2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章計(jì)數(shù)原理測(cè)評(píng)訓(xùn)練含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE1-第五章測(cè)評(píng)(時(shí)間:120分鐘滿(mǎn)分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2024山西朔州一模)若2x+2xn的二項(xiàng)式綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)A.7 B.6 C.5 D.4答案C解析∵2x+2xn的二項(xiàng)∴2n=32,∴n=5.2.(2024北京朝陽(yáng)期末)一般地,一個(gè)程序模塊由很多子模塊組成,一個(gè)程序模塊從起先到結(jié)束的路途稱(chēng)為該程序模塊的執(zhí)行路徑.如圖是一個(gè)計(jì)算機(jī)程序模塊,則該程序模塊的不同的執(zhí)行路徑的條數(shù)是()A.6 B.14 C.49 D.84答案C解析依據(jù)分類(lèi)分步計(jì)數(shù)原理可得(2+2+3)×(4+3)=49(種).3.從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a,b,組成復(fù)數(shù)a+bi,其中虛數(shù)有()A.36個(gè) B.42個(gè) C.30個(gè) D.35個(gè)答案A解析由題意知,b只能從1,2,3,4,5,6中選一個(gè)數(shù)字,有6種選法,a從剩余的6個(gè)數(shù)字中選一個(gè)數(shù)字,共6種選法,故滿(mǎn)意題意的虛數(shù)有6×6=36(個(gè)).4.2x-1x23A.-6 B.-2 C.2 D.6答案A解析2x-1x23的綻開(kāi)式的通項(xiàng)Tk+1=(-1)k·(2)3-kC3kx3-3k,令3-3k=0,得5.(2024四川綿陽(yáng)期末)設(shè)(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則a1+a3+a5=()A.61 B.121 C.122 D.224答案C解析∵(1+2x)5=a0+a1x+…+a4x4+a5x5,∴令x=1,得(1+2×1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=243;令x=-1,得[1+2×(-1)]5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1.∴a1+a3+a5=12×(243+1)=1226.(2024河北衡水模擬)(x2+x+1)x-2x5的綻開(kāi)A.40 B.-80 C.120 D.140答案B解析∵x-2x5的綻開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C5k·(-2)k·∴(x2+x+1)x-2x5的綻開(kāi)7.(2024山東聊城二模)2024年是脫貧攻堅(jiān)年,為順當(dāng)完成“兩不愁,三保障”(“兩不愁”即不愁吃、不愁穿,“三保障”即義務(wù)教化、基本醫(yī)療、住房平安有保障),某市擬派出6人組成三個(gè)幫扶隊(duì),每隊(duì)兩人,對(duì)脫貧任務(wù)較重的甲、乙、丙三個(gè)縣進(jìn)行幫扶,則不同的派出方法種數(shù)為()A.15 B.60 C.90 D.540答案C解析先把6個(gè)人平均分成3組,有C62C42C22A33=15種方法,再把這3組分派到甲、乙、丙三個(gè)縣,8.楊輝三角是楊輝的一大重要探討成果,現(xiàn)將楊輝三角中的數(shù)換為正整數(shù),形成三角數(shù)表,并按如圖規(guī)律排列(例如9為第4行第3列,12為第5行第4列),則2019為()A.第63行第5列 B.第63行第3列C.第64行第6列 D.第64行第3列答案D解析由題意及圖形知,第n行有n個(gè)數(shù)(n∈N+),奇數(shù)行的數(shù)字從左向右遞減,偶數(shù)行的數(shù)字從左向右遞增,∴在該圖中,前n(n∈N+)行共有n(n∵63×642=2016<202464×652=2080>2024∴在前63行,共有2016個(gè)數(shù),此時(shí)2024位于第64行.∵偶數(shù)行的數(shù)字從左向右遞增,∴第2024為第64行第3列.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分.9.下列等式正確的是()A.CB.CC.C51+D.C答案ABD解析由組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知:C50+C51+C52+C10.下列關(guān)于(a-b)10的說(shuō)法,正確的是()A.綻開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和是1024B.綻開(kāi)式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C.綻開(kāi)式的第5項(xiàng)或第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.綻開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)最小答案ABD解析由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知C100+C101+C102+…+C1010=210=1024,故A正確;二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C105,是綻開(kāi)式的第6項(xiàng),故B正確,C錯(cuò)誤;由綻開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C10ka10-k(-b)k=(-1)kC10k11.(2024江蘇連云港期末)為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”,某夏令營(yíng)主辦單位支配利用暑期開(kāi)設(shè)“禮”“樂(lè)”“射”“御”“書(shū)”“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程,每周一門(mén),連續(xù)開(kāi)設(shè)六周,則下列說(shuō)法正確的是()A.某學(xué)生從中選3門(mén),共有30種選法B.課程“射”“御”排在不相鄰兩周,共有240種排法C.課程“禮”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰三周,共有144種排法D.課程“樂(lè)”不排在第一周,課程“御”不排在最終一周,共有504種排法答案CD解析依據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A,某學(xué)生從中選3門(mén),6門(mén)中選3門(mén)共有C63=20(種),故A對(duì)于B,課程“射”“御”排在不相鄰兩周,先排好其他的4門(mén)課程,有5個(gè)空位可選,在其中任選2個(gè),支配“射”“御”,共有A44A52=480種排法對(duì)于C,課程“禮”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰三周,由捆綁法分析,將“禮”“書(shū)”“數(shù)”看成一個(gè)整體,與其他3門(mén)課程全排列,共有A33A44=144種排法對(duì)于D,課程“樂(lè)”不排在第一周,課程“御”不排在最終一周,分2種狀況探討,若課程“樂(lè)”排在最終一周,有A55種排法,若課程“樂(lè)”不排在最終一周,有C41C41A44種排法,12.某中學(xué)為提升學(xué)生勞動(dòng)意識(shí)和社會(huì)實(shí)踐實(shí)力,利用周末進(jìn)社區(qū)義務(wù)勞動(dòng),高三一共6個(gè)班,其中只有1班有2個(gè)勞動(dòng)模范,本次義務(wù)勞動(dòng)一共20個(gè)名額,勞動(dòng)模范必需參與并不占名額,每個(gè)班都必需有人參與,則下列說(shuō)法正確的是()A.若1班不再安排名額,則共有C204種B.若1班有除勞動(dòng)模范之外學(xué)生參與,則共有C195種C.若每個(gè)班至少3人參與,則共有90種安排方法D.若每個(gè)班至少3人參與,則共有126種安排方法答案BD解析對(duì)于A,若1班不再安排名額,則20個(gè)名額安排到5個(gè)班級(jí),每個(gè)班級(jí)至少1個(gè),依據(jù)插空法,有C194種安排方法,故A對(duì)于B,若1班有除勞動(dòng)模范之外學(xué)生參與,則20個(gè)名額安排到6個(gè)班級(jí),每個(gè)班極至少1個(gè),依據(jù)插空法,有C195種安排方法,故B對(duì)于CD,若每個(gè)班至少3人參與,相當(dāng)于16個(gè)名額被占用,還有4個(gè)名額須要分到6個(gè)班級(jí),分5類(lèi):①4個(gè)名額到一個(gè)班,有6種;②一個(gè)班3個(gè)名額,一個(gè)班1個(gè)名額,有A62=30(種);③兩個(gè)班都是2個(gè)名額,有C62=15(種);④兩個(gè)班1個(gè)名額,一個(gè)班2個(gè)名額,有C61C52=60(種);⑤四個(gè)班都是1個(gè)名額,有C64=15(種),則共有126三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若6Cn2=An3答案5解析若6Cn2=An3,則6×n(n-114.(2024江蘇泰州期末)在某市舉辦的中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)上,將4名同學(xué)全部安排到田徑、游泳和球類(lèi)3個(gè)不同競(jìng)賽項(xiàng)目做志愿者,共有種不同安排方法;若每個(gè)項(xiàng)目至少須要1名志愿者,則不同的安排方法有種(用數(shù)字作答).

答案8136解析對(duì)于第一空:每個(gè)學(xué)生都可以被安排到運(yùn)動(dòng)會(huì)的田徑、游泳和球類(lèi)3個(gè)不同競(jìng)賽項(xiàng)目中的一個(gè),有3種安排方法,則4名同學(xué)有3×3×3×3=81種安排方法;對(duì)于其次空:分2步進(jìn)行分析:①先將4名同學(xué)分成3組,有C42=6②將分好的三組全排列,支配到3個(gè)不同競(jìng)賽項(xiàng)目,有A33=6種則有6×6=36種不同的安排方法.15.(2024福建三明二模)已知(1+ax)(1+x)5的綻開(kāi)式中x2的系數(shù)為20,則a=.

答案2解析∵已知(1+ax)(1+x)5=(1+ax)(1+C51x+C52x2+C53x3+C5綻開(kāi)式中x2的系數(shù)為C52+aC51=20,16.元宵節(jié)燈展后,如圖懸掛有6盞不同的花燈須要取下,每次取1盞,共有種不同取法.(用數(shù)字作答)

答案90解析因?yàn)槿魰r(shí)每次只能取一盞,所以每串燈必需先取下面的燈,即每串兩個(gè)燈取下的依次確定,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求六個(gè)元素排列,其中甲在乙前,丙在丁前,戊在己前的排列數(shù),先將六個(gè)元素全排列共有A66種排法,因?yàn)榧滓乙来未_定,丙丁依次確定,戊己依次確定,所以六個(gè)元素排列甲在乙前、丙在丁前、戊在己前的排法數(shù)為A66A22A22A22=四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)某單位職工義務(wù)獻(xiàn)血,在體檢合格的人中,O型血共有28人,A型血共有7人,B型血共有9人,AB型血共有3人.(1)從中任選1人去獻(xiàn)血,有多少種不同的選法?(2)從四種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血,有多少種不同的選法?解從O型血的人中選1人有28種不同的選法,從A型血的人中選1人有7種不同的選法,從B型血的人中選1人有9種不同的選法,從AB型血的人中選1人有3種不同的選法.(1)任選1人去獻(xiàn)血,即無(wú)論選哪種血型的哪一個(gè)人,這件“任選1人去獻(xiàn)血”的事務(wù)都能完成,所以由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,共有28+7+9+3=47種不同的選法.(2)要從四種血型的人中各選1人,即要在每種血型的人中依次選出1人后,這件“各選1人去獻(xiàn)血”的事務(wù)才完成,所以用分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有28×7×9×3=5292種不同的選法.18.(12分)在楊輝三角形中,每一行除首末兩個(gè)數(shù)之外,其余每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.(1)試用組合數(shù)表示這個(gè)一般規(guī)律;(2)在數(shù)表中試求第n行(含第n行)之前全部數(shù)之和;(3)摸索究在楊輝三角形的某一行能否出現(xiàn)三個(gè)連續(xù)的數(shù),使它們的比是3∶4∶5,并證明你的結(jié)論.解(1)Cn(2)1+2+22+…+2n=2n+1-1.(3)設(shè)Cnr-1∶C由Cnr-1即3n-7r+3=0.①由CnrCn即4n-9r-5=0.②解①②聯(lián)立方程組,得n=62,r=27,即C6226∶C6227∶19.(12分)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N+),且a2=60,求:(1)n的值;(2)-a12+a222-a3解(1)因?yàn)門(mén)3=Cn2(-2x)2=a2x所以a2=Cn2(-2)2化簡(jiǎn)可得n(n-1)=30,且n∈N+,解得n=6.(2)Tk+1=C6k(-2x)k=akx所以ak=C6k(-2)所以(-1)kak-a12+a222-=C61+C62+…+C6620.(12分)5名男生,2名女生站成一排照相.求在下列約束條件下,有多少種不同的站法.(1)女生不站在兩端;(2)女生相鄰;(3)女生不相鄰;(4)站成兩排,前排3人,后排4人.解(1)先考慮兩端站的人,再考慮其他位置,滿(mǎn)意條件的站法有A52·A5(2)將相鄰對(duì)象捆綁,當(dāng)作一個(gè)對(duì)象,與其他對(duì)象一起全排列,可得滿(mǎn)意條件的站法有A66·A2(3)分兩步:第一步,先排男生,有A55其次步,將2名女生插入男生所形成的6個(gè)空(包括兩端)中,有A62由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,滿(mǎn)意條件的站法有A55·A6(4)無(wú)論分成多少排,實(shí)質(zhì)都是要在7個(gè)不同位置上排7個(gè)不同對(duì)象,因此滿(mǎn)意條件的站法共有A77=5040(種21.(12分)用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).(1)在組成的三位數(shù)中,求全部偶數(shù)的個(gè)數(shù);(2)在組成的三位數(shù)中,假如十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小,則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“凹數(shù)”,如301,423等都是“凹數(shù)”,試求“凹數(shù)”的個(gè)數(shù);(3)在組成的五位數(shù)中,求恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個(gè)數(shù).解(1)將全部的三位偶數(shù)分為兩類(lèi):①若個(gè)位數(shù)為0,則共有A42=12個(gè);②若個(gè)位數(shù)為2或4,則共有2×3×3=18個(gè).所以,共有30(2)將這些“凹數(shù)”分為三類(lèi):①若十位數(shù)字為0,則共有A42=12個(gè);②若十位數(shù)字為1,則共有A32=6個(gè);③若十位數(shù)字為2,則共有A22=2個(gè).所以,共有(3)將符合題意的五位數(shù)分為三類(lèi):①若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在百位和萬(wàn)位,則共有A22·A33=12個(gè);②若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在十位和千位,則共有A22·C21·所以,共有28個(gè)符合題意的五位數(shù).22.(12分)已知m,n是正整數(shù),f(x)=(1+x)m+(1+x)