2024-2025學(xué)年福建省某中學(xué)高三年級(jí)模擬考試（四）數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省東山二中高三年級(jí)模擬考試（四）數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在ABC中，AD為邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，且|AB|=1,|AC|=2,44C=120。，貝！J|EB|=（）

AMR而CD夕

A.----15.---C.---L＞.

4424

2.一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大

小是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

22

3.已知打、工分別是雙曲線C：三-2=1（。＞0）＞0）的左、右焦點(diǎn)，過B作雙曲線c的一條漸近線的垂線，分

別交兩條漸近線于點(diǎn)A、B,過點(diǎn)3作X軸的垂線，垂足恰為片，則雙曲線。的離心率為（）

A.2B.73C.2有D.75

4.根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專

家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）

1111

A.—B.—C.-D?一

6432

5.記M的最大值和最小值分別為"max和"min.若平面向量b、C，滿足卜|。3=C?（。+2）一c）=2,

則（）

AI'I0'幣RI,I百-A/7

A.kz-c=-----------B.\a+c\=-----------

IImax2?Imax2

I-IA/3+V?I-IA/3-A/7

C?〃—c.=---D?〃+c=---

IImin,IImin,

6.甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A,B,C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參

加同一個(gè)小組的概率為（）

7.在AA5c中，|/方+4。卜,8—AC],AB=4,AC=3,則BC在CA方向上的投影是（）

A.4B.3D.-3

1八

—，元<0

X

8.已知函數(shù)/（%）=:若函數(shù)"x）=/（x）-質(zhì)在R上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（）

Inx八

---,%>0

、X

(0,-^-)C（V）

A.(0,—)B.

e2e

9.在正方體ABC?！?4GA中，點(diǎn)尸、。分別為AB、AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作平面。使用P〃平面。，AQ〃平

MD.

面e若直線42c平面。=〃，則謂的值為（）

MJD｝

￡112

A.B.-C.一D.

432

10.若非零實(shí)數(shù)。、匕滿足2。=3"，則下列式子一定正確的是（)

A.b>aB.b<a

c.網(wǎng)＜同D.|^|>|?|

111

11.已知數(shù)列｛6J為等比數(shù)列，若右+的+幽=26,且。5?。9=36,貝!)一+一+一=()

。6。7a8

13B.上或41313

A.C.D.

181836~9~6

12.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃/J中，as-ai=15,a4-a2=6,則。3=()

A.2B.4C.D.8

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列｛4｝,則q°o

?

x+2,x<-l

14.已知/(%)=<X2-5,-1<X<3,則/"(4)］的值為

log2x,x>3

15.若函數(shù)/（%）=〃5匹（?！瓿撸┡c函數(shù)g（x）=?,在公共點(diǎn)處有共同的切線，則實(shí)數(shù)〃的值為

16.根據(jù)如圖所示的偽代碼，輸出/的值為

S—1

k—1

WhileSw9

S—S+/

/I+2

EndWhile

PrintI

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，三棱柱A3C—4與G中，平面ABC,NAC5=9O,AC=CB=2,M,N分別為AB,

4c的中點(diǎn).

（1）求證：MN//平面BB[C[C；

（2）若平面QVW,平面4MN,求直線AB與平面4MN所成角的正弦值.

18.（12分）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)"在橢圓C：=+/=1（1＜。＜5）上，該橢圓的左頂點(diǎn)A到直線x—y+5=O

a

的距離為逑.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若橢圓C外一點(diǎn)N滿足，MN平行于y軸，（ON-2OM＞MN=0,動(dòng)點(diǎn)尸在直線x=2百上，滿足OMNP=2.

設(shè)過點(diǎn)N且垂直。尸的直線/,試問直線/是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)寫出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.（12分）在如圖所示的多面體中，平面43用4,平面四邊形45與4是邊長(zhǎng)為2的菱形，四邊形ABCD

為直角梯形，四邊形3CC[5]為平行四邊形，且A5//CD,ABLBC,CD=1

(1)若E,尸分別為A。，8C]的中點(diǎn)，求證：平面A耳G；

(2)若幺43=60。，AG與平面ABC。所成角的正弦值g，求二面角4--。的余弦值.

20.(12分)已知函數(shù)/'(%)=%|1+〃],〃￡尺,

(1)若/(1)+/(—1)>1,求。的取值范圍；

CL

(2)若。<0,對(duì)Vx,y€(—8,—a],不等式/(x)<y3+y+|■恒成立，求。的取值范圍.

21.(12分)在如圖所示的四棱錐尸-A3CD中，四邊形ABC。是等腰梯形，AB//CD,ZABC=GO°,平

面ABCD,AC±BF,CB=CD=1.

(1)求證：AC,平面8C尸；

(2)已知二面角方-5。-C的余弦值為近，求直線AF與平面DEB所成角的正弦值.

5

22.(10分)已知函數(shù)/(力=12+ar-alnx,aGR

(1)若a=L求/(九)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵設(shè)ga)=/(x)+(a+2)lnx-(a+2T卜，且g⑴有兩個(gè)極值點(diǎn)看…，若心+手，求

g(%J-g(X2)的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

312一.

根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得—zA。，利用IEBF=EB及|AB|=1,|AC|=2,ABAC=120°計(jì)算即可.

【詳解】

因?yàn)镋3=EA+AB=—；AD+AB=—gx；(AB+AC)+AB=；AB—；AC,

o2923112

所以|E3|2=E8=—AB-2X-X-ABAC+—AC

164416

19

16

所以|EB|=)-，

故選：A

本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于中檔題.

2.D

【解析】

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式，進(jìn)而求得1=2R即可得圓錐軸截面底角的大

小.

【詳解】

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面半徑為民則有萬(wàn)R2+萬(wàn)知=萬(wàn)氏2+21氏2,解得/=2火,所以圓錐軸截面底角的余弦值是

R1

—=—，底角大小為60°.

I2

故選：D

本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

bb1

設(shè)點(diǎn)5位于第二象限，可求得點(diǎn)區(qū)的坐標(biāo)，再由直線3&與直線丁=一九垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為—1可得出勺

aa

的值，進(jìn)而可求得雙曲線。的離心率.

【詳解】

b(be

設(shè)點(diǎn)5位于第二象限，由于5月，元軸，則點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為4=-。，縱坐標(biāo)為%=-一一，即點(diǎn)5-c,一

aa<a

7beT?

由題意可知，直線明與直線y=-x垂直，,1_1-r=2,

aBL2cr-2a~b0

因此，雙曲線的離心率為e=±=：-6■

故選：B.

本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是得出。、b.c的等量關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

4.A

【解析】

每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)〃=36,甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)機(jī)=6,由此

能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.

【詳解】

派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家

基本事件總數(shù)：〃=C源；=36

甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)：相=第。；國(guó)=6

m61

二?甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：P=—=77=：

n366

本題正確選項(xiàng)：A

本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

JT

設(shè)。為。、b的夾角，根據(jù)題意求得6=§,然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A=(2,0),b=OB=(1,^),

c=OC=(x,y),根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)C的軌跡方程，將卜-(;和a+c轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距

離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.

【詳解】

由已知可得a6=b，Ncos8=2,則cosd=L,QO<0<7r,:.3=—.

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

a=QA=（2,0）,b=OB=0陰,c=OC=（x,y）,

由c-(a+2b-c)=2,可得(x,y>(4-2x,26-2y)=2,

即4x-2/+2底-2/=2,

化簡(jiǎn)得點(diǎn)C的軌跡方程為（x—I?+y—9=|,則必_2,+/,

則卜―c|轉(zhuǎn)化為圓（x——立］=3上的點(diǎn)與點(diǎn)（2,0）的距離，.〔卜―c|卜丁

o+c|=J(x+2)_+/,

a+c|轉(zhuǎn)化為圓(x—1/+y—m=:上的點(diǎn)與點(diǎn)(一2,0)的距離,

73_739-73

~2~2

故選：A.

本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題是解答的關(guān)鍵,

考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.

6.A

31

【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有3x3=9種，兩個(gè)人參加同一個(gè)小組，方法數(shù)有3種，故概率為3=—.

93

7.D

【解析】

分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得A3,AC，再結(jié)合圖形求出與C4方向上的投影即可.

詳解：如圖所示:

?|AB+AC|=|AB-AC|,

:.ABAC=O>

ABLAC>

又AB=4，AC=3,

r.BC在cA方向上的投影是：BqCOS3C,C4=B^cos("—NACB)=—忸qcosZACB=-3,

故選D.

點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.

8.B

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當(dāng)x<0,x>Q,將問題轉(zhuǎn)化為左的零點(diǎn)問題，用數(shù)形結(jié)合的方法研究.

X

【詳解】

當(dāng)x<0時(shí)，k=""=，,令g(x)=e，g'(x)=—■y>0,g(x)在xe(-oo,0)是增函數(shù)，上>0時(shí)，k=

Xx~X"XX

有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)％〉。時(shí)，人里=坐，令h(x)=*,/(x)=匕T

XXXX

當(dāng)％￡(0,G)時(shí)，〃(%)〉0，二人(%)在(0,G)上單調(diào)遞增，

當(dāng)%￡(&,+8)時(shí)，力(%)<0,二力(九)在(&\+00)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=五時(shí)，/幻取得最大值!，

2e

因?yàn)閺S⑴=/(%)一質(zhì)在R上有3個(gè)零點(diǎn)，

所以當(dāng)x>0時(shí)，左=必。有2個(gè)零點(diǎn)，

如圖所示:

故選：B

本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.

9.B

【解析】

作出圖形，設(shè)平面u分別交4〃、G4于點(diǎn)E、F,連接OE、DF、EF,取CD的中點(diǎn)G,連接尸G、QG,

連接AC交耳。于點(diǎn)N,推導(dǎo)出4P〃GG,由線面平行的性質(zhì)定理可得出CG〃/)E,可得出點(diǎn)尸為GA的中點(diǎn),

MD.

同理可得出點(diǎn)E為4。的中點(diǎn)，結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得帚的值.

【詳解】

如下圖所示：

設(shè)平面a分別交GA于點(diǎn)E、F,連接。石、DF、EF，取CD的中點(diǎn)G,連接PG、QG,連接AC交

BQ1于點(diǎn)、N,

四邊形A3CD為正方形，P、G分別為A3、CD的中點(diǎn)，則亞7/CG且5P=CG,

???四邊形BCGP為平行四邊形，.?.PG〃BC且PG=BC,

B.CJ/BC且3]G=3C,二PGHB。且PG=B?,則四邊形BgGP為平行四邊形，

BxPHCfi,B\PII平面a,則存在直線au平面a,使得B{P//a,

若GGu平面a,則Ge平面又Oc平面戊，則COu平面e,

此時(shí)，平面c為平面COQG，直線AQ不可能與平面戊平行，

所以，GG<Z平面a,GG〃a,GG〃平面a,

ClGu平面C。QG，平面。?！?gt;1。11平面夕=￡>P，.?.￡>/〃。。，

.C.FUDG,所以，四邊形C]GDE為平行四邊形，可得GE=￡>G=gcD=gCi2,

11MD.1

二支為GA的中點(diǎn)，同理可證E為42的中點(diǎn)，BiWEF^M,..MD=-DN=-BD,因此，品=鼻.

l2_,i4llLVIDyD

故選：B.

本題考查線段長(zhǎng)度比值的計(jì)算，涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面e與正方體各棱的交點(diǎn)位置，考

查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

10.C

【解析】

令2"=3"=/，貝卜>0，t^l,將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得。、b后,然后取絕對(duì)值作差比較可得.

【詳解】

令2。=3'=，，貝ij/>0,/。1,=log1=,b=log1=

2lg23lg3

|lgr|_|lgr|(lg3-lg2)

明第膽>o,因此，時(shí)〉

1g3--Ig2-lg3-

故選：c.

本題考查了利用作差法比較大小，同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題.

11.A

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得%?%=49=蠟=36，通分化簡(jiǎn)即可.

【詳解】

由題意，數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，則%?%=4七8=。=36,

又。6+的+。8=26,即〃6+/=26—,

1114+4./+4?%_36+%?(4+/)_36+%126—%)

所以，—+—+—=-----------------------=----------=----------------

4%/。6?〃7?〃836,%3o,〃7

_36+%-(26-_36+26?%_36+26-a7-36_26-?7_13

36?。736?。736036?。718

故選：A.

本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

*123

根據(jù)題意得到%-=15,a4-a2=axq-axq=6,解得答案.

【詳解】

q=—16

CL

%—a[=15,a4-a2=-aYq=6,角軍得<”2或,1(舍去).

q=一

2

故。3=a/=4.

故選：B.

本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.5252

【解析】

根據(jù)圖像歸納4=2+3+4+...+“+2,根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.

【詳解】

根據(jù)圖像：q=2+3,a2—2+3+4,故aa=2+3+4+...+”+2,

“(2+102)x101

故^ioo=2+3+4+…+102=----------------=5252?

故答案為：5252.

本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

14.-1

【解析】

先求/(4),再根據(jù)/(4)的范圍求出/[/(4)]即可.

【詳解】

由題可知/(4)=log24=2,

故/[〃4)]=/⑵=22—5=—1.

故答案為：-1.

本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

15.匕

2

【解析】

函數(shù)/(x)=alnx的定義域?yàn)?0,+8),求出導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=/(x)與曲線g(H=?公共點(diǎn)為(毛,%)由于在

公共點(diǎn)處有共同的切線，解得/=41,a>Q,聯(lián)立/(xo)=g(x0)解得a的值.

【詳解】

解：函數(shù)/(x)=alnx的定義域?yàn)?0,+8),/,(x)=-,=,

設(shè)曲線/(x)=alnY與曲線g(x)=6公共點(diǎn)為(％,%),

a1.

由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，...一=彳7=，解得/=4",a>Q.

由/(x())=g(xo)，可得。1叫)=后.

Xn—'4。z?

聯(lián)立l，解得。=彳.

alnxQ=2

故答案為：一.

2

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

16.7

【解析】

表示初值S=l,i=l,分三次循環(huán)計(jì)算得S=10>0,輸出=7.

【詳解】

S=l/=1

第一次循環(huán)：S=l+1=2/=1+2=3；

第二次循環(huán)：S=2+3=5,i=3+2=5；

第三次循環(huán)：5=5+5=10,7=5+2=7；

S=10>9,循環(huán)結(jié)束,輸出：i=7.

故答案為：7

本題考查在程序語(yǔ)句的背景下已知輸入的循環(huán)結(jié)構(gòu)求輸出值問題，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。

17.(1)詳見解析；(2)逅.

6

【解析】

(1)連接AG，BC[,則NeAG且N為AG的中點(diǎn)，

又："為AB的中點(diǎn)，BQ,

又5C]U平面W平面

故〃平面531clC.

(2)由AA，平面ABC,得ACLCG，BC±CQ.

以。為原點(diǎn)，分別以CB,CC-C4所在直線為x軸，V軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)CC]=22(2>0),

則M(1,0,1),N(0,2,1),4(2,24,0),

CM=(1,0,1),MN=[-l,2,0),NB}=(2,2,-1).

取平面CMN的一個(gè)法向量為根=(%,y,z),

由CM?加=0，?刃=0得:

%+z=0/、

-x+￡y=0'令尸1'得相=(&，叫

同理可得平面B[MN的一個(gè)法向量為ri=(2X32)

22

:平面CMN，平面BXMN,：.m-n=A+1-3A=Q

解得行正，得〃=

,又AB=(2,0,-2),

2①F)

設(shè)直線A3與平面片MN所成角為。，則

sin^=|coszz,AB|L同麗—6

所以，直線AB與平面耳MN所成角的正弦值是亞

6

18.(1)—+/=1；(2)見解析

4

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出a的值，即可得橢圓方程；

(2)由題意M(xo,yo),N(xo,yi),P(2若，t),根據(jù)(ON—2OAf)-MN=0,可得yi=2yo,由ON-NP=2,

可得2，^xo+2yot=6,再根據(jù)向量的運(yùn)算可得昕?OP=0，即可證明.

【詳解】

(1)左頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a,0),?.?上交1=3返，.?.|a-5|=3,解得a=2或a=8(舍去)，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方

V22

2

程為工一+y2=l,

4

(2)由題意M(xo,yo),N(xo,yi),P(2^/3,t),則依題意可知yiryo,(ON-20M)-MN=0得(xo-2xo,

yi-2yo)?(0,yi-yo)=0,整理可得yi=2yo,或yi=yo(舍)，ON,NP=2，得(xo,2yo)(2近-xo,t-2yo)

=2,整理可得2j^xo+2yot=xo2+4y()2+2=6,由(1)可得F(5/3,0),，而二(&-xo,-2yo),???而?而=(遂-

xo,-2yo)(2?,t)=6-2&xo-2yot=O,???NF，OP,故過點(diǎn)N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點(diǎn)F.

本題考查了橢圓方程的求法，直線和橢圓的關(guān)系，向量的運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題.

,7

19.(1)見解析(2)——

8

【解析】

試題分析：(1)第(1)問，轉(zhuǎn)化成證明45,平面A31G,再轉(zhuǎn)化成證明43,A用和45,耳￡.(2)第(2)問，先

利用幾何法找到AC】與平面ABCD所成角,再根據(jù)AC】與平面ABCD所成角的正弦值為手求出31cl=a,再建立空

間直角坐標(biāo)系，求出二面角A—AG—。的余弦值.

試題解析：

(1)連接48,因?yàn)樗倪呅蜛544為菱形，所以43,A片.

因?yàn)槠矫鍭B4A，平面ABCD,平面A3454c平面=BCu平面ABC。，ABLBC,所以

平面

又A^u平面A55]A，所以A3,3c.

因?yàn)開BC//3]Ci，所以45_LAG.

因?yàn)槎阠AB】=片，所以A3，平面AB。].

因?yàn)镋,尸分別為4G，8G的中點(diǎn)，所以EF//AB,所以所，平面AB。]

（2）設(shè)用G=a,由（1）得用GJ_平面A3B1A.

由幺45=60。，BA=2,得AB】=2石，AC1=,12+6.

過點(diǎn)G作G/，DC，與。C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，取A5的中點(diǎn)“，連接A"，AM,如圖所示,

又NAAB=60°,所以AA54為等邊三角形，所以又平面ABB1平面ABC。，平面AB笈Ac平面

ABCD=AB,4〃0：平面4544,故平面ABCZ）.

因?yàn)锽CG4為平行四邊形，所以CG/ABB],所以CC"/平面A45及.

又因?yàn)镃D//A6,所以CD//平面

因?yàn)镃GcCD=C,所以平面A&BB"/平面。GM.

由（1）,得平面A4]33],所以平面。CM,所以

因?yàn)?Cc￡>C=C,所以GMJ■平面ABCD,所以NgAM是A。與平面ABCD所成角.

因?yàn)镃[BJ/CB,所以4百〃平面ABC。，耳。1〃平面ABC。，因?yàn)?男仆￡4=4,所以平面

ABCD//平面A與G.

所以4〃=G"=有，sinZQA/Vf=1=,,解得a=J§\

AG。12+/5

在梯形A5CD中，易證。石，AB,分別以HA，HD，網(wǎng)的正方向?yàn)楣ぽS，V軸，z軸的正方向建立空間直角坐

標(biāo)系.

則4(1,0,0),D(0,若,0),A(0,0,6)，用卜2,0,6)，3(—1,0,0)，C(-1,A/3,0),

由=(—1,0,百)，及BB[=CCi，得￡卜2,百,6),所以AG=「3,6,6),AD=(-1,^,0),

M=(-1,0,^).

設(shè)平面ADG的一個(gè)法向量為機(jī)=(%由｛1'得｛>令必=1，得m=(3,l,2)

[m-AD=0,[一百+，3乂=0,

/、-AC,=0,—3X+v3yv32=0,

設(shè)平面A&C的一個(gè)法向量為〃=(蒼,％/2),由TI1得2-212令Z2=L得

n-AA,=0,[-%2+V3Z2=0,

〃=(6,2,1).

n3+2+277

所以COSm,n=-j~n—r=i—/:=—j=—尸=—

|m||n|J3+1+4義73+4+1A/8x^/88

7

又因?yàn)槎娼?—AG—。是鈍角，所以二面角\-AC.-D的余弦值是—-.

8

20.(1)⑵卜3,0).

【解析】

(1)分類討論a4—1,-l<a<l,a>l,即可得出結(jié)果；

(2)先由題意，將問題轉(zhuǎn)化為/(x)…v(y+13+y+孩),“加即可，再求出/(x),s，y+3-+y+|的最小值，解不

等式即可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)由/(1)+/(—1)>1得|a+l|—,一1|>1,

若a4—1,則—1—a+a—1>1,顯然不成立；

若一1<Q<1,貝!J1+Q+Q—1>1,a>—，即一；

22

若則1+Q—Q+1>1,即2>1,顯然成立，

綜上所述，〃的取值范圍是

(2)由題意知，要使得不等式恒成立，只需/(x)“如<('+[3+、+￡CL),“加,

a2

當(dāng)xe(-oo,—a]時(shí)，f(x)^-x(x+a),所以/(x)“皿

~4

3〃、3a

因?yàn)閞y+—+y+—n—

4242

2Q

所以幺三士—q,解得—3WaWl,結(jié)合。＜0,

442

所以以的取值范圍是［—3,0).

本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記分類討論的思想、以及絕對(duì)值不等式

的性質(zhì)即可，屬于常考題型.

21.(1)證明見解析；(2)好.

5

【解析】

(1)由已知可得CE，AC,結(jié)合由直線與平面垂直的判定可得AC，平面8C尸；

(2)由(1)知，AC±CB,則C4,CB,。尸兩兩互相垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C4,CB,CV所在直線

為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(0,0,。)，由二面角尸-§￡)—。的余弦值為好求解。，再由空間向量求

5

解直線AF與平面DFB所成角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，ABHCD,ZABC=60°,所以NADC=N5CD=120°^AD=CD,

所以NACD=30°,

因此ZACB=90°,AC±BC,

又ACLM,

且3CBF=B,BC,BFu平面BCF,

所以AC,平面BCT.

(2)取6￡)的中點(diǎn)G,連接CG,FG,

由于CB=CD,因此CGLBZ),

又bC,平面ABC。，5Du平面ABCD，所以FCLBD.

由于8CcCG=C,FC,CGu平面bCG,

所以班)，平面bCG,故BOLbG,

所以ZFGC為二面角尸—3?！?。的平面角.在等腰三角形BCD中，由于ZBCD=120。，

因此CG=L,又CB=CF=I,

2

因?yàn)镃OS/RGC=N5,所以tanNFGC=2,所以bC=l

5

，—;,0),E(0,0,1),5(0,1,0)

以C4為X軸、CB為y軸、C尸為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

設(shè)平面DBF的法向量為n=(%,y,z)

x--y-z=0

FDn=022

所以《即《,令％=6，則y=1,z=1,

BDn=0