2024年高考數學復習：復數（解析版）

【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）

第26練復數（精練）

刷真題明導向

一、單選題

1.（2022?全國?統考高考真題）（2+2i）（l-2i）=

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用復數的乘法可求（2+2i）（l-2i）.

【詳解】（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,

故選：D.

2.（2021,全國,統考高考真題）已知z=2—i,貝!]2（2+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【分析】利用復數的乘法和共粗復數的定義可求得結果.

【詳解】因為z=2-i,故]=2+i，故7「+7）=（27）（2+2/）=4+4，-2/-%2=6+2/

故選：C.

3.（2021?全國?高考真題）已知（l-i）2z=3+2i,則2=（）

[3.33.

A.-1——1B.-1+—1C.——+iD.------1

2222

【答案】B

【分析】由已知得2=*,根據復數除法運算法則，即可求解.

-21

【詳解】（l-i『z=-2i==3+2i,

故選：B.

4.（2022?全國?統考高考真題）已知z=l-2i,S.z+az+b^0,其中a,6為實數，則（）

A.a=l,b=—2B.a——1,b—2C.a=l,b=2D.。=一1,6=-2

【答案】A

【分析】先算出彳,再代入計算，實部與虛部都為零解方程組即可

【詳解】z=l-2z

z+dz+b=\-2i+a(l+2i)+b=(l+a+6)+(2a—2)i

由z+立+6=0,結合復數相等的充要條件為實部、虛部對應相等,

1+Q+6=0a=1

得，即

2a—2=0'b=-2

故選:A

5.(2022?全國?統考高考真題)若z=-l+6i,則()

ZZ—1

A.-1+V3iB.-1-V3iC.iD.i

3333

【答案】C

【分析】由共朝復數的概念及復數的運算即可得解.

【詳解】z=-l-V3i,zz=(-l+V3i)(-l-V3i)=l+3=4.

z-1+V3i1也.

----------------I-----1

ZZ-1-3------3----3

故選：C

6.(2022?全國?統考高考真題)設(l+2i)a+6=2i,其中。,6為實數，貝I]()

A.a=l,b=-1B.“=1,6=1C.a=-1,6=1D.a=-l,b=-1

【答案】A

【分析】根據復數代數形式的運算法則以及復數相等的概念即可解出.

【詳解】因為a,6』R,(a+6)+2ai=2i,所以a+6=0,2。=2,解得：a=\,b=-\,

故選：A.

5(l+i3)

7.(2023?全國?統考高考真題).\=()

(2+比2-1)

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】C

【分析】利用復數的四則運算求解即可.

【詳解】=絲0

5。+巧=l-i

(2+i)(2-i)5

故選：C.

8.（2023?全國?統考高考真題）在復平面內，（l+3i）（3-i）對應的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根據復數的乘法結合復數的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為(l+3i)(3—i)=3+8i—3f=6+8i,

則所求復數對應的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

9.（2023,全國?統考高考真題）設。wR,（a+i）（l—ai）=2,,則〃=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根據復數的代數運算以及復數相等即可解出.

[詳解]因為（a+Q2j+i+Q=2〃+2）=2,

[2a=2…

所以12八?解得：a=\.

[1一〃=0

故選：C.

10.（2023?全國?統考高考真題）|2+i2+2i3|=（）

A.1B.2C.45D.5

【答案】C

【分析】由題意首先化簡2+i?+2i3,然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得2+i?+2i3=2-l-2i=l-2i，

貝!![2+i2+2i3|=|l-2i|=J12+（-2）2=6.

故選：C.

1-i_

11.（2023?全國?統考高考真題）已知Z=TK，貝！];_1=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根據復數的除法運算求出z,再由共朝復數的概念得到），從而解出.

1-i(l-i)(l-i)-2i1-1

【詳解】因為z_鼠1,所以z=^i即2-z=-i

2(l+i)(l-i)4

故選：A.

12.（2023?全國?統考高考真題）設z=；2：則】=（）

1+1+1

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由題意首先計算復數z的值，然后利用共朝復數的定義確定其共物復數即可.

【詳解】由題意可得z=2丁上_=q2）=也1=]_方,

l+i2+i51-1+ii2-1

則N=1+2i.

故選：B.

13.（2021?全國?統考高考真題）設iz=4+3i,貝!jz=（）

A.—3—4iB.—3+4iC.3—4iD.3+4i

【答案】C

【分析】由題意結合復數的運算法則即可求得z的值.

【詳解】由題意可得：Z=包3=（4+『）'=±j=3T7.

zz2-1

故選：C.

14.（2021?全國?統考高考真題）設2（z+可+3（z-斗4+6i,貝！|z=（）

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

【答案】C

【分析】設名=。+歷，利用共物復數的定義以及復數的加減法可得出關于。、。的等式，解出這兩個未知數

的值，即可得出復數z.

【詳解】設z=a+6i,則彳=a-6i,貝！）2（z+7）+3（z-可=4a+6歷=4+6i,

f4a=4,

所以，《公一解得"='=1,因此，r=l+i.

[6b=6

故選：C.

15.（2022?全國?統考高考真題）若i（l-z）=l,貝”+彳=（）

A.-2B.-1C.ID.2

【答案】D

【分析】利用復數的除法可求z,從而可求z+彳.

【詳解】由題設有l(wèi)-z」=3=_i,故z=l+i,故z+3=(l+i)+(l-i)=2,

11

故選：D

16.(2022,全國,統考IWJ考真題)若z=l+i.則|iz+3z|=()

A.475B.472C.2石D.2亞

【答案】D

【分析】根據復數代數形式的運算法則，共朝復數的概念以及復數模的計算公式即可求出.

【詳解】因為z=l+i,所以iz+37=i(l+i)+3”i)=2-2i,所以但+3司=百4=20.

故選：D.

【A組在基礎中考查功底】

一、單選題

1.(2023?寧夏銀川?銀川一中校考三模)己知aeR,復數(a+i)(l-3i)是實數，則。=(

A.-B.—C.3D.—3

33

【答案】A

【分析】由復數運算法則和實數定義可構造方程求得結果.

【詳解】?.-(a+i)(l-3i)=a-3?i+i-3i2=@+3-Q-3")為實數，

:.l-3a=09解得：〃=；.

故選：A.

2.(2023?山東聊城?統考三模))

A.2-iB.2+iC.-2iD.2i

【答案】D

【分析】根據復數的除法和乘方運算可得答案.

【詳解】[1一?=[一占)=2i-l+l=2i.

故選：D.

3.(2023?海南?統考模擬預測)已知復數z=l-i,貝打_自=().

A.iB.-iC.2+iD.2-i

【答案】D

【分析】利用共朝復數的意義、復數的乘法及加減法運算求解作答.

【詳解】因為z=l-i,則：=l+i，所以l->=l-i(l+i)=2-i.

故選:D

4.(2023?遼寧葫蘆島?統考二模)若i(l-z)=l,則z-Z=()

A.-2iB.-iC.iD.2i

【答案】D

【分析】根據給定條件，求出復數z,再求出其共粗并代入計算作答.

【詳解】由限一z)=l,得l-z=L_i,貝!!“l(fā)+i,1=

1

所以z-z=l+i-(l-i)=2i.

故選：D

5.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學?？寄M預測)已知i是虛數單位，復數z滿足z(3+i)=K2+i)j,

則復數z的共甄復數虛部為()

A.-B.：C.—D.—

2222

【答案】B

【分析】由復數的運算直接求解得到z==3-g1i,再由共朝復數的概念求解即可.

22

【詳解】由題知，Z(3+】H(2+】)/5,Z=。=GKjT-H

??.復數z的共朝復數為7=：+與,復數z的共飄復數虛部為；,

222

故選：B.

6.(2023?浙江?校聯考二模)已知復數z滿足(z+2i)(z-2i)=2(i為虛數單位)，則2=()

A.土B.+V2iC.2iD.土戈

【答案】B

【分析】根據復數的乘法運算規(guī)則計算.

【詳解】(z+2iXz-2i)=z2-4i2=z2+4=2,:.z=±石=±@

故選：B.

7.（2023?北京?統考模擬預測）若復數z滿足（l+2i）.z=5-5i,貝丘=（）

A.l+3iB.l-3iC.-l+3iD.-l-3i

【答案】C

【分析】根據復數的除法運算和共朝復數的概念可求出結果.

,、坐版mo,._..rq5—5i(5—5i)(l—2i)—5—15i.

【詳解】因為(l+2i)『=5-5i,所以z=;——=-一—-：~—=---=-1-31,

1+21(1+21)(1-21)5

所以彳=—l+3i.

故選:C

8.(2023?湖南岳陽?統考三模)設復數z滿足(1-i)z=|3+i]則復數Z的虛部是（)

「麗.

AA.--V-i-oi.BR.--V-i-oC.---i

222

【答案】D

【分析】根據復數的乘除法規(guī)則和復數的實部虛部定義求解.

【詳解】因為復數z滿足（l-i）z=|3+i|,即（1一①=存萬=而，

所以2=巫=廂（1+"=?+?,所以復數z的虛部是巫；

1-i2222

故選：D.

9.（2023?新疆阿勒泰?統考三模）己知。,6€電1是虛數單位，若0+21與1+勿互為共輾復數，則（°-歷）2=（）

A.5-4iB.5+4iC.-3-4zD.-3+4i

【答案】D

【分析】根據a+2i與1+歷互為共朝復數，求出。和6,再代入（。-歷丫計算即可.

【詳解】因為a+2i與1+bi互為共期復數，所以。=1,6=-2,

所以(0一歷了=(l+2iy=l+4i+4i2=-3+4i.

故選：D.

10.(2023?江蘇?校聯考模擬預測)若復數(2-i)z=3+4i,貝1+三=()

24

A.3B.4C.-D.一

55

【答案】D

【分析】根據復數的除法運算求解z,再求其共朝復數得出結果.

【詳解】由(2-i)z=3+4i得2=羅=黑巖

2-1+55

-Z=121-1yi,所以Z+-Z=]4.

故選：D.

11.(2023?江西南昌?校聯考模擬預測)已知復數z滿足(z-i)(l-i)=2,則目=()

A.1B.V2C.V3D.V5

【答案】D

【分析】先利用題意算出z=l+2i,然后利用復數模的公式即可求解

【詳解】由(z-i)(l-i)=2可得z=^—+i=—2(1+,)—+i=l+i+i=l+2i,

1-i(l-i)(l+i)

所以|z|=Jy+22=6

故選：D

12.(2023?湖南?校聯考二模)設復數z=色工(i為虛數單位)，則目=()

l+2i

A.41B.V3C.V5D.V13

【答案】A

【分析】利用復數的四則運算及模的運算即可得解.

3+i33-i(3-i)(l-2i)_l-7i_1_7_.

【詳解】因為z=-=

l+2i(l+2i)(l-2i)-55-/

故選：A.

13.(2023?河南安陽?統考三模)已知(l+2i)(a+i)的實部與虛部互為相反數，則實數。=

]_]_

A.B.C.D.

3322

【答案】A

【分析】根據復數的乘法運算可得(l+2i)(a+i)="2+(l+2a)i,結合題意列出方程，即可得答案.

【詳解】由于(l+2i)(a+i)=q_2+(l+2a)i,

(l+2i)(a+i)的實部與虛部互為相反數，故。-2+(1+2幻=0,.?/=；,

故選：A

14.(2023?山西晉中?統考三模)歐拉公式ei'=cosx+isinx(xeR)是由瑞士著名數學家歐拉發(fā)現的，該公式

被譽為數學中的天橋.若復數4=—，z,=e*貝1空2=()

A.-iB.i

C5/2.CV2V2.

C.-------+——iD.-------------1

2222

【答案】B

【分析】由歐拉公式求4,4的代數形式，再結合復數運算法則求ZR.

【詳解】由歐拉公式可得：

弓兀..兀1百.>7兀..兀百1.

z.=e3=cos—+1sin—=—H-----1，z,=e6=cos—+ism—=------1--i>

1332226622

故選：B.

15.(2023?黑龍江哈爾濱?哈九中?？寄M預測)已知復數z滿足i(2z-l)=2+3i,則復數z的虛部為()

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】B

【分析】根據已知化簡可得z=2-i,即可得出答案.

【詳解】由已知可得，2z1=2+31=32i,所以z=2-i,

1

所以，復數Z的虛部為-1.

故選：B.

16.(2023?廣西桂林?校考模擬預測)已知復數加-加-)+加何eR)為純虛數，則帆+目=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】C

【分析】先利用純虛數的概念求加，再求M+W

【詳解】因Z=（加-加2）+加i（MeR）為純虛數，

,\rn-m2=0

所以n，

［冽w0

解得m=l,z=i

所以帆+z|=|l+i卜J1+1=A/5".

故選：C.

17.（2023?重慶?統考模擬預測）已知i是虛數單位，復數T而在復平面內所對應的點位于（）

2+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】利用復數的乘方運算和除法運算求解作答.

―一八3i3i3i<2+i）5+6i36.

【詳解】i^=m=（2_i）（2+i）=^=-T”

所以復數—西在復平面內所對應的點位于第二象限.

故選：B

18.（2023?廣西玉林?統考模擬預測）設復數z=l-i,則二=（）

Z

11.c11.廠11.-11.

A.——+—1B.------1C.—+—1D.-----1

22222222

【答案】c

【分析】先求得I=l+i,再利用復數除法即可求得二的代數形式.

Z

【詳解】z=l-i,貝匹=l+i

i=J_=i（>i）=1ILi

z-l+i-（l+i）（l-i）-22，

故選：C.

19.（2023?全國?模擬預測）已知復數z=2"-i（i為虛數單位），則z在復平面內對應的點位于第（）象限.

1+1

A.四B.三C.二D.一

【答案】A

【分析】利用復數的除法可求Z,從而可求其對應的點，故可判斷其所處象限.

2-i_(2-i)(l-i)_l-3i_13.

【詳解】T+T-(l-i)(l+i)-2~2~21

所以z在復平面內對應的點為-位于第四象限.

故選：A.

2-i

20.（2023?全國?模擬預測）已知復數z滿足上」=l+i（i為虛數單位），［是z的共軌復數，則4zi=（)

z

A.5B.45C.10D.V10

【答案】C

【分析】先根據復數的除法求出z,再計算4zS.

【詳解】由土2-」i=l+i

z

俎一2-口（2T（＞i）J3i=l3

得一1+i（l-i）（l+i）222（

-13

所以?,

所以4z.1=(l-3i).(l+3i)=10.

故選：C.

21.（2023?重慶?統考模擬預測）已知復數z=l-i（i是虛數單位），則三z=（）

ZZ+1

31.11.13.11.

A.-+-1B.-+-1C.-------1D.一一+-1

55555555

【答案】C

【分析】根據復數代數形式的除法運算法則計算可得.

【詳解】因為z=l-i,所以三=l+i，所以癖=（1-i）（l+i）=2,

故選：C

22.（2022?全國?高三專題練習）歐拉公式端=cosx+isinx（i為虛數單位，xeA）是由瑞士著名數學家歐

拉發(fā)現的，它將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數和指數函數之間的關系，它被譽為“數學

中的天橋”，根據此公式可知，e"在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根據復數的幾何意義，以及弧度制即可求解.

【詳解】解：e3i=cos3+isin3,又3rad。3x57.3°=171.9°,為第二象限角，故

cos3<0,sin3>0,故e3,在復平面內對應的點(cos3,sin3)位于第二象限.

故選：B.

23.(2023?陜西咸陽?統考模擬預測)若(l+ai)i=l-bi,其中a,6eR,則|“+到=()

A.2B.V2C.V3D.3

【答案】B

【分析】根據復數的相等求得的值，再根據復數的模的計算求得答案.

【詳解】由(1+泊1=1一所可得一a+i=l-歷,；.a=T力=-1,

故|a+6i|=|-l_i|=J(-l)2+(-l)2=&,

故選：B

24.(2023?浙江?校聯考模擬預測)已知復數z滿足？2=4-3i，則目=()

A.5B.V5C.13D.V13

【答案】B

【分析】設z=a+6iq,6eR,利用復數的運算法則和復數相等，建立6的方程組，直接求出。,6,從而可

求出結果.

?,\a2-b2=4

【詳解】設z=a+6i,a,b￡R,貝!）2?=（。+bi）?=/一/+2abi=4-3i所以°,a，

[2ab=-3

-3V2f3V2

u=--a=----

解得2或2,所以目=

,V2

b=---b=------

1212

故選：B.

25.（2023?遼寧?遼寧實驗中學?？寄M預測）若復數z滿足丁=2,貝U|z+i|的最小值為（）

A.V2B.V2-1C.6+1D.1

【答案】B

【分析】首先設復數z=x+”，（x,yeR）,根據條件化簡求得蒼了的關系式，再根據復數模的幾何意義求最

值.

【詳解】設2=〈+貞,（x,yeR）,

由zz=2,得（x+yi）（x—yi）=2,貝！］%2+廠=2,

復數Z的軌跡是以原點為圓心，血為半徑的圓，如圖,

根據復數模的幾何意義可知，|z+i|的幾何意義是圓上的點到（0,-1）的距離，

如圖可知，|?+i|的最小值是點4（0,-萬）與（0,-1）的距離痣-1.

故選：B.

26.（2022?全國?高三專題練習）設2=5吊15。+1$?75。（其中1為虛數單位），則z?的共輾復數是（）

.1V3.口16.

A.------1B.—H1

2222

「百1.p.V31.

2222

【答案】c

【分析】首先利用誘導公式將復數Z化簡，再根據復數代數形式的乘法運算，以及二倍角公式化簡復數z2,

即可求出其共施復數；

【詳解】解：因為z=sinl50+isin750=sinl50+icosl50

所以z?=（sin15°+icos15°y=sit?15°+i2cos215°4-2sinl5ocosl5°i

=sin215°-cos215°+2sin15°cos15°i

=-cos30°+sin30°i

A/31.

=--------1----1

22

所以Z?的共粗復數是一1一匕，

22

故選：C

【B組在綜合中考查能力】

一、單選題

1.（2023春?安徽亳州?高三?？茧A段練習）已知2=”（加€用，團=0，則實數加的值為（）

1—1

A.±3B.3C.±73D.6

【答案】C

【分析】根據復數與共輸復數的模的關系，化簡復數z,即可列方程求解實數用的值.

m+i(m+i)(l+i)(m++l)im—1m+1.

【詳解】解：因為目=團=應，且Z=-------1--------1,

1-i(>i)(l+i)222

所以V2，解得m=±>/3.

故選：C.

2.（2023?新疆和田??？家荒＃┤魪蛿祕滿足捻為純虛數，且忖=1,則z的虛部為（）

A.+—B.—C.±75D.V5

55

【答案】A

【分析】設z="+6l（“^R）,代入媼后利用復數的定義求得a,6關系,然后由復數模的定義計算求得

從而得結論.

za+bi(a+6i)(2-i)2a+6+(2b-Q)i

【詳解】設z=a+6i(a,beR),則2+T-2+i-(2+i)(2-i)-5

因為之為純虛數，所以所以方=一2"0,z=a-2ai,因為目=1,所以+（-2°『=1,

解得a=±g,貝！|6=干氈，即z的虛部為土拽.

555

故選：A.

3.（2023秋?山西朔州?高三懷仁市第一中學校?？计谀┮阎獜蛿祕滿足z（2+i7）=3+i,則復數z的虛部是

()

A.41B.V2zC.iD.1

【答案】D

【分析】根據復數的除法運算，結合i的性質，進行計算求得復數Z,可得答案.

【詳解】由二(2+i7)=3+i可得2=券3+i_(3+i)(2+1)

2-i(2-i)(2+i)

則復數z的虛部是1,

故選;D

4.(2023?安徽滁州?安徽省定遠中學?？寄M預測)已知復數2=。+/3北町滿足2z==(l+Gi),且0<6,

則復數z在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根據題意結合復數的乘法運算以及復數的相等可得°=①，利用條件。<6確定a,b的正負，根據

復數的幾何意義可求得答案.

【詳解】由題意可知，2a+2歷=(”歷)(1+?)=〃+標+(怎-6)i,

2a=a+N3b

所以廠，解得好亞，

2b=73a-b

因為a<b,貝!]°=聞<6,所以6<0,所以a<0,

即復數z在復平面內對應的點位于第三象限,

故選:C

5.(2023?全國?模擬預測)在復平面內，復數z=a+2i(aeR)對應的點在直線y=-2x上，貝!|三^=()

1+1

35.

A.1B.iC.—iD.----------1

22

【答案】B

【分析】求出復數Z對應的點代入直線方程可得Z,再利用復數的除法運算可得答案.

【詳解】復平面內，復數2=.+方(.€2對應的點為(0,2),

又在直線V=-2x上，所以2=-2〃，解得〃=-1,

所以z=—l+2i,

UHI二i=-1+21=T+iJ-l+i)(l-i)=a

人」1+i1+i1+i(1+4(1-)2,

故選：B.

6.（2023?廣東揭陽??？级＃┮阎猈=i-z（i為虛數單位），則復數z在復平面上對應的點一定在（）

A.實軸上B.虛軸上

C.第一、三象限的角平分線上D.第二、四象限的角平分線上

【答案】D

【分析】設z=a+6i,由I=i.z可解得方=-"，貝!Jz=a+6i=a-ai,復數z在復平面上對應的點為（a,-a）,

即可判斷

【詳解】設z=a+bi,貝?。﹝=a—bi，貝!）2=12=入（〃+〃）=一6+山，a-bi=-b+ai,:.b=-a,

；?z=a+bi=a—ai,復數Z在復平面上對應的點為（a,-。），一定在第二、四象限的角平分線上,

故選：D

[52023

7.（2023?全國?高三專題練習）已知復數2=」+叱3則的值為（）

22著

A.iB.」一烏C.0D.1

2222

【答案】A

2023

【分析】根據復數i的性質計算可得z3=l,由此利用等比數列的前n項和公式計算即可求得答案.

Z=1

【詳解】由于復數2=-工+1"故Z2

22

3/16、,16、131

222244

671

2023z(l-z2023z(l-z^=2(1-Z)

12..-2023

故=z+zH-------1-Z

i=l1-z1-z1-Z

故選:A.

8.（2023?全國?高三專題練習）歐拉公式e"=cosx+isinx（i為虛數單位）是由瑞士著名數學家歐拉發(fā)現的,

它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，在復變函數論里占有非常重要的

地位，被譽為“數學中的天橋”，已知/為純虛數，則復數半巴在復平面內對應的點位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】先利用歐拉公式及純虛數的概念求得cosa=。，sma’O'由此得到復數暗1對應的點為

從而可得結論.

【詳解】因為e"=cosx+isin],