人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題5.6 函數(shù)y=Asin(ωx+φ) 重難點(diǎn)題型精講及檢測（教師版）

第第頁專題5.6函數(shù)SKIPIF1<0（重難點(diǎn)題型精講）1．勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖5.6-2).明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖5.6-2).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動.2．SKIPIF1<0,A對函數(shù)SKIPIF1<0的圖象的影響(1)SKIPIF1<0對SKIPIF1<0的圖象的影響函數(shù)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的圖象，可以看作是把正弦曲線SKIPIF1<0上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)SKIPIF1<0>0時)或向右(當(dāng)SKIPIF1<0<0時)平移|SKIPIF1<0|個單位長度而得到(可簡記為“左加右減”).(2)SKIPIF1<0對SKIPIF1<0的圖象的影響

函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，可以看作是把SKIPIF1<0的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)SKIPIF1<0>1時)或伸長(當(dāng)0<SKIPIF1<0<1時)到原來的SKIPIF1<0倍(縱坐標(biāo)不變)而得到.(3)SKIPIF1<0對SKIPIF1<0的圖象的影響

函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，可以看作是把SKIPIF1<0圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A>1時)或縮短(當(dāng)0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到.(4)由函數(shù)SKIPIF1<0的圖象得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖象以上兩種方法的圖示如下：3．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象類似于正弦型函數(shù)，余弦型函數(shù)SKIPIF1<0的圖象的畫法有以下兩種.

(1)“五點(diǎn)法”，令SKIPIF1<0，求出相應(yīng)的x值及y值，利用這五個點(diǎn)，可以得到SKIPIF1<0在一個周期內(nèi)的圖象，然后再把這一段上的圖象向左向右延伸，即得SKIPIF1<0的圖象.

(2)“變換作圖法”的途徑有兩種.

一是類似于正弦型函數(shù)的變換作圖法，可由SKIPIF1<0的圖象通過變換作圖法得到SKIPIF1<0(SKIPIF1<0>0,A>0)的圖象，即：二是由誘導(dǎo)公式將余弦型函數(shù)SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0的圖象通過變換作圖法得到SKIPIF1<0的圖象即可.【題型1“五點(diǎn)法”作函數(shù)SKIPIF1<0的圖象】【方法點(diǎn)撥】用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)SKIPIF1<0(x∈R)的簡圖，先作變量代換，令X=SKIPIF1<0，再用方程思想由X取SKIPIF1<0來確定對應(yīng)的x值，最后根據(jù)x,y的值描點(diǎn)、連線、擴(kuò)展，畫出函數(shù)的圖象.【例1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asinxπ2πωx+φ0ππ3π2πy040-40則A，ω，φ的值分別為（

）A．4，2，?π3 B．4，12，π3 C．4，2，π6【解題思路】由表中數(shù)據(jù)求出A、T的值，利用周期公式可求ω的值，根據(jù)圖象過(π6，0)，即可求得【解答過程】解：由表中的最大值為4，最小值為?4，可得A=4，由2π3?π6=∵y=4sin(2x+φ)，圖象過(π6，0)，∴0=4sin(π6×2+φ)∵|φ|<π2，∴當(dāng)k=0時，φ=?π【變式1-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）用“五點(diǎn)法”作y=2cosx?1在[0,2π]的圖象時，應(yīng)取的五點(diǎn)為（A．(0,1),π2,0C．(0,1),(π,?3),(2π,1),(3π,?3),(4π,1) D．(0,1),【解題思路】取[0,2π]內(nèi)五個關(guān)鍵點(diǎn)，即分別令x＝0，π2，3π2，π，2【解答過程】∵y=2cosx?1，∴周期T＝2應(yīng)描出的五個點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x＝0，π2，π，3π2，2π．代入解析式可得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,1),(π2,?1),(π,?3),(3π【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πxππ5π7π3πy020?20則f(x)的解析式為（

）A．f(x)=2sin(x?πC．f(x)=sin(2x?π【解題思路】由表格中f(x)的五點(diǎn)，由正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得A=2、T2=π3、【解答過程】由表中數(shù)據(jù)知：A=2且T2=7π∴2πω=2π3，即ω=3，又3×π4【變式1-3】（2021·浙江臺州·高一期中）小明用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asinωx+φ0ππ2πxπ7πy=A020?20請你根據(jù)已有信息推算A，ω,φ的值依次為（

）A．2，2，?π3 B．2，2，π6 C．2，π，?【解題思路】根據(jù)“五點(diǎn)法”中五點(diǎn)對應(yīng)的值計算．【解答過程】由已知A=2，ωπ12+φ=π【題型2三角函數(shù)間圖象的變換】【方法點(diǎn)撥】可以使用“先伸縮后平移”或“先平移后伸縮”兩種方法來進(jìn)行變換.【例2】（2022·寧夏·高三階段練習(xí)（理））為了得到函數(shù)y=cosx的圖象，只需將函數(shù)y=sinA．橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移π6B．橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移π3C．橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變，再向左平移πD．橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變，再向左平移π【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的函數(shù)變換規(guī)則，結(jié)合誘導(dǎo)公式，可得答案.【解答過程】由函數(shù)y=sin2x+π由sinx+π2=cosx，則將函數(shù)【變式2-1】（2022·天津·高三階段練習(xí)）將函數(shù)fx=sin2x的圖象先向右平移π3個單位長度，再把所得函數(shù)圖象上每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)gA．12 B．?32 C．?【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求得g(x)，再求結(jié)果即可.【解答過程】將函數(shù)fx=sin2x的圖象先向右平移π3故gπ【變式2-2】（2022·山東青島·高三期中）把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移π6個長度單位，得到函數(shù)y=sin2x?A．f(x)=sin4x+πC．f(x)=sinx2【解題思路】根據(jù)圖象變換求解析式即可.【解答過程】y=sin2x?π6向左平移π6得到y(tǒng)=sin2x+【變式2-3】（2022·安徽·高二開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=cos2x?3π4，先將fx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移πA．gx=sinxB．gx=?【解題思路】利用三角函數(shù)的伸縮變換和平移變換求解.【解答過程】解：先將fx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=cosx?3π4【題型3與三角恒等變換有關(guān)的圖象變換問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)三角恒等變換的相關(guān)知識對所給解析式進(jìn)行化簡，利用圖象變換規(guī)律進(jìn)行變換即可.【例3】（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sin2ωx-cos2ωx+1(0<ω<1)，將fx的圖像先向右平移π4個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)A．14 B．12 C．23【解題思路】根據(jù)輔助角公式將fx化簡，利用圖像變換得到的gx解析式，再由對稱和ω的范圍求得【解答過程】由已知fx將fx的圖像先向右平移π得到gx=2sin2則sinωπ-ωπ2?π4=0，所以【變式3-1】（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)f(x)=sin2x+πA．函數(shù)f(x)的最小正周期為2B．函數(shù)f(x)在?πC．將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π6個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為D．將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π12個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為【解題思路】首先利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)【解答過程】解：f(x)=函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2πx∈?π4,π4，則2x?π6將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π6個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=sin將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π12個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=sin2【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)f(x)=3sinxcosx+cos2x?1的圖象向右平移π6A．?π12+C．?π3+2k【解題思路】先利用三角恒等變換化簡，得到f(x)=sin2x+π【解答過程】f(x)=3則g(x)=sin4x?π解得：x∈?【變式3-3】（2022·天津·高三期中）已知函數(shù)fx=cosA．函數(shù)fx的最小正周期為B．函數(shù)fxC．函數(shù)fx在?D．將函數(shù)fx的圖象向右平移π12【解題思路】首先利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)【解答過程】對于A和B，fx=cos2x?π所以fx的最小正周期為2π2=π對于C，當(dāng)x∈?π6因?yàn)閥=sinx在?π2,對于D，將函數(shù)f(x)的圖像向右平移π12個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=【題型4由部分圖象求函數(shù)的解析式】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)部分圖象求出解析式中的A，SKIPIF1<0，即可得解.【例4】（2022·黑龍江·高三階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2A．f(x)=2sinx?C．f(x)=2sinx?【解題思路】由函數(shù)圖象得到A、T4，即可求出ω，再根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)7π12,?2及φ的取值范圍，求出φ，即可得解.【解答過程】解：由函數(shù)圖象可得A=2，T4所以f(x)=2sin2x+φ，由函數(shù)過7所以7π6+φ=3π2+2kπ，k∈Z，所以φ=【變式4-1】（2022·廣東佛山·高三期中）已知函數(shù)fx=Asinωx+φ的圖象如圖所示，則A．fx=2cosC．fx=sin【解題思路】根據(jù)振幅可確定A，根據(jù)周期可確定ω，進(jìn)而根據(jù)最高點(diǎn)13π12，2【解答過程】由圖可知：A=2,34fx經(jīng)過最高點(diǎn)13π12，2所以fx【變式4-2】（2022·四川·高三期中（理））已知函數(shù)fx=AsinA．直線x=π是函數(shù)fxB．函數(shù)fx的圖象的對稱中心為?πC．函數(shù)fx在3πD．將函數(shù)fx的圖象向左平移π【解題思路】先根據(jù)函數(shù)圖象，求出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的周期，對稱軸，單調(diào)區(qū)間，奇偶性逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【解答過程】由函數(shù)圖象可知，A=2，最小正周期為T=4×(5π12?π6)=π，所以ω=2ππ=2.將點(diǎn)(對于A，令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，即x=π對于B，令fx=2sin(2x+π6)=0，則2x+π6=kπ，k∈Z，所以對于C，令2kπ?π2≤2x+因?yàn)閤∈3π2,11π6，所以函數(shù)f對于D，將函數(shù)fx的圖象向左平移π12個單位長度后，得到gx【變式4-3】（2022·寧夏·高三階段練習(xí)（理））函數(shù)fx=AsinA．函數(shù)fx的解析式為B．函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為C．為了得到函數(shù)fx的圖象，只需將函數(shù)gx=2D．函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)k【解題思路】由題意求出fx【解答過程】對于A選項(xiàng)，不妨設(shè)A>0，則A=3??12由sinω×?π兩式相減得2π3ω=4設(shè)函數(shù)fx的最小正周期為T，因?yàn)門2≤5π12+因?yàn)?π4+5π因?yàn)棣?lt;π，所以，φ=π對于B，由?π2+2k對于C，將函數(shù)2cos2x+π3向右平移向上平移一個單位長度可得y=2sin對于D，令2x+π3=函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)π【題型5三角函數(shù)模型在勻速圓周運(yùn)動中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題時，首先尋找與角有關(guān)的信息，確定選用正弦、余弦還是正切型函數(shù)模型；其次是尋找數(shù)據(jù)，建立函數(shù)解析式并解題；最后將所得結(jié)果“翻譯”成實(shí)際答案，要注意根據(jù)實(shí)際作答.【例5】（2022·全國·高一課時練習(xí)）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.【解題思路】（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)P，以軸心Q為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為π15（2）將數(shù)據(jù)代入解析式計算得到答案.（3）計算H1=55sin?=110sin【解答過程】（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)P，以軸心Q為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)t=0min時，游客甲位于點(diǎn)P(0,?55)，以O(shè)P為終邊的角為?根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為π15由題意可得H=55sinπ15（2）當(dāng)t=5時，H=55sin所以游客甲在開始轉(zhuǎn)動5min后距離地面的高度約為37.5m.（3）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)A，B表示，則∠AOB=2π經(jīng)過tmin后甲距離地面的高度為H1=55sinπ15t?π此時乙距離地面的高度為H2則甲、乙距離地面的高度差h=55sinπ15t?可得?=110sinπ48當(dāng)π15t?π48=π2所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2m.【變式5-1】（2022·陜西漢中·高一期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用，明朝科學(xué)家徐光啟所著《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理．如圖，一個半徑為3m的筒車，按逆時針方向轉(zhuǎn)一周的時長為2min，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5m，筒車上均勻分布了12個盛水筒，設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為y（單位：m）（在水面下則y為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P裝剛浮出水面時開始計算時間，則y與時間t（單位：min）之間的關(guān)系為y=Asin(1)求A，m，φ，b的值；(2)盛水簡出水后至少經(jīng)過多長時間就可以到達(dá)最高點(diǎn)？【解題思路】（1）由題可得A+b=92?A+b=?32（2）由函數(shù)最大值為92，可得πt?π6=π【解答過程】（1）由題易知A+b=92?A+b=?32，解得A=3，b=∴y=3sinπt+φ+32，∴0=3sinφ+32，φ<π2，（2）由y=3sinπt?π6+32=92，得sin∴當(dāng)k=0時，盛水筒出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)，此時t=23min【變式5-2】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知電流隨時間t變化的關(guān)系式是i=5sin(1)求電流i的周期?頻率?振幅和初相;(2)分別求t=0,1【解題思路】（1）由三角函數(shù)的A，ω和φ的意義進(jìn)行求解即可．（2）代入函數(shù)解析式求值即可.【解答過程】解：（1）∵i=5sin100πt+π3,t∈[0,+∞)所以函數(shù)的周期T=2πω=2π100π=1（2）當(dāng)t=0時,i=5sinπ3=5當(dāng)t=1150時,i=5sin23當(dāng)t=160時,【變式5-3】（2022·吉林·高一期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4m，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為2m，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動4圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)（即P0時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)盛水筒M從點(diǎn)P0運(yùn)動到點(diǎn)P時所經(jīng)過的時間為t（單位：s），且此時點(diǎn)P距離水面的高度為h（單位：m）（在水面下則h為負(fù)數(shù)）.(1)求點(diǎn)P距離水面的高度為h關(guān)于時間為t的函數(shù)解析式；(2)求點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時間（單位：s）.【解題思路】（1）根據(jù)題意，建立函數(shù)關(guān)系式；（2）直接解方程即可求解.【解答過程】（1）盛水筒M從點(diǎn)P0運(yùn)動到點(diǎn)P時所經(jīng)過的時間為t，則以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角為2π15t?π6，故P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4sin(2π（2）令?(t)=4sin(2π15t?π6得t=15k+5，k∈Z，因?yàn)辄c(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)，所以0<t<2π2π15【題型6函數(shù)SKIPIF1<0與三角恒等變換的綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關(guān)系，并能根據(jù)式子的特點(diǎn)構(gòu)造出二倍角的形式，正用、逆用、變形用二倍角公式求值，注意利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【例6】（2022·福建·高三期中）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)fx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移π6個單位，得到函數(shù)gx的圖象，當(dāng)x∈【解題思路】（1）利用三角恒等變換得到fx（2）根據(jù)伸縮變換和平移變換得到gx=sinx?π【解答過程】（1）fx令π2+2kπ所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為：5（2）將函數(shù)fx得到函數(shù)y=sinx?π得到gx=sinx+π所以gx的值域?yàn)?【變式6-1】（2022·湖北·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx在區(qū)間?(2)將函數(shù)fx圖像向右移動π6個單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的a0<a<1倍得到y(tǒng)=gx的圖像，若y=gx【解題思路】（1）先化簡f(x)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；（2）先利用題意的圖象變換得到gx=2sin【解答過程】（1）依題意可得f(x)=4=sin當(dāng)?π4≤x≤π6時，?π6≤2x+π所以函數(shù)fx在區(qū)間?π4（2）由（1）知，f(x)=2sin2x+π3，將函數(shù)fx圖像向右移動π因?yàn)閤∈?1,1，2ax∈?2a,2a，又y=sinx在y軸右側(cè)的第50個最大值點(diǎn)為π所以a的取值范圍0,4【變式6-2】（2022·寧夏高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)f(x)=23(1)若f(x)=0,x∈?π2(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π3個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在π【解題思路】（1）利用二倍角公式、兩角差的正弦展開式進(jìn)行化簡可得fx=2sin2x?π6+1【解答過程】（1）fx由f(x)=0，得2sin2x?π故2x?π6=?π6即x=kπ或x=?π3+kπ，k∈Z，又（2）將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π3個單位，可得函數(shù)圖象的解析式為y=2sin2∵π所以函數(shù)g(x)在π12,2【變式6-3】（2022·江蘇常州·高三期中）記函數(shù)f(x)=sin2ωx+3sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期為(1)求ω的值；(2)將函數(shù)y=fx的圖象向左平移π4個單位，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=gx的圖象，求g【解題思路】整理函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù)，再根據(jù)對稱性得ω取值情況，結(jié)合最小正周期T的范圍，轉(zhuǎn)化為ω的取值范圍，結(jié)合可得ω的值；根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得函數(shù)y=gx的解析式，再根據(jù)自變量的取值范圍得函數(shù)y=g【解答過程】（1）解：f(x)=1?所以f(x)=sin2ωx?π6+12所以ω=2+3k，k∈Z，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期T滿足π3所以π3<2π2ω（2）解：由（1）得，f(x)=sin4x?則g(x)=sin因?yàn)閤∈?π2,0，所以2x+5gx在?π2,0專題5.6函數(shù)SKIPIF1<0（重難點(diǎn)題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021·廣東揭陽·高一期末）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)fxωx+φ0ππ3π2xπ5πA05?50根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，函數(shù)fx的解析式可以是（

A．fx=5sinC．fx=5sin【解題思路】根據(jù)函數(shù)最值，可求得A值，根據(jù)周期公式，可求得ω值，代入特殊點(diǎn)，可求得φ值，即可得答案.【解答過程】由題意得最大值為5，最小值為-5，所以A=5，T2=5π6?又2×π3+φ=π2，解得φ=?2．（3分）（2022·四川瀘州·一模（理））為了得到函數(shù)y=cosx的圖象，只需將函數(shù)y=sinA．先橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移π3B．先橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移2π3C．先橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，再向左平移πD．先橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，再向右平移2π【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，結(jié)合函數(shù)解析式，即可直接判斷和選擇.【解答過程】將y=sin2x?π再向左平移2π3個單位長度得到y(tǒng)=故選：B.3．（3分）（2022·廣西·高三階段練習(xí)（文））將函數(shù)fx=sinπ3A．x=π12 B．x=π4 C．【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，求得平移后函數(shù)的解析式，再求其對稱軸即可.【解答過程】將函數(shù)fx=siny=sin令2x?2π3=kπ+π2,k∈Z故選：A.4．（3分）（2023·全國·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,φ<π2與函數(shù)y=gx的部分圖象如圖所示，且函數(shù)A．12 B．1 C．32 【解題思路】根據(jù)函數(shù)平移，利用圖象上已知條件求函數(shù)解析式，求函數(shù)值，可得答案.【解答過程】由題意可知，將函數(shù)y=gx圖象上的點(diǎn)?π3可得y=fx的圖象與x軸負(fù)半軸的第一個交點(diǎn)為?因?yàn)閥=fx的圖象與x軸正半軸的第一個交點(diǎn)為5π所以T=2×5π12+π12又f?π12=sin?π則f(x)=sin2x+π6，5．（3分）（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））函數(shù)fx=3sinωx+φ（ω>0且0<φ<π）在一個周期內(nèi)的圖像如圖所示，將函數(shù)y=fx圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，再向左平移πA．gx=3sinC．gx=?3sin【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖像可知周期，利用周期可求ω，最后帶點(diǎn)即可求出f(x)=3sin43【解答過程】解：由圖像可知T2=5π8+π8=3π∵點(diǎn)5π8,?3在函數(shù)圖像上，∴5π6+φ=2kπ+3π2∴函數(shù)解析式為f(x)=3sin將函數(shù)圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，再向左平移π12個單位長度，得f(x)=36．（3分）（2022·四川省高三階段練習(xí)（理））已知：函數(shù)fx=3A．將fx的圖像向右平移π6個單位長度得B．fx在π4C．若fx1=fxD．fx的圖像關(guān)于點(diǎn)π【解題思路】對函數(shù)化簡變形得fx【解答過程】化簡f對于A，將fx的圖像向右平移π6個單位長度得對于B，x∈π4,π2對于C，fx的最小正周期為T=2π2=π，故fx對于D，fπ12=sin2×故選：C.7．（3分）（2022·湖北·高一期中）如圖，一個半徑為3m的筒車按逆時針方向每分轉(zhuǎn)2圈，筒車的軸心O距離水面的高度為332m，設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若從盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為d=Asinωt+φ+kA>0,ω>0,?π2<φ<πA．332，π15，3，π6 B．332C．3，π15，332，?π6 D．3，【解題思路】根據(jù)dmax=A+k，dmin=k?A可構(gòu)造方程組求得A,k；根據(jù)最小正周期可求得ω；根據(jù)t=0時，【解答過程】由題意知：dmax=3+3∴A+k=3+332k?A=332?3，解得：A=3k=3當(dāng)t=0時，d=3sinφ+332=0，即綜上所述：A=3，ω=π15，k=38．（3分）（2022·天津市高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=3①函數(shù)f(x)的最小正周期為π；②π12,?1③x=π3是函數(shù)④將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π12個單位長度，即可得到函數(shù)y=其中所有正確的結(jié)論的序號是（

）A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①③【解題思路】先得到函數(shù)fx【解答過程】解：fx=32sin因?yàn)閟in2×π12?π因?yàn)閟in2×π3?π6+將函數(shù)fx的圖像向左平移π12個單位長度，即可得到函數(shù)y=sin故選：A.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列四種變換方式中能將函數(shù)y=cosx的圖象變?yōu)楹瘮?shù)y=cosA．向右平移π4個單位長度，再將每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的B．向左平移π8C．每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的12，再向右平移πD．每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再向左平移π4【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移規(guī)律和周期變換逐項(xiàng)判斷可得答案.【解答過程】y=cos對于A，將函數(shù)y=cosx的圖象向右平移π4個單位長度，得到y(tǒng)=cosx?對于B，將函數(shù)y=cosx的圖象向左平移π8個單位長度，得到y(tǒng)=對于C，將函數(shù)y=cosx的圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的12，得到y(tǒng)=cos2x對于D，將函數(shù)y=cosx的圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)=cos1210．（4分）（2022·山東·高三期中）函數(shù)fx=3sinA．fB．fx圖象的一條對稱軸方程是C．fx圖象的對稱中心是kπD．函數(shù)y=fx+【解題思路】首先根據(jù)題意得到fx【解答過程】由函數(shù)fx12T=3π8??π8因?yàn)閒?π8=3sin即φ=3π4+2kπ，k∈Z，因?yàn)閷x項(xiàng)A，因?yàn)閒x對選項(xiàng)B，f?對選項(xiàng)C，令2x+3π4=kπ，k∈Z所以fx的對稱中心是12k對選項(xiàng)D，設(shè)gx則gx的定義域?yàn)镽，g?x=3故選：BD.11．（4分）（2022·湖南·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=23sinωxcosωx+2cos2ωx(ω>0)，且fxA．ω的值為1B．fx的單調(diào)遞增區(qū)間為C．x∈0,π2D．x∈0,π2時，【解題思路】利用三角恒等變換化簡fx解析式，根據(jù)fx的最小正周期求得ω，根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得【解答過程】fx由于fx的最小正周期為π，所以2π2ω=2kπ所以gx的單調(diào)遞增區(qū)間是k函數(shù)fx的圖象向右平移π6個單位長度后得到由于0≤x≤π所以sin2x?所以x∈0,π2時，gx的最大值為故選：AC.12．（4分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（圖1），明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）．一半徑為2米的筒車水輪如圖3所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)P0）開始計時，則（

A．點(diǎn)P再次進(jìn)入水中時用時30秒B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點(diǎn)P處于最低點(diǎn)C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動150秒時，點(diǎn)P距離水面2米D．點(diǎn)P第二次到達(dá)距水面1+3【解題思路】以O(shè)為原點(diǎn)，以與水平面平行的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P距離水面的高度H=2sinπ30【解答過程】解：由題意，角速度ω=2π又由水輪的半徑為2米，且圓心O距離水面1米，可知半徑OP0與水面所成角為π6，點(diǎn)P當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動50秒時，半徑OP0轉(zhuǎn)動了50×π30=以O(shè)為原點(diǎn)，以與水平面平行的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度H=Asin由Hmax=A+B=3H又角速度ω=2π60=π30弧度/秒，t=0時，∠xO所以點(diǎn)P距離水面的高度H=2sinπ30t?π6+1將H=1+3代入H=2sinπ30t?π6+1中，得π30t?π6=2kπ+故選：BCD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·福建·高三階段練習(xí)）將函數(shù)y=3sinx+cosx,x∈R圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖像向左平行移動π【解題思路】首先化簡函數(shù)，再根據(jù)圖像變化規(guī)律求函數(shù)的解析式.【解答過程】y=2sinx+π6，圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得函數(shù)y=2sin故答案為：y=2sin14．（4分）（2022·北京市高三期中）如圖為函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ【解題思路】根據(jù)圖象得到，A=2，T2=2π3?π6=π【解答過程】由題中的圖象知，A=2，T2=2π3?因?yàn)閳D象過點(diǎn)π6,2，所以2×π∵φ<π2，∴φ=π15．（4分）（2022·湖南高一期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具．因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用（如圖）．假設(shè)在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動．現(xiàn)有一半徑為2米的筒車，在勻速轉(zhuǎn)動過程中，筒車上一盛水筒M距離水面的高度H（單位：米）與轉(zhuǎn)動時間t（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式H=2sinπ60t+φ+54，φ∈0,π2，且【解題思路】由題意得2.25=2sinφ+54，求出【解答過程】因?yàn)閠=0時，盛水筒M與水面距離為2.25米，所以2.25=2sinφ+5又φ∈0,π2，則φ=π6，所以H=2故答案為：9416．（4分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）把y=sinx的圖象向右平移φ0<φ<π2個單位，再把所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的12倍，再把所得圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍．得到函數(shù)①f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為π3②f(x)的圖象向右平移m(m>0)個單位得到的函數(shù)是一個偶函數(shù)，則m的最小值為π3③f(x)的對稱中心為kπ④若關(guān)于x的方程2[f(x)]2+nf(x)+1=0在區(qū)間π2,其中，判斷正確的序號是①③④．【解題思路】根據(jù)平移得f(x)=2sin2x?φ，由f(x)≤fπ3和φ的范圍解得φ，再根據(jù)x的范圍和y=2sint的單調(diào)性可判斷①；求出f(x)向右平移m(m>0)個單位的解析式，利用誘導(dǎo)公式和m的范圍可判斷②；求出f(x)的對稱中心可判斷③；令t=2x?【解答過程】根據(jù)題意得，函數(shù)經(jīng)過平移伸縮變換后的解析式為：f(x)=2sin∵f(x)最值=fπ3∵0<φ<π當(dāng)x∈π3,5π6,t=2x?π6f(x)的圖象向右平移m(m>0)個單位得到的函數(shù)是y=2sin則?π6?2m=令2x?π6=kπ?x=kπx∈π2,7π令s=f(x),s∈0,1，則關(guān)于x的方程2f(x)2+nf(x)+1=0在區(qū)間π2設(shè)gs=2s2+ns+1實(shí)數(shù)n滿足0<?n4<1g0故答案為：①③④.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2021·全國·高一課時練習(xí)）將函數(shù)y=sin2x向右平移π（I）求y=fx（II）用“五點(diǎn)法”做出函數(shù)y=fx

【解題思路】（I）由平移變換得函數(shù)解析式；（II）由2x?2π3分別等于0,π【解答過程】（I）由題意f(x)=sin（II）列表：2x?0ππ3π2πxπ7π5π13π4πf(x)010?10描點(diǎn)連線：18．（6分）（2022·青海·高三期中）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πxπ5πA05?50(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式；(2)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平移θ(θ>0)個單位長度，得到y(tǒng)=g(x)的圖象．若y=g(x)圖象的一個對稱中心為5π12,0，求【解題思路】（1）由三角函數(shù)性質(zhì)求解，（2）由三角函數(shù)圖象變換得y=g(x)解析式，再由對稱性列式求解，【解答過程】（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，得A=5,T2=5π6ωx+φ0ππ3π2πxππ7π5π13πA050?50且函數(shù)表達(dá)式為f(x)=5sin（2）由（1）知f(x)=5sin2x?π因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx圖象的對稱中心為(kπ,0),k∈Z．令2x+2θ?由于函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)5π12,0中心對稱，令解得θ=kπ2?π3,k∈Z．由θ>019．（8分）（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f（1）求fπ（2）將函數(shù)fx的圖象向左平移mm>0個單位長度，所得函數(shù)圖象與函數(shù)y=cos（3）若x∈θ，π2時，fx的最小值為【解題思路】先對函數(shù)解析式化簡，（1）直