2022-2023學年北京市八年級上期末數(shù)學試卷分類匯編：軸對稱（含答案解析）

2022-2023學年北京市八年級上期末數(shù)學試卷分類匯編

---軸對稱

參考答案與試題解析

一.選擇題（共14小題）

1.（2022秋?西城區(qū)期末）以下是用電腦字體庫中的一種篆體寫出的“誠信友善”四字，若

把它們抽象為幾何圖形，從整體觀察（個別細微之處的細節(jié)可以忽略不計），其中大致是

軸對稱圖形的是（）

【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形

叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【解答】解：A,B,C選項中的字都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊,

直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

D選項中的字能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互

相重合，所以是軸對稱圖形；

故選：D.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分

折疊后可重合.

2.（2022秋?平谷區(qū)期末）以下四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

A.?綠色食品B.期J、/循環(huán)回收⑥C.、一/節(jié)

能D.e節(jié)水

【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做

軸對稱圖形，由此即可判斷.

【解答】解：下四個標志中，是軸對稱圖形的是綠色食品標志，

故選：A.

【點評】本題考查軸對稱圖形，關鍵是掌握軸對稱圖形的定義.

3.（2022秋?懷柔區(qū)期末）下列圖標是軸對稱圖形的為（）

【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形

叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【解答】解：B,C,。選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折

疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

A選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，所以是軸對稱圖形；

故選：A.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分

折疊后可重合.

4.（2022秋?密云區(qū)期末）《國語?楚語》記載：“夫美者，上下、內外、大小、遠近皆無害

焉，故曰美”.這一記載充分表明傳統(tǒng)美的本質特征在于對稱和諧.中國建筑布局一般都

是采用均衡對稱的方式建造，更具脫俗的美感和生命力.下列建筑物的簡圖中，不是軸

對稱圖形的是（）

【分析】直接根據軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說

這個圖形關于這條直線（成軸）對稱解答即可.

【解答】解：A,C,。選項中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊,

直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形;

B選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，所以不是軸對稱圖形;

故選：B.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分

折疊后可重合.

5.（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，兩個全等的直角三角板有?條邊重合，組成的四個圖形中,

()

B.

D.

【分析】根據軸對稱圖形的概念進行判斷即可.

【解答】解：4A選項是軸對稱圖形，故此選項不符合題意;

2、B選項是軸對稱圖形，故此選項正確不符合題意;

C、C選項是軸對稱圖形，故此選項不符合題意;

D、。選項不是軸對稱圖形，故此選項符合題意;

故選：D.

【點評】本題考查的是軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部

分沿對稱軸折疊后可重合.

6.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）下列圖形都是由兩個全等三角形組合而成，其中是軸對稱圖形

C./7D.I7I

【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形

叫做軸對稱圖形進行分析即可.

【解答】解：4兩個全等三角形組合不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

2、兩個全等三角形組合不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C、兩個全等三角形組合不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

。、兩個全等三角形組合是軸對稱圖形，故此選項符合題意.

故選：D.

【點評】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案、軸對稱圖形的概念，關鍵是正確找出對

稱軸的位置.

7.(2022秋?密云區(qū)期末)在平面直角坐標系尤Oy中，點M(1,-6)關于y軸的對稱點N

的坐標是()

A.(-1,-6)B.(-1,6)

C.(1,6)D.(-6,1)(-6,1)

【分析】根據平面直角坐標系中，關于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，

縱坐標不變進行求解即可.

【解答】解：點M(1,-6)關于y軸的對稱點N的坐標是(-1,-6).

故選：A.

【點評】本題考查關于x,y軸的對稱點的坐標特點，正確記憶橫坐標縱坐標的變化規(guī)律

是解題關鍵.

8.(2022秋?東城區(qū)期末)在平面直角坐標系尤Oy中，長方形ABCZ)的兩條對稱軸是坐標軸，

鄰邊長分別為4,6.若點A在第一象限，則點C的坐標是()

A.(-2,-3)B.(2,3)

C.(-2,-3),或(-3,-2)D.(2,3),或(3,2)

【分析】由題意判斷點C在第三象限，由鄰邊長分別為4,6,可求解.

【解答】解：：長方形ABCD的兩條對稱軸是坐標軸，點A在第一象限，

...點C在第三象限，

長方形ABCD的鄰邊長分別為4,6,

.?.點C的坐標為（-2,-3）或（-3,-2）,

故選：C.

【點評】本題考查了坐標與圖形性質，矩形的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題

的關鍵.

9.（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，在正方形網格中，A,2兩點都在小方格的頂點上，如果

點C也是圖中小方格的頂點，且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】分為腰和為底兩種情況考慮，畫出圖形，即可找出點C的個數(shù).

【解答】解：當為腰時，點C的個數(shù)有2個；

當為底時，點C的個數(shù)有1個，

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結合解決問

題.

10.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）一個等腰三角形的兩條邊分別是2c機和5c",則第三條邊的

邊長是（）

A.2cmB.5cmC.2c7九或5cD.不能確定

【分析】分兩種情況：當?shù)妊切蔚难L為2c7W,底邊長為5c機時，當?shù)妊切蔚?/p>

腰長為5cH7,底邊長為2c加時，然后分別進行計算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當?shù)妊切蔚难L為2cm,底邊長為5c機時，

V2+2=4<5,

.??不能組成三角形；

當?shù)妊切蔚难L為5c7",底邊長為2c機時，

等腰三角形的三邊長分別為5c〃z,5cm,2cm,

綜上所述：等腰三角形的第三條邊的邊長是50w,

故選：B.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形三邊關系，分兩種情況討論是解題的關

鍵.

11.（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，在中，ZACB=90°,N8的度數(shù)為a.點P

在邊BC上（點P不與點8點C重合），作尸OLA8于點。，連接孫，取必上一點E,

使得在連接即，CE并延長CE交A2于點尸之后，有EC=ED=EA=EP.若記NAPC

的度數(shù)為x,則下列關于所的表達式正確的是（）

A./DEF=2x-3aB./DEF=2a

C.ZDEF=2a-xD.ZZ)￡F=180°-3a

【分析】由等腰三角形的性質求出NCEP,由三角形外角的性質可求NB48,ZDEP,由

平角定義即可求出/OEE

【解答】W：'：EC=EP,

：.ZECP=ZEPC=x,

：.ZCEP=1SO0-2x,

'：ZAPC^ZB+ZR\B,

：.ZPAB=ZAPC-ZB,

ZPAB=x-a,

":ED=EA,

NEAD=/EDA=x-a,

???ZDEP=ZEAD+ZEDA=2x-2a,

ZDEF=180°-ZCEP-NDEP,

：.ZDEF=1SO°-(180°-2x)-(2x-2a)=2a.

故選：B.

【點評】本題考查等腰三角形的性質，三角形外角的性質，掌握以上知識點是解題的關

鍵.

12.（2022秋?密云區(qū)期末）如圖，在Rtz\ABC中，ZC=90°,以△ABC的一邊為腰畫等

腰三角形，使得它的第三個頂點在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形

的個數(shù)最多是（）

A.3個B.4個C.6個D.7個

【分析】根據等腰三角形的定義，分別以A,B,C三個頂點為等腰三角形的頂點可以畫

出4個等腰三角形，分別以三條邊等腰三角形的底邊可以作出3個等腰三角形，最多可

以作出7個不同的等腰三角形.

【解答】解：①以8為圓心，BC長為半徑畫弧，交A8于點。，△80是等腰三角形，

圖1

②以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交A8于點E,△ACE就是等腰三角形;

圖2

③以C為圓心，長為半徑畫弧，交AC于點R△BC尸就是等腰三角形，交于點

F,是等腰三角形；

B

圖3

④作AC的垂直平分線交AB于點H,△ACH就是等腰三角形;

圖4

⑤作AB的垂直平分線交AC于G,則△AGB是等腰三角形;

圖5

⑥作BC的垂直平分線交AB于I,則△8C7和△AC/都是等腰三角形，此情形點H與點、

/重合與④的情形重合，共計2個等腰三角形.

綜上所述，最多有4個等腰三角形.

故選:B.

【點評】本題考查了等腰三角形的定義，分類討論是解題的關鍵.

13.（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，等邊△43。和等邊△8CE中，A、B、C三點共線，AE

和C。相交于點尸，下列結論中正確的個數(shù)是（）

①△ABE四△O2C

②平分/APC

③AF=DF+BF

@ZAFD=60°

【分析】根據等邊三角形的性質易證△A8E0ZXO8C,可判斷①選項；根據全等三角形

的性質得出NAE8=/OC8,AE=OC,根據三角形的外角性質得出/AED=/Z)C8+/

EAB=NAEB+NEAB=NEBC=60°,可判斷④選項；作3G_LC。于點G,BH1AE

點、H,由SAABE=&DBC可得3G=3",進一步可得BF平分NAPC,可判斷②選項；在

AE上截取4=。尸，連接B/,易證△AB/gZXDBE(SAS),再證明△B/7是等邊三角形，

得FI=BF,進一步可判斷③選項.

【解答】解：：AABD和ABCE是等邊三角形，

：.AB=BD,BC=CE,ZEBC=60°,ZABD^ZCBE^60°,

：.ZABD+ZDBE=ZCBE+ZDBE,

即/ABE=ZDBC,

在△ABE和△D8C中，

'AB=DB

'ZABE=ZDBC-

,BE=BC

:.△ABEgADBC(SAS),故①正確；

ZAEB=ZDCB,AE=DC,

；./AFD=NDCB+NEAB=/AEB+/EAB=/EBC=60°,故④正確；

作BG_LC￡)于點G,BHLAE于點H,如圖所示：

??SAABE=SADBC,AE=DC,

工CD?BG=LAE?BH,

22

:.BG=BH,

'JBGLCD,BH±AE,

...點B^ZAFC的平分線上，

平分/AEC,故②正確；

在AE上截取A/=DF,連接8/,

D

在△AB/和△OBE中，

rAB=DB

<NBAI=/BDF，

ADF

.'.△ABI咨ADBF(SAS),

ZAIB^ZDFB,

'：AABE義ADBC,

:./CDB=NEBA,

：.ZDFA=ZABD=6Q°,

/.ZAFC=120°,

；.NIFB=/BFC=60°,

ZAIB^ZDFB^120°,

AZBZF=180°-ZA/B=60°,

AZFB/=60°,

△8/7是等邊三角形，

:.FI=BF,

：.AF=AI+FI=DF+BF,故③正確，

故選：D.

【點評】本題為三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質和判定、全等三角形的判定與

性質、角平分線的判定與性質、等積法，添加合適的輔助線是解題的關鍵，本題綜合性

較強，難度較大.

14.（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，將一張四邊形紙片A8CL?沿對角線AC翻折，點。恰好

落在邊42的中點。處.設Si,S2分別為△AQC和AABC的面積，則Si和&的數(shù)量關

系是（）

A.Si=1S2B.Si=1S2C.SI=2S2D.SI=3S2

32

【分析】利用折疊的性質得出：△AOCg/kA。'C,則S^ADC=S^AD'c,利用等底同高

的三角形的面積相等即可得出結論.

【解答】解：由題意得：△ADC四△AD'C,

AS^ADC=S/\AD'C.

??,點。'為A8的中點，

：.AD'=DfB.

??,等底同高的兩個三角形的面積相等，

S^AD'C=S^BCD，

"SAADZC=2-SAABC,

"SAADC革遼甌。

??,Si寺2,

故選：B.

【點評】本題主要考查了翻折變換的性質，等底同高的三角形的每個相等，掌握折疊的

性質并熟練應用是解題的關鍵.

二.填空題（共11小題）

15.（2022秋?西城區(qū)期末）在平面直角坐標系尤Oy中，4（-4,-3）關于無軸對稱的點的

坐標為（-4,3）.

【分析】根據關于x軸對稱的點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，即可得

出答案.

【解答】解：A（-4,-3）關于x軸對稱的點的坐標為（-4,3）.

故答案為：（-4,3）.

【點評】此題主要考查了關于x軸對稱的點的性質，正確掌握橫縱坐標的符號關系是解

題關鍵.

16.（2022秋?密云區(qū)期末）等腰三角形的兩邊長分別為4和9,則第三邊長為9.

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和9,而沒有明確腰、底分別是多少，所以

要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形.

【解答】解：當4是腰時，因4+4<9,不能組成三角形，應舍去；

當9是腰時，4、9、9能夠組成三角形.

則第三邊應是9.

故答案為：9.

【點評】本題考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系；己知沒有明確腰和底邊的題目

一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形，這點非常

重要，也是解題的關鍵.

17.（2022秋?平谷區(qū)期末）命題“等邊對等角”是命題（填“真”或"假”），它的逆命題

是真.

【分析】先寫出其逆命題，再判定即可.

【解答】解：“等邊對等角”的逆命題是”等角對等邊“，在同一個三角形內成立，故是

真命題.

【點評】要根據逆命題的定義，寫出逆命題，結合三角形的性質來判斷命題的真假.

18.（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，ZVIBC中，AB=AC,。是BA延長線上一點，S.ZDAC

【分析】利用等腰三角形的性質可得NB=NC,再利用三角形的外角性質可得NZMC=

ZB+ZC=100°,然后進行計算即可解答.

【解答】解：：A2=AC,

：.ZB=ZC,

'：ZDAC是△ABC的一個外角,

ZDAC=ZB+ZC=100°，

.,.ZB=ZC=50°,

故答案為：50°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵.

19.(2022秋?東城區(qū)期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,NA=36°,BD平分/ABC交

AC于點。，點E為A8的中點，連接。E.則NCDE的度數(shù)是54。.

【分析】根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理得到/ABC=/C=72°,然后利用

8。平分NA8C交AC于點。求得的度數(shù)，利用三角形的內角和求得/AD8的度

數(shù)即可.

【解答】解：：A2=AC,NA=36°,

...NA3C=NC=lx(180°-36°)=72°,

2

：8A平分/ABC,

/.ZABD^ZDBC^36°,

ZABD=ZA,

?.?點E為AB的中點，

AZAE￡)=90°,

ZADE^90°-/A=54°,

故答案為：54°.

【點評】考查了等腰三角形的性質，解題的關鍵是了解等腰三角形的等邊對等角的性質,

難度不大.

20.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）等腰三角形的一個內角的度數(shù)是40°,則其余兩個內角的度

數(shù)是7數(shù),70°或40°,100°.

【分析】分兩種情況：當?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時；當?shù)妊切蔚囊粋€底角為40°

時，然后分別進行計算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當?shù)妊切蔚捻斀菫?0。時，

.,?等腰三角形的兩個底角=1X（180°-40°）=70°；

2

當?shù)妊切蔚囊粋€底角為40°時，則另一個底角也是40°,

等腰三角形的頂角=180°-2X40°=100°；

綜上所述：等腰三角形的其余兩個內角的度數(shù)為70°,70°或40°,100°,

故答案為：70°,70°或40°,100°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，分兩種情況討論是解題的

關鍵.

21.（2022秋?密云區(qū)期末）如圖，RtZXABC中，ZBAC=90°,AB^AC.在BC上截取BD

=BA,作/ABC的平分線與AD相交于點P,連接PC.若△ABC的面積為8cm2,則4

BPC的面積為4cm2.

【分析】根據等腰三角形三線合一的性質即可得出AP=PD,即得出△A8P和△O8P是

「，

等底同高的三角形，△ACP和△OCP是等底同高的三角形，即可推出「卷SAAR

即可求出答案.

【解答】解：,??20=54,3P是/ABC的角平分線，

：.AP=PD,

：.AABP和△。8尸是等底同高的三角形，△ACP和△OCP是等底同高的三角形，

SAABP=SADBP，S4ACP=SADCP.

*.*SAABC=SAABP+SADBP+SAACP+SADCP,S^BPC=S^DBP+S^DCP,

.112

??S/IBPC7s△Agc=yX8=4cin,

故答案為：4.

【點評】本題考查等腰三角形的性質.掌握等腰三角形“三線合一”是解答本題的關鍵.

22.(2022秋?密云區(qū)期末)在平面直角坐標系尤0y中，A(1,3),B(3,7),點尸在y

軸上，當PA+PB取得最小值時，點P的坐標為(0,2).

yA

III____11111A

O1x

-B,

【分析】根據對稱性，作出點A關于y軸的對稱點A,連接84與y軸交于點P,根據兩

點之間線段最短即可得結論.

【解答】解：

如圖所示，作出點A關于點y軸的對稱點A,連接BA交y軸于點P,

此時B4+PB=PA+PB^A'B,

根據兩點之間線段最短，所以點尸的坐標為(0,2).

故答案為：(0,2).

【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，解決本題的關鍵是掌握對稱性性質.

23.(2022秋?平谷區(qū)期末)等腰三角形的一個角為80°,則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)

為2為或80°.

【分析】等腰三角形的一個內角是30。，則該角可能是底角，也可能是頂角，注意分情

況討論.

【解答】解：分兩種情況：

當80°的角是底角時，則頂角度數(shù)為180°-80°X2=20°；

當80°的角是頂角時，則頂角為80°.

故答案為：20°或80°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形的內角和定理；若題目中沒有明確頂角

或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵.

24.（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，在AABC中，根據尺規(guī)作圖痕跡，下列四個結論中：

?AF=BF

?ZAFD+ZFBC^90°

?DF±AB

?ZBAF^ZCAF

所有正確結論的序號是：①②③.

【分析】由作圖可知。尸垂直平分線段AB,BE平分NA8C,利用線段的垂直平分線的性

質一一判斷即可.

【解答】解：由作圖可知。p垂直平分線段AS,8E平分

：.FA=FB,DF±AB,故①，③正確，

ZAFD^ZBFD,

'：ZFBC^ZFBD,/FBD+/BFD=9Q°,

：.ZAFD+ZFBC=90°,故②正確，

由作圖不能得到④，

故答案為：①②③.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質，角平分線的定義等知識,

解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題.

25.（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC^BC,ZACB=50°,AZ）_LBC于點。,

MCLBC于點C,MC=BC.點E,點尸分別在線段A。，AC上，CF^AE,連接MR

BF,CE.

（1）圖中與MF相等的線段是CE；

（2）當BF+CE取最小值時ZAFB=95

【分析】（1）先證明三角形全等，再由性質求解；

（2）利用（1）的結論，轉換為兩點之間線段最短問題，再利用三角形是內角和求解.

【解答】解：（1）：AC=8C,MC=BC,

：.AC=MC,

?：AD±BC于點D,MCLBC于點C,

J.AD//CM,ZMCB=90°,

：.ZMCA=ZCAD=40°,

,/CF^AE,

：.ACMF^AACE（SAS）,

:.MF=CE,

故答案為：CE；

（2）,:MF=CE,

：.BF+CE=BF+MF,

.?.當MF和8尸共線時，和最小，如圖，此時MB與AC交于點/,

'：MC=BC,ZBCM=90°,

：.ZCMB=45

ZAF'B=NCF'M=180°-ZCMB-ZMCA=95°,

故答案為：95.

【點評】本題考查了最短路徑問題，線段的轉化是解題的關鍵.

三.解答題（共19小題）

26.（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，在△ABC中，NC=90°,分NA8C交AC于點￡）,

過點D作DE〃AB交BC于點E,DF±AB,垂足為點?

（1）求證：BE=DE；

⑵若DE=2,DF=V3＞求8。的長.

【分析】（1）利用角平分線的性質和平行線的性質先說明再利用等腰

三角形的判定得結論；

（2）利用角平分線的性質先得到CD=DF,再在RtACDE中利用勾股定理求出CE的長,

最后在RtACDB中利用勾股定理求出BD的長.

【解答】（1）證明：：8。分/ABC,

/ABD=/CBD.

'：DE//AB,

：.ZEDB=ZABD.

：.ZCBD=ZEDB.

:.DE=EB.

（2）解:VZC=90°,

：.DC±BC.

又分/ABC交AC于點。，DFA.AB,

:.CD=DF=M.

在RtZkCZJE中，

C￡=VDE2-CD2=1-

?：DE=EB=2,

:.BC=CE+EB=3.

在RtACDB中，

BD=4cD2+BC2=73+9=2V3?

【點評】本題主要考查了角平分線和等腰三角形，掌握角平分線的性質和等腰三角形的

判定、勾股定理是解決本題的關鍵.

27.(2022秋?平谷區(qū)期末)閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖，在△ABC中，AD是8c邊上的中線，E是上一點，

延長8E交AC于點/，AF=EF,求證：AC=BE.

小明發(fā)現(xiàn)，延長到點以，使。連結8打，構造△2/58,通過證明△BOX與

△AC。全等，△3即為等腰三角形，使問題得以解決(如圖2).

請寫出推導過程.

圖1圖2

【分析】延長AD到點H,使DH=AD,連結BH,可證明(SAS),則

BH=AC,/CAD=/H,根據得NC4O=NAER可證出即，即可

得出AC=BE.

【解答】證明：延長A。到點”，使。H=A。，連結

在和△CD4中，

，DH=DA

'NBDH=/CDA，

BD=CD

工ABDgACDA(SAS),

：.BH=AC,ZCAD=ZH,

又,：AF=EF,

：.ZCAD=ZAEF,

又/BEH=ZAEF,

：.ZCAD=ZBEH,

J.ZH^ZBEH,

：.BH=BE,

：.AC=BE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線

構造全等三角形是解題的關鍵.

28.(2022秋?平谷區(qū)期末)如圖，在△ABC中，A2=5,AC=4,BC=3,DE是AB的垂直

平分線，OE分別交AC,AB于點E,D.

(1)求證：AABC是直角三角形；

(2)求AE的長.

【分析】(1)利用勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足/+廿=02,那么

這個三角形就是直角三角形可得AABC是直角三角形；

(2)根據線段垂直平分線的性質可得設&￡=尤，則EC=4-無，根據勾股定理

可得/-32=(4-x)2,再解即可.

【解答】(1)證明：:△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3,

又；42+32=52,

即AB2^AC2+BC2,

.?.△ABC是直角三角形；

(2)證明：連接8E.

,：DE是AB的垂直平分線,

：.AE=EB,

設A￡=x,則EC=4-x.

.'.x2-32=(4-%)2.

解之得x=2旦，即AE的長是空.

88

【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，關鍵是掌握勾股定理的逆定理.

29.（2022秋?東城區(qū)期末）課堂上，老師提出問題：

如圖1,OM,ON是兩條馬路，點A,B處是兩個居民小區(qū).現(xiàn)要在兩條馬路之間的空場

處建活動中心P,使得活空場動中心P到兩條馬路的距離相等，且到兩個小區(qū)的距離也

相等.如何確定活動中心P的位置？

小明通過分析、作圖、證明三個步驟正確地解決了問題，請你將小明的證明過程補充完

整.

步驟1分析：若要使得點尸到點A,B的距離相等，則只需點尸在線段4B的垂直平分

線上；若要使得點P到。ON的距離相等，則只需點P在/MON的平分線上.

步驟2作圖：如圖2,作NMON的平分線OC,線段A8的垂直平分線OE,DE交OC

于點尸，則點尸為所求.

步驟3證明：如圖2,連接以，PB,過點尸作PFLON于點RPGLOM于點G.

'JPFLON,PGLOM,

且點尸在/PON的平分線上（填寫條件），

：.PF=PG（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）（填寫理由）.

:點P在線段AB的垂直平分線DE上，

：.PA=PB（垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等）（填寫理由）.

???點尸為所求作的點.

圖1圖2

【分析】利用角平分線的性質，可得出PF=PG,利用線段垂直平分線的性質，可得出

PA=PB,進而可得出點P為所求作的點.

【解答】證明：如圖2,連接E4,PB,過點P作于點RPGLOM于點G.

"：PF±ON,PGLOM,

且點尸在/MON的平分線上，

：.PF=PG（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）.

?..點P在線段AB的垂直平分線DE1.,

：.PA=PB（垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等）.

故答案為：點尸在NMON的平分線上；角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；垂直

平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.

【點評】本題考查了角平分線的性質以及線段垂直平分線的性質，利用角平分線的性質

及線段垂直平分線的性質，找出點P的位置是解題的關鍵.

30.（2022秋?懷柔區(qū)期末）己知：如圖，/ABC=NDBE=90°,。為邊AC上■點，AABD

是等邊三角形，且AC=DE.求證：AABgADBE.

【分析】根據等邊三角形的性質可以得到再根據/4以7=/。8￡=90°,可知

△ABC和△OBE均為直角三角形，然后根據HL即可證明結論成立.

【解答】證明：:△ABD是等邊三角形，

：.AB=DB,

VZABC=ZDBE=90°,

AABC和△OBE均為直角三角形，

在RtAABC和RtADBE中，

[AC=DE,

iAB=DB'

：.RtAABC^RtADBE（HL）.

【點評】本題考查全等三角形的判定、等邊三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意,

利用數(shù)形結合的思想解答.

31.（2022秋?密云區(qū)期末）已知：在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,48邊的垂

直平分線分別交AC于點交A8于點E.

（1）求證：DE=DC-,

(2)連接EC,若AB=6,求△EBC的周長.

【分析】(1)根據三角形內角和定理求出NA8C=60°,根據線段垂直平分線的性質得

到A￡>=￡>8,求出NA=NA8￡)=30°,再根據角平分線的性質得到。E=Z)C；

(2)判定△EBC是等邊三角形，即可求出周長.

【解答】(1)證明：在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

/.ZABC=60°,

,；DE是AB邊的垂直平分線，

：.AD=DB,

：.ZA=ZABD=30°,

：.ZCBD=60°-30°=30°

2。平分/ABC,

'：DE±AB,AC±BC,

：.DE=DC；

(2)解：在RtZXABC中，ZACB=90°,NA=30°,AB=6,

.1

??BCjAB=3，

'.'DE是AB邊的垂直平分線，

.1

??BE^-AB=3-

：.BC=BE,

VZABC=60°,

：./\EBC是等邊三角形，

△EBC的周長為9.

【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質，角平分線的性質定理，等邊三角形的判定

和性質，三角形的內角和定理，熟練掌握各定理是解題的關鍵.

32.(2022秋?密云區(qū)期末)如圖，在△ABC中，ZBAC=6Q°,ZC=40°,NBAC與/

ABC的角平分線A。、BE分別交3C、AC邊于點。和點E.

(1)求證：△BEC是等腰三角形；

(2)用等式表示線段A3、AC、之間的數(shù)量關系，并證明.

【分析】(1)利用三角形內角和，角平分線的定義得出NEBC=/C,進而得出班=EC,

即可得出結論；

(2)延長4B至尸，使BF=BD,連接。R利用等邊對等角和三角形的外角得出/歹=

NC,再證明△AFZ戶△ACD根據全等三角形的性質得出AF^AC,再根據線段的和差

即可得出AB+BD^AC.

【解答】(1)證明：在△A8C中，ZBAC=60°,ZC=40°,

ZABC=80°,

「BE平分/ABC,

/.ZEBC=40°,

：.ZEBC=ZC,

：.EB=EC,

.?.△BEC是等腰三角形.

(2)解：AB+BD^AC,

證明：延長A3至E使BF=BD,連接。尸，

/F=ZBDF,

VZABC=ZF+ZBDF=80°,

.*.2ZF=80°,

?.ZF=40°,

VZC=40°,

.\ZF=ZC,

VAD平分4BAC,

：.ZBAD=ZCAD,

\"AD=AD,

：.AAFD=AACD（ASA）,

J.AF^AC,

：.AB+BF^AC,

即：AB+BD=AC.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，添加恰當輔助線構

造全等三角形是解題的關鍵.

33.（2022秋?平谷區(qū)期末）用直尺和圓規(guī)作一個45°的角.

作法：

①作直線/,在直線/上任取一點。；

②以。為圓心，任意長為半徑作弧，交直線/于兩點；

③分別以N為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧在直線/的上方交于點P，

作直線OP；

④作/PON的角平分線OA；

所以NAON即為所求作的45°角.

（1）利用直尺和圓規(guī)依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接PM,PN,

?：PM=PN,

點P在線段MN的垂直平分線上（到線段的兩個端點距離相等的點在這條線段的垂

直平分線上）（填推理的依據）.

?：OM=ON,

，點0在線段MN的垂直平分線上.

直線OP是線段MN的垂直平分線.

：.OP±MN.

:.NPON=90°.

平分/PON,

【分析】（1）根據作法作圖即可；

（2）由垂直平分線的判定可得答案.

,:PM=PN,

...點P在線段MN的垂直平分線上（到線段的兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直

平分線上）（填推理的依據）.

?：OM=ON,

...點0在線段MN的垂直平分線上.

直線OP是線段MN的垂直平分線.

：.OP±MN.

：.ZPON=90°.

平分/尸ON,

;-ZA0N=yZP0N=45°

故答案為：到線段的兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，解題的關鍵是掌握作角平分線的方法.

34.（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=8,ZCBA=45°.

（1）求證：ACLAB；

（2）分別以點A,C為圓心，AC長為半徑作弧，兩弧交于點。（點。在AC的左側）,

連接CO,AD,BD.求的面積.

【分析】（1）利用等腰三角形的性質可得NC54=/ACB=45°,然后利用三角形內角

和定理求出/CA8=90°,即可解答；

（2）過點。作。ELBA,交54的延長線于點E,根據題意可得：AC=AD=CD=S,從

而可得△ACD是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質可得/D4C=60°,從而利用

平角定義可得NZME=30°,最后在RtZSOEA中，利用含30度角的直角三角形的性質

可得。E=4,從而利用三角形的面積進行計算即可解答.

【解答】（1）證明：

：.ZCBA=ZACB=45°,

.\ZCAB=180°-ZACB-ZCBA^9Q0,

：.AC.LAB；

（2）解：過點D作DEIBA,交BA的延長線于點E,

由題意得：AC=AD=CD=8,

???△AC。是等邊三角形，

ZDAC=60°,

ZZ）AE=180°-ZDAC-ZCAB=30°,

.?.DE=AA￡>=4,

2

；.AABD的面積=虱小?！?=1*8*4=16,

22

.,.△ABD的面積為16.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，根據題目的已知條

件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵.

35.（2022秋?順義區(qū)期末）下面是曉東設計的“經過已知直線外一點作這條直線的垂線”

的尺規(guī)作圖過程.

已知：直線/及直線/外一點P.

求作：直線/的垂線，使其經過點P.

作法：如圖，

①任取一點。，使點。與點尸在直線/兩側；

②以尸為圓心，P。長為半徑作弧交直線/于A,8兩點；

③分別以A,8為圓心，AP長為半徑作弧，兩弧在直線/下方交于點C；

④作直線PC.

所以直線PC為所求作的垂線.

根據曉東設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接B4,PB,AC,BC,

"：PA=PB,

...點P在線段AB的垂直平分線上（到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直

平分線上）（填推理的依據）.

VCA=CB,

...點C在線段A8的垂直平分線上.

二直線PC為線段AB的垂直平分線.

即PC±l.

P.

Q*

P.

【分析】（1）根據幾何語言畫出對應的幾何圖形即可；

（2）根據線段垂直平分線的性質定理的逆定理可判斷點P、點C都在線段的垂直平

分線上，則PC垂直平分AB,所以PC，/.

【解答】（1）解：如圖，PC為所作;

（2）證明:

連接B4,PB,AC,BC.如圖,

"：PA=PB,

...點P在線段A8的垂直平分線上(到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平

分線上).

"：CA=CB,

...點C在線段AB的垂直平分線上.

垂直平分

：.pcn.

故答案為：到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；CA=CB.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質,

結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了線段垂直平

分線的性質.

36.(2022秋?西城區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC,A(-2,6),B(-

5,1),C(3,1).點B與點C關于直線/對稱，直線/與BC,AC的交點分別為點。，

E.

(1)求點A到8C的距離；

(2)連接BE,補全圖形并求AABE的面積；

(3)若位于x軸上方的點尸在直線/上，ZBPC=90°,直接寫出點P的坐標.

【分析】(1)根據A(-2,6),8(-5,1),C(3,1),即可求點A到的距離；

(2)根據題意即可補全圖形，進而求△ABE的面積即可；

(3)根據題意可得點P與點E重合，此時/BPC=9(r,進而可以寫出點尸的坐標.

【解答】解：(1)VA(-2,6),3(-5,1),C(3,1).

:.點A到BC的距離為5；

(2)如圖即為補全的圖形，

「△ABE的面積=△ABC的面積-△3EC的面積=LX8X5--LX8X4=4:

22

（3）由（2）可知：位于x軸上方的點P與點E重合，

因為。E=OC=O8=4,

所以ABDE和△CDE是等腰直角三角形，

所以此時N8EC=NBPC=90°,

所以點P的坐標為（-1,5）.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，三角形面積，坐標與圖形性質，解決本題的關鍵是

掌握基本作圖方法.

37.（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB=AC,/BAC=a（0°<a<90"）,AD

為BC邊上的中線，過點8作于E,交于點尸，作NA8E的角平分線于

M,交AC于N.

（1）①補全圖形1:

②求NCBE的度數(shù)（用含a的式子表示）；

（2）如圖2,若/a=45°,猜想Ab與8M的數(shù)量關系，并證明你的結論.

【分析】（1）①根據題意畫出圖形即可；

②由等腰三角形的性質得出AOLBC,ZDAC=lzBAC=la,證出NAOB=90°,由

22

直角三角形的性質可得出答案；

（2）連接A/C,證出/MBC=45°,證明△AEP絲ZXBEC（ASA）,由全等三角形的性質

得出AF=BC,證出△BMC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質得出BC=

MBM,則可得出結論.

【解答】解：（1）①補全圖形如下:

圖1

@'：AB=AC,。為8C的中點，

：.AD±BC,ZDAC=l.ZBAC^l-a,

22

/.ZADB^90°,

'：BELAC,

；./AEB=/BEC=9G°,

：.ZAEB=ZADB^90°,

ZAFE=ZBFD,

：.ZCBE=ZDAC=l.a；

(2)y/2BM.

證明：連接MC,

圖2

：/BAC=45°,ZA￡B=90°,

：.ZBAC=ZABE=45°,

J.AE^EB,

?:BN平分/ABE,

：.ZNBE=1ZABE=22.5°,

2

VZDAC=AzBAC=22.5°,

2

NEBC=ZDAC^/NBE=22.5°,

ZMBC=45°,

在△AEP和△BEC中，

，ZEAF=ZEBC

<AE=BE，

ZAEF=ZBEC

AAEF^ABEC（ASA）,

：.AF=BC,

?.?。為BC的中點，AD1.BC,

：.AD是BC的垂直平分線，

；.BM=MC,

VZMBC=45°,

/.叢BMC是等腰直角三角形，

；.BC=?BM,

:.AF=4^BM.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，線段中垂線的性質，

角平分線的性質，等腰直角三角形的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的

關鍵.

38.（2022秋?東城區(qū)期末）在△ABC中，AB^AC,ZA=100°.點M在2C的延長線上,

ZABC的平分線交A