2024-2025學年湖北省孝感市新高考聯(lián)考協(xié)作體高二（上）起點數(shù)學試卷+答案解析

2024-2025學年湖北省孝感市新高考聯(lián)考協(xié)作體高二（上）起點數(shù)學試

卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.孝感市某高中有學生1200人，其中高一年級有學生400人，高二年級有學生600人，現(xiàn)采用分層隨機抽

樣的方法抽取120人進行問卷調(diào)查，則被抽到的高二年級學生人數(shù)比高一年級學生人數(shù)多（）

A.20B.30C.40D.50

2.已知復數(shù)z滿足：（1+21”=3-44,則復數(shù)￡的虛部為（）

A.2ZB.-2C.2D.-2i

3.已知N=（2,0）,了=（2,2）,則方在了上的投影向量為（）

A.(A/2,1)B.(1,1)C.(2,1)D.(2,2)

7T

4.已知圓錐的側(cè)面積為2江，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為a的扇形，則該圓錐的底面圓半徑為（）

5.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設4="第一枚出現(xiàn)小于4的點'；B="第二枚出現(xiàn)大于3的點”,則N與

2的關(guān)系為（）

A.互斥B.互為對立C.相互獨立D.相等

6.若三棱錐P-43。的三個側(cè)面與底面/3C所成角都相等,則頂點尸在底面的射影為△48。的（）

A.外心B.重心C.內(nèi)心D.垂心

7.如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱4BCD-AiBjCiA，底面ABC。BiX,

則向量/5二二一生〃

是正方形，CCi=3,CD=3,且NGCB=NGCD=60°,

的模長為（）

A.v/29

B.34

CD

C.52

D.3^5

8.已知單位向量定,可滿足0—幣+2盜過.萬=0，則他訝+27|（力WR）的最小值為（）

A.逛B.\/3C.D.遛

332

第1頁，共14頁

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.關(guān)于向量方，了，下列命題中正確的是（）

A.若同=|陰，則戈=了B.若丁=—了，則鬲/了

C.若同>\~b\，則方〉了D.若/=了,了=工，則才=苒

10.如圖，正方體48。0-小昌。1。1的棱長為1,點尸在線段。1。1上運動,

則下列選項中正確的是（）

A.4P的最小值為核

B.平面BBiPL平面小耳。山1

C.若尸是的中點，則二面角P-B.B-G的余弦值為壁

5

D.若。F=1則直線31P與所成角的余弦值為選

45

11.在一種數(shù)字通訊中，信號是由數(shù)字0和1的序列組成的.在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.

發(fā)送0時，收到1的概率為a（0<?<1）,收到0的概率為1—a；發(fā)送1時，收到0的概率為0（0</?<1）,

收到1的概率為1-。.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次

傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼;

三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1,1,0,則譯碼為1）,下列說法正

確的是（）

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為（1-a）（l-。）2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為步（1—⑶

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為0（1—0）2+（1—0）3

D.當0<a<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概

率

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知a為實數(shù)，若復數(shù)z=—3a—4）+（a—4），為純虛數(shù)，則復數(shù)a—就在復平面內(nèi)對應的點位于第

______象限.

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13.三棱錐?！?8。中，平面A8C,AB1BC>DA=AB=BC=V2,則該三棱錐的外接

球體積等于.

7T

14.在△AB。中，A=-,就.豆？=3。［.屈，則△ABC中最小角的余弦值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖，在直三棱柱48。—中，AB=AC=5,BB\=BC=6,D,￡分別是44i和31c的中點.

(1)求證:平面BOGS；

(2)求三棱錐E-BCD的體積.

16.(本小題15分)

已知同=2,E=4,I才+引=27^.

(1)若(2方—心了)胃+2了)，求實數(shù)后的值；

⑵求才與3力+6~b的夾角的余弦值.

17.(本小題15分)

在△43。中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=a(l+2cosB).

,、7T

(1)若8=可，求角C的大??；

o

(2)若△AB。為銳角三角形，求。的取值范圍.

a

18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，平面/BCD,E為尸。的中點，AD//BC,ABAD=90°，

PA=AB=BC=1,AD=2.

(1)求證：CE〃平面P/b

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(2)求證：平面p4cL平面尸DC；

⑶求直線EC與平面尸/C所成角的正弦值.

19.(本小題17分)

/校和8校是孝感市兩所著名的高中，為了相互學習和交流，現(xiàn)隨機抽取2000名/校學生和2000名8校

學生參加一場知識問答競賽，得到的競賽成績?nèi)课挥趨^(qū)間性0,100)中，現(xiàn)分別對兩校學生的成績作統(tǒng)計

分析：對N校學生的成績經(jīng)分析后發(fā)現(xiàn)，可將其分成組距為10,組數(shù)為6,作頻率分布直方圖，且頻率分

布直方圖中的y(y=票)滿足函數(shù)關(guān)系y=晨:鼠⑺為組數(shù)序號，說孫關(guān)于B

頻率

校學生成績的頻率分布直方圖如圖所示(縱軸為假定每組組內(nèi)數(shù)據(jù)都是均勻分布的.

W1

(1)求左的值;

(2)若3校準備給前100名的學生獎勵，應該獎勵多少分以上的學生？

(3)現(xiàn)在設置一個標準f來判定某一學生是屬于/校還是2校，將成績小于f的學生判為2校，大于f的學

生判為/校，將/校學生誤判為2校學生的概率稱為誤判率N,將8校學生誤判為4校學生的概率稱為誤

判率3,誤判率/與誤判率8之和稱作總誤判率，記為/(塊若力e[50,70),求總誤判率/㈤的最小值，以及

此時t的值.

口得分

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：用分層隨機抽樣的方法抽取120人進行問卷調(diào)查，

19A19f)

則被抽到的高二年級學生人數(shù)為600x急=60,被抽到的高一年級學生人數(shù)為40x炭=40,

JLNUUJ_ZUU

故被抽到的高二年級學生人數(shù)比高一年級學生人數(shù)多20.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解.

本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：由(1+21”=3—44,

3-4z(3-4z)(l-2z)-5-10i

行z=-----=------------7=------=—1—2l.

l+2i(1+2x)(1-22)1—4彈

.-.2=-l+2i>則復數(shù)￡的虛部為2.

故選：C.

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：因為才=(2,0),了=(2,2)，所以才.了=2x2+0x2=4，|T|=\/22+22=2\/2>

所以才在了上的投影向量為?了=：x⑵2)=(1,1).

故選：B.

根據(jù)題意利用投影向量的公式加以計算，可得答案.

本題主要考查平面向量數(shù)量積及其坐標運算、向量的模的公式、投影向量的概念等知識，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：依題意，設圓錐的底面半徑為廠，則其側(cè)面展開圖的扇形弧長為27TT,

/_27rr_?

則側(cè)面展開圖的扇形半徑為I-F，

3

側(cè)面積為-x2仃xI=6仃2=27r,解得r=V3

23

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故選：A.

由題意，先求出圓錐側(cè)面展開圖扇形的半徑，再由側(cè)面積公式列方程計算即得.

本題主要考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，圓錐的側(cè)面積的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，A="第一枚出現(xiàn)小于4的點”,B=“第二枚出現(xiàn)大于3的點”，

則P(n)=O=LP(B)=-=

')62''62''6x64

則有尸(4B)=尸(⑷尸/)，事件/、3相互獨立.

故選：C.

根據(jù)題意，求出P(A)、P(B)和P(4B),由相互獨立事件的定義分析可得答案.

本題考查事件之間的關(guān)系，涉及相互獨立事件的定義，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：設尸在底面N3C的射影為O,過。向△AB。的三邊作垂線OD,太

OE,OF,/

連結(jié)PE,PF,/lp\\\

?.?POL平面48C,4BU平面4BC,/尸'[\\

：,POA.AB,又ODLAB,ODQOP=O,A\\.\\/

.?.ABI平面。PD，」.AgrPO，D\\/

.?./POO為側(cè)面尸與平面48c的二面角，B

同理NPE。，NPF。為其余兩側(cè)面與底面48c的二面角，

APDO=NPEO=ZPFO,

又POLOD,POLOE,POLOF,尸。為公共邊，

RtAFOD^RtAPO^^RtAFOF,

,,.OD=OE=OF,

,0是△ABC的內(nèi)心.

故選C

作出三個二面角，利用三角形全等得出。到△ABC的三邊距離相等，得出結(jié)論.

本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定，二面角的做法，屬于中檔題.

7.【答案】D

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【解析】解：設而=才，區(qū)=了，語=/，

則布=/+知+虎=—（才+了+工），

\A^\=|/+7+可=J（N+3+工）2=（^2+那2+工2+27?號+2刀.工+2號.工

/11

—y9+94-9+2x3x3x—+2x3x3x—+0

=3\/5.

故選：D.

由已知結(jié)合向量的線性運算及向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了向量的線性運算及向量數(shù)量積的性質(zhì)的應用，屬于基礎題.

8.【答案】B

【解析】解：由河―用+2通/.了=0，可得口—用=一2通方.了，

兩邊平方,得才一2下.了+鏟=12（才?了產(chǎn)，即12（方?了『+2方?萬—2=0，

整理得（2下.了+1）（3才.了—1）=0,解得記?了=_：或才?了=:,

因為何―了|=—2通才.了20，所以T.RWO，所以記?號=—g,

所以+2引=y/\t~ct+2~b\2=\/i2+4+4t~ct-~b=y/t2-2t+4=y（i-l）2+3》通，

當且僅當t=1時等號成立，則|力才+27|的最小值為V3.

故選：B.

由|力—7|+2通力?了=0,可求得/?了=—會再利用模長公式及二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，屬中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：對于/,兩個向量的模相等，但是方向不確定，所以不一定相等，故/項錯誤；

對于8,若才=—了，則向量方與工的方向相反且模相等，因此正〃下，故8項正確；

對于C,兩個向量不能比較大小，故。項錯誤；

對于D,若才=了，了=工，則根據(jù)向量相等的定義，可知才=苒，故。項正確.

故選：BD.

根據(jù)平面向量的定義與基本概念，結(jié)合兩個向量平行的含義對各項逐一檢驗，即可得到本題的答案.

本題主要考查平面向量的定義、向量的模、平面向量共線等知識，屬于基礎題.

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10.【答案】ABC

【解析】解：選項/,由勾股定理知，4P=^AD^+PDl》

當且僅當P0I=O,即點尸與Oi重合時，等號成立，

所以/尸的最小值為即選項/正確；

選項3,由正方體的性質(zhì)知，平面4_BQi_Di，

因為8區(qū)U平面881P,所以平面BSP，平面4耳。1。1，即選項8

正確；

選項c,因為平面4B1GA，且B1P,B1GU平面4氏。1。1，

所以BBJBiCi，

所以NPBiG即為二面角P—BiB—Ci的平面角，

又尸是的中點，所以耳P=.12+(；『=',

/PRC_B?_1_2y/5

所以COSN右.5—B]P—通一5,即選項c正確；

~T

選項。，取4場的四等分點。，連接PQ,BQ,則MQ=；,

因為。iP=；,所以。1。=3(2，

而。1P〃場Q,所以四邊形。iPRiQ是平行四邊形，所以8iP〃OiQ,

所以NRDiQ或其補角即為所求,

在△BDiQ中，7?iQ=j].2+4『=:,BQ=q+(J=,BQ=網(wǎng),

2517

I??+BD：-BQ216+-16

由余弦定理知,cosZ.BDiQ=

2_Z?iQ,BD]2x-xV3~15

4

所以直線BiP與BDi所成角的余弦值為1X2,即選項D錯誤.

15

故選：ABC.

選項，，根據(jù)勾股定理可得當點尸與。1重合時，NP取得最小值；

選項3,結(jié)合正方體的性質(zhì)和面面垂直的判定定理，即可作出判斷；

選項C,先證BBilBiCi，由二面角的定義知NPBiG即為所求，再由三角函數(shù)的知識，求

解即可；

選項。，取4所的四等分點。，連接0iQ,BQ,先證四邊形01PR1Q是平行四邊形，可得BF//D1Q,

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從而知/BOiQ或其補角即為所求，再結(jié)合勾股定理與余弦定理，求解即可.

本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握異面直線所成角、二面角的求法，面面垂直的判定定理等是解題

的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

11.【答案】AD

【解析】解：對于4依次發(fā)送1,0,1,則依次收到/,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送

1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1—0)(l—a)(l—0)=(1—a)(l—0)2,N正確；

對于8,三次傳輸，發(fā)送1,相當于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到/,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1—0)?伙(1-0)=0(1-OR5錯誤；

對于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和，

它們互斥，由選項8知,所以所求的概率為。初(1—3)2+(1—口)3=(1—02(1+20),c錯誤;

對于，由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=(l—a)2(l+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=l—a,而0<a<0.5,

因此P—P'=(1—a)?。+2a)-(1一a)=a(l-a)(l—2a)〉0,即P〉P'，。正確.

故選：AD.

根據(jù)相互獨立事件以及互斥事件概率計算相關(guān)知識可逐一判斷.

本題考查相互獨立事件以及互斥事件概率計算相關(guān)知識，屬于基礎題.

12.【答案】二

【解析】解：?.?復數(shù)2=(a?—3a—4)+(a—4)，為純虛數(shù)，

"二,；4=°，解得a=—1,

1a-4^0

a—ai——1+i,

復數(shù)-1+，在復平面內(nèi)對應的點(-1,1)位于第二象限.

故答案為：二.

根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的概念和復數(shù)的幾何含義，即可求解.

本題考查了純虛數(shù)的概念和復數(shù)的幾何含義，屬于基礎題.

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13.【答案】這7r

3

【解析】解：?「三棱錐。—48。中，平面/8C,ABLBC，DA=AB=^3'BC=五，

,該三棱錐的外接球的直徑為長，寬，高分別為通，圓通的長方體的體對角線,

設該球的半徑為R,則（2況）2=（通）2+（松）2+（通）2=8,,7?=2，

該三棱錐的外接球體積為.兄3=3x7TX（V^）3=九27r.

故答案為：羽27r.

3

根據(jù)分割補形法，即可求解.

本題考查三棱錐的外接球問題，分割補形法的應用，屬基礎題.

14.【答案】Y3

2

7T

【解析】解：因為A=5,

所以瓦.皿=\B1\\B^\COSB=BA2,cl-c^=\cl\\a§\cosc=c^,

又因為初?瓦？=3。不屈，

所以氏42=3。/,即84=遮。4，因此3最小，

「BAV3CA%/3

所以cosB=皮===—.

8cAi+（通04）2，

故答案為：息.

2

根據(jù)數(shù)量積的定義化簡已知式后求解.

本題考查平面向量數(shù)量積的定義和幾何意義，屬于基礎題.

15.【答案】解：（1）證明：取8C中點G,連接/G,EG,

因為E是場。的中點，

所以EG//BB1，且EG=；BBi，

由直棱柱知，AAJ/BBx,而。是441的中點，

所以石6〃40且石仁=04，

所以四邊形EGAD是平行四邊形，

所以EO〃4G,

又4B=4。，G為8C中點，

所以4G_LBC，

第10頁，共14頁

又三棱柱ABC-4氏。1為直三棱柱，

所以BiBl平面ABC,AGC平面ABC,

所以又BiBCBC=B,BXB,BCBCC^,

所以AG1平面BOGS，

故。EL平面8CC1B1.

⑵因為VE-BCD=VD-BEC，

由（1）知，OEL平面BCGBi，ED//AG,

所以VD-BEC=VA-BEC=VE-ABC=VD-ABC，

且VD-ABC=-x—BC-EG-AG=—x—x6x3x4=12.

3232

【解析】（1）取BC中點G,連接/G,EG,先證4G，平面BCG81，結(jié)合EDHAG,即可得出。EL平

面3。。1場；

⑵通過等積變換可得VE-BCD=VD.ABC,求匕3TBe即可.

本題考查線面垂直的判定，以及等體積法的應用，屬于中檔題.

16.【答案】解：⑴由|團=2,|b|=4,+b\=2A/3，

可得|才+了|=2\/3=7飛2+2N.了+%2=/4+2。7+16，

解得力?了=—4，

若（22-kt）_L（k笈+27），則有（2a*-彘〉（kN+21）=0,

2

即2k飛2_2彘，+（4-記.T=8fc-32fc-16+4A:=0,

化簡得R一6卜一4=0，解得上=3±，*；

（2）由題意，甘.（3甘+6不）=3才2+6下.了=12-24=-12,

|3才+6?=3,記2+4區(qū).7+472=3xx/4-16+4x16=6履'

設3與3才+6號的夾角為0，

.才?（3記+6萬）-12V13

則cos0=_————=------產(chǎn)=--—,

同|3胃+66|2x6g13

故區(qū)與3m+6號的夾角的余弦值為—①.

第H頁，共14頁

【解析】（1）根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，得兩向量數(shù)量積為零，再根據(jù)數(shù)量積運算即可求得左值;

（2）根據(jù)向量夾角公式即可求解.

本題考查向量垂直的性質(zhì)及平面向量數(shù)量積運算，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)因為c=Q(1+2cos5),由正弦定理得：sinC=sinA*(l+2cosB),

又4+_B+C=7T,所以sinC=sin(A+B),

所以sin(A+B)-2sinAcosB=smAf得cosAsinB-sinAcosB=sinA,

所以sin(B-A)=sinA,則6—4=4或5-A+A=々(舍)，

：,B=2A,

7T_7F_7T

B——,A——,C——；

362

(2)由題意及(1)得，在△AB。中，B=2A,

,bsinBsin24八，

由正弦定理得，-—-=——--2cosA,

asmAsmA

?「△46。為銳角三角形，

0<A<|

.J0<2A<7-T,解得：7-T<A<7T-,

2o4

7T

0<TT-A-2A<-

、2

/.\Fl<2cosA<石，

二，的取值范圍為(，2A/3).

【解析】(1)根據(jù)正弦定理，把c=a(l+2cos8)化成sinC=sinA(l+2cosB),結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,

消去角C,可得角/,8的關(guān)系，結(jié)合3=a，可求角C；

O

（2）根據(jù)（1）中角/,8的關(guān)系，利用正弦定理，可得9=坐,再根據(jù)△ABC為銳角三角形，可求角/

asmA

的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得9的取值范圍.

a

本題考查了正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

18.【答案】解（1）證明：取尸區(qū)的中點連接ME,

為尸。的中點，

ME//AD且ME=^AD,

-：BC//ADS.BC=^AD,

BC

：,ME11BC豆ME=BC，

第12頁，共14頁

二四邊形MEBC為平行四邊形，

BM//CE,又,：CEC面PAB,BMPAB,

，CE〃平面PAB.

⑵證明：平面48cD,OCc平面48cD，/.PALDC，

過C作。交AD于。，則cc，=i，CD=1，

：,CD=\/2>又AC=?，

.?.4。2+。。2=2+2=4。2,.DCVAC，又4。0尸4=4,

QC_L平面P/C,又0CU平面PAC，

平面PACl^PDC.

(3)取尸C中點尸，連接跖，則EF〃DC,

由⑵知平面PAC,則￡凡L平面PAC,

：,NECF為直線E