高中數學 3.3.2 雙曲線的簡單性質課時作業(yè) 北師大版選修2-1

3.2雙曲線的簡單性質課時目標了解雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線等幾何性質，會根據幾何性質求雙曲線方程，及學會由雙曲線的方程研究幾何性質．1．雙曲線的簡單幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)范圍對稱性關于______軸對稱關于原點對稱頂點(a,0)，(－a,0)漸近線y＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)>12.(1)雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的________；(2)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的兩個頂點為A1(－a,0)、A2(a，0)．設B1(0，－b)、B2(0，b)，線段A1A2叫做雙曲線的________，它的長等于2a，a叫做雙曲線的半實軸長，線段B1B2叫做雙曲線的________，它的長等于2b，b叫做雙曲線的半虛軸長．實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，等軸雙曲線的漸近線方程為y＝±x.(3)當雙曲線的離心率e由小變大時，雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得________，原因是eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)，當e增大時，eq\f(b,a)也增大，漸近線的斜率的絕對值________．一、選擇題1．下列曲線中離心率為eq\f(\r(6),2)的是()A.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,6)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,10)＝12．雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,4)＝1的漸近線方程是()A．y＝±eq\f(2,5)xB．y＝±eq\f(5,2)xC．y＝±eq\f(4,25)xD．y＝±eq\f(25,4)x3．雙曲線與橢圓4x2＋y2＝1有相同的焦點，它的一條漸近線方程為y＝eq\r(2)x，則雙曲線的方程為()A．2x2－4y2＝1B．2x2－4y2＝2C．2y2－4x2＝1D．2y2－4x2＝34．設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為2，焦距為2eq\r(3)，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(1,2)x5．直線l過點(eq\r(2)，0)且與雙曲線x2－y2＝2僅有一個公共點，則這樣的直線有()A．1條B．2條C．3條D．4條6．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(7,3)題號123456答案二、填空題7．兩個正數a、b的等差中項是eq\f(5,2)，一個等比中項是eq\r(6)，且a>b，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝______.8．在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，且a＝10，c－b＝6，則頂點A運動的軌跡方程是________________．9．與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的漸近線，并且經過點(－3，2eq\r(3))的雙曲線方程為__________．三、解答題10．根據下列條件，求雙曲線的標準方程．(1)經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，3))，且一條漸近線為4x＋3y＝0；(2)P(0,6)與兩個焦點連線互相垂直，與兩個頂點連線的夾角為eq\f(π,3).11．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(4，－eq\r(10))．(1)求此雙曲線的方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面積．能力提升12．設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3)＋1,2)D.eq\f(\r(5)＋1,2)13．F1、F2是雙曲線的左、右焦點，P是雙曲線上一點，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12eq\r(3)，又離心率為2，求雙曲線的方程．1．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)既關于坐標軸對稱，又關于坐標原點對稱；其頂點為(±a，0)，實軸長為2a，虛軸長為2b；其上任一點P(x，y)的橫坐標均滿足|x|≥a.2．雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)的取值范圍是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)，離心率e越大，雙曲線的開口越大．可以通過a、b、c的關系，列方程或不等式求離心率的值或范圍．3．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，也可記為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0；與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同漸近線的雙曲線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．3．2雙曲線的簡單性質知識梳理1.標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)范圍x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a對稱性關于x、y軸對稱關于原點對稱頂點(a,0)，(－a,0)(0，a)，(0，－a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)>1e＝eq\f(c,a)>12.(1)中心(2)實軸虛軸(3)開闊增大作業(yè)設計1．B[∵e＝eq\f(\r(6),2)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，故選B.]2．A3．C[由于橢圓4x2＋y2＝1的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),2)))，則雙曲線的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),2)))，又由漸近線方程為y＝eq\r(2)x，得eq\f(a,b)＝eq\r(2)，即a2＝2b2，又由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝a2＋b2，得a2＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(1,4)，又由于焦點在y軸上，因此雙曲線的方程為2y2－4x2＝1.]4．C[由題意知，2b＝2,2c＝2eq\r(3)，則b＝1，c＝eq\r(3)，a＝eq\r(2)；雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.]5．C[點(eq\r(2)，0)即為雙曲線的右頂點，過該點有兩條與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線僅有一個公共點，另過該點且與x軸垂直的直線也與雙曲線只有一個公共點．]6．B[||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，所以|PF2|＝eq\f(2a,3)≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，則eq\f(c,a)≤eq\f(5,3).]7.eq\f(\r(13),3)解析a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值為2或3.又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝eq\r(13)，從而e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3).8.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)解析以BC所在直線為x軸，BC的中點為原點建立直角坐標系，則B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A點的軌跡是雙曲線的右支，其方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．9.eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1解析∵所求雙曲線與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有相同的漸近線，∴可設所求雙曲線的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝λ(λ≠0)．∵點(－3,2eq\r(3))在雙曲線上，∴λ＝eq\f(－32,9)－eq\f(2\r(3)2,16)＝eq\f(1,4).∴所求雙曲線的方程為eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1.10．解(1)因直線x＝eq\f(15,4)與漸近線4x＋3y＝0的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，－5))，而3<|－5|，故雙曲線的焦點在x軸上，設其方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))2,a2)－\f(32,b2)＝1，,\f(b2,a2)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16.))故所求的雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)設F1、F2為雙曲線的兩個焦點．依題意，它的焦點在x軸上．因為PF1⊥PF2，且|OP|＝6，所以2c＝|F1F2又P與兩頂點連線夾角為eq\f(π,3)，所以a＝|OP|·taneq\f(π,6)＝2eq\r(3)，所以b2＝c2－a2＝24.故所求的雙曲線方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,24)＝1.11．(1)解∵e＝eq\r(2)，∴可設雙曲線方程為x2－y2＝λ.∵過點(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線方程為x2－y2＝6.(2)證明易知F1(－2eq\r(3)，0)、F2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3)，∵點(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.(3)解△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3)，F1F2上的高h＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝6.12.D[設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，而kBF＝－eq\f(b,c)，∴eq\f(b,a)·(－eq\f(b,c))＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，兩邊同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，故選D.]13．解設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.∵|F1F2|＝2c，而e＝