考點15 三角形及全等（精講）-2024年中考數(shù)學一輪復習之核心考點精講精練（原卷版）

考點15.三角形及全等（精講）【命題趨勢】三角形及其全等三角形是中考必考內(nèi)容，三角形的相關概念（如：內(nèi)角和、三邊關系、三線等）常結合三角形全等在選填題中考查，全等三角形的性質與判定常用四邊形在解答題中考查。三角形及其全等三角形主要重在掌握基本知識的基礎上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，分值為10--15分?？忌趶土暠究键c時，不僅要熟悉掌握其本身的性質和運用，還要注重轉化思想在題目中的應用，同步聯(lián)想，其他幾何圖形在什么情況下會轉化成該考點的知識考查?！局R清單】1：三角形的相關概念（☆☆）1）三角形的概念:由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形。2）三角形的三邊關系（1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍；③證明線段不等關系。3）三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。推論：①直角三角形的兩個銳角互余；②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。2：三角形中的重要線段（☆☆）1）三角形中的重要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線。3：全等三角形的判定與性質（☆☆☆）1）三角形全等的判定定理：（1）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（2）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；（3）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；（4）角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；（5）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）。2）全等三角形的性質：（1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應的中線、高線、角平分線都相等。4：全等三角形的實際應用（☆☆）1）通過平移、翻折、旋轉后得到的圖形與原圖形是全等圖形。2）若題中沒有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔助線，如運用作高法、倍長中線法、截長補短法、分解圖形法等來解決運動、拼接、旋轉等探究性題目。3）利用全等三角形解決實際問題的方法：把實際問題先轉化為數(shù)學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉化為三角形中的邊角關系是關鍵．5：角平分線的性質與判定（☆☆☆）1）角平分線的性質定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．如圖，已知平分，，，則．2）角平分線的判定定理：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．【易錯點歸納】1.從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素（其中至少有一個元素是邊）對應相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準確地確定要補充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路。2.角平分線的性質定理中的“距離”是指“點到角兩邊所在直線的距離”，因此在應用時必須含有“垂直”這個條件，否則不能得到線段相等?！竞诵目键c】核心考點1.三角形的相關概念例1：（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若一個三角形的邊長均為整數(shù)，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為（寫出一個即可）．變式1.（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）在下列長度的四條線段中，能與長的兩條線段圍成一個三角形的是（

）A． B． C． D．變式2.（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預測）平面內(nèi)，將長分別為2，4，3的三根木棒按如圖方式連接成折線，其中可以繞點任意旋轉，保持，將，兩點用繃直的皮筋連接，設皮筋長度為，則不可能是（）

A．3 B．5 C．7 D．8例2：（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）若三角形三個內(nèi)角的比為1：2：3，則這個三角形按角分類是三角形．◆變式訓練變式1．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數(shù)學道理是．變式2.（2022·黑龍江大慶·中考真題）下列說法不正確的是(

)A．有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形C．有兩個角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形例3：（2023·河北·模擬預測）在中，數(shù)據(jù)如圖所示，若比小，則比（

）

A．大 B．小 C．大 D．小變式1.（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預測）一塊板材如圖所示，測得，，，根據(jù)需要為140°，師傅說板材不符合要求且只能改動，則可將（選填“增加”或“減少”）．

變式2.（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考三模）定理：三角形的內(nèi)角和是180°．已知：、、是的三個內(nèi)角．求證：．有如下四個說法：①*表示內(nèi)錯角相等，兩直線平行；②@表示；③上述證明得到的結論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結論，適用于任何三角形．其中正確的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③變式3．（2023·山西太原·統(tǒng)考二模）如圖，在凹四邊形中，，，，求的度數(shù)．

下面是學習小組的同學們交流時得到的解決問題的三種方法：方法一：作射線AC；方法二：延長BC交AD于點E；方法三：連接BD．請選擇上述一種方法，求的度數(shù)．核心考點2.三角形中的重要線段例4：（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預測）嘉淇剪一個銳角做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與交于點，連接，則線段分別是的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線變式1．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）小熊和小貓把一個三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩個三角形．如圖，當時，折痕是三角形的（

）

A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線變式2.（2022·河北·中考真題）如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（

）A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線例5：（2023·河北滄州·統(tǒng)考三模）題目：如圖，的三邊均不相等，在此三角形內(nèi)找一點O，使得，，的面積均相等．甲、乙兩人的做法如下，判斷正確的是（

）

A．甲、乙皆正確 B．甲、乙皆錯誤 C．甲錯誤，乙正確 D．甲正確，乙錯誤變式1.（2023·江蘇蘇州·?？级＃┑妊?，，，則重心G到底邊的距離是．變式2．（2023·寧夏銀川·校考一模）材料一：如圖①，點C把線段分成兩部分，若，那么稱線段被點C黃金分割，點C叫做線段的黃金分割點．類似地，對于實數(shù)：，如果滿足，則稱為的黃金數(shù)．材料二：如果一條直線把一個面積為S的圖形分成面積為和兩部分，且滿足，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．如圖②，在中，若線段所在的直線是的黃金分割線，過點C作一條直線交邊于點E，過點D作交的一邊于點F，連接，交于G．問題：(1)若實數(shù)，a為0，1的黃金數(shù)，求a的值．(2)（填）(3)是的黃金分割線嗎？為什么？例6：（2023·河北衡水·二模）如圖，在中，點在邊上，沿將折疊，使點與邊上的點重合，展開后得到折痕．

（1）折痕是的；（填“角平分線”“中線”或“高”）（2）若，則比的度數(shù)大．變式1.（2023上·浙江·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點，點C在x軸負半軸，，點M為的重心，若將繞著點O逆時針旋轉90°，則旋轉后三角形的重心的坐標為．

變式2．（2023·四川宜賓·模擬預測）如圖，中，，，，點P為邊上任意一點，（P不與點B、C重合），I為的內(nèi)心則：（1）的最小值=___________；（2）的取值范圍是___________．核心考點3.全等三角形的判定與性質?例7：（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在與中，，請?zhí)砑右粋€條件，使得．

變式1.（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點D，E．分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，交于內(nèi)一點F.連結并延長，交于點G．連結，.添加下列條件，不能使成立的是（

）

A． B． C． D．變式2.（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，在和中，在同一條直線上．下面四個條件：①；②；③；④．

(1)請選擇其中的三個條件，使得（寫出一種情況即可）；(2)在（1）的條件下，求證：．例8：（2023·臺灣·統(tǒng)考模擬預測）已知與全等，A、B、C的對應點分別為D、E、F，且E點在AE上，B、F、C、D四點共線，如圖所示若，，則下列敘述何者正確？（）A．，B．，C．，D．，變式1.（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖，，點D在邊上，延長交邊于點F，若，則．例9：（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，銳角三角形中，，點D，E分別在邊，上，連接，．下列命題中，假命題是（

）．

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則變式1.（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點均在小正方形方格的頂點上，線段交于點，若，則等于（

）

A． B． C． D．例10：（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，點，分別在，上，，，相交于點，．求證：．小虎同學的證明過程如下：證明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

(1)小虎同學的證明過程中，第___________步出現(xiàn)錯誤；(2)請寫出正確的證明過程．變式1．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，．過點作，垂足為，延長至點．使．在邊上截取，連接．求證：．

變式2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，，垂足分別為，．(1)求證：；(2)若，，求的長．

變式3．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，點C在線段上，在和中，．求證：．

例11：（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點D為上一點，連接．過點B作于點E，過點C作交的延長線于點F．若，，則的長度為．

變式1.（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，．(1)寫出與的數(shù)量關系(2)延長到，使，延長到，使，連接．求證：．(3)在（2）的條件下，作的平分線，交于點，求證：．

變式2．（2023·青海海西·?？家荒＃┱埻瓿扇缦绿骄肯盗械挠嘘P問題：探究1：如圖1，是等腰直角三角形，，點為上一動點，連接，以為邊在的右側作正方形，連接，則線段，之間的位置關系為，數(shù)量關系為．探究2：如圖2，當點運動到線段的延長線上，其余條件不變，探究1中的兩條結論是否仍然成立？為什么？（請寫出證明過程）。探究3：如圖3，如果，，仍然保留為，點在線段上運動，請你判斷線段，之間的位置關系，并說明理由．核心考點4.全等三角形的實際應用例12：（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角．”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．

請寫出平分的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線是的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）變式1．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，工人師傅設計了一種測零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以道該零件內(nèi)徑的長度．依據(jù)的數(shù)學基本事實是（

）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等C．兩余直線被一組平行線所截，所的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短變式2．（2023·江蘇鹽城·校考一模）（1）如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，小聰想要測量A、B間的距離，一位同學幫他想了一個辦法：先在地上取一個可以直接到達A、B的點O，分別延長、至點M、N，使得，再連接，則的長度即為池塘A、B間的距離．請說明理由．（2）在下面的網(wǎng)格圖中有三個點A、B、D，其中點A和點D在網(wǎng)格線的交點處，點B在網(wǎng)格線上，請找出點C，使得四邊形是平行四邊形．（僅用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡，不