案】BCD

【解析】解：直線/的方向向量為猛，兩個平面a,/?的法向量分別為泥，泥，

對于/中，由右,元，則直線，〃平面a或ZUa,所以N錯誤；

對于3中，由看_1_晶，則平面a_L平面0,所以2正確；

第7頁，共13頁

I7f

對于。中，若cos＜就方＞=/,設平面Q,夕所成角為。，且叱口點，

則COS0=Icos〈忒元〉I=；，

7T

所以平面a,0所成角的大小為不，所以C正確；

O

設直線/與平面a所成角為)，

/o-7T

可得sin)=|cos＜I?,涓〉|且7C

7T

所以直線/與平面a所成角的大小為不，所以。正確.

O

故選：BCD.

由涓，則直線〃/平面a或/Ua，可判定/不正確；根據(jù)平面法向量的概念及空間角的求解方法，可

判定3、C、。正確.

本題主要考查空間向量判定垂直、平行關系，空間向量求線面角、面面角等知識，屬于中等題.

11.【答案】CD

【解析】解：對于4原式=吸==|tanR，不符合；

V2cos2a11

c?aa

2sm—cos—

對于5,原式=------=tan—,不符合；

2cos2-2

2

對于C,因為ae(0)7r),所以原式=%？=珈1&，符合；

V2cosacosa

對于。，原式=-2s'n"——tana，符合.

2sinacosa

故選：CD.

利用三角函數(shù)恒等變換的應用逐項化簡即可求解.

本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題.

12.【答案】g9

【解析】解：A§=(-1,2,0)，=(-1,0,3).

設平面N5C的法向量為H=則1褚=-0+2沙=0,令工=2,則沙=1,

［科.窺=—c+3z=0

22

z=了「?n=⑵l，w),

oo

取平面xo7的法向量wt=(0,0,1).

第8頁，共13頁

2

..nt?r?Q2

則cos<rrl,n>==~=?

lx,22+1+0)2

故答案為提2

先求出平面/8C的法向量，再利用法向量的夾角公式即可得出.

熟練掌握利用二面角的兩個半平面的法向量的夾角公式求得二面角是解題的關鍵.

13.【答案】?77r

O

【解析】【分析】

本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì).運用了數(shù)形結合的思想，較為直觀的解決問題，屬于中檔題.

7T

先利用輔助角公式對函數(shù)解析式化簡，畫出函數(shù)沙=2sinQ+w)的圖象，方程的解的個數(shù)即為直線與三角

函數(shù)圖象的交點個數(shù)，在［0,2用上，當&=四時，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個交點，進而求得此時的,

22,二3,最后相加即可.

【解答】

]

解：,/sinx+V^cosx=2(-sina;+---cosx)=2sin(力+可7r)=Q，

ZILtO

二方程的解個數(shù)即為在［0,27T］上直線y=a與三角函數(shù)沙=2sink+圖象的交點個數(shù),

女［0,2用，，+在百%,

OOO

?.?當a=心時，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個交點,

二不妨令sin(2+4=遺，

7

132

7T7T

「?力+W=2k五+—,即力=2k不,kGZ,

OO

、7T27r7T

或1+3=2/c7rH——,即力=2kiv4~—,k￡Z,

33J

7T

分析可得61=0，/2=可，/3=2汗，

o

c7Tc77r

.,.力1+力2+/3=0+w+27r=-

OO

第9頁，共13頁

故答案為g.

o

【解析】解：由余弦定理可得a2—62—02=—2兒cos4，

△ABC的面積為辿」IF=—漁兒cos4

42

、1/Q

又因為SAAB。=-6csinA=———becosA，

所以tan4=—通，

由Aw（0中）可得

o

故答案為：?27r

o

由已知結合余弦定理及三角形的面積公式進行化簡即可求解.

本題主要考查了余弦定理及三角形的面積公式的簡單應用，屬于基礎試題.

15.【答案】解：（I）萬.b=l^l'lb|-cos-=3x2x—=3,

o/

了+

|/+用=J（-+方=J/+2/.72=^/9+2X3X2X|+4=V19.

（11）（/+2了）?（才一37）=才？_飛飛-672=9—3x2x；—24=-18.

【解析】（I）利用數(shù)量積的定義和求模公式即可求解.

（n）利用已知條件結合向量的數(shù)量積的運算法則化簡求解即可.

本題考查平面向量的數(shù)量積的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是基礎題.

16.【答案】解：（1）選①：

由正弦定理知，二b=三c

smBsmC

第10頁，共13頁

因為b=\/3csinB—6cos(7，

所以sin=A/3sinCsinB-sinBcosC9

因為sinB^O,

所以\/3sinC-cosC=1,即sin(C—少=大,

b2

又因為0<C<7T,所以一t<C—t〈些，

666

選②:

由正弦定理知,

sinAsinBsin。'

因為(2sin4—sinB)a+(2sinB—sinA)b=2csinC,

所以a(2a—b)+b(2b—a)=2c2，即(？+y一c?=Q&,

又因為0<C<7T,

7T

故C-

o

7T

⑵由⑴知，c=~,

o

在△AB。中，由余弦定理得，=Q2+必_2abcosC=7，即。之+必―°b=7，

所以(a+仔―7=3而W蛔產(chǎn)，

所以a+bW2，7，當且僅當a=b時，等號成立，

所以a+b+c<3，7>

故△/BC周長的最大值為3/7.

【解析】(1)選①：由正弦定理將b=〃^sinB-bcosC中的邊化為角，再結合輔助角公式以及C的取值

范圍即可得解；

選②：由正弦定理將(2sinA-sinB)a+(2sinB-sinA)6=2csin。中的角化為邊，再結合余弦定理即可

得解；

-7T

(2)由(1)知，C=-,由余弦定理可得‘2=2+昭_2而05?；喓蠼Y合基本不等式可求出。+6的最

O(1(；

大值，從而得解.

第H頁，共13頁

本題考查解三角形中正弦定理、余弦定理的綜合運用，還涉及邊角互化的思想、利用基本不等式解決最值

問題，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)根據(jù)題意，連接NC,

因為CG_L平面48CD,平面488,所以BO_LCCi，

在正方形中，BD1AC,結合NC、是平面4CG4內(nèi)的相交直線，可得平面4。。1小,

因為AGU平面4。。小，所以RDL4G，同理可證為8,4。1.

因為小_8C80=小8、口。。平面48。，所以平面4RD；

----Ms

(2)根據(jù)題意，E、尸分別是底面和側(cè)面的中心，

所以EeBiB，F(xiàn)eB1C,即平面耳石歹就是平面鄉(xiāng)。。1，

在正方體4BCD—4耳。1。1中，BBj/DDi，BB「DDi，所以四邊形口西力。為平行四邊形，

所以8?！ǘ?。1，結合81AU平面場COi，平面可得平面場。。1，

同理可證41?！ㄆ矫鍮CDi，

因為4。D_B0=。，A\D>BDC5F?A\BD,

所以平面BiCDi〃平面A.BD,即平面BiEF〃平面A.BD.

【解析】(1)由線面垂直的判定與性質(zhì)，分別證出80LAG、