新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：立體幾何（2022-2023年高考試題）（原卷版+解析）

第6講立體幾何（2022-2023年高考真題）

一.選擇題

1.（2023?乙卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該零件的表面積（

）

I---------1—I---------1—I---------1

L_J___I______I___I______I

I---------1------I-----------1------I-----------1

t---------1------I----------1------I-----------1

IIIIII

I_____I___I______I____I______I

A.24B.26C.28D.30

2.（2023?甲卷）在三棱錐P-A5c中，AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=PB=2,PCf,則該棱

錐的體積為（）

A.1B.A/3C.2D.3

3.（2023?乙卷）已知圓錐尸O的底面半徑為VLO為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線，ZAOB=120°,

若AR4B的面積等于為巨，則該圓錐的體積為（）

4

A.reB.瓜兀C.3兀D.3巫兀

17

4.（2023?天津）在三棱錐。-加。中，線段尸。上的點(diǎn)〃滿足9=-2。，線段?_8上的點(diǎn)？/滿足附=一尸5,

33

則三棱錐P-AAW和三棱錐P-ABC的體積之比為（）

A.-B.-C.-D.-

9939

5.（2023?甲卷）在四棱錐尸一ABCD中，底面ABCO為正方形，AB=4,PC=PD=3,NPC4=45。，則

APBC的面積為（）

A.2夜B.372C.4A/2D.5夜

6.（2023?乙卷）已知AABC為等腰直角三角形，鉆為斜邊，AAaD為等邊三角形，若二面角C-AB-。為

150°,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）

7.（2022?浙江）如圖，己知正三棱柱ABC-AgG,AC=AAl,E,P分別是棱3C,AG上的點(diǎn).記EF

與A4,所成的角為c,EF與平面ABC所成的角為二面角尸-3。-4的平面角為7,貝U（）

A.技眩yB.理krC.尸強(qiáng)加aD.戰(zhàn)Wp

8.（2022?甲卷）在長(zhǎng)方體ABC。-A4c12中，已知瓦。與平面ABCD和平面A414g所成的角均為30。,

則（）

A.AB=2AD

B."與平面ABC。所成的角為3。。

C.AC=CB}

D.耳。與平面BB|GC所成的角為45。

9.（2022?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：。/）是（）

俯視圖

A.22%B.87r

10.（2022?北京）已知正三棱錐尸-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是AABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合

T={Q^S\PQ?5},則T表示的區(qū)域的面積為（）

B.71D.31

11.（2022?新高考I）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

3瓶r3百，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A.[18,—]B.[—,—]C.[—,—]D.[18,27]

44443

12.（2022?乙卷）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該

四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.1B.1C.gD.也

3232

13.（2022?甲卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多面體的

體積為（）

A.8B.12C.16D.20

14.（2022?乙卷）在正方體ABCD-A4GA中，E,歹分別為鉆，的中點(diǎn)，則（）

A.平面8乃/_1_平面BORB.平面4E/_L平面

C.平面片所//平面A/CD.平面與￡F//平面AG。

15.（2022?甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2%,側(cè)面積分別為際和S乙，

體積分別為％和七.若券=2,則券=（）

s乙彩

A.行B.2A/2C.710D.

4

16.（2022?新高考II）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為3』和4百，其頂點(diǎn)都在同一球面上，

則該球的表面積為（）

A.1004B.128萬C.144萬D.192萬

17.（2022?新高考I）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已

知該水庫(kù)水位為海拔148.5〃?時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140。萬“2；水位為海拔157.5”?時(shí)，相應(yīng)水面的面積為

18O.OW.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5機(jī)上升到157.5%時(shí)，

增加的水量約為（近X2.65）（）

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4X109/7J3D.1.6xl09m3

二.多選題

18.（2023?新高考I）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：%）的正方體容器（容器壁厚度忽略

不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99機(jī)的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為14〃的四面體

C.底面直徑為0.01”工，高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2租，高為0.01”?的圓柱體

19.（2023?新高考II）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,為底面直徑，ZAPB=120°,24=2,點(diǎn)

C在底面圓周上，且二面角尸—AC—O為45。，貝1（）

A.該圓錐的體積為萬B.該圓錐的側(cè)面積為4島

C.AC=20D.Aft4c的面積為有

20.（2022?新高考I）已知正方體,則（）

A.直線BG與D4t所成的角為90。

B.直線BQ與所成的角為9。。

C.直線BQ與平面BBQQ所成的角為45。

D.直線BQ與平面ABCD所成的角為45。

21.（2022?新高考II）如圖，四邊形ABCD為正方形，ED_L平面ABCD,FB//ED,AB=ED=2FB.記

三棱錐E—ACD,F-ABC,尸—ACE的體積分別為匕，匕，匕，貝U（）

A.匕=2%B.匕=匕C.匕=乂+匕D.2匕=3匕

三.填空題

22.（2023?上海）空間中有三個(gè)點(diǎn)A、B、C,且筋=3。=&4=1,在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)，使得它

們與A、B、C恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法有種.

23.（2023?新高考II）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為

3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

24.（2023?新高考I）在正四棱臺(tái)中，AB=2,4耳=1,AAi=y/2,則該棱臺(tái)的體積

為.

25.（2023?乙卷）已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上，AABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，&4，平

面ABC,則S4=.

26.(2022?上海)已知圓柱的高為4,底面積為9萬，則圓柱的側(cè)面積為

四.解答題

27.(2023?乙卷)如圖，在三棱錐P—ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2也,PB=PC=A/6,AD=yf5DO,

BP,AP,3c的中點(diǎn)分別為D,E,O,點(diǎn)尸在AC上，BF±AO.

(1)證明：EF//平面ADO；

(2)證明：平面ADO_L平面BEF；

(3)求二面角O-AO-C的正弦值.

28.(2023?上海)已知直四棱柱,AB±AD,AB!/CD,AB=2,AD=3,CD=4.

(1)證明：直線AB//平面。CCQ；

(2)若該四棱柱的體積為36,求二面角4-8D-A的大小.

29.(2023?甲卷)在三棱柱ABC-421cl中，A4i=2,AC_L底面ABC,ZACB=90,Ai到平面BCCiBi

的距離為1.

(1)求證：AC—AiC；

(2)若直線A41與BBi距離為2,求A81與平面8CC181所成角的正弦值.

30.(2023?天津)如圖，已知AA_L平面ABC,AB±AC,AB=AC=AA,=2,AG=1，M,N分別為

BC,AB中點(diǎn).

(I)求證：AN〃平面GMA；

(II)求平面與平面AC￡A所成角的余弦值；

(III)求點(diǎn)C到平面GK4的距離.

31.(2023?新高考H)如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADB=ZADC=6O°,E為

3c中點(diǎn).

(1)證明3C_LD4；

(2)點(diǎn)尸滿足歷=D4,求二面角。―AB—B的正弦值.

32.(2023?新高考I)如圖，在正四棱柱ABC?！?，AB=2,44,=4.點(diǎn)為，B2,C2,D?分

BB

別在棱A4,,BB[,CC]，上，9=1，2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2//A,D2；

(2)點(diǎn)尸在棱8片上，當(dāng)二面角P-&C2-3為150。時(shí)，求生P.

33.(2022?天津)直三棱柱ABC—A4G中，AA1=AB=AC=2,A^IAB,AC±AB,。為A4中點(diǎn),

E為的中點(diǎn)，P為CD中點(diǎn).

(1)求證：EF//平面ABC；

(2)求直線3E1與平面CC；。的正弦值；

(3)求平面AC。與平面CCQ夾角的余弦值.

34.(2022?浙江)如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,EF=\,

ZBAD=ZCDE=&)°,二面角產(chǎn)一OC—B的平面角為60。.設(shè)M,N分別為AE,3C的中點(diǎn).

(I)證明：FN1AD；

(II)求直線與平面ADE■所成角的正弦值.

35.(2022?甲卷)在四棱錐尸一ABCD中，PD_L底面ABCD,CDHAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=0.

(1)證明：BD1.PA；

(2)求PD與平面RW所成的角的正弦值.

36.(2022?北京)如圖，在三棱柱ABC-ABIG中，側(cè)面8CG瓦為正方形，平面BCC4_L平面延耳人,

AB=BC=2,M,N分別為4耳，AC的中點(diǎn).

(I)求證：上w//平面8CG4；

(II)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面所成角的正弦值.

條件①：AB±MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

37.(2022?新高考H)如圖，尸O是三棱錐尸—ABC的高，PA=PB,AB±AC,E為的中點(diǎn).

(1)證明：OE7/平面B1C；

(2)若NABO=NC8O=30。，尸0=3,PA=5,求二面角C-AE-3的正弦值.

38.(2022?新高考I)如圖，直三棱柱ABC-4aG的體積為4,4ABC的面積為2班.

(1)求A到平面ABC的距離；

(2)設(shè)。為4c的中點(diǎn)，A\=AB,平面A3C_L平面A34A，求二面角A—BD—C的正弦值.

B

39.(2022?乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面BEE?_L平面ACD；

(2)設(shè)AB=BD=2,ZACB=60°,點(diǎn)尸在上，當(dāng)AAFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角

的正弦值.

40.(2022?上海)如圖所示三棱錐，底面為等邊AA5C,。為AC邊中點(diǎn)，且PO_L底面ABC,

AP=AC=2.

(1)求三棱錐體積

(2)若加為3c中點(diǎn)，求尸河與面上4c所成角大小.

B

第6講立體幾何（2022-2023年高考真題）

選擇題

1.（2023?乙卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則

該零件的表面積（）

I------1—I------1—I------1

?------1--?----1—r-1

??????

?___?__?___?__?____?

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體是由兩個(gè)直四棱柱組成的幾何體.

如圖所示：

故該幾何體的表面積為：4+6+5+5+2+2+2+4=30.

故選：D.

2.（2023?甲卷）在三棱錐P-ABC中，AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=PB=2,

PC=y[6,則該棱錐的體積為（）

A.1B.石C.2D.3

【答案】A

【解析】如圖，

p

PA=PB=2,AB=BC=2,取AB的中點(diǎn)。，連接PD,CD,

可得AB_LPD,ABLCD,

又PD[CD=D,PD、CZ)u平面尸CD,r.AB_L平面尸CD,

在與AABC中，求得PD=CD=&-f=6,

在APCD中，由PD=a>=J5,PC=y/6,^PD2+CD2=PC2,則P￡?_LC￡>,

5Ape0=；xPDxC￡)=gx退=q,

113

^P-ABC~,"CDX鉆=2X2=^,

故選：A.

3.(2023?乙卷)已知圓錐PO的底面半徑為百，O為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線,

ZAOB=120°,若AR4B的面積等于竽，則該圓錐的體積為()

A.兀B.娓兀C.3萬D.3底兀

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的高為〃，即PO=/z,取AB的中點(diǎn)E,連接PE、OE,

由于圓錐PO的底面半徑為若，即OA=O8=g,

而ZAOB=120°，故A8=A/0A2+OB2-20A-OB-cos120°=,3+3+3=3,

同時(shí)OE=OAxsin30°=—,

2

AR4B中，PA=PB,E為AB的中點(diǎn)，則有

又由ARAB的面積等于生叵，即工=變形可得依=空，

4242

而PE=Jh?+*,則有/+3=0,解可得力=&\

V444

故該圓錐的體積丫=工萬'(6)2/1=嗎.

3

故選：B.

p

4.（2023?天津）在三棱錐P-ABC中，線段尸。上的點(diǎn)M滿足PM=’尸。，線段PB上的

3

點(diǎn)、N漏定PN=《PB,則三棱錐尸-AWN和三棱錐尸-ABC的體積之比為（）

A.-B.-C.-D.-

9939

【答案】B

【解析】在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足尸M=』PC,線段Pfi上的點(diǎn)N滿足

3

PN=-PB,

3

所以^^PMA=gS"AC，

設(shè)N到平面PAC的距離4,B到平面PAC的距離d2,則&=,

則三棱錐P-AMN的體積為

__1.,_1入2_2

vV三棱黜—AMV_vV三棱幽—APM_§?APAM'^*1一§*§?*AC乂］%~~丫三棱黜_/>AC'

故三棱錐P-AWV和三棱錐P-ABC的體積之比為』.

9

故選：B.

5.（2023?甲卷）在四棱錐尸一ABCD中，底面ABCD為正方形，AB=4,PC=PD=3,

ZPCA=45°,則AP3c的面積為（）

A.2A/2B.3A/2C.40D.5點(diǎn)

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)尸在底面的射影為//,連接"C,

TT

設(shè)./PCH=e,ZACH=a,>ae(0,-),

貝U/"CD=45。一以，或/"CD=45°+rz,

2

易知cosNPCD=—,又NPC4=45。，

3

則根據(jù)最小角定理(三余弦定理)可得:

jcosZPCA=cos0cosa

|cos/PCD=coscosZHCD

，正SA

—=cosOcosa——=cos"cosa

！

2或＜:2

22

—=cos^cos(45°-OL)—=cos6cos(45。+a)

cos(45一a)2后—cos(45+a)242

----------=----取-----------=----

cosa3cosa3

cosa+sina4cosa-sina4

cosa33

/.tana=-^tana=-一，又CCG(0,1),

332

13.1

tana=—,/.cosa=—=,sina--=,

3710V10

.?.cos*且,

,?祟卡"3

再根據(jù)最小角定理可得:

cos/PBC=cos0cos(45°+a)=x(-^=--^=)=；,

sinZPBC=^^,又BC=4,PC=3,

3

112、5r-

223

6.（2023?乙卷）已知AABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，AABD為等邊三角形，若二

面角C-。為150。,則直線8與平面ABC所成角的正切值為（）

【答案】C

【解析】如圖，取的中點(diǎn)E,連接CE,DE,

則根據(jù)題意易得AB_LCE,ABIDE,

二面角C—AB—D的平面角為NCED=150。，

ABLCE,ABYDE,且cq：Z)E=E,

平面AS),又ABu平面ABC,

二.平面AED_L平面ABC,

CD在平面ABC內(nèi)的射影為CE,

直線CD與平面ABC所成角為ZDCE,

過。作D"垂直CE所在直線，垂足點(diǎn)為H,

設(shè)等腰直角三角形ABC的斜邊長(zhǎng)為2,

則可易得CE=1,DE=s/3,又NDEH=30。,

:.DH=—,EH=~,:.CH=l+-=~,

2222

同

tanZDCE=-=^-=—.

CH55

2

故選：C.

7.(2022?浙江)如圖，己知正三棱柱ABC-A旦G,AC=A\,E,F分別是棱3C,AG

上的點(diǎn).記所與相所成的角為c,￡F與平面ABC所成的角為￡,二面角尸-3C-A的

平面角為貝!1()

AiG

B

A.隰眩/B.康hyC.鷹i卜aD.硯/°

【答案】A

【解析】?正三棱柱ABC-A4G中，AC=AAl,

，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)相等，設(shè)棱長(zhǎng)為1,

如圖，過/作FG_LAC,垂足點(diǎn)為G,連接GE,則AA//FG,

GF

3與朋所成的角為4。“‘旦tana=B=GE'

又GEG[0,1],/.tanae[0,1],

.?.￡F與平面ABC所成的角為NFEG=尸，J.tan/7=—=—e[l,+oo),

GEGE

tan..tana,…①，

再過G點(diǎn)作GHLBC,垂足點(diǎn)為〃，連接HF,

又易知FG_L底面ABC,BCu底面ABC,

:.BC±FG,又FGp|G/7=G,平面GHF,

GF1

.?.二面角尸—BC—A的平面角為NGHF=7,且tan/=——=——,又G“￡[0,

GHGH

/.tan/e[^^-,+8),/.tan/..tancr,…②，

又GE..GH,tan(3,,tany,…③，

由①②③得tan瀛Jtan尸tan/,又a,J3,/e[0,,y=tanx在[0,])單調(diào)遞增,

:.o^3y,

故選：A.

F

AiCi

8.（2022?甲卷）在長(zhǎng)方體ABCD-4耳CQi中，已知耳O與平面ABC。和平面A4t始3所成

的角均為30。，貝底）

A.AB=2AD

B.AB與平面ABC。所成的角為30。

C.AC=CB,

D.耳。與平面8瓦GC所成的角為45。

【答案】D

【解析】如圖所示，連接A4，BD,不妨令抽=1,

在長(zhǎng)方體ABCD-AaCQj中，AD±ffi^4,^5,8片_1面筋8,

所以NB]DB和ZDBtA分別為與平面ABCD和平面AA^B所成的角,

即ZB,DB=ZDBlA=30°,

所以在RtABDBj中，BBl=AAl=l,BD=6,B、D=2,

在RtAADB[中，DB[=2,AD=l,ABl=A/3,

所以=CB、=垃,AC=A/3,

故選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤，

由圖易知，AB在平面上的射影在M上，

所以NB[AB為AB與平面AB^D所成的角，

在RtAABB,中，sin/耳AB=幽=J="

故選項(xiàng)3錯(cuò)誤，

則在平面BB￡C上的射影為BtC,

所以ZD4c為BtD與平面BB￡C所成的角,

在加△。瓦C中，BlC=-Ji=DC,所以4c=45。,

所以選項(xiàng)。正確，

故選：D.

9.（2022?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：切），則該幾何體的體積（單位：an3）

是（）

a--------*4a

2

41K-2-X1**1*2-?i1*

正視圖側(cè)視圖

2216

A.221B.8%C.——71D.一71

33

【答案】C

【解析】由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，下部是圓臺(tái),

所以幾何體的體積為：—X—xl3+^-xl2x2+—(22X^-+l2X7T+\/22X71X]2X7T)x2=—7l.

2333

故選：c.

10.（2022?北京）已知正三棱錐尸-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是AABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成

的集合.設(shè)集合7={QcS|PQ,,5},則T表示的區(qū)域的面積為（）

37r一

A.——B.7：C.2兀D.37r

4

【答案】B

【解析】設(shè)點(diǎn)尸在面ABC內(nèi)的投影為點(diǎn)O,連接。4,則04=2x3出=2百，

3

所以。尸=VPA2-OA2=V36-12=2底,

由=^25-24=1,知T表示的區(qū)域是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，

所以其面積S=%.

11.（2022?新高考I）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為心其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體

積為36萬，且3御373,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A.[18,—]B.[―,—]C.[―,—]D.[18,27]

44443

【答案】C

【解析】如圖所示，正四棱錐P-ABCD各頂點(diǎn)都在同一球面上，連接AC與交于點(diǎn)E,

連接PE,則球心O在直線PE上，連接。4,

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為人,

在RtAPAE中，P/C=AE2+PE2,即產(chǎn)=（警產(chǎn)+/=3^+小，

-球O的體積為36萬，，球O的半徑R=3,

在RtAOAE中，OA2=OE2+AE2,即&=①-3?+（學(xué)了，

—a?+弟—6/z=0,「.-a2+林=6h,

22

:』=6h,又；3麴1373,/.,

22

119

該正四棱錐體積V(h)=-a2h=-(12h-2lr)h=--/i3+4外,

V'(h)=-2h2+8〃=2/1(4-h),

QQ

.?.當(dāng)時(shí)，F(xiàn)（/z）＞0,V（/z）單調(diào)遞增；當(dāng)4＜九，三時(shí)，r（/i）＜0,V（/i）單調(diào)遞減,

22

,且巴巴

44

即該正四棱錐體積的取值范圍是[區(qū),—],

43

故選：C.

12.（2022?乙卷）己知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球

面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.-D,也

322

【答案】C

【解析】對(duì)于圓內(nèi)接四邊形，如圖所示,

1,

-2r-2r-sin900=2r2,

2

當(dāng)且僅當(dāng)AC,比）為圓的直徑，且ACLBD時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)四邊形ABCD為正方形,

當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面一定為正方形，設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，底面所在圓的半徑為r,

則”*

，該四棱錐的高〃=

該棱錐的體積

aa1a2____

24p?2?24J+Z+2.34/一46

7卜萬一退丁SW----------3---------)=2)=下

當(dāng)且僅當(dāng)即片=±時(shí)，等號(hào)成立,

423

，該四棱錐的體積最大時(shí)，其高

故選：C.

13.（2022?甲卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,

則該多面體的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱ABCD-A瓦GA，

四棱柱的底面是直角梯形ABCD,如圖，

AB^4,AD^2,A4,=2,A4,_L平面ABCD,

該多面體的體積為：

V=1（4+2）x2x2=12.

故選：B.

14.（2022?乙卷）在正方體ABCD-中，E,尸分別為AB,3C的中點(diǎn)，則（

）

A.平面用E/_L平面%）口B.平面片石尸，平面A3。

C.平面B|EF//平面AACD.平面片EF//平面ACQ

【答案】A

【解析】對(duì)于A,由于E,尸分別為AB,3c的中點(diǎn)，則EF//AC,

又AC_LftD,AC±,BD^\DDX=D,且BD,DQu平面

.-.AC±平面BDD{,則即_L平面BDR,

又EFu平面耳斯，

二.平面耳E/_L平面2?！?，選項(xiàng)A正確；

對(duì)于3,由選項(xiàng)A可知，平面平面而平面BZ）0c平面4即=2。，在該

正方體中，試想R運(yùn)動(dòng)至4時(shí)，平面耳跖不可能與平面ABD垂直，選項(xiàng)5錯(cuò)誤；

對(duì)于C,在平面AB4A上，易知明與瓦￡必相交，故平面男呼與平面AAC不平行，選

項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,易知平面A^C//平面AQZ）,而平面AB,C與平面B.EF有公共點(diǎn)B,,故平面ByEF

與平面4G。不可能平行，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：A.

15.（2022?甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2萬，側(cè)面積

分別為S甲和名,體積分別為%和%.若*=2,則地=（）

s乙吟

A.A/5B.2夜C.V10D.-^―

4

【答案】C

甲，乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3,甲、乙兩

個(gè)圓錐的底面半徑分別為小4，高分別為％，為，

則2"q=4萬，2兀丫?=2萬，解得/;=2,4=1,

由勾股定理可得％=如，屈=2近，

故選：C.

16.（2022?新高考II）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為3c和4班，其頂點(diǎn)

都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100萬B.128TTC.144萬D.1927

【答案】A

【解析】當(dāng)球心在臺(tái)體外時(shí)，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為=3,

2sin60°

下底面所在平面截球所得圓的半徑為上^—=4,如圖，

2sin60°

設(shè)球的半徑為R,則軸截面中由幾何知識(shí)可得-，改一42=1,解得R=5,

該球的表面積為4萬7?2=4^x25=100萬.

當(dāng)球心在臺(tái)體內(nèi)時(shí)，如圖，

o

［。臼

此時(shí)依-32MR2■-d=1,無解.

綜上，該球的表面積為1007.

故選：A.

17.（2022?新高考I）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄

入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔1485找時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0初,；水位為海拔

157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180。h〃2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，

則該水庫(kù)水位從海拔148.5加上升到157.5〃工時(shí)，增加的水量約為（ba2.65）（）

A.1.0x109MB.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【解析】140W=140xl06m2,180W=180xl06m2,

根據(jù)題意，增加的水量約為"1?！?。＞＜1。6+3山。＞＜1。隈18四(＜呷,5_]48.5)

(140+180+6077)xlO60

=--------------------x9

3

?(320+60x2.65)xl06x3=1437xl06?1.4xl09m3.故選：C.

18.（2023?新高考I）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：山）的正方體容器（容

器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99〃z的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為14〃的四面體

C.底面直徑為0.01;〃，高為1.8帆的圓柱體

D.底面直徑為1.2加，高為0.01m的圓柱體

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)切球的直徑為1＞0.99,選項(xiàng)A正確;

對(duì)于5,如圖，

正方體內(nèi)部最大的正四面體D-A2G的棱長(zhǎng)為=應(yīng)＞1.4,選項(xiàng)3正確；

對(duì)于C,棱長(zhǎng)為1的正方體的體對(duì)角線為占＜1.8,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,如圖，六邊形EFGH7為正六邊形，E,F,G,H,I,J為棱的中點(diǎn),

高為0.01米可忽略不計(jì)，看作直徑為1.2米的平面圓，

六邊形EFGEff/棱長(zhǎng)為也米，NGFH=NGHF=3?！?

2

所以FH=米,故六邊形EFGHA7內(nèi)切圓半徑為逅米，

22

而停）2=|“ay=1.44,選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

19.（2023?新高考H）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,鉆為底面直徑，ZAPB=nO°,

PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角尸—AC—O為45。，則（）

A.該圓錐的體積為萬B.該圓錐的側(cè)面積為4號(hào)

C.AC=2忘D.AR4c的面積為A

【答案】AC

【解析】取AC中點(diǎn)。，則OD_LAC,PD±AC,

由二面角的定義可知，二面角尸-AC-O的平面角即為ZRDO=45。,

對(duì)于A,AR4B中，由于E4=PB=2,ZAPS=120°,

則尸0=1,AO=6

則8=1,丫=、3萬?1=不，選項(xiàng)A正確.

3

對(duì)于3,S帆=兀義琳義2=2耶兀,選項(xiàng)3錯(cuò)誤.

對(duì)于C,AC=2A/^T=2近，選項(xiàng)C正確.

對(duì)于。，PD=42,SAPAC=|XA/2X2^=2,選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：AC.

20.（2022?新高考I）已知正方體ABCD-AqGR,貝1|（）

A.直線8G與D4,所成的角為90。

B.直線BQ與。，所成的角為90。

C.直線8G與平面8瓦0。所成的角為45。

D.直線8G與平面ABCD所成的角為45。

【答案】ABD

【解析】如圖，

連接BQ,由A4〃DC,A4=OC,得四邊形。為平行四邊形，

可得DA//B。,耳C,.?.直線3C］與必所成的角為90°，故A正確；

\B}±BC,,BCX±B.C,ABJ,4c=與，BC】J_平面出臺(tái)u，而CAu平面以與夕，

BC.LCA,,即直線BQ與。1所成的角為90。，故3正確；

設(shè)AG「8。=O,連接30,可得G。1平面BBRD,即ZQBO為直線BCt與平面BBRD

所成的角，

sin/CI3O=2J=L.?.直線BQ與平面RBQD所成的角為30。，故C錯(cuò)誤；

BC、2

CC|_L底面ABCD,為直線BG與平面ABCD所成的角為45。，故O正確.

故選：ABD.

21.（2022?新高考II）如圖，四邊形ABCD為正方形，￡D_L平面ABCD,FB//ED,

AB=ED=2FB.記三棱錐E—ACD,F-ABC,_F—ACE的體積分別為匕，匕，匕，則（

A.V3=2V2B.匕=耳C.%=K+KD.2匕=3%

【答案】CD

【解析】設(shè)AB=ED=2FB=2,

14

^=-X5MCDX|E￡>|=-)

v

2=gx5MBex|FB|=g,

如圖所示，

連接BD交AC于點(diǎn)M,連接EM、FM,

貝iJ—W=g,EM=娓,EF=3,

故S^EMF=gXQx遙=,

11Q5

V3=~SAEMF^AC=-XX272=2,

故C、D正確，A、3錯(cuò)誤.

故選：CD.

三.填空題

22.（2023?上海）空間中有三個(gè)點(diǎn)A、B、C,且A5=3C=C4=1,在空間中任取2個(gè)不

同的點(diǎn)，使得它們與A、B.C恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法有

種.

【答案】2.

【解析】如圖所示，設(shè)任取2個(gè)不同的點(diǎn)為尸、Q,

當(dāng)AABC為正四棱錐的側(cè)面時(shí)，如圖，平面ABC的兩側(cè)分別可以做ABP。作為圓錐的底面,

有2種情況，

同理以BCPQ、ACPQ為底面各有2種情況，所以共有6種情況;

當(dāng)AABC為正四棱錐的截面時(shí)，如圖，P、。位于AB兩側(cè)，AP3Q為圓錐的底面，只有一

種情況，

同理以BPC。、APC。為為底面各有1種情況，所以共有3種情況；

綜上，共有6+3=9種情況.

故答案為：9.

23.（2023?新高考II）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面

邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.如圖所示，根據(jù)題意易知

,2=空=9'，又sq=3,

SOOA202

:.SO=6,:.OOt=3,又上下底面正方形邊長(zhǎng)分別為2,4,

所得棱臺(tái)的體積為g*（4+16+a^l?）x3=28.

故答案為