考點04 等腰三角形與直角三角形（原卷版）

考點四等腰三角形與直角三角形知識點整合一、等腰三角形1．等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．二、等邊三角形1．定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．2．性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°．3．判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．三、直角三角形與勾股定理1．直角三角形定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．性質(zhì)：（1）直角三角形兩銳角互余；（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．判定：（1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．形．考向一等腰三角形的性質(zhì)判定1．等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸．2．等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．學(xué)-科網(wǎng)3．等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．4．等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則<a．5．等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．6．等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．7．底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形．典例引領(lǐng)1．如圖，邊長為12的等邊，F(xiàn)是邊AC的中點，點D是線段BF上的動點，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊，連接CD、CE、EF，下列說法正確的有（

）個．①；②；③；④的周長最小值為18；⑤的大小隨著點D的移動而變化．A．2 B．3 C．4 D．52．如圖，在等腰三角形中，，D為的中點，點E在上，，若點P是等腰三角形的邊上的一點，則當(dāng)為等腰三角形時，的度數(shù)是（

）A． B． C．減 D．或二、填空題3．如圖，在中，，，D為中點，P為上一點，E為延長線上一點，且．有以下結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④．其中正確的結(jié)論有（填序號）4．如圖，在中，與的平分線交于點O，過點O作，分別交于點．若，則的周長是．5．如圖，為內(nèi)一點，平分，，，若，，則的長為．變式拓展6．（1）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了這樣的問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點E，使，連結(jié)．請根據(jù)小明的方法思考：如圖2，由已知和作圖能得到的理由是選填（SSS，SAS，AAS，ASA）（2）【問題解決】根據(jù)圖2，求出中線的取值范圍．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．（3）【拓展延伸】如圖3，是的中線，交于點E，交于F，且．求證：．7．（1）閱讀理解如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點使，連接，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是．這種方法叫做倍長中線法．（2）問題解決：如圖2，，，此時成立嗎？請說明你的理由．（3）問題拓展：如圖3，已知：，，，，為的中線，反向延長交于點，求證：．8．如圖，在中，、分別為、邊的垂直平分線，連接、．

(1)求證：；(2)若，，則的周長為．9．如圖所示，在中，，F(xiàn)是延長線上一點，點E在上，且．

求證：(1)；(2)判斷的關(guān)系，并證明．考向二等邊三角形的性質(zhì)與判定1．等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．2．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸．3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形．典例引領(lǐng)1．如圖，等邊與正方形的重疊，其中、兩點分別在、上，且，若，，則的面積為．

二、解答題2．如圖，為線段上一動點，（不與點、重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點，與交于點，與交于點，連接．(1)求證：；(2)求證：是等邊三角形；(3)若改變的位置，其余條件都不變，點恰好為的中點時，請問是否也為的中點，并說明理由．3．已知：如圖，點D在等邊三角形的邊上，延長至點E使，連接交于點F．求證：．4．如圖，已知等腰中，，，，點關(guān)于直線的對稱點為點，連接，連接交于點，連接交于點，交于點．(1)如圖1，當(dāng)時，①補全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)在直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)為等腰三角形時，利用備用圖直接求出的值為______．5．在等邊中，D為邊的中點，點N在邊的延長線上，且．

(1)如圖1，點M在邊上，求證：；(2)如圖2，點M在邊的延長線上，試探究，與等邊邊長的數(shù)量關(guān)系：變式拓展6．綜合與探究【問題情境】在等邊中，是邊上的一個定點，是上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作等邊，連接．【特例研究】如圖，當(dāng)點在邊上時，過點作交于點．此時的形狀是；與的數(shù)量關(guān)系是．試猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展探究】（）如圖，當(dāng)點在的延長線上時，（）中的猜想是否依然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確的猜想并說明理由．7．如圖，在中，，，是的中點，是的中點，連接并延長至，使，連接，．(1)若，則______；(2)求證：是等邊三角形．8．如圖，在等邊三角形中，點為邊上任意一點，延長至點，使，連接交于點，于點．(1)求證：；(2)若，求線段的長．（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）9．如圖，中，，是邊上的中線，以為邊向外作等邊，與交于點．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)；(3)在（）的條件下，若，求的值．10．如圖，在等邊中，點D、點E分別在、上，且，連接、相交于點F．

(1)求的度數(shù)；(2)連接，若，，求的長．考向三直角三角形與勾股定理1.在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，這個性質(zhì)常常用于計算三角形的邊長，也是證明一邊（30°角所對的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據(jù)．當(dāng)題目中已知的條件或結(jié)論傾向于該性質(zhì)時，我們可運用轉(zhuǎn)化思想，將線段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形，從而將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題．2．應(yīng)用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關(guān)系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關(guān)系式是b2+c2=a2．3．如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進行分類討論，以免漏解．典例引領(lǐng)1．如圖，米長的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時梯足到墻底端的距離為米，若梯子的頂端沿墻下滑米，那么梯足將向左移（

）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米二、填空題2．如圖，中，，，、分別是、邊上的兩個動點，滿足，求線段的取值范圍．3．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面積依次為，，，則正方形的面積為．4．等腰三角形的腰長，高是，則這個三角形的底邊．5．如圖，在中，，厘米，厘米，點從點出發(fā)，以厘米秒的速度在射線上勻速運動，當(dāng)為等腰三角形時，點運動的時間為秒．6．如圖，，點P是內(nèi)的定點且，若點M、N分別是射線、上異于點O的動點，則周長的最小值是．變式拓展7．如圖，在中，，，是邊上的動點，點關(guān)于直線的對稱點為，連接交于，當(dāng)為直角三角形時，的長是．8．如圖，在中，，，，垂直平分，點P為直線上一動點，則周長的最小值是．三、解答題9．如圖1，在四邊形中，，分別是上的點，且，探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．(1)提示：探究此問題的方法是延長到點G，使，連接，先證明，再證明．請根據(jù)提示按照提示的方法完成探究求解過程．(2)探索延伸：如圖2，若在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．(3)能力提高：如圖，等腰