人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題4.5 函數(shù)的應(yīng)用（二）-重難點題型精講及檢測（教師版）

第第頁專題4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）-重難點題型精講1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的概念：對于一般函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為零的自變量的值.(2)函數(shù)的零點與方程的解的關(guān)系函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)解，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點的橫坐標(biāo).所以方程f(x)=0有實數(shù)解函數(shù)y=f(x)有零點函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點.(3)幾種常見函數(shù)的零點①二次函數(shù)的零點一元二次方程SKIPIF1<0+bx+c=0(a≠0)的實數(shù)根也稱為函數(shù)y=SKIPIF1<0+bx+c(a≠0)的零點.②正比例函數(shù)y=kx(k≠0)僅有一個零點0.③一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)僅有一個零點SKIPIF1<0.④反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0(k≠0)沒有零點.⑤指數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1)沒有零點.⑥對數(shù)函數(shù)y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)僅有一個零點1.⑦冪函數(shù)y=,當(dāng)a>0時,僅有一個零點0;當(dāng)a≤0時,沒有零點.2．函數(shù)零點存在定理(1)函數(shù)零點存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的解.(2)函數(shù)零點存在定理的幾何意義：在閉區(qū)間[a,b]上有連續(xù)不斷的曲線y=f(x)，且曲線的起始點(a,f(a))與終點(b,f(b))分別在x軸的兩側(cè)，則連續(xù)曲線與x軸至少有一個交點.3．二分法(1)二分法的定義：對于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.(2)區(qū)間的中點：一般地，我們把x=SKIPIF1<0稱為區(qū)間(a,b)的中點.(3)用二分法求方程的近似解：用二分法求方程的近似解：先找一個包含根的區(qū)間，然后多次將包含根的區(qū)間一分為二，直至根落在要求的區(qū)間內(nèi)，即用區(qū)間中點SKIPIF1<0將區(qū)間(a,b)一分為二，從而得到兩個區(qū)間(a,SKIPIF1<0)和(SKIPIF1<0,b)，其中一個區(qū)間一定包含根，如若f(a)<0，f(SKIPIF1<0)>0，我們便知區(qū)間(a,SKIPIF1<0)包含根，如圖，不斷重復(fù)上述步驟，根最終落在要求的區(qū)間內(nèi).(4)用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟給定精確度SKIPIF1<0，用二分法求函數(shù)y=f(x)零點SKIPIF1<0的近似值的一般步驟如下：1.確定零點SKIPIF1<0的初始區(qū)間[a,b]，驗證f(a)f(b)<0.2.求區(qū)間(a,b)的中點c.3.計算f(c)，并進(jìn)一步確定零點所在的區(qū)間：(1)若f(c)=0(此時SKIPIF1<0=c)，則c就是函數(shù)的零點；(2)若f(a)f(c)<0(此時SKIPIF1<0∈(a,c))，則令b=c；(3)若f(c)f(b)<0(此時SKIPIF1<0∈(c,b))，則令a=c.4.判斷是否達(dá)到精確度SKIPIF1<0：若|a-b|<SKIPIF1<0，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟2~4.【題型1求函數(shù)的零點】【方法點撥】(1)代數(shù)法：根據(jù)零點的定義，解方程f(x)=0，它的實數(shù)根就是函數(shù)y=f(x)的零點.(2)幾何法或性質(zhì)法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根據(jù)函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)及圖象求出零點.例如，已知f(x)是定義在R上的減函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)，求f(x)的零點；因為f(x)是奇函數(shù)，那么由奇函數(shù)的性質(zhì)可知f(0)=0，因為f(x)是定義在R上的減函數(shù)，所以不存在其他的x使f(x)=0，從而y=f(x)的零點是0.【例1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)fx=logA．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）【解題思路】令fx=0，解對數(shù)方程，求出【解答過程】令fx=log3x?1?2=0，即log3【變式1-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）若32是函數(shù)fx=2x2A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【解題思路】由32是函數(shù)fx=2x2【解答過程】因為32是函數(shù)fx=2x2?ax+3的一個零點，所以f32=2×32【變式1-2】（2022·河北·高一開學(xué)考試）函數(shù)y=x2?4x+3A．（1，0） B．（1，3）C．1和3 D．（1，0）和（3，0）【解題思路】令fx【解答過程】解：令x2?4x+3=0，解得x=1或【變式1-3】（2021·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)f(x)的零點與函數(shù)g(x)=4x+2x?2的零點之差的絕對值不超過0.25A．f(x)=4x?1 B．f(x)=C．f(x)=4x?1?1【解題思路】根據(jù)題意，畫出函數(shù)y1=4x與函數(shù)y2【解答過程】由題意，函數(shù)g(x)=4x+2x?2，令g(x)=0畫出函數(shù)y1=4當(dāng)x=0.5時，y1|x=0.5=4對于A中，函數(shù)f(x)=4x?1，令f(x)=0，解得x=0.25；對于B中，函數(shù)f(x)=(x?1)2，令f(x)=0，解得x=1；對于C中，函數(shù)f(x)=4x?1?1，令f(x)=0，解得x=1；對于D中，函數(shù)f(x)=【題型2函數(shù)零點存在定理的應(yīng)用】【方法點撥】確定函數(shù)的零點(方程的根)所在的區(qū)間時，通常利用函數(shù)零點存在定理將問題轉(zhuǎn)化為判斷區(qū)間的兩個端點對應(yīng)的函數(shù)值是否異號.【例2】（2022·內(nèi)蒙古·高一階段練習(xí)（文））函數(shù)fx=6A．0，1 B．1，2 C．【解題思路】先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后得出f3【解答過程】由y=6x在0,+∞上單調(diào)遞減，y=所以函數(shù)fx=6x?所以由零點存在定理可得函數(shù)在(3，4)之間存在零點，故選：C.【變式2-1】（2022·全國·模擬預(yù)測（文））函數(shù)f(x)=2x+3xA．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】由函數(shù)的單調(diào)性與零點存在性定理判斷【解答過程】易得函數(shù)f(x)=2x+3x?4在R上單調(diào)遞增，又f(0)=?2<0,f(1)=1>0，所以【變式2-2】（2022·天津·模擬預(yù)測）函數(shù)y=lnx?2A．(1e,1)C．(2,e) 【解題思路】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在性定理判斷即可.【解答過程】解：y=fx=lnx?2x的定義域為0,+∞所以fx=lnx?2x在0,+∞上單調(diào)遞增，又f1=ln1?2=?2<0【變式2-3】（2022·河南·高二期末（理））若函數(shù)f(x)=?x2+(k?1)x+1?k在區(qū)間(?1,0)和(0,2)上各有一個零點，則實數(shù)kA．12,1 B．1,32 C．【解題思路】利用零點存在定理列不等式組，即可求解.【解答過程】因為函數(shù)f(x)=?x2+(k?1)x+1?k在區(qū)間(?1,0)和(0,2)上各有一個零點，且函數(shù)f(x)的圖像開口向下，所以f(?1)=?1?(k?1)+1?k<0f(0)=1?k>0?????????????????????????????????????????????????????????????????????f(2)=?4+2(k?1)+1?k<0，解得故選：A.【題型3利用圖象交點來處理函數(shù)零點（方程的根）問題】【方法點撥】函數(shù)零點問題可看成與函數(shù)圖象有關(guān)的問題的行生與升華，研究此類問題除二分法外，多采用數(shù)形結(jié)合法，把方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題，解題時要準(zhǔn)確把握各類函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)簡圖，準(zhǔn)確找到交點所在的位置.【例3】（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)f(x)=lnx?xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】當(dāng)x>0時，將函數(shù)f(x)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=x2?2x，在x∈【解答過程】當(dāng)x>0時，f(x)=0?lnx=x2?2x，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為函數(shù)y=由圖可知，當(dāng)x>0時，函數(shù)f(x)的零點有兩個，當(dāng)x≤0時，f(x)=x2?2x?3=0，可得x=?1或x=3(舍去)即當(dāng)x≤0時，函數(shù)f(x)【變式3-1】（2022·四川·高二階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=e?x+3,x≤0lnx,x>0A．24,25 B．24,25 C．21,25 D．21,25【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為方程f2x?10fx+m=0有四個不等實根，令t=fx，可知t2?10t+m=0有兩個不等實根t1【解答過程】gx有四個零點等價于方程f2x令t=fx，則t2?10t+m=0需有兩個不等實根t1,要使gx有四個零點，則需fx與y=t1和y=t2有四個不同交點，在圖象中平移直線y=t1和y=t2，要使fx與y=綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為24,25.故選：A.【變式3-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=2x,0?x?1,ln?x,x<0,若關(guān)于A．[2,4] B．(22,4] C．[2,3] 【解題思路】畫出f(x)的圖象，根據(jù)f(x)=t并討論t研究其實根的分布情況，將問題化為?(t)=t2?at+2【解答過程】如圖，畫出f(x)的圖象，設(shè)f(x)=t結(jié)合圖象知：當(dāng)t<1或t>2時f(x)=t有且僅有1個實根；當(dāng)1≤t≤2時f(x)=t有2個實根；問題轉(zhuǎn)化為?(t)=t2?at+2從而{?(1)=3?a≥0?(2)=6?2a≥01≤【變式3-3】（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+1)是偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=?log2(x+1)．若關(guān)于x的方程f(x)+f(xA．16,15 B．16,【解題思路】根據(jù)題意和函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)gx=fx+fx分別在0≤x≤1、1<x≤2、2<x≤3、【解答過程】因為fx+1是偶函數(shù)，所以函數(shù)fx的對稱軸為x=1，而fx所以有?fx=f?x，因此有f(x)=?f(x+2)，所以f(x)=f(x+4)，因此函數(shù)f設(shè)gx=fx+fx，易知所以gx+4當(dāng)0≤x≤1時，gx當(dāng)1<x≤2時，gx當(dāng)2<x≤3時，gx當(dāng)3<x≤4時，gx作出函數(shù)gx關(guān)于x的方程gx等價于函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=mx+2有5個不同的交點，當(dāng)直線y=mx+2過點(?12,0)時，有6個交點，此時m=1當(dāng)直線y=mx+2過點(?8,0)時，有4個交點，此時m=1所以當(dāng)16,14時，函數(shù)y=g(x)的圖象與直線【題型4用二分法確定函數(shù)零點（方程的根）所在的區(qū)間】【方法點撥】根據(jù)二分法的步驟進(jìn)行求解，即可確定.【例4】（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）方程x3?2x2+3x?6=0A．?2,1上 B．52,4上 C．1,74上【解題思路】設(shè)f(x)=x3?2x2+3x?6，運用二分法，依次計算f(?2)，f(4)，【解答過程】解析：設(shè)f(x)=x則f(?2)=?8?8?6?6=?28<0，f(4)=64?32+12?6=38>0，因為?2+42=1且f(1)=1?2+3?6=?4<0，所以函數(shù)f(x)在又因為1+42=52且f(5又因為1+522=74且即方程的根必在74【變式4-1】（2021·四川省高一階段練習(xí)）用二分法求函數(shù)f(x)=x+lgx?2的零點，可以取的初始區(qū)間是（A．(0,1) B．(1,2) C．【解題思路】根據(jù)二分法求函數(shù)零點的條件，結(jié)合f(x)即可判斷和選擇.【解答過程】因為y=x,y=lgx是單調(diào)增函數(shù)，故又f1=?1,f2故選：B.【變式4-2】（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函數(shù)f(x)零點近似值時，若第一次所取區(qū)間為[?2,6]，則第三次所取區(qū)間可能是（

）A．[?2,?1] B．[?1,1] C．[2,4] D．[5,6]【解題思路】根據(jù)二分法求函數(shù)零點的步驟，結(jié)合已知條件進(jìn)行分析，即可判斷.【解答過程】第一次所取區(qū)間為[?2,6]，則第二次所取區(qū)間可能是[?2,2],[2,6]；第三次所取的區(qū)間可能是[?2,0],[0,2],[2,4],[4,6].故選：C.【變式4-3】（2021·湖北·高一階段練習(xí)）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內(nèi)近似根的過程中，已經(jīng)得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定【解題思路】根據(jù)零點存在性定理即可確定零點所在區(qū)間.【解答過程】∵f（1）<0，f（1.5）>0，∴在區(qū)間（1，1.5）內(nèi)函數(shù)f(x)=3x+3x﹣8存在一個零點又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0，∴在區(qū)間（1.25，1.5）內(nèi)函數(shù)f(x)=3x+3x﹣8存在一個零點，由此可得方程3x【題型5用二分法求方程的近似解】【方法點撥】由函數(shù)的零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可用二分法來求方程的近似解，即對于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通過移項轉(zhuǎn)化為求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數(shù)F(x)零點近似值的步驟求解.【例5】（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)fx=xx11.51.251.3751.3125f－10.875－0.29690.2246－0.05151則方程x3?x?1=0的一個近似根（誤差不超過0.05）為（A．1.375 B．1.34375 C．1.3125 D．1.25【解題思路】由零點存在性定理即可求解.【解答過程】因為f1.3125<0，f1.375>0，且fx為連續(xù)函數(shù)，所以由零點存在定理知區(qū)間（1.3125，1.375）內(nèi)存在零點，又1.3125?1.375【變式5-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)f(x)=x3+x2f(1)=?2f(1.5)=0.625f(1.25)≈?0.984f(1.375)≈?0.260f(1.4375)≈0.162A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【解題思路】根據(jù)題干中所給的函數(shù)值，利用二分法求方程的近似解即可.【解答過程】解：因為f(1.375)<0，f(1.4375)>0，且1.375與1.4375精確到0.1的近似值都為1.4，所以原方程的一個近似根為1.4．故選：C.【變式5-2】（2021·廣東·高一階段練習(xí)）若函數(shù)fx=x3+ffffffA．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【解題思路】根據(jù)零點存在定理判斷求解．【解答過程】由表格結(jié)合零點存在定理知零點在(1.40625,1.4375)上，區(qū)間長度為0.03125，滿足精度要求，觀察各選項，只有D中值1.4375是該區(qū)間的一個端點，可以作為近似解，故選：D．【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：f1=?2

ff1.375=?0.260

f那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【解題思路】根據(jù)二分法的定義和精確度的要求分析判斷即可【解答過程】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)有一個根，因為f1.5=0.625>0，f1.25因為1.5?1.25=0.25>0.1，所以不滿足精確度，繼續(xù)取區(qū)間中點1.375因為f1.375=?0.260<0，f1.5因為1.5?1.375=0.125>0.1，所以不滿足精確度，繼續(xù)取區(qū)間中點1.438因為f1.438=0.165>0，f1.375因為1.438?1.375=0.063<0.1滿足精確度，因為f1.4065=?0.052<0所以方程的一個近似解為1.41，故選：C.【題型6用二分法求函數(shù)的近似值】【方法點撥】用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟往往比較煩瑣，一般借助表格，利用表格可以清晰地表示逐步縮小零點所在區(qū)間的過程，有時也利用數(shù)軸來表示這一過程.【例6】（2022·陜西·模擬預(yù)測（理））某同學(xué)用二分法求函數(shù)fx=2x+3x?7的零點時，計算出如下結(jié)果：fA．1.4065是滿足精度為0.01的近似值.B．1.375是滿足精度為0.1的近似值C．1.4375是滿足精度為0.01的近似值D．1.25是滿足精度為0.1的近似值【解題思路】根據(jù)二分法基本原理滿足fa【解答過程】f1.4375=0.02>0,fA錯誤；∵f1.375=?0.26<0,f1.4375∴滿足精度為0.1的近似值在1.375,1.4375內(nèi)，則B正確，D錯誤；∵f1.422故選：B.【變式6-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）用二分法研究函數(shù)fx=x5+8x3A．0,0.5，f0.125 B．0,0.5，C．0.5,1，f0.75 D．0,0.5，【解題思路】根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理可知零點x0【解答過程】因為f(0)f(0.5)<0，由零點存在性知：零點x0根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計算f0+0.52，即【變式6-2】（2022·湖北省高一期末）已知函數(shù)fxx10.50.750.6250.5625f0.6321?0.10650.27760.0897?0.007那么函數(shù)fx的一個零點的近似值（精確度為0.01）為（

A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7【解題思路】根據(jù)給定條件直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理判斷作答.【解答過程】函數(shù)f(x)=x?(1e)x由零點存在性定義知，函數(shù)fx的零點在區(qū)間(0.5625,0.625)內(nèi)，所以函數(shù)fx的一個零點的近似值為【變式6-3】（2021·全國·高一專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)fx的一個正實數(shù)零點時，經(jīng)計算，f0.54<0，f0.72>0，fA．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6【解答過程】由題意根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得，函數(shù)零點所在的區(qū)間為0.68,0.72，從而得出結(jié)論．【解題思路】解：由題意根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得，函數(shù)零點所在的區(qū)間為0.68,0.72，則函數(shù)的一個精確度為0.1的正實數(shù)零點的近似值可以為0.7，故選：C．專題4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=x+2的零點為（

）A．2 B．1 C．0 D．?2【解題思路】令f(x)=0，求出方程的解，即可得到函數(shù)的零點.【解答過程】解：令f(x)=0，即x+2=0，解得x=?2，所以函數(shù)f(x)=x+2的零點為?2；故選：D.2．（3分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點的是（

）A．B．C．D．【解題思路】先判斷圖像對應(yīng)的是否函數(shù)，再判斷它們是不是變號零點，逐項判斷可得答案.【解答過程】四個圖像中，與x軸垂直的直線和圖像只有一個交點，所以四個圖像都表示函數(shù)的圖像，對于A，函數(shù)圖像和x軸無交點，所以無零點，故錯誤；對于B，D，函數(shù)圖像和x軸有交點，函數(shù)均有零點，但它們均是不變號零點，因此都不能用二分法求零點；對于C，函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的，且函數(shù)圖像與x軸有交點，并且其零點為變號零點.故選：C．3．（3分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）用二分法求函數(shù)fx=x3+x2?2x?2的一個零點的近似值（誤差不超過0.1）時，依次計算得到如下數(shù)據(jù)：A．已經(jīng)達(dá)到對誤差的要求，可以取1.4作為近似值B．已經(jīng)達(dá)到對誤差的要求，可以取1.375作為近似值C．沒有達(dá)到對誤差的要求，應(yīng)該接著計算fD．沒有達(dá)到對誤差的要求，應(yīng)該接著計算f【解題思路】由零點存在定理可知fx在1.375,1.5【解答過程】∵f1.5?f1.375<0，∴fx∴沒有達(dá)到對誤差的要求，應(yīng)該繼續(xù)計算f1.5+1.3754．（3分）（2022·江蘇·高一期中）用二分法研究函數(shù)fx=x3+2x?1的零點時，第一次計算，得f0<0，fA．1 B．?1 C．0.25 D．0.75【解題思路】根據(jù)二分法的定義計算可得；【解答過程】解：因為f0<0，f0.5>0，所以根據(jù)二分法第二次應(yīng)該計算fx1，其中5．（3分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)f(x)=ax+b(a≠0)的零點為2，則函數(shù)g(x)=bx2?axA．0，?12 B．0，12 C．0，2【解題思路】由已知，函數(shù)f(x)的零點為2即可得到a與b之間的關(guān)系，然后帶入g(x)中即可直接求解零點.【解答過程】因為函數(shù)f(x)=ax+b(a≠0)的零點為2，所以f(2)=2a+b=0，∵a≠0，2a+b=0，∴b≠0，∴ab=?12．令bx6．（3分）（2022·全國·高一單元測試）若函數(shù)fxx11.51.251.3751.3125f（x）-10.875-0.29690.2246-0.05151那么方程x3A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25【解題思路】由零點存在性定理和二分法求解近似根.【解答過程】由f1.3125<0，f1.375>0，且fx7．（3分）（2022·湖南省高一階段練習(xí)）已知一元二次方程x2+mx+3=0m∈Z有兩個實數(shù)根x1，x2，且0<A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【解題思路】令f(x)=x2+mx+3【解答過程】因為元二次方程x2+mx+3=0m∈Z有兩個實數(shù)根且0<x1<2<x2<4解得?194<m<?728．（3分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx的圖像連續(xù)不斷，若存在常數(shù)λ∈R，使得f(x+λ)+λf(x)=0對于任意的實數(shù)x恒成立，則稱fx是“回旋函數(shù)”．若函數(shù)fx是“回旋函數(shù)”，且λ=2，則fxA．至多有2022個零點 B．至多有1011個零點C．至少有2022個零點 D．至少有1011個零點【解題思路】根據(jù)已知可得：f2+2f0=0，當(dāng)f0≠0時利用零點存在定理，可以判定區(qū)間0,2內(nèi)至少有一個零點，進(jìn)而判定2,4，4,6，…，2020,2022上均至少有一個零點，得到fx在0,2022上至少有1011個零點．可以構(gòu)造“回旋函數(shù)”，使之恰好有1011個零點；當(dāng)f0=0時，可以得到f0=f2【解答過程】因為fx+2+2fx=0對任意的實數(shù)x恒成立，令若f0≠0，則f2與f0異號，即f2?f0<0，由零點存在定理得fx在0,2上至少存在一個零點．由于fk+2+2fk=0，得到f2k≠0(k∈Z)構(gòu)造函數(shù)fx=1?x,0≤x<2?2f(x?2),2k≤x<2k+2(k∈Z)，滿足fx+2+2fx=0若f0=0，則f0=f2綜上所述，fx在0,2022可能零點各數(shù)個數(shù)至少1012，大于1011，故B錯誤；對于A,[解法一]取函數(shù)fx=0，滿足fx+2+2fx[解法二]構(gòu)造函數(shù)fx=x(x?1),0≤x<2?2f(x?2),2k≤x<2k+2(k∈Z)，滿足fx+2+2fx=0故選：D．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）若函數(shù)f(x)的圖像在R上連續(xù)，且f(1)>0，f(2)<0，f(3)<0，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上有且只有1個零點B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上一定沒有零點C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上可能有零點D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上至少有1個零點【解題思路】由已知，函數(shù)f(x)的圖像在R上連續(xù)且滿足f(1)>0，f(2)<0，f(3)<0，即可判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上至少有1個零點，在區(qū)間(2,3)上可能有零點，也可能無零點，根據(jù)各選項說法即可做出判斷.【解答過程】因為函數(shù)f(x)的圖像在R上連續(xù)，且f(1)>0，f(2)<0，所以f(1)·f(2)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上至少有1個零點，故選項A錯誤，選項D正確；函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上可能有零點，也可能無零點，故選項B錯誤，選項C正確．故選：CD.10．（4分）（2022·全國·高一）設(shè)f(x)=2x+3x?7，某學(xué)生用二分法求方程fx011.251.3751.43751.52f?6?2?0.87?0.280.020.333若依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，則得到符合要求的方程的近似解可以為（

）A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.44【解題思路】f(x)在R上是增函數(shù)，根據(jù)零點存在性定理進(jìn)行判斷零點所在的區(qū)間﹒【解答過程】∵y=2x與y=3x?7都是∴f(x)=2x+3x?7是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴f(x)f(1.375)=?0.28<0，f(1.4375)=0.02>0，∴f(x)在R上有唯一零點，零點所在的區(qū)間為(1.375，1.4375)，即方程f(x)=0有且僅有一個解，且在區(qū)間(1.375，1.4375)內(nèi)，∵1.4375?1.375=0.0625<0.1，∴(1.375.1.4375)內(nèi)的任意一個數(shù)都可以作為方程的近似解，∵1.31?(1.375，1.4375)，1.38∈(1.375，1.4375)，1.43∈(1.375，1.4375)，1.44?(1.375，1.4375)，∴符合要求的方程的近似解可以是1.38和1.43﹒故選：BC.11．（4分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．已知方程ex=8?x的解在k,k+1B．函數(shù)fx=x2C．函數(shù)y=3x，y=logD．用二分法求方程3x+3x?8=0在x∈1,2內(nèi)的近似解的過程中得到f1<0，f【解題思路】由函數(shù)零點的概念判斷選項B，由函數(shù)零點存在性定理判斷選項AD，由函數(shù)y=3x與函數(shù)【解答過程】對于選項A，令fx=ex+x?8且f1=e?7<0,f2=e2?6>0對于選項B，令x2?2x?3=0得x=?1或x=3，故函數(shù)fx的零點為?1對于選項C，函數(shù)y=3x與函數(shù)y=log對于選項D，由于f1.25?f5故選：ACD.12．（4分）（2022·江蘇常州·高三階段練習(xí)）已知f(x)=logaA．函數(shù)f(B．存在實數(shù)m使得函數(shù)g(C．當(dāng)m∈[1,+∞)時，函數(shù)D．當(dāng)m∈(-∞,0)∪【解題思路】把函數(shù)零點的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的問題，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷即可得到答案．【解答過程】作出函數(shù)y=當(dāng)x>0時，f(x)單調(diào)遞減，且f(1)=0，f(x)只有一個零點；當(dāng)由g(x)=0，得f(x)=0或f(x)=m，其中f(x)=0有唯一實數(shù)根，而f當(dāng)m∈[1,+∞)時，函數(shù)y=f(當(dāng)m∈(-∞,0)∪(0,1)時，函數(shù)y=故選：ACD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2021·湖北·高一階段練習(xí)）函數(shù)fx=x?5+en=1.【解題思路】根據(jù)f(x)的性質(zhì)及題意，結(jié)合零點存在的定理，代入數(shù)據(jù)，分析即可得答案.【解答過程】因為fx=x?5+ex是定義域為R的連續(xù)函數(shù)，且y=x?5與所以fx=x?5+ex在所以f(1)?f(2)<0，即零點在區(qū)間（1,2）內(nèi)，所以n=1.故答案為：1.14．（4分）（2022·全國·高一專題練習(xí)）根據(jù)下表，用二分法求函數(shù)f(x)=x3?3x+1在區(qū)間(1,2)上的零點的近似值（精確度0.1）是f（1）=-1f（2）=3f（1.5）=-0.125f（1.75）=1.109375f（1.625）=0.41601562f（1.5625）=0.12719726【解題思路】根據(jù)二分法的定義，結(jié)合零點存在性定理以及圖表，可得答案.【解答過程】由二分法定義：由函數(shù)f(x)=x3?3x+1，由圖表知f(1.5)=?0.125<0；f(1.75)=1.109375>0；f(1.625)=0.41601562>0；f(1.5625)=0.12719726>0故答案為：1.5.（答案不唯一）.15．（4分）（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=2x?a+1,x≤0lnx,x>0，函數(shù)y=fx?b有四個不同的零點x1，x2，x3，【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象的特征，可得x1+x【解答過程】由于y=2x?a+1的圖象關(guān)于x=a?12對稱，由x1<x2因此x1+x2x3x4=a?116．（4分）（2022·湖南·高二期末（理））對于定義域為R的函數(shù)fx，若存在非零實數(shù)x0，使函數(shù)fx在?∞,x0（1）fx（2）f（3）fx（4）f則存在“給力點”的函數(shù)是（4）.【解題思路】根據(jù)“給力點”的定義，對四個函數(shù)逐一判斷即可得到結(jié)果.【解答過程】對于（1），fx=3x?1+1對于（2），fx=2+lg對于（3），fx=x33?x?1，定義域為R，f'在x>1或x<?1時，f'x>0，fx遞增，則x=1處取得極小值?5則fx與x軸只有一個交點，則不存在“給力點”.對于（4），fx=由于判別式a2故答案為:（4）.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）求方程x2【解題思路】利用二分法，直到精確度小于0.1，求方程的近似解.【解答過程】設(shè)f(x)=x2?2x?1.因為f(2)=?1<0,f(3)=2>0f(x)所以在區(qū)間(2,3)內(nèi)，方程x2?2x?1=0有唯一的實數(shù)根為x因為f(2.5)=0.25>0，所以2<x因為f(2.25)=?0.4375<0，所以2.25<xf(2.375)<0,f(2.5)>0，所以x0f(2.375)<0,f(2.4375)>0，所以x0∈(2.375,2.4375)；因為所以方