高中數(shù)學(xué) 3.1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（二）課時作業(yè) 北師大版必修4

§1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(二)課時目標1．靈活運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行化簡、證明．2．通過對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的變用、逆用、活用，提高三角恒等變形的能力．1．化簡三角函數(shù)式的要求：(1)能求出值的應(yīng)求出值；(2)使三角函數(shù)種類盡量少；(3)使項數(shù)盡量少；(4)盡量使分母不含三角函數(shù)；(5)盡量使開方數(shù)不含三角函數(shù)．2．三角恒等式的證明證明三角恒等式時要認真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點，角度、函數(shù)、結(jié)構(gòu)的差異，一般由繁的一邊往簡的一邊證，逐步消除差異，最后達到統(tǒng)一．對于有附加條件的恒等式的證明．證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)乩酶郊訔l件，要認真分析條件式和結(jié)論式中三角函數(shù)之間的聯(lián)系，從分析過程中發(fā)現(xiàn)條件應(yīng)怎樣利用．1．若sinα＋sin2α＝1，則cos2α＋cos4α等于()A．0B．1C．22．化簡sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的結(jié)果是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．1D．eq\f(3,2)3．化簡(eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα))(1－cosα)的結(jié)果是()A．sinαB．cosαC．1＋sinαD．1＋cosα4．已知eq\f(1＋sinx,cosx)＝－eq\f(1,2)，那么eq\f(cosx,sinx－1)的值是()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－25．已知α是第三象限角，則eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))－eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))等于()A．－2tanαB．－2cosαC．tanαD．1－sinα6．已知A為銳角，lg(1＋cosA)＝m，lgeq\f(1,1－cosA)＝n，則lgsinA的值為()A．m＋eq\f(1,n)B．m－nC．eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,n)))D．eq\f(1,2)(m－n)二、填空題7．三角函數(shù)式eq\f(cosα＋πsin2α＋3π,tanα＋πcos3－α－π)的化簡結(jié)果是________．8．化簡：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝____．9．化簡sin6α＋cos6α＋3sin2αcos2α＝________．三、解答題10．化簡：eq\f(1－cos4α－sin4α,1－cos6α－sin6α)．11．證明：(1)eq\f(1－cos2α,sinα－cosα)－eq\f(sinα＋cosα,tan2α－1)＝sinα＋cosα；(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．能力提升12．已知tan2α＝2tan2β＋1，求證：sin2β＝2sin2α－1．13．求證：eq\f(cosα,1＋sinα)－eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(2cosα－sinα,1＋sinα＋cosα)．1．化簡三角恒等式常用的方法有：(1)化切為弦，即把非正弦、非余弦的函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化簡的目的．(2)對于含有根號的，常把根號下化成完全平方式，然后去根號，達到化簡的目的．(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解．2．證明三角恒等式的實質(zhì)是清除等式兩端的差異，有目的地進行化簡．證明三角恒等式的基本原則：由繁到簡．常用方法：從左向右證；從右向左證；左、右同時證．常用技巧：切化弦、整體代換．§1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(二)答案作業(yè)設(shè)計1．B[sinα＝1－sin2α＝cos2α，cos2α＋cos4α＝cos2α＋sin2α＝1．]2．C[sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)＝sin2β＋cos2β＝1．]3．A[原式＝(eq\f(1,sinα)＋eq\f(cosα,sinα))(1－cosα)＝eq\f(1＋cosα1－cosα,sinα)＝eq\f(1－cos2α,sinα)＝eq\f(sin2α,sinα)＝sinα．]4．A[因eq\f(1＋sinx,cosx)·eq\f(sinx－1,cosx)＝eq\f(sin2x－1,cos2x)＝－1，故eq\f(cosx,sinx－1)＝eq\f(1,2)．]5．A[原式＝eq\r(\f(1＋sinα2,cos2α))－eq\r(\f(1－sinα2,cos2α))＝eq\f(1＋sinα,－cosα)－eq\f(1－sinα,－cosα)＝eq\f(2sinα,－cosα)＝－2tanα．]6．D[兩式相減得lg(1＋cosA)－lgeq\f(1,1－cosA)＝m－n?lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n?lgsin2A∵A為銳角，∴sinA>0，∴2lgsinA＝m－n，∴l(xiāng)gsinA＝eq\f(m－n,2)．]7．tanα解析原式＝eq\f(－cosα·sin2α,tanα·cos3α＋π)＝eq\f(－cosα·sin2α,－tanα·cos3α)＝eq\f(cosα·sin2α,sinα·cos2α)＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα．8．1解析原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)＝sin2α＋cos2α＝1．9．1解析原式＝(sin2α＋cos2α)(sin4α＋cos4α－sin2αcos2α)＋3sin2αcos2α＝sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2α＝(sin2α＋cos2α)2＝1．10．解原式＝eq\f(1－cos4α－sin4α,1－cos6α－sin6α)＝eq\f(1－cos2α1＋cos2α－sin4α,1－cos2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α)＝eq\f(sin2α1＋cos2α－sin4α,sin2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α)＝eq\f(1＋cos2α－sin2α,1＋cos2α＋cos4α－sin4α)＝eq\f(2cos2α,1＋cos2α＋cos2α＋sin2αcos2α－sin2α)＝eq\f(2cos2α,1＋cos2α＋cos2α－sin2α)＝eq\f(2cos2α,3cos2α)＝eq\f(2,3)．11．證明(1)左邊＝eq\f(sin2α,sinα－cosα)－eq\f(sinα＋cosα,\f(sin2α,cos2α)－1)＝eq\f(sin2α,sinα－cosα)－eq\f(sinα＋cosα,\f(sin2α－cos2α,cos2α))＝eq\f(sin2α,sinα－cosα)－eq\f(cos2αsinα＋cosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(sin2α,sinα－cosα)－eq\f(cos2α,sinα－cosα)＝eq\f(sin2α－cos2α,sinα－cosα)＝sinα＋cosα＝右邊．∴原式成立．(2)∵左邊＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，右邊＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α∴左邊＝右邊，∴原式成立．12．證明由tan2α＝2tan2β＋1，得eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sin2β,cos2β)＋1即eq\f(sin2α,1－sin2α)＝eq\f(2sin2β＋cos2β,cos2β)∴eq\f(sin2α,1－sin2α)＝eq\f(sin2β＋1,1－sin2β)．∴eq\f(sin2α,1)＝eq\f(sin2β＋1,2)(比例的性質(zhì))∴sin2β＋1＝2sin2α，即sin2β＝2sin2α－1．13．證明方法一左邊＝eq\f(cosα1＋cosα－sinα1＋sinα,1＋sinα1＋cosα)＝eq\f(cos2α－sin2α＋cosα－sinα,1＋sinα＋cosα＋sinαcosα)＝eq\f(cosα－sinαcosα＋sinα＋1,\f(1,2)cosα＋sinα2＋sinα＋cosα＋\f(1,2))＝eq\f(2cosα－sinαcosα＋sinα＋1,sinα＋cosα＋12)＝eq\f(2cosα－sinα,1＋sinα＋cosα)＝右邊．∴原式成立．方法二∵eq\f(cosα,1＋sinα)＝eq\f(1－