高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）課件第2章第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性

函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)第二章第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)函數(shù)的奇偶性2017·全國卷Ⅱ·T14·5分求函數(shù)值數(shù)學(xué)運(yùn)算

2014·全國卷Ⅰ·T5·5分判斷函數(shù)的奇偶性邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算

2014·全國卷Ⅱ·T3·5分求函數(shù)值函數(shù)的周期未單獨(dú)考查命題分析函數(shù)的奇偶性的判斷及應(yīng)用、周期性及應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，與函數(shù)概念、圖像、其他性質(zhì)等綜合考查.02課堂·考點(diǎn)突破03課后·高效演練欄目導(dǎo)航01課前·回顧教材01課前·回顧教材1．函數(shù)的奇偶性已知y＝f(x)，x∈A，則f(x)奇偶性定義見下表：類別定義奇函數(shù)偶函數(shù)圖像定義圖像關(guān)于_______對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)圖像關(guān)于_______對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)語言定義任意x∈A，__________________任意x∈A，_______________原點(diǎn)y軸滿足f(－x)＝－f(x)滿足f(－x)＝f(x)2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在非零實(shí)數(shù)T，對定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值，都有______________，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中_______________的正數(shù)，那么這個(gè)__________就叫作f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)存在一個(gè)最小最小正數(shù)提醒：(1)函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論①如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.②如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集．④奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．⑤在公共定義域內(nèi)，有下列結(jié)論成立“奇函數(shù)±奇函數(shù)＝奇函數(shù)”，“偶函數(shù)±偶函數(shù)＝偶函數(shù)”；“奇函數(shù)×奇函數(shù)＝偶函數(shù)”，“偶函數(shù)×偶函數(shù)＝偶函數(shù)”，“奇函數(shù)×偶函數(shù)＝奇函數(shù)”．(2)函數(shù)周期性的重要結(jié)論①周期函數(shù)的定義式f(x＋T)＝f(x)對定義域內(nèi)的x是恒成立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數(shù)f(x)的周期為T＝|a－b|.

1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(－x)＋f(x)＝0.(

)(2)偶函數(shù)的圖像不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖像一定過原點(diǎn)．(

)(3)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件．(

)(4)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．(

)(5)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù)．(

)答案：(1)√

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√2．(教材習(xí)題改編)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是定義在R上的奇函數(shù)，則系數(shù)a，b，c需滿足(

)A．a(chǎn)＝0

B．c＝0C．a(chǎn)＝c＝0 D．b＝0C

解析：當(dāng)a＝c＝0時(shí)，f(x)＝bx，有f(－x)＝－bx＝－f(x)．B

4．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(

)A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2x

B

解析：選項(xiàng)A，f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sinx＝－f(x)，所以為奇函數(shù)；選項(xiàng)B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cosx＝f(x)，所以為偶函數(shù)；選項(xiàng)C，f(－x)＝|ln(－x)|，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，所以非奇非偶函數(shù)；選項(xiàng)D非奇非偶函數(shù)．[明技法]判斷函數(shù)奇偶性的常用方法(1)定義法：即根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義來判斷；(2)圖像法：即利用奇、偶函數(shù)的對稱性來判斷；(3)性質(zhì)法：即利用在公共定義域內(nèi)奇函數(shù)、偶函數(shù)的和、差、積的奇偶性來判斷．02課堂·考點(diǎn)突破判斷函數(shù)的奇偶性D

C

[刷好題]1．(金榜原創(chuàng))下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上遞增的函數(shù)為(

)A．y＝x3 B．y＝|log2x|C．y＝－x2 D．y＝|x|D

解析：y＝x3是奇函數(shù)；函數(shù)y＝|log2x|的定義域(0，＋∞)不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以是非奇非偶函數(shù)；y＝－x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)y＝|x|是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上遞增，∴D正確．B

[明技法]函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用(1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．函數(shù)的周期性[提能力]【典例】

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)．當(dāng)－3≤x<－1時(shí)，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時(shí)，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝(

)A．335 B．338C．339 D．340C

解析：由f(x＋6)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一個(gè)周期內(nèi)有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.[母題變式]

本例中若將條件“f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)”改為“f(x)滿足f(x＋3)＝－f(x)”，其他條件不變，則結(jié)果又是什么？解：∵f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期為6.∴f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，故在一個(gè)周期內(nèi)有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.[刷好題](2018·阜陽檢測)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期T＝2.又當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2019)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝1010.答案：1010函數(shù)性質(zhì)的綜合[析考情]函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合，而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合，并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主．多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)．答案：1命題點(diǎn)2：利用函數(shù)的奇偶性求值【典例2】

(2017·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________.解析：方法一令x>0，則－x<0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x>0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.方法二f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.答案：12命題點(diǎn)3：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式【典例3】

已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)，若f(a)≥f(2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)，∴函數(shù)y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．∴當(dāng)a>0時(shí)，由f(a)≥f(2)可得a≥2，當(dāng)a<0時(shí)，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)命題點(diǎn)4：函數(shù)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合【典例4】

(2018·煙臺(tái)月考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(

)A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)<f(11)D

解析：∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．[悟技法]函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖像的對稱性．(2)周期性與奇偶性結(jié)合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．A

A

解析：由題意知f(x)為偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)，又x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)為減函數(shù)，且3>2>1，∴f(3)<f(2)<f