高考總復習文數（北師大版）課件第2章第3節(jié)函數的奇偶性與周期性

函數的概念與基本初等函數第二章第三節(jié)函數的奇偶性與周期性考點高考試題考查內容核心素養(yǎng)函數的奇偶性2017·全國卷Ⅱ·T14·5分求函數值數學運算

2014·全國卷Ⅰ·T5·5分判斷函數的奇偶性邏輯推理數學運算

2014·全國卷Ⅱ·T3·5分求函數值函數的周期未單獨考查命題分析函數的奇偶性的判斷及應用、周期性及應用是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，與函數概念、圖像、其他性質等綜合考查.02課堂·考點突破03課后·高效演練欄目導航01課前·回顧教材01課前·回顧教材1．函數的奇偶性已知y＝f(x)，x∈A，則f(x)奇偶性定義見下表：類別定義奇函數偶函數圖像定義圖像關于_______對稱的函數叫作奇函數圖像關于_______對稱的函數叫作偶函數語言定義任意x∈A，__________________任意x∈A，_______________原點y軸滿足f(－x)＝－f(x)滿足f(－x)＝f(x)2.函數的周期性(1)周期函數對于函數y＝f(x)，如果存在非零實數T，對定義域內的任意一個x值，都有______________，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期如果在周期函數f(x)的所有周期中_______________的正數，那么這個__________就叫作f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)存在一個最小最小正數提醒：(1)函數奇偶性的重要結論①如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.②如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．③既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數集．④奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性．⑤在公共定義域內，有下列結論成立“奇函數±奇函數＝奇函數”，“偶函數±偶函數＝偶函數”；“奇函數×奇函數＝偶函數”，“偶函數×偶函數＝偶函數”，“奇函數×偶函數＝奇函數”．(2)函數周期性的重要結論①周期函數的定義式f(x＋T)＝f(x)對定義域內的x是恒成立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數f(x)的周期為T＝|a－b|.

1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若f(x)是定義在R上的奇函數，則f(－x)＋f(x)＝0.(

)(2)偶函數的圖像不一定過原點，奇函數的圖像一定過原點．(

)(3)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件．(

)(4)若T是函數的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數的周期．(

)(5)函數f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數．(

)答案：(1)√

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√2．(教材習題改編)若函數f(x)＝ax2＋bx＋c是定義在R上的奇函數，則系數a，b，c需滿足(

)A．a＝0

B．c＝0C．a＝c＝0 D．b＝0C

解析：當a＝c＝0時，f(x)＝bx，有f(－x)＝－bx＝－f(x)．B

4．下列函數中為偶函數的是(

)A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2x

B

解析：選項A，f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sinx＝－f(x)，所以為奇函數；選項B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cosx＝f(x)，所以為偶函數；選項C，f(－x)＝|ln(－x)|，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，所以非奇非偶函數；選項D非奇非偶函數．[明技法]判斷函數奇偶性的常用方法(1)定義法：即根據奇、偶函數的定義來判斷；(2)圖像法：即利用奇、偶函數的對稱性來判斷；(3)性質法：即利用在公共定義域內奇函數、偶函數的和、差、積的奇偶性來判斷．02課堂·考點突破判斷函數的奇偶性D

C

[刷好題]1．(金榜原創(chuàng))下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間(0，＋∞)上遞增的函數為(

)A．y＝x3 B．y＝|log2x|C．y＝－x2 D．y＝|x|D

解析：y＝x3是奇函數；函數y＝|log2x|的定義域(0，＋∞)不關于原點對稱，所以是非奇非偶函數；y＝－x2在(0，＋∞)上單調遞減；函數y＝|x|是偶函數，且在區(qū)間(0，＋∞)上遞增，∴D正確．B

[明技法]函數周期性的判定與應用(1)判斷函數的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題．(2)根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期．函數的周期性[提能力]【典例】

定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)．當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝(

)A．335 B．338C．339 D．340C

解析：由f(x＋6)＝f(x)可知，函數f(x)的周期為6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一個周期內有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.[母題變式]

本例中若將條件“f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)”改為“f(x)滿足f(x＋3)＝－f(x)”，其他條件不變，則結果又是什么？解：∵f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期為6.∴f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，故在一個周期內有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.[刷好題](2018·阜陽檢測)設定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴函數f(x)的周期T＝2.又當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2019)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝1010.答案：1010函數性質的綜合[析考情]函數的奇偶性、周期性以及單調性是函數的三大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調性相結合，而周期性常與抽象函數相結合，并以結合奇偶性求函數值為主．多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)．答案：1命題點2：利用函數的奇偶性求值【典例2】

(2017·全國卷Ⅱ)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________.解析：方法一令x>0，則－x<0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函數f(x)是定義在R上的奇函數，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x>0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.方法二f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.答案：12命題點3：利用函數性質解不等式【典例3】

已知函數y＝f(x)是R上的偶函數，且在(－∞，0]上是減函數，若f(a)≥f(2)，則實數a的取值范圍是________．解析：∵y＝f(x)是R上的偶函數，且在(－∞，0]上是減函數，∴函數y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函數．∴當a>0時，由f(a)≥f(2)可得a≥2，當a<0時，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.所以實數a的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)命題點4：函數單調性、奇偶性與周期性的綜合【典例4】

(2018·煙臺月考)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數，則(

)A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)<f(11)D

解析：∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數，f(x)在R上是奇函數，∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．[悟技法]函數性質綜合應用問題的常見類型及解題策略(1)函數單調性與奇偶性結合．注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖像的對稱性．(2)周期性與奇偶性結合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．(3)周期性、奇偶性與單調性結合．解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解．A

A

解析：由題意知f(x)為偶函數，所以f(－2)＝f(2)，又x∈[0，＋∞)時，f(x)為減函數，且3>2>1，∴f(3)<f(2)<f