2024-2025學(xué)年湖南省永州市寧遠縣高三年級上冊入學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省永州市寧遠縣高三上學(xué)期入學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)

檢測試卷

注意事項：

1.全卷滿分150分，時量120分鐘.

2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.

3.考試結(jié)束后，只交答題卡.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知集合/={x|/-4x+3<0},5={x|0<x<2},則4nB=（）

A.[0,3)B.(0,3)c.(13D.(1,2)

2.若z-3i=3+i,則歸=()

A.3B.V13c.5D.Vio

3.已知向量a=(2,〃?)，=(m+l,-l),若Q'則m的值為（）

A.2B.1c.-1D.-2

4.在等差數(shù)列{%}中，若生+。5+。7+。9+%1=10°，則。1+%3的值為（）

A.20B.30C.40D.50

5.若sina+V^cosa=1,貝()

]_1D.—皇

A.—B.C.——

2222

6.已知外〃是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若7"_La,e_L￡,則機〃?

B.若〃7//a,n//a,則機〃n

C.若a_L〃凡〃1_尸，則夕〃尸

D.若mua,nua,m〃加其〃[},則e〃夕

7.函數(shù)/（x）=[：-“cosx的部分圖象大致是（）

yk

71V|VTV

8.現(xiàn)有4名男生和3名女生計劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)

附近訂購了一家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個房間都要住人，每個房間最多住2

人，且男女不能混住.則不同的安排方法有（）種

A.1960B.2160C.2520D.2880

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.下列求導(dǎo)過程正確的選項是（）

D.（logax）=--—

（InaJxIna

10.設(shè)函數(shù)/（x）=2sin（2x+W，則下列結(jié)論正確的是（）

A.f（x）的最小正周期為兀

B.1（x）的圖象關(guān)于直線x=5對稱

6

C./（X）的一個零點為尤=-3

6

D.7'（x）的最大值為1

11.下列說法中正確的是（）

A.線性回歸分析中可以用決定系數(shù)上來刻畫回歸的效果，若尺2的值越大，則模型的擬合效

果越好

B.已知隨機變量X服從二項分布3。"），若E（X）=20,D（X）=10,則〃=40

C.已知y關(guān)于X的回歸直線方程為j=0.3-0.7x，則樣本點(2,-3)的殘差為T.9

322

D.已知隨機事件A,3滿足尸(8)=丁P(AB)=-,則尸(48)=]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知平面向量Z=[1-6),求,+24=.

22

13.已知直線＞=氐是雙曲線\-三=1(。＞0,6＞0)的一條漸近線，則該雙曲線的離心率

ab

為.

14.若函數(shù)〃刈=|2，-311-%只有1個零點，則機的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知。、b，。分別是AABC內(nèi)角A,B,C的對邊，(6-a)cosC=c(cos/-cos8),b2=2ac.

(1)求cosC；

(2)若AABC的面積為店，求c.

16.如圖，在三棱錐尸-N8C中，ABVBC,AB=BC=-PA,點。、。分別是/C、PC的中

2

點，OP_L底面48C.

⑴求證：。。〃平面P48；

(2)求直線PA與平面PBC所成角的大小.

22

17.已知40,3)和313,[為橢圓C:0+￡=1、＞QO)上兩點.

(1)求C的離心率；

(2)若過尸的直線/交C于另一點2,且的面積為9,求/的方程.

18.已知函數(shù)/(x)=a(x-l)-lnx+l.

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當aV2時，證明：當x>l時，/(x)<ei恒成立.

19.已知數(shù)組4…,冊，如果數(shù)組紇：可也,…也滿足-=4,且與+4_]=4+%_],其中

k=2,3,則稱紇為4的“兄弟數(shù)組”.

(1)寫出數(shù)組4：4,2,3,7,1,8的“兄弟數(shù)組”線；

(2)若4的“兄弟數(shù)組”是拓，試證明：如,小必成等差數(shù)列；

(3)若〃為偶數(shù)，且4的“兄弟數(shù)組”是反，求證也=可

1.D

【分析】先求集合/,再根據(jù)交集運算求解.

【詳解】因為/={小2-4》+3<0}=何1<》<3},J3={x|0<x<2},

所以/口3=（1,2）.

故選：D.

2.C

【分析】根據(jù)題意求得z=3+4i,進而求模長.

【詳解】因為z-3i=3+i,則z=3+i+3i=3+4i,

所以目=A/32+42=5.

故選：C.

3.D

【分析】由向量垂直的坐標表示列方程等于零求解，可得結(jié)論.

【詳解】根據(jù)題意知。=（2,加），6=（冽+1,T)，a,

則Q%=（2,冽）?（加+2m+2-m=0,解之可得加=-2

故選：D

4.C

【分析】直接由等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

22

【詳解】由題意%+%=2的=不（5。7）=；-X(%+%+%+%+%1)=40.

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)輔助角公式求得sin[a+三]=

再用誘導(dǎo)公式即可求解.

(兀11.(兀)1

【詳解】因為sina+JGcosa=1，所以2sin

13j13J2

所以cos（a一胃=cos一（3“=c0s（3)r7ir7^1.(

a1=cos—1or+—j=sin1or+

故選：B

6.C

【分析】利用空間點線面的位置關(guān)系判斷各項;

【詳解】對于A,若加，c,a_L￡,則機〃?；騧u0,A錯誤；

對于B,若加〃a,〃〃a,則加〃〃或加，〃相交或異面，B錯誤；

對于C,因為加_La,%〃〃，所以〃_La,又因為〃_L￡,所以a〃6，C正確；

對于D,若加ua,〃ua,加〃￡,”〃尸，則a〃尸或兩平交，D錯誤；

故選：C.

7.D

【分析】先利用奇函數(shù)定義判斷函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，排除A；再利用y軸右側(cè)有兩個零點排

除B；在根據(jù)函數(shù)值的符號排除C,即可判斷.

【詳解】函數(shù)/（尤）的定義域為卜卜*0},

因為cos(-x)=-cosx=-/（x）,所以/（尤）為奇函數(shù)，排除A；

易知/(1)=/0,排除B；

當x>0且無限趨近于0時，--x>0,cosx>0,即/（無）>0,排除C.

故選：D

8.C

【分析】就3名女生需要的房間數(shù)分類討論后可得正確的選項.

【詳解】3名女生需要住2個房間或3個房間.

若3名女生住2個房間，則不同的方法種數(shù)為C；C；A；,

若3名女生住3個房間，則不同的方法種數(shù)為

則不同的安排方法有C；C；A；+gc；A；=2520種.

故選:C.

9.BCD

利用導(dǎo)數(shù)的計算公式逐一判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,（—）（xD--y,A錯誤；

Xx

對于B,（石），=（￡）'=Lxx《=去，B正確；

對于C,(M)'=axcTi,C正確;

Inx1

對于D,(logax)，=(--),=———，D正確；

Ina尤Ina

則B、C、D計算正確.

故選：BCD.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，是基礎(chǔ)題.

10.AC

【分析】根據(jù)八久)=心也(3尤+切的性質(zhì)逐一判斷即可.

27T

【詳解】7=?=兀，故A正確；

2

dM=2sin§=百，所以x不是對稱軸，故B錯誤；

V6736

/，j=2sin0=0,所以x=-1是/(X)的一個零點，故C正確;

因為振幅/=2,所以/("的最大值為2,故D錯誤.

故選：AC.

11.ABCD

【分析】根據(jù)決定系數(shù)的性質(zhì)、二項分布的期望和方差的計算公式、線性回歸方程的殘差以及

條件概率的計算公式，對每個選項進行逐一分析，即可判斷.

【詳解】對于A,線性回歸分析中可以用決定系數(shù)尺2用來刻畫回歸的效果，若尺2的值越大,

則模型的擬合效果越好，故A正確;

對于B,隨機變量服從二項分布8(〃,0),若于幻=20,僅混=10,

np=20,P=2，故正確;

則初(l-p)=10'解得’B

n=40

對于C,y關(guān)于x的線性回歸方程為，=0.3-0.7x,將x=2代入回歸方程中得

y=0.3-1.4=-l.l,即殘差為-3-(-11)=-1.9,故C正確;

32

對于D,因為尸(/)=(,/(45)=不

2

所以故D正確;

5

故選：ABCD

12.275

【分析】利用向量坐標的加減運算和模長計算公式得到答案.

【詳解】￡+23=(、瓦1)+2(1,-6)=(G+21-2?),所以模長為

故答案為.2百

13.叵

5

【分析】根據(jù)題意可得：=右，由e即可得解.

b

【詳解】由題意可知￡=若，所以e=￡=J士匕

ba\az

故答案為.巫

5

14.[2,+oo)u{-l}

2-2x,x<log3

【分析】函數(shù)〃x)=,-3卜1-"2只有1個零點等價于函數(shù)g(x)=|2-3|-l=2

x

2-4,x>log23

與函數(shù)了=機有且只有1個焦點，借助指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得函數(shù)g(x)的大致圖象，即可

得解.

【詳解】由〃外=|2「3/1-加=0,得,-3卜1=機，

設(shè)函數(shù)g(、H2y1-1弋二：渭；

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)g(x)在(-8,log23)上單調(diào)遞減,

在(10g23,+s)上單調(diào)遞增，且2工?0,+8),g(log23)=0-l=-l,

可作出g(x)的大致圖象，如圖所示,

由圖可知，加的取值范圍是[2,+8)口{-1}.

故答案為.[2,+8)。{-1}

7

15.(1)-；(2)2.

o

(1)由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進行化簡，然后結(jié)合余弦定理可求;

(2)由已知結(jié)合三角形的面積公式即可直接求解.

【詳解】(1)由(6-4)3。=+054-35)及正弦定理可得，

sinBcosC-sin/cosC=sinCcos74-sinCcosB，

所以sin3cosC+sinCcosB=sinCcos/+sin/cosC，

即sin(5+C)=sin(Z+C),

所以sin/=sinB,

所以。=b,

因為〃=lac=2bc,

所以Z)=2c,

由余弦定理可得，cosC=『+y]c24c2+4c2-c27

2x2cx2c8

(2)由(1)知sinC=

因為A4BC的面積為JF,所以LqbsinC=xX6=4三

解可得。=4,

228

則c=L=2

2

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用,

屬于中檔試題.

16.(1)證明見解析

0.V2W

(z)arcsm-------

30

【分析】(1)由已知，根據(jù)點。、。分別是/C、尸C的中點，可知然后利用線面平

行的判定定理即可完成證明；

(2)取8C的中點E,連接PE,過點。作。尸_LP￡交PE于尸，連接。尸，先證明BC_L平面

POE,得到從而證明。尸，平面PBC,得到/OD尸是與平面P3C所成的角，

設(shè)邊長，計算即可.

【詳解】(1)由已知，點。、。分別是/C、尸C的中點，所以O(shè)D//P4,

又融u平面尸OD<Z平面P45,所以?！?gt;〃平面尸N3,

得證.

(2)

因為48_LBC,OA=OC,所以。4=08=OC,

又因為。尸_L平面/8C,所以PA=PB=PC,

取3c的中點￡,連接尸￡,則尸

QP_L平面4BC,BCu平面48C,所以O(shè)P_L5C,

OP,PEGPOE,S.OPr>PE=P,所以8C_L平面POE,

過點。作交PE于尸，連接D尸，

因為8C_L平面尸0￡,OFu平面尸0E,所以3C_L0F,

又因為OF_LPE,BC,PEuPBC,且BCcPE=E,所以O(shè)F_L平面尸BC,

因為OD//P4,所以直線產(chǎn)/與平面P3C所成角就是。。與平面尸3C所成的角,

所以ZODF是OD與平面尸BC所成的角，

WfAB=BC=—PA=\,所以PA=2,PO=,

22

mJ港任的iclPO-EOV210

22PE30

在瓦A。。尸中，sinZODF=—=^^~.

OD30

所以直線尸/與平面P8C所成角的大小為arcsin'巫.

30

1

17.⑴]

⑵直線/的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

【分析】(1)代入兩點得到關(guān)于。力的方程，解出即可；

(2)方法一：以|4尸|為底，求出三角形的高，即點3到直線N尸的距離，再利用平行線距離公

式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到3點坐標，則得到直線/的方程；方法二：同法

一得到點8到直線AP的距離，再設(shè),根據(jù)點到直線距離和點在橢圓上得到方程組,

解出即可；法三：同法一得到點B到直線/尸的距離，利用橢圓的參數(shù)方程即可求解；法四：

首先驗證直線斜率不存在的情況，再設(shè)直線^=區(qū)+3,聯(lián)立橢圓方程，得到點3坐標，再

利用點到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線P3斜率不存在的情況，再設(shè)

pB.y-±=k(X-^9利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得到答案；法六：設(shè)線法與法

五一致，利用水平寬乘鉛錘高乘!表達面積即可.

2

b=3

【詳解】(1)由題意得C9，解得

2+“k=12

L2b2~

]_

2

3—二1

(2)法一：,21，則直線ZP的方程為》=—二％+3,即x+2y—6=0,

3k2

W卜J(。-3『+(3-3=孚，由⑴知0：巳+91'

2x9126

設(shè)點B到直線/尸的距離為4,則運=亍，

~2~

則將直線NP沿著與NP垂直的方向平移坦5單位即可，

5

此時該平行線與橢圓的交點即為點B,

設(shè)該平行線的方程為：x+2y+C=0,

則@I,解得C=6或C=-18,

V55

22「v_2

3

—2L[rx=o

當C=6時，聯(lián)立｛12+9=,解得〈?；颉?，

x+2y+6=0〔片-3P=一]

即8(0,-3)或，3,-j,

3a

當8(0,-3)時，此時向、，直線/的方程為y=；x-3,即3x-2y-6=0,

當時，此時勺=g,直線/的方程為y=即x-2y=0,

___|_￡__]

當C=-18時，聯(lián)立，129得2/_27>+117=0,

x+2y—18=0

A=272-4x2x117=-207<0,此時該直線與橢圓無交點.

綜上直線I的方程為3》-2發(fā)6=0或五-2卜=0.

法二：同法一得到直線/尸的方程為尤+2廣6=0,

點B到直線AP的距離d=坦5,

5

|x+2j-6|_1275

00%=-3

75一5工0二0

設(shè)8(X(),%),則<解得《3或

日+區(qū)=1-5%）二—3

129

即6（0,-3）或13,一目，以下同法一.

法三：同法一得到直線/P的方程為x+2y-6=0,

點B到直線AP的距離d=35，

5

設(shè)3（2石（：050,3$山0）,其中。€[0,2兀），則有RGcosO+Gsine61=＞石.

A/55

,、」,7COS(7=U

聯(lián)立cos?e+sin?6=1,解得｛或｛.八

1sm8=-1

sin(9=——【

I2

即8(0,-3)或13,-￡|，以下同法一；

法四：當直線的斜率不存在時，此時現(xiàn)0,-3）,

133

\P^=-X6X3=9,符合題意，此時號=/,直線/的方程為即3x_2y_6=0,

當線的斜率存在時，設(shè)直線45的方程為》=履+3,

y=kx+3

聯(lián)立橢圓方程有/y2_，則（4/+3）f+24奴=0,其中女w的「即發(fā)片」,

----1------12

〔129

-24k1

解得x=0或x=-5——，左w0,k手一一,

4左2+32

令x=>-12r+9-24k-12r+9

,貝！Jy=,貝”

4k2+34r+34/+3'4/+3

同法一得到直線AP的方程為x+2y-6=0,

1275

點8到直線4尸的距離[=

5

-24kI2><-12-2+9§

2+2

貝I]4k+3*4k+31275，解得后=,，

忑=—一

此時4-3,-11,則得到此時左,=；,直線/的方程為夕=],即x-2y=0,

綜上直線/的方程為3x-2y—6=0或x-2y=0.

法五：當/的斜率不存在時，/：》=3,?3,-|),忸同=3〃到%距離d=3,

19

此時S”即=5X3x3=5w9不滿足條件.

3

當/的斜率存在時，設(shè)尸8：y-3=/一3),令尸(國,必),3(%,%),

3

y=k(x-3)+-

消)可得(4左2+3卜2_(24左2—12左)％+36左2一36左一27二0,

22

土+匕=1

1129

A>0,且左片kAP,即左w——,

24左2—12左I3k2+9k+2^-

_______.------------；-----------4后

,|尸同=Jr+l,2

(xl+x2)-4XJX2=------

36斤2-36左-274左2+3

xx

{24r+3

4由“'I//+9左+彳

A到直線PB距離

△PAB=

VP+124k2+3

1313

.?.左=_或_,均滿足題意，:.l\y=-x^y=—x-3,即3X_2)_6=0或x_2y=0.

2222

法六：當/的斜率不存在時，/：》=3,?3,-0,|尸耳=3〃到M距離1=3,

19

此時S?=-x3x3=-^9不滿足條件.

3

當直線/斜率存在時，設(shè)/:》=?、—3)+：,

設(shè)/與>軸的交點為0,令尤=0,貝|。(0,-3左+|1,

片2《,則有(3+2

X2一8左13左一|)x+36左2—36左一27=0,

聯(lián)立

3x2+4v2=36

(3+4左2)》2-8左(3左一：1

x+36左2-36左一27=0,

其中A=8/13左一|]一4（3+4/）06/—36左一27,0,且左力一（，

36左2-36左-2712左2-12左一9

貝UB

3X=-3Z4P-，/二~3+4月2

則5=；|/0|陣-乙|=；3左+：竽巖=9,解的A=:或％=]經(jīng)代入判別式驗證均滿足

題意.

13

貝！I直線/為y=,x或y=]X_3,即3x_2y_6=0或無-2y=0.

18.⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性;

（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當x>l時，ei-2x+l+lnx>0即可.

【詳解】（1）〃尤）定義域為（0,包），/?=?--=-

XX

當時，/（x）=竺匚<0,故/（x）在（0,內(nèi)）上單調(diào)遞減；

X

當。>0時，時，f\x）>0,/（X）單調(diào)遞增，

當xe（0,￡|時，/V）<0,〃x）單調(diào)遞減.

綜上所述，當a