高中數(shù)學(xué) 4.1.1-1.2 定積分的背景-面積和路程問題 定積分課時作業(yè) 北師大版選修2-2

第四章定積分§1定積分的概念1．1定積分的背景——面積和路程問題1．2定積分課時目標(biāo)通過求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程，了解定積分概念建立的背景，借助于幾何直觀體體會定積分的基本思想．1．解決面積、路程和變力做功問題，都是通過分割自變量的區(qū)間得到______________和________________，分割得越細(xì)，估計值就越接近精確值；當(dāng)分割成的小區(qū)間的長度趨于0時，過剩估計值和不足估計值都趨于要求的值．2．定積分的意義：當(dāng)f(x)≥0時?eq\o\al(b,a)f(x)dx表示__________________________圍成的曲邊梯形的面積；當(dāng)f(x)表示速度關(guān)于時間x的函數(shù)時，?eq\o\al(b,a)f(x)dx表示__________________________所走過的路程．3．定積分的性質(zhì)(1)?eq\o\al(b,a)1dx＝________；(2)?eq\o\al(b,a)kf(x)dx＝____________；(3)?eq\o\al(b,a)[f(x)±g(x)]dx＝________________；(4)?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝________________.一、選擇題1．定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx的大小()A．與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無關(guān)B．與f(x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無關(guān)C．與f(x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無關(guān)D．與f(x)、積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān)2．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x≥0,2xx<0))，則?eq\o\al(1,－1)f(x)dx可化為()A．?eq\o\al(1,－1)x2dx B．?eq\o\al(1,－1)2xdxC．?eq\o\al(0,－1)x2dx＋?eq\o\al(1,0)2xdx D．?eq\o\al(0,－1)2xdx＋?eq\o\al(1,0)x2dx3．定積分?eq\o\al(1,0)xdx的值是()A．1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D．04．定積分?eq\o\al(1,－1)x3dx的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D．05．函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上()A．f(x)的值變化很小B．f(x)的值變化很大C．f(x)的值不變化D．當(dāng)n很大時，f(x)的值變化很小6．設(shè)a＝?eq\o\al(1,0)dx，b＝?eq\o\al(1,0)x2dx，c＝?eq\o\al(1,0)x3dx，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c>a>b B．a(chǎn)>b>cC．a(chǎn)＝b>c D．a(chǎn)>c>b二、填空題7．求由曲線y＝eq\f(1,2)x2與直線x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形面積時，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個小區(qū)間的左端點)是________．8．如圖，陰影部分的面積分別以A1，A2，A3表示，則定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝________.9．?eq\o\al(1,－1)eq\r(4－x2)dx＝____________.三、解答題10．利用定積分的幾何意義求下列定積分．(1)?eq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx；(2)?eq\o\al(2π,0)cosxdx.11.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且?eq\o\al(6,0)f(x)dx＝8，求?eq\o\al(6,－6)f(x)dx.能力提升12．如圖，陰影部分面積為()A．?eq\o\al(b,a)[F(x)－g(x)]dxB．?eq\o\al(c,a)[g(x)－F(x)]dx＋?eq\o\al(b,c)[F(x)－g(x)]dxC．?eq\o\al(c,a)[F(x)－g(x)]dx＋?eq\o\al(b,c)[g(x)－F(x)]dxD．?eq\o\al(b,a)[g(x)－F(x)]dx13．利用定積分的幾何意義求?eq\o\al(2,－2)f(x)dx＋sinx·cosxdx，其中f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≥0,3x－1x<0)).1．利用定積分的定義求定積分，分四步：分割、近似代替、求和、取極限．2．求一些較復(fù)雜的定積分可以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和定積分的性質(zhì)．答案知識梳理1．過剩估計值不足估計值2．y＝f(x)與x＝a，x＝b和x軸運動物體從x＝a到x＝b時3．(1)b－a(2)k?eq\o\al(b,a)f(x)dx(3)?eq\o\al(b,a)f(x)dx±?eq\o\al(b,a)g(x)dx(4)?eq\o\al(c,a)f(x)dx＋?eq\o\al(b,c)f(x)dx作業(yè)設(shè)計1．A2．D[?eq\o\al(1,－1)f(x)dx＝?eq\o\al(0,－1)f(x)dx＋?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝?eq\o\al(0,－1)2xdx＋?eq\o\al(1,0)x2dx.故選D.]3．B[即計算由直線y＝x，x＝1及x軸所圍成的三角形的面積．]4．D[畫草圖，f(x)＝x3的圖像關(guān)于原點對稱，在區(qū)間[－1,1]上，x軸上方f(x)所圍面積與x軸下方f(x)所圍面積相等，故由幾何意義知?eq\o\al(1,－1)x3dx＝0.]5．D6.B7．1.02解析將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(6,5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(7,5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，\f(8,5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(9,5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，2))，于是所求平面圖形的面積近似等于eq\f(1,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(36,25)＋\f(49,25)＋\f(64,25)＋\f(81,25)))＝eq\f(1,10)×eq\f(255,25)＝1.02.8．A1＋A3－A2解析利用定積分的幾何意義，在區(qū)間[a，b]上，用x軸上方f(x)所圍面積減去x軸下方f(x)所圍面積．9.eq\f(2π,3)＋eq\r(3)解析由y＝eq\r(4－x2)可知x2＋y2＝4(y≥0)，其圖像如圖．?eq\o\al(1,－1)eq\r(4－x2)dx等于圓心角為60°的弓形CED的面積與矩形ABCD的面積之和S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22－eq\f(1,2)×2×2sineq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3)，S矩形＝|AB|·|BC|＝2eq\r(3)，∴?eq\o\al(1,－1)eq\r(4－x2)dx＝2eq\r(3)＋eq\f(2π,3)－eq\r(3)＝eq\f(2π,3)＋eq\r(3).10．解(1)由y＝eq\r(1－x2)得x2＋y2＝1(y≥0)，其圖像是以原點為圓心，半徑為1的圓的eq\f(1,4)部分．∴?eq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(1,4)π·12＝eq\f(1,4)π.(2)由函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖像的對稱性(如圖)知，?eq\o\al(2π,0)cosxdx＝0.11．解原式＝?eq\o\al(0,－6)f(x)dx＋?eq\o\al(6,0)f(x)dx∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)在y軸兩側(cè)的圖像對稱，面積相等．∴?eq\o\al(6,－6)f(x)dx＝8×2＝16.12．B[根據(jù)定積分的幾何意義．]13．解?eq\o\al(2,－2)f(x)dx＋?eq\f(π,2)－eq\f(π,2)sinxcosxdx＝?eq\o\al(0,－2)(3x－1)dx＋?eq\o\al(2,0)(2x－1)dx＋?eq\f(π,2)－eq\f(π,2)sinxcosxdx，∵y＝sinxcosx為奇函數(shù)，∴?eq\f(π,2)