湘豫名校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)考試題文

PAGEPAGE17湘豫名校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)考試題文第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿意，則的模為（）A.1 B.C.2 D.3.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.4.若，且，則（）A.3 B. C.2 D.5.隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)水平的提升，旅游收入持續(xù)增長(zhǎng)，且國(guó)內(nèi)旅游的旅游量最大、潛力最深、基礎(chǔ)性最強(qiáng)，下圖為連續(xù)9年我國(guó)國(guó)內(nèi)旅游總收入統(tǒng)計(jì)圖：假設(shè)每年國(guó)內(nèi)旅游總收入（單位：萬(wàn)億元）與年份代號(hào)線性相關(guān)，且滿意，則估計(jì)第10年國(guó)內(nèi)旅游總收入約為（）A.5.97萬(wàn)億元 B.6.07萬(wàn)億元C.6.17萬(wàn)億元 D.6.37萬(wàn)億元6.將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則的一個(gè)極值點(diǎn)可能為（）A. B.C. D.7.已知直角梯形中，，，，，則（）A.16 B.32 C.34 D.408.已知為二次函數(shù)，且，則（）A. B.C. D.9.如圖，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上異于，，且不與，關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的隨意一點(diǎn)，若直線，的斜率之積為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10.如圖，已知六個(gè)直角邊長(zhǎng)均為1和的直角三角形圍成兩個(gè)正六邊形，若向該圖形內(nèi)隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在小正六邊形內(nèi)部的概率為（）A. B.C. D.11.執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的（）A.41 B.48C.60 D.7112.定義在上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且成立，則下列各式肯定成立的是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為_(kāi)_____.14.若橢圓的隨意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓中心，則稱這個(gè)圓為蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑為，則橢圓的離心率為_(kāi)_____.15.萊昂哈德·歐拉是近代聞名的數(shù)學(xué)家，歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的探討特別廣泛.復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式（，其中是虛數(shù)單位）可以實(shí)現(xiàn)指數(shù)式和復(fù)數(shù)式的互化，那么把化成指數(shù)式為_(kāi)_____.16.一個(gè)封閉的正方體容器內(nèi)盛有一半的水，以正方體的一個(gè)頂點(diǎn)為支撐點(diǎn)，將該正方體在水平桌面上隨意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)容器內(nèi)的水面與桌面間距離最大時(shí)，水面截正方體各面所形成的圖形周長(zhǎng)為，則此正方體外接球的表面積為_(kāi)_____.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，等比數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2024項(xiàng)的乘積.18.已知在四棱錐中，，，，為的中點(diǎn)，若正視圖方向與向量的方向相同時(shí)，四棱錐的正視圖為三角形.（1）證明：平面；（2）若三角形為直角三角形，求三棱錐的體積.19.近幾年，隨著大眾鮮花消費(fèi)習(xí)慣的轉(zhuǎn)變，中國(guó)進(jìn)入一個(gè)鮮花消費(fèi)的增長(zhǎng)期.依據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，某地一鮮花店銷售某種級(jí)玫瑰花，在連續(xù)統(tǒng)計(jì)的320天的玫瑰花售賣中，每天的玫瑰花的銷售量（單位：支）與特別節(jié)日的天數(shù)如下表：非特別節(jié)日的天數(shù)特別節(jié)日的天數(shù)總計(jì)銷售量在內(nèi)的天數(shù)160銷售量在內(nèi)的天數(shù)1040總計(jì)170320（1）填寫(xiě)上表，推斷是否有99%的把握認(rèn)為“每天的玫瑰花的銷售量與特別節(jié)日有關(guān)”?（2）若按分層抽樣的方式，從上述表格的特別節(jié)日中抽取5天作為一個(gè)樣本，再?gòu)倪@個(gè)樣本中抽取2天加以分析探討，求這兩天玫瑰花的銷售量在內(nèi)的概率.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.直線交橢圓于，兩點(diǎn)，滿意，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明：直線恒與一個(gè)定圓相切；（2）設(shè)橢圓在，兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.21.已知函數(shù)，的反函數(shù)為（其中為的導(dǎo)函數(shù)，）.（1）推斷函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)，求證：.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做第一題計(jì)分.22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）將曲線的參數(shù)方程化為一般方程；（2）設(shè)曲線與曲線交于兩點(diǎn)，，，求實(shí)數(shù)的值.23.[選修4-5：不等式選講]設(shè)、，為正數(shù)，，的最小值為.（1）求的值；（2）求不等式的解集.

2024年一般高等學(xué)校全國(guó)統(tǒng)招生考試湘豫名校聯(lián)考數(shù)學(xué)（文科）答案第Ⅰ卷123456789101112BAADCDCBCABC一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】B【解析】，又，則，故選B.2.【答案】A【解析】由已知可得，于是，故選A.3.【答案】A【解析】因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解除B，D；因?yàn)?，所以解除C，故選A.4.【答案】D【解析】，或（舍）..故選D.5.【答案】C【解析】計(jì)算可得，，將點(diǎn)代入，可得，所以，將代入，可得萬(wàn)億元，故選C.6.【答案】D【解析】依據(jù)題意，得，所以，，所以，，令，可得，故選D.7.【答案】C【解析】法一：由題意可得，，，則.法二：畫(huà)出圖形，由題意可得，，則，故選C.8.【答案】B【解析】由題意設(shè)，，即，解得，，所以，故選B.9.【答案】C【解析】設(shè)，，則，則，，由題意知，所以雙曲線的漸近線方程為，所以.故選C.10.【答案】A【解析】由題意可得，外面的正六邊形的面積為，內(nèi)部的小正六邊形的面積為，所以所求概率為.故選A.11.【答案】B【解析】執(zhí)行程序框圖，，，滿意，，滿意，；，滿意，，滿意，；，滿意，，滿意，；，滿意，，滿意，；，不滿意，，滿意，；，不滿意，，滿意，；，不滿意，，滿意，；，不滿意，，滿意，；，不滿意，，滿意，；，不滿意，，滿意，；，不滿意，，不滿意，輸出的值為48，故選B.12.【答案】C【解析】由題可得，所以，設(shè)則，所以在上單調(diào)遞減.由可得，所以，，所以選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確.把代入得，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選C.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.【答案】-1【解析】，，，切線方程為，切線在軸上的截距為-1.14.【答案】【解析】由題意得，當(dāng)兩切線分別為和時(shí)，也滿意條件，，，，.15.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知，把化成指數(shù)式需滿意，例如當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.16.【答案】【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，當(dāng)正方體旋轉(zhuǎn)到一條體對(duì)角線垂直于水平面時(shí)，容器內(nèi)水的高度最大，又因?yàn)樗捏w積是正方體體積的一半，所以容器里水面的最大高度為體對(duì)角線的一半，即最大高度為.設(shè)外接球的球心為，則球心為體對(duì)角線的中點(diǎn)，設(shè)正方體為，為的中點(diǎn)，取，的中點(diǎn)，，，的中點(diǎn)，，可證得，，進(jìn)而可證平面，同理可得，水面截正方體各面形成的圖形為正六邊形，邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，所以，則，所以正方體外接球的半徑，故正方體外接球的表面積為.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.【解析】（1）.當(dāng)時(shí)，，又，，，，，等比數(shù)列的公比為2，（2），所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，數(shù)列的前2024項(xiàng)的乘積為：.18.【解析】（1）依據(jù)正視圖的概念，可得平面，.為的中點(diǎn)，，.，平面.（2），，又為的中點(diǎn)，.又，..19.【解析】（1）填表如下：非特別節(jié)日的天數(shù)特別節(jié)日的天數(shù)總計(jì)銷售量在內(nèi)的天數(shù)160120280銷售量在內(nèi)的天數(shù)103040總計(jì)170150320，故有99%的把握認(rèn)為“每天的玫瑰花的銷售量與特別節(jié)日有關(guān)”.（2）依據(jù)分層抽樣，抽取銷售量在內(nèi)的特別節(jié)日有4天，記為，，，，銷售量在內(nèi)的特別節(jié)日有1天，記為，則從中抽取2天的結(jié)果為，，，，，，，，，，共10種.其中這兩天玫瑰花的銷售量在內(nèi)的結(jié)果有，，，，，，共6種，所以所求概率為.20.【解析】（1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入得，，設(shè)，，則，（※）由得，將（※）代入化簡(jiǎn)得，，所以點(diǎn)到直線的距離，直線恒與定圓相切，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，也滿意與定圓相切，直線恒與一個(gè)定圓相切.（2）設(shè)，當(dāng)，不在坐標(biāo)軸上，且的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，代入，由，得，直線，同理可得，，因?yàn)樗鼈兌歼^(guò)點(diǎn)，所以，，所以直線同時(shí)過(guò)點(diǎn)，，即直線為，即，與對(duì)比得，，由（1）知，，故有，即，當(dāng)，在坐標(biāo)軸上，或斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)仍滿意，所以點(diǎn)的軌跡方程為.21.【解析】（1）由題意得，則.由，得或.由，得或；由，得.故當(dāng)在上改變時(shí)，，的改變狀況如下表：1+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增依據(jù)上表知，，.依據(jù)零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，又因?yàn)?，所以依?jù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.（2）因?yàn)?，其反函?shù)為，所以原不等式為.當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.設(shè)函數(shù)，則.設(shè)函數(shù)，則，易知在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以存在，使得，從而函?shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，故?dāng)時(shí)，，所以，故.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所