高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：集合

專題1.1集合

【核心素養(yǎng)】

1.與方程、函數(shù)、不等式等相結(jié)合考查集合元素的性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2.與不等式相結(jié)合考查集合的基本關(guān)系，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

3.與函數(shù)的概念、不等式、數(shù)軸、Venn圖等相結(jié)合考查集合的運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).

<---------------------

-Q知識(shí)概栗，

知識(shí)點(diǎn)一元素與集合

（1）集合元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性.

（2）集合與元素的關(guān)系：若。屬于集合A,記作aeA；若6不屬于集合A,記作上任4.

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、區(qū)間法、圖示法.

（4）五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：

N*或N+表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

知識(shí)點(diǎn)與集合間的基本關(guān)系

（1）子集：若對(duì)任意xGA,都有xWB,則AUB或B?A.

(2)真子集：若AUB,且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A,則A壇B或BWA.

(3)相等：若AUB,且BUA,則人=8.

(4)空集的性質(zhì)：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

知識(shí)點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U,則集合A

符號(hào)表示AUBAAB

的補(bǔ)集為CuA

?)

口Q

圖形表示

C；A

AUBAQB(

{x|x@A,或x￡{x|x《A,且X

集合表示{x|xeu,且x.A}

B}￡B}

求集合A的補(bǔ)集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實(shí)是給定的條件.從全集U中取出集合A的全部

元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為CuA.

知識(shí)點(diǎn)四集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)AAA=A,AA0=0,AAB=BAA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

⑶ACl(CuA)=0,AU(CuA)=U,Cu(CuA)=A.

常用結(jié)論

1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2。一1個(gè).

2.子集的傳遞性：A￡B,BCC^AGC.

3.AUBoAnB=A=AUB=B=CuA?CuB.

4.Cu(AnB)=(CuA)U(CuB),Cu(AUB)=(CuA)n(CuB).

j?一-r

力器”二y

Y增：?？碱}型劉析/

二/

題型一：集合的基本概念

【典例分析】

例1-1.（2023?北京海淀??？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)集合M={2m-1,m-3},若-3wM,則實(shí)數(shù)加=（）

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

例12（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）集合A={（尤,y）|尤+y=10,xeN*,yeN*}的元素個(gè)數(shù)為（）

A.8B.9C.10D.100

【規(guī)律方法】

與集合中的元素有關(guān)的問(wèn)題的三種求解策略

（1）研究一個(gè)用描述法表示的集合時(shí)，首先要看集合中的代表元素，即確定這個(gè)集合是數(shù)集還是點(diǎn)集等，然

后再看元素的限制條件.

（2）根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.

（3）集合中的元素與方程有關(guān)時(shí)，注意一次方程和一元二次方程的區(qū)別.

【變式訓(xùn)練】

變式1-1.（2023.北京東城.統(tǒng)考一模）已知集合4={小2-2<0},且aeA,則?？梢詾椋ǎ?/p>

3

A.l2B.—1C.—D.-y2

變式L2.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合A={1,2,3},3={4,5},M={尤|尤=ee邱，則M中

的元素個(gè)數(shù)為.

題型二：集合間的基本關(guān)系

例2T.（2023?江西?金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合A={L可，8={詭d期，若A=B,則清23+產(chǎn)2=

（）

A.-1B.0C.1D.2

例2-2.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）已知集合4={刈#1},B={x\lx-a<Q\,若A=則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是（）

A.（2,+oo）B.[2,+oo）C.（-no,2）D.（-<?,2]

【方法技巧】

（1）判斷兩集合之間的關(guān)系的方法：當(dāng)兩集合不含參數(shù)時(shí)，可直接利用數(shù)軸、圖示法進(jìn)行判斷；當(dāng)集合中含

有參數(shù)時(shí)，需要對(duì)滿足條件的參數(shù)進(jìn)行分類討論或采用列舉法.

(2)要確定非空集合A的子集的個(gè)數(shù)，需先確定集合A中的元素的個(gè)數(shù)，再求解.不要忽略任何非空集合是

它自身的子集.

(3)根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值(或取值范圍)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參

數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、圖示法來(lái)解決這類問(wèn)題.

【易錯(cuò)警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解.

【變式訓(xùn)練】

變式2-1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合&={》|2<彳<6戶《用，則集合A的子集的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.7D.8

變式22(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)汨知集合A={-1,1,3},8={&+2,。},8qA,則實(shí)數(shù)。的值是

題型三：集合的基本運(yùn)算

【典例分析】

例3-1.(2023?北京通州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知全集。={x-3<x<3},集合A={x|0<x<2},則gA=()

A.(0,2)B.(-3,0)u(2,3)C.(-2,0)D.(-3,0]U[2,3)

例3-2.(2023?安徽?校聯(lián)考二模)若集合A={x|x=4左-3水eN},B={x[(x+3)(無(wú)一9)40},則AcB的元素

個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

例33(2023?陜西西安?西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若集合A=3產(chǎn)49},集合8=卜卜-1|<3},則AuB中

整數(shù)的個(gè)數(shù)為().

A.5B.6C.7D.8

【規(guī)律方法】

如何解集合運(yùn)算問(wèn)題

(1)看元素構(gòu)成:集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵.

(2)對(duì)集合化簡(jiǎn):有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了、易于解決.

(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合:常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖.

(4)創(chuàng)新性問(wèn)題：以集合為依托，對(duì)集合的定義、運(yùn)算、性質(zhì)進(jìn)行創(chuàng)新考查，但最終化為原來(lái)的集合知識(shí)和

相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決.

【變式訓(xùn)練】

變式3-1.(2023春?天津河西?高三天津市新華中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知集合4=何22},8={x||x-l|<2),

則()

A.(,,3)B.(-1,1)C.(1,3)D.(3,+s)

變式3-3.(2023春?江西撫州?高三金溪一中?？茧A段練習(xí))已知全集［7=k€2|爐-5*-6《0},集合

A={xeZ|x(3-x)>0),B={1,2,4}則集合{一1,5,6}等于()

A.@A)c3B.a(AU3)

C.D.d(AcB)

題型四：利用集合的運(yùn)算求參數(shù)

【典例分析】

例4-1.(2023?海南??？谑协偵饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知*weR,集合A=「Jog?，集合3={祖,n},

若Ac3={l},貝！|"z〃=()

A.1B.2C.2或gD.g

例4-2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合。={1,片,3a+l},集合A=且2A={1,4},則。=()

A.{1}B.{2}C.{±2}D.{1,±2)

【規(guī)律方法】

利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法

①與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到；

②若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解.

【易錯(cuò)警示】

(1)認(rèn)清元素的屬性.解決集合問(wèn)題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合是

正確求解的兩個(gè)先決條件.

(2)注意元素的互異性.在解決含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因

為不滿足“互異性”而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

(3)防范空集.在解決有關(guān)等集合問(wèn)題時(shí)，往往容易忽略空集的情況，一定要先考慮時(shí)是否成立，以防

漏解.

【變式訓(xùn)練】

變式4-1.(2023春?廣東揭陽(yáng)?高三?？茧A段練習(xí))己知集合4={(“)|邛=4,xeN,yeN},

3={（x,y）|x-y=〃，尤eN,yeN}.若則"的值不可能是（）

A.-3B.-1C.0D.3

變式4-2.（2023?天津河?xùn)|?一模）已知集合A={1,3,"},B={l,a+2},A^B=A,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.{2}B.{-1,2}C.{1,2}D.{0,2}

題型五：集合的新定義問(wèn)題

【典例分析】

Y

例5-1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在R上定義運(yùn)算軟,若關(guān)于尤的不等式（x-a）區(qū)（x-l-a）N。

2-y

的解集是集合卜卜2<xV4}的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.—2<<1B.-2Va<1C.—2<aW1D.一2<aW1

例5-2.（2023?湖北?統(tǒng)考二模）已知X為包含v個(gè)元素的集合（veN*,v>3）.設(shè)A為由X的一些三元子

集（含有三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)

三元子集中，則稱（X,A）組成一個(gè)v階的Steiner三元系.若（X,A）為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A

中元素的個(gè)數(shù)為.

【規(guī)律方法】

解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：（1）緊扣新定義.首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述

的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破解新定義型集合問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；

（2）用好集合的性質(zhì).解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)

算與性質(zhì).

【變式訓(xùn)練】

變式5-1.（2023.全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義集合A*3={z|z=盯,xwAj},設(shè)集合A={T,0,l},

3={—1,1,3},貝中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

變式5?2.（2023?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)A是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意。涉￡人，都有

"a》,fEA（除數(shù)人。0）,則稱A是一個(gè)數(shù)域，則下列集合為數(shù)域的是（）

A.NB.ZC.QD.{%|xOrxeR}

1.(2022.北京.統(tǒng)考高考真題)已知全集。=回一3<%<3},集合A={x[—2<xWl},則電A=()

A.(—2,1]B.(-3,-2)U[1,3)C.[-2,1)D.(-3,—2]U(1,3)

2.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)若集合M={x]?<4},N={x\3x>l],則McN=()

A.{x|0Vx<2}B.C.{x|3<x<16}D.<x<161

3.(2020?全國(guó)高考真題(理))設(shè)集合A={x|x2-4WO},B={x\2x+a<^},且{尤|一2姿1},則。=()

A.-4B.-2C.2D.4

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合人={尤eZ|尤2-2元-3<0},則集合A的子集個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.8D.16

2.(2023?陜西西安?校聯(lián)考一模)己知集合4=卜€(wěn)2|6<2},8=1卜=r,_￥€4},則()

A.{0,1,4}B.{0,1,2,3,4,9,16)

C.{1,4}D.{1,2,3,4,9,16)

3.(2023?陜西寶雞??？寄M預(yù)測(cè))設(shè)48、C是三個(gè)集合，若AuB=BcC,則下列結(jié)論不正確的是().

A.BB.BcCC.B=AD.AcC

4.(2023?廣東湛江?統(tǒng)考二模)已知集合A={X*-3X>4},8={尤|2工>2},則做可13=()

A.[-1,2)B.(4,+s)C.(1,4)D.(1,4]

5.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？级?若集合A=舊y=^/^工},3={x|Y-2尤20},則=()

A.(-<?,0]B.(0,1]C.(-8,0)D.[0,1]

6.(2023?廣西南寧?南寧三中?？寄M預(yù)測(cè))設(shè)集合M={xeZ|lgr<l},N={xeZ,>10。},則HcN=

().

A.{5,6,7}B.{6,7,8}C.{7,8,9}D.{8,9,10}

7.(2023春?河南新鄉(xiāng)?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知集合人={4,乂2?,B={-2,x2,l-y},若A=3,則實(shí)數(shù)

尤的取值集合為()

A.{-1,0,2)B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2)

8.(2023.天津和平.統(tǒng)考一模)已知全集。=41^={彳€?4晨47},人口&3)={1,3,5,7},則3中元素個(gè)數(shù)為

（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

9.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={%?4-4Vx<1},B=1-2,-l,0,1

,則AcB的非空子集個(gè)

數(shù)為（）

A.7B.8C.15D.16

10.（2023?海南省直轄縣級(jí)單位?校聯(lián)考二模）設(shè)集合A={x|尤<2},B=[x]=<（

，則々AW()

[x-3

A.（1,2）B.[1,2]C.[2,3）D.[2,3]

11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合4={4|〃<1<〃+2},5=卜|y=ln（6+x-/)},且4=3,則()

A.—l<a<2B.—1<〃<2C.-2<aVlD.—2<tz<1

12.（2023?內(nèi)蒙古包頭二模）設(shè)集合4={尤婕2-420},3={尤|0<2彳<加，且4口2={x|2V無(wú)V4},則8=（）

A.-6B.-8C.8D.6

專題1.1集合

【核心素養(yǎng)】

1.與方程、函數(shù)、不等式等相結(jié)合考查集合元素的性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2.與不等式相結(jié)合考查集合的基本關(guān)系，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

3.與函數(shù)的概念、不等式、數(shù)軸、Venn圖等相結(jié)合考查集合的運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀

<---------

知灰概要/

知識(shí)點(diǎn)-元素與集合

(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性.

(2)集合與元素的關(guān)系：若。屬于集合A,記作aeA；若b不屬于集合A,記作

(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、區(qū)間法、圖示法.

(4)五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：

N*或N+表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)

集.

N+)N)Z)Q)R

知識(shí)點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系

(1)子集：若對(duì)任意xGA,都有xGB,則AUB或BnA.

⑵真子集：若AUB,且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A,則A壇B或BMA.

(3)相等：若AUB,且BUA,則人=：8.

(4)空集的性質(zhì)：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

嬴的集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U,則集合A

符號(hào)表示AUBAAB

的補(bǔ)集為CuA

圖形表示

AUBAQB

{x|x￡A,或X0{x|x￡A,且x

集合表示{x|xdU,且x建A}

B}￡B}

求集合A的補(bǔ)集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實(shí)是給定的條件.從全集U中取

出集合A的全部元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為CuA.

知識(shí)點(diǎn)四集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)AAA=A,AA0=0,AnB=BAA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)An(CuA)=0,AU(CuA)=U,Cu(CuA)=A.

常用結(jié)論

1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2口一1個(gè).

2.子集的傳遞性：ACB,BUC今AUC.

3.AUB=AnB=A=AUB=B=CuA?CuB.

4.Cu(AAB)=(CuA)U(CuB),Cu(AUB)=(CuA)n(CuB).

常彎題壑韶析I

題型一：集合的基本概念

【典例分析】

例1-1.(2023?北京海淀?校考模擬預(yù)測(cè))設(shè)集合M={2〃L1,機(jī)-3},若-3eV,則實(shí)數(shù)、=

()

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

【答案】C

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論2加-1=-3和m-3=-3兩種情況，求解機(jī)并檢

驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.

【詳解】設(shè)集合M={2〃z-l,m-3},若-3eM,

,/-3GM,.,.2m一1二一3或加一3=-3,

當(dāng)2加一1二—3時(shí)，m=-\,此時(shí)M={-3,-4}；

當(dāng)機(jī)一3=-3時(shí)，m=0,此時(shí)M={-3,-1}；

所以m=-1或0.

故選：C

例1-2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))集合A={(尤,y)l尤+y=10,xeN*,yeN*}的元素個(gè)數(shù)為(

A.8B.9C.10D.100

【答案】B

【分析】由題意利用列舉法寫(xiě)出集合A中的元素即可得出答案.

【詳角星】集合&={(x,y)lx+y=10,xeN*,yeN*}

={(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)},

所以集合A的元素個(gè)數(shù)為9個(gè).

故選：B.

【規(guī)律方法】

與集合中的元素有關(guān)的問(wèn)題的三種求解策略

(1)研究一個(gè)用描述法表示的集合時(shí)，首先要看集合中的代表元素，即確定這個(gè)集合是數(shù)集

還是點(diǎn)集等，然后再看元素的限制條件.

(2)根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.

(3)集合中的元素與方程有關(guān)時(shí)，注意一次方程和一元二次方程的區(qū)別.

【變式訓(xùn)練】

變式1-1.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知集合A={X爐-2<0},且。eA,貝U。可以為()

3?

A.-2B.-1C.-D.

【答案】B

【分析】求出集合A,結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.

【詳角星】：f—2<0，...-0<x<0，A={x|—后<x<亞},

可知一2eA,—生A,J^.笠A,故A、C、D錯(cuò)誤；一1eA,故B」E確.

2

故選：B

變式1-2.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合A={1,2,3},3={4,5},

M={x\x=a+b,a^A,bEB^,則Af中的元素個(gè)數(shù)為.

【答案】4

【分析】求出所有a+b的值，根據(jù)集合元素的互異性可判斷個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)榧螦f中的元素x=a+b,a&A,beB,所以當(dāng)6=4時(shí)，a=l,2,3,此

時(shí)x=5,6,7.當(dāng)Z?=5時(shí)，<7=1,2,3,止匕時(shí)x=6,7,8.

根據(jù)集合元素的互異性可知，x=5,6,7,8.即河={5,6,7,8},共有4個(gè)元素.

故答案為：4.

題型二：集合間的基本關(guān)系

例2-1.（2023.江西?金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={La,可，B={/,a,叫，若A=B,

貝|」/儂+/。22=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

〃2=]/=b

【分析】根據(jù)A=5,可得兩集合元素全部相等，分別求,7和7,再根據(jù)集合元

ab=b[ab=l

素的互異性可確定。，b的值，進(jìn)而得出答案.

〃2=][/=

【詳解】由題意A=3可知，兩集合元素全部相等，得到77或7」又根據(jù)集合互

ab=b[ab=l

[a=-1[a=l

異性，可知"1,解得〃=1（舍），|八和1/舍），所以1=一1，b=0f則

[力=0[匕=1

〃2。23+/。22=（_1）2。23+02022=_i,

故選：A

例2-2.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）已知集合4=卜料叫，B={x|2x-a<0},若A=8,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（2,+oo）B.[2,+co）C.（-co,2）D.（-00,2]

【答案】A

【分析】先解出集合AI,再根據(jù)人。8列不等式直接求解.

【詳解】集合4=卜卜區(qū)1}={刃-14尤41},8=卜

要使4e8,只需解得：a＞2.

故選：A

【方法技巧】

（1）判斷兩集合之間的關(guān)系的方法：當(dāng)兩集合不含參數(shù)時(shí)，可直接利用數(shù)軸、圖示法進(jìn)行判

斷；當(dāng)集合中含有參數(shù)時(shí)，需要對(duì)滿足條件的參數(shù)進(jìn)行分類討論或采用列舉法.

（2）要確定非空集合A的子集的個(gè)數(shù)，需先確定集合A中的元素的個(gè)數(shù)，再求解.不要忽略

任何非空集合是它自身的子集.

（3）根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值（或取值范圍）的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)

系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、圖示法來(lái)解決這類問(wèn)題.

【易錯(cuò)警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則

會(huì)造成漏解.

【變式訓(xùn)練】

變式2-1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合4={幻2＜尤＜6,xeN},則集合A的子集的

個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【分析】用列舉法表示集合4再寫(xiě)出其子集即可作答.

【詳解】集合A={x|2＜尤＜6,尤eN}={3,4,5},

則集合A的子集有：0,{3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5},{3,4,5）,共8個(gè),

所以集合A的子集的個(gè)數(shù)為8.

故選：D

變式22（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合4={-1,1,3},8={6+2,a},B^A,則實(shí)

數(shù)a的值是

【答案】1

【分析】根據(jù)列出元素之間的關(guān)系，即可求解實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】因?yàn)锳={-M,3},3={&+2,a},且8=A,

0T以+2￡A,a￡A,

因?yàn)?+2N2,a＞0,

所以y[a+2=3,解得a=l.

當(dāng)a=l時(shí)，3={1,3},滿足要求.

所以a=l.

故答案為：1.

題型三：集合的基本運(yùn)算

【典例分析】

例3-1.(2023?北京通州.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知全集。=3-3<X<3},集合A={x|0<x<2},

則用A=()

A.(0,2)B.(-3,0)u(2,3)C.(-2,0)D.(-3,0]U[2,3)

【答案】D

【分析】利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng).

【詳解】全集U={x|-3<x<3},集合A={x[0<x<2},

由補(bǔ)集定義可知：eA={x1-3<xW0或24x<3},即jA=(—3,0]U[2,3),

故選：D.

例3-2.(2023?安徽?校聯(lián)考二模)若集合4={尤|尤=4"3,%eN},B={x|(x+3)(x-9)W0},

則Ac3的元素個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先化簡(jiǎn)集合A3,然后利用交集運(yùn)算求解.

【詳解】由題意得，A={x|x=4fc-3,fceN)={-3,l,5,9,13,17,...},B={x|-3<x<9},

故4「8={-3,1,5,9},即AcB共有4個(gè)元素，

故選：C.

例3-3.(2023?陜西西安?西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若集合4={#249},集合

8={小-1|<3},則AuB中整數(shù)的個(gè)數(shù)為().

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)不等式的解法，分別求得集合A=同-34尤W3},B={x\-2<x<4},結(jié)合集

合并集的運(yùn)算，求得AuB,進(jìn)而得到答案.

【詳解】由題意,可得集合A={#249}={止34x43},B={x||x-l|<3}={x\-2<x<4],

則AUB={H-3VX<4},其中集合Aug有一3,-2,-L0,1,2,3WZ,共有7個(gè).

故選：C.

【規(guī)律方法】

如何解集合運(yùn)算問(wèn)題

(1)看元素構(gòu)成:集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的

關(guān)鍵.

(2)對(duì)集合化簡(jiǎn):有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明

了、易于解決.

(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合:常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖.

(4)創(chuàng)新性問(wèn)題：以集合為依托，對(duì)集合的定義、運(yùn)算、性質(zhì)進(jìn)行創(chuàng)新考查，但最終化為原來(lái)

的集合知識(shí)和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決.

【變式訓(xùn)練】

變式3-1.(2023春?天津河西?高三天津市新華中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知集合4={尤|2工>2},

B={x||x-l|<2},則()

A.(一8,3)B.(—1,1)C.(1,3)D.(3,+oo)

【答案】C

【分析】先求出集合A,B,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

【詳解】依題意得人={小>”，8={x|-l<x<3},

所以AcB=(l,3).

故選：C.

變式3-2.(2023.河北邯鄲.統(tǒng)考二模汨知集合A=何國(guó)<2},8={x[%2<3尤},則=

()

A.{x|-2<x<0}B.{尤|04x<2}

C.{x|x>3}D.1x|-2<x<3}

【答案】A

【分析】首先解絕對(duì)值不等式求出集合A,再求出集合B,最后根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算

可得.

【詳解】由國(guó)<2,得一2c<2,所以A={M#2}={X|-2<X<2},

不等式x2<3x的解集為卜|0<%<3),

所以8=1x|x2<3x}={x10W尤W3},

所以48="歸<0或x>3},

所以4「&3)={x[—2<x<0}；

故選：A.

變式3?3.(2023春?江西撫州?高三金溪一中?？茧A段練習(xí))已知全集

f7={%eZ|x2-5x-6<0},集合A={xwZ|x(3—x)N0},3={1,2,4}則集合{一1,5,6}等于

()

A.(^A)nBB.^(AUB)

C.An(^B)D.e(AcB)

【答案】B

【分析】先表示出集合U與集合A的等價(jià)條件，然后根據(jù)交集，并集和補(bǔ)集的定義進(jìn)行分

析求解即可.

【詳解】由題意知。={%€2|-1"<6}={-1,0』,2,3,4,5,6},4={》€(wěn)2|0"<3}={0,1,2,3},

所以Au3={0,1,2,3,4},二{-1,5,6}=2(AU3)，

故選：B.

題型四：利用集合的運(yùn)算求參數(shù)

【典例分析】

例4-1.(2023?海南??？谑协偵饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知加、附wR,集合A=，,log??卜

集合3={以"},若Ac3={l},則〃加=()

A.1B.2C.2或gD.1

【答案】D

mIT]

【分析】利用交集運(yùn)算可得出log2‘=l，可得出生=2,討論機(jī)、〃的取值范圍，結(jié)合已知

nn

條件檢驗(yàn)可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榧螦=12,log2?1,集合3={m,〃},若AcB={l},則log2：=l,可得：=2,

若〃=1,貝卜〃=2,此時(shí)，B={1,2]=A,不合乎題意；

若機(jī)=1,貝ijw=g,此時(shí)，3=,；』：，合乎題意.

因止匕，mn=—.

2

故選：D.

例4-2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合。={1,4,34+1},集合A=U,且”={1,4},

則"=()

A.{1}B.{2}C.{±2}D.{1,±2)

【答案】C

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，結(jié)合元素的互異性求解.

【詳解】因?yàn)榧稀?{1,/,3。+1},集合且。A={1,4},

所以{1,4}屋{1,4,30+1},

所以若3"+l=4n4=i,不滿足元素互異性，

貝Ua2=4na=±2n3a+1=7或3。+1=-5,滿足互異性，

所以a=±2.

故選：C.

【規(guī)律方法】

利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法

①與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到；

②若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程（組）

求解.

【易錯(cuò)警示】

（1）認(rèn)清元素的屬性.解決集合問(wèn)題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性（是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形）

和化簡(jiǎn)集合是正確求解的兩個(gè)先決條件.

（2）注意元素的互異性.在解決含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，

否則很可能會(huì)因?yàn)椴粷M足“互異性”而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

（3）防范空集.在解決有關(guān)等集合問(wèn)題時(shí)，往往容易忽略空集的情況，一定要先考慮時(shí)

是否成立，以防漏解.

【變式訓(xùn)練】

變式4-1.（2023春?廣東揭陽(yáng)?高三?？茧A段練習(xí)）已知集合4={（"）1孫=4,xeN,yeN},

B={（x,y）|x-y=〃,xeN,yeN}.若則〃的值不可能是（）

A.-3B.-1C.0D.3

【答案】B

【分析】由集合A中的元素，計(jì)算可能出現(xiàn)在集合8中的元素，得到"的值的范圍.

【詳解】A={（x,＞）辰=4,xeN,yeN}={（1,4）,（2,2）,（4,1）}

1-4=-3,2-2=0,4-1=3.若則”的值可能是-3,0,3,不可能是-1.

故選：B.

變式4-2.（2023?天津河?xùn)|?一模）已知集合A={1,3,〃},B=[l,a+2）,AuB=A,則實(shí)數(shù)〃

的值為（）

A.{2}B.{-1,2}C.U,2}D.{0,2}

【答案】A

【分析】由題設(shè)知304,討論。+2=3、“+2=/求°值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定。值即可.

【詳解】由=A知：BcA,

當(dāng)。+2=3,即a=l,則/=1,與集合中元素互異性有矛盾，不符合;

當(dāng)°+2=°2,即a=-1或a=2,

若。=-1,則/=1,與集合中元素互異性有矛盾，不符合；

若a=2,則4=｛1,3,4｝,8=｛1,4｝,滿足要求.

綜上，<2=2.

故選：A

題型五：集合的新定義問(wèn)題

【典例分析】

Y

例5-1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在R上定義運(yùn)算軟尤包>=若關(guān)于尤的不等式

2-y

。一。）區(qū)。一1一。）20的解集是集合｛可-2<尤44｝的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.-2<ct<\B.—2Va<1C.—2<aW1D.―2V。V1

【答案】C

V

【分析】先根據(jù)在R上定義運(yùn)算包:x③y=—,結(jié)合分式不等式的解法求出不等式的解

2->

集，再根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式，即可得解.

【詳解】由a”聞一一加過(guò)"20得存不°，

+3)]<0

即<解得Q(X<a+3,

x-(a+3)w0

—2VQ

由題設(shè)知解得—2<aWl.

[a+3W4

故選：C.

例5-2.（2023?湖北?統(tǒng)考二模）已知X為包含v個(gè)元素的集合（veN*,v>3）.設(shè)4為由X

的一些三元子集（含有三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，

都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集中，則稱（X,A）組成一個(gè)v階的Steiner三元系.若

（X,A）為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為.

【答案】7

【分析】令*=｛。,瓦。,4,%/送｝,列舉出所有三元子集，結(jié)合（X,4）組成v階的Steiner三

元系定義，確定A中元素個(gè)數(shù).

【詳解】由題設(shè)，令集合X=｛a,6,c,d,e",g｝,共有7個(gè)元素，

所以X的三元子集，如下共有35個(gè)：

｛a,b,c｝、｛a,6,d｝、｛a,b,e｝,｛a,b,f｝,｛a,b,g｝、｛q,c,d｝、｛a,c,e｝,｛a,c,f｝、｛a,c,g｝、｛a,d,e｝、

{a,d,f},{a,d,g}、[a,e,f]>{a,e,g}、{aj,g}、{b,c,d}A{瓦c,e}、{b,c,f},{b,c,g},

{6,d,e}、{6,dJ}、{b,d,g},{6,eJ}、[b,e,g},[b,f,g],{c,d,e}、[c,d,f},{c,d,g}、

{c,e,f},{c,e,g}、{c,/,g}、{d,e,/}、{d,e,g}、{dj,g}、{e,/,g},

因?yàn)锳中集合滿足X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集，

所以A中元素滿足要求的有：

{a,/c}、{a,d,e}、{a,fg}、[b,d,f},{6,e,g}、{c,1,g}、[c,e,f},共有7個(gè)；

{a,b,c}y[a,d,f]y{a,e,g]y{b,d,e}>[b,f,g}>[c,d,g}y{c,e,f）,共有7個(gè)；

{a,4c}、{a,d,g}、{a,e,f},（b,d,e}y{b,f,g},{c,d,f},{c,e,g},共有7個(gè);

{a,b,d}y{a,c,e}、{aj,g}、{b,c,f）>{6,e,g}、{c,d,g}、{d,e,f},共有7個(gè)；

{a,b,d}、{a,c,g}、{a,G『}、{6,c,e}、{6,f,g}、{c,d,f}>[d,e,g},共有7個(gè)；

{a,b,d}、{a,c,f}y{a,e,g}y{b,c,e}>[b,f,g}y[c,d,g}^{d,e,f},共有7個(gè)；

{a,b,e}y{a,c,d},{aj,g}、{b,c,f},{b,d,g},{c,e,g}y{d,e,f},共有7個(gè)；

{a,"e}、{a,c,f},{a,d,g}、{瓦c,d}、{b,f,g}>{c,e,g}、[d,e,f],共有7個(gè)；

{a,瓦e}、{a,c,g}、{a,d,/}、{b,c,d}、{b,fg}、{c,e,f}A{d,e,g},共有7個(gè)；

{a,b,f}y{a,c,d}、{a,e,g}、{b,c,e}^{b,d,g]y{c,fg}、{d,e,f},共有7個(gè)；

{a,b,f}y{a,c,e}y[a,d,g}^{b,c,d}y{b,e,g}^{c,f,g]y{d,e,f},共有7個(gè)；

{a,b,f}y{a,c,g},{a,d,e}、{b,c,d}、{8e,g}、{c,e,f},{d,f,g},共有7個(gè)；

{a,b,g}y{a,c,d}y{a,e,f}y{b,c,e},{b,d,f}{c,f,g}y{d,e,g},共有7個(gè)；

{a,瓦g}、{a,c,e}、{a,d,/}、{A,c,d}、{瓦e,/}、{c,fg}、{d,e,g},共有7個(gè)；

[a,b,g},{a,c,/}、{a,d,e}、{b,c,d}y{b,e,f}y{c,e,g}、{d,f,g],共有7個(gè)；

共有15種滿足要求的集合A,但都只有7個(gè)元素.

故答案為：7

【規(guī)律方法】

解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：（1）緊扣新定義.首先分析新定義的特點(diǎn)，

把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中，這是破解新定義

型集合問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì).解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集

合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).

【變式訓(xùn)練】

變式5-1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義集合A*3={z|z=肛,設(shè)集合

A={-1,0,1},3={-1,1,3},則A*B中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的新定義求得A*3,從而確定正確答案.

【詳解】因?yàn)锳={TO,1},B=

所以4*8={-3,-1,0,1,3},

故A*B中元素的個(gè)數(shù)為5.

故選：B.

變式5-2.（2023?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)A是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任

意a,bwA,都有a+b,。-b,。仇feA（除數(shù)6/0）,則稱A是一個(gè)數(shù)域，則下列集合為數(shù)域的

b

是（）

A.NB.ZC.QD.{x|xwO/eR}

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)域的定義，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證.

【詳解】l,2eN,故N不是數(shù)域，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，同理B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

任意。涉EQ,都有。+"4-4次?,：￡（2（除數(shù)匕。0）,故Q是一個(gè)數(shù)域，C選項(xiàng)正確；

b

對(duì)于集合A={x|尤wO/wR},1GA,1-1=0^A,故{犬|無(wú)WO/ER}不是數(shù)域，D選項(xiàng)錯(cuò)

誤.

故選：C

1.（2022.北京?統(tǒng)考高考真題）已知全集。=何—3<%<3},集合A={x|-2<xWl},則gA=

（）

A.（—2,1]B.（—3,—2）U[1,3）C.[-2,1）D.(-3,-2]U(13)

【答案】D

【分析】利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng).

【詳解】由補(bǔ)集定義可知：2A={x|-3<xW-2或1〈尤<3},即2A=（-3,-2]U（l，3）,

故選：D.

2.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)若集合M={X|4<4},N={X|3X21},則MCN=()

A.{x|0Wx<2}B.卜gvx<2}C.{x|3Wx<16}D.1x|^<x<16j

【答案】D

【分析】求出集合M,N后可求"cN.

【詳解】M={x\Q<x<16],N={x\x>^,故McN={xg〈x<16卜

故選：D

3.（2020.全國(guó)高考真題（理））設(shè)集合A={加2-4$0},B=[x\2x+a<0},且AflB={尤|-2但},

則a=（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

由題意首先求得集合A&然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于。的方程，求解方程即可確定實(shí)數(shù)

。的值.

【詳解】

求解二次不等式4W0可得：A={%|-2<%<2},

求解一次不等式2x+aW0可得：B=

由于AcB={x|-2WxWl},故：—￡=1，解得：a=—2.

故選：B.

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合人=卜€(wěn)7d-2x-3