專題13.3軸對稱圖形（九大題型）重難點題型

專題13.3軸對稱圖形（九大題型）重難點題型題型1軸對稱圖形的性質(zhì)與辨別【方法技巧】掌握軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。注意：理解軸對稱圖形的定義應(yīng)注意兩點：（1）軸對稱圖形是一個圖形，反映的是這個圖形自身的性質(zhì)。（2）符合要求的“某條直線”可能不止一條，但至少要有一條。1．（2022·重慶一中七年級期末）下列體現(xiàn)中國傳統(tǒng)文化的圖片中，是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義分析即可求解，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B．是軸對稱圖形，故本選項符合題意；C．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的識別，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2021·四川綿陽·中考真題）下列圖形中，軸對稱圖形的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形進行判斷即可．【詳解】解：第一個圖形不是軸對稱圖形；第二個圖形是軸對稱圖形；第三個圖形是軸對稱圖形；第四個圖形不是軸對稱圖形；故選B．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形的定義．3．（2022·湖南湘西·中考真題）下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用軸對稱圖形的定義進行解答即可．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：C．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．4．（2022·陜西西安·中考模擬）△ABC與關(guān)于直線l對稱，則∠B的度數(shù)為________．【答案】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，軸對稱圖形全等，則，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得【詳解】△ABC與關(guān)于直線l對稱故答案為：【點睛】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，全等的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，理解軸對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·海南·一模）如圖，點為內(nèi)一點，分別作出點關(guān)于，的對稱點，，連結(jié)交于，交于，若線段的長為，則的周長為______．【答案】12【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，，然后求出的周長．【詳解】解：點關(guān)于、的對稱點，，，，的周長，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等．6．（2022·廣西崇左·八年級期末）如圖，和關(guān)于直線對稱，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）直線垂直平分；（4）直線平分．正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)成軸對稱的兩個圖形能夠完全重合可得△ABC和全等，然后對各小題分析判斷后即可得到答案．【詳解】解：和關(guān)于直線對稱，（1）；（2）；（3）直線垂直平分；（4）直線平分綜上所述，正確的結(jié)論有4個，故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)成軸對稱的兩個圖形能夠完全重合判斷出兩個三角形全等是解題的關(guān)鍵．題型2軸對稱性質(zhì)的運用方法技巧：常見應(yīng)運用有：折疊（剪紙）、臺球桌面、光的反射和鏡面對稱等問題。折疊問題中，折痕就是圖形的對稱軸，折疊前后的圖形關(guān)于對稱軸對稱。1．（2022·浙江溫州·一模）某電梯中一面鏡子正對樓層顯示屏，顯示屏中顯示的是電梯所在樓層號和電梯運行方向．當(dāng)電梯中鏡子如圖顯示時，電梯所在樓層號為______．【答案】15【分析】根據(jù)鏡面成像的原理：左右相反，即可得到答案．【詳解】解：由鏡面成像的原理可知電梯所在的樓層為15，故答案為：15．【點睛】本題主要考查了鏡面成像，熟知鏡面成像的原理是解題的關(guān)鍵．2．（2021·廣東佛山·一模）如圖，在矩形中，，一發(fā)光電子開始置于邊的點處，并設(shè)定此時為發(fā)光電子第一次與矩形的邊碰撞，將發(fā)光電子沿著方向發(fā)射，碰撞到矩形的邊時均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若發(fā)光電子與矩形的邊碰撞次數(shù)經(jīng)過2021次后，則它與邊的碰撞次數(shù)是_________．【答案】674【分析】根據(jù)題意易得發(fā)光電子經(jīng)過六次回到點P，進而根據(jù)此規(guī)律可進行求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得如圖所示：由圖可知發(fā)光電子經(jīng)過六次回到點P，則發(fā)光電子與AB邊碰撞的次數(shù)為2次，∴，∴發(fā)光電子與矩形的邊碰撞次數(shù)經(jīng)過2021次后，則它與邊的碰撞次數(shù)是（次）；故答案為674．【點睛】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2020·青?！ぶ锌颊骖}）剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)．如圖①，②將一張紙片進行兩次對折后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)該是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】對于此類問題，只要依據(jù)翻折變換，將最后一個圖中的紙片按順序打開鋪平即可得到答案．【詳解】還原后只有B符合題意，故選B．【點睛】此題主要考查了剪紙問題，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)折紙的方式及剪的位置進行準(zhǔn)確分析，可以直觀的得到答案．4．（2022·江蘇無錫·二模）把一張邊長為8cm的正方形紙片按如圖所示的方法對折兩次后剪去兩個角，打開后得到一個正多邊形．（1）如果打開后得到一個正方形，則這個正方形的邊長為______．（2）有以下5個正多邊形：①正五邊形；②正六邊形；③正八邊形；④正十邊形；⑤正十二邊形，其中打開后可以得到是______．（只填序號）【答案】

③⑤【分析】由題意折疊后有4層紙，可知展開圖的正多邊形的邊長數(shù)目應(yīng)為4的倍數(shù)，同時通過簡單的動手操作也可得出相關(guān)結(jié)論．【詳解】解：（1）分別過兩直角邊中點，構(gòu)造等腰直角三角形，按照如圖紅線位置進行裁剪可得正方形．折疊兩次后三角形的直角邊長為，裁剪后展開的正方形邊長為．（2）過直角的角平分線與斜邊的交點，構(gòu)造頂角為等腰三角形，按照如圖紅線位置進行裁剪可得正八邊形．過直角三等分線與斜邊的交點，構(gòu)造頂角為的等腰三角形，按照如圖紅線位置進行裁剪可得正十二邊形．

故答案為：，③⑤【點睛】本題主要考查了圖形的對稱性，是典型的剪紙問題，具備一定的動手操作能力是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022·四川成都·七年級期中）把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊成圖①，再沿HF折疊成圖②，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE，則∠C''FE＝_______．【答案】【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，所以，接著再利用折疊的性質(zhì)得到，然后計算即可．【詳解】四邊形為長方形，，，，方形紙條沿折疊成圖①，，，長方形沿折疊成圖②，，．故答案為：．【點睛】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．6．（2022·安徽·宣州市雁翅鄉(xiāng)初級中學(xué)二模）仔細觀察圖1，體會圖1的幾何意義，用圖1的方法和結(jié)論操作一長方形紙片得圖2或圖3或…，，均是折痕，當(dāng)在的內(nèi)部時，連接，若，，的度數(shù)是_______________．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)圖形可得，，再根據(jù)計算即可；【詳解】∵，，∴由折疊性質(zhì)得，，∴，，∴，即，∴；故答案為：．【點睛】本題主要考查了折疊圖形的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵．題型3線段垂直平分線性質(zhì)與判定及運用【解題技巧】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等垂直平分線的性質(zhì)判定：到一條直線兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。三角形的外心：三角形三邊的垂直平分線的交點；外心性質(zhì)：外心到該三角形三頂點的距離相等。1．（2022·靜寧縣阿陽實驗學(xué)校八年級期末）如圖，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有____處．【答案】4．【分析】作直線l1、l2、l3所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于點P1、P2、P3，內(nèi)角平分線相交于點P4，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)進行判斷．【詳解】解：如圖示，作直線l1、l2、l3所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于點P1、P2、P3，內(nèi)角平分線相交于點P4，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到這4個點到三條公路的距離分別相等．故答案是：4．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南衡陽·中考真題）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點和點，作直線交于點，連接．若，，則的周長為_________．【答案】23【分析】由作圖可得：是的垂直平分線，可得再利用三角形的周長公式進行計算即可．【詳解】解：由作圖可得：是的垂直平分線，，，故答案為：23【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握“線段的垂直平分線的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·河南開封·一模）如圖，平面內(nèi)不共線三點A，B，C，操作如下：步驟1：連接BC，以點B為圓心，以CB的長為半徑畫??；步驟2：連接AC，以點A為圓心，以AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；步驟3：連接CD，且過A，B作直線則A，B一定在線段CD的垂直平分線上，依據(jù)是____________．【答案】線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理【分析】連接BD，AD，根據(jù)垂直平分線的判定即可解答；【詳解】解：如圖，連接BD，AD，∵AC=AD，BC=BD，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可得：A，B一定在線段CD的垂直平分線上；故答案為：線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理；【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．4．（2022·江西·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E，點F是DE上任意一點，△BCF的周長的最小值是（）A．2 B．12 C．5 D．7【答案】B【分析】由于，關(guān)于直線為對稱，所以和重合時，最小，最小值等于，即可求得的周長的最小值．【詳解】解：是線段的垂直平分線，，關(guān)于直線為對稱，和重合時，最小，即的周長的最小值，是線段的垂直平分線，，的最小值，的最小周長，故選：B．【點睛】本題主要考查了軸對稱最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．5．（2021·黑龍江綏化·中考真題）（1）如圖，已知為邊上一點，請用尺規(guī)作圖的方法在邊上求作一點．使．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在上圖中，如果，則的周長是_______．【答案】（1）見解析；（2）9．【分析】（1）直接根據(jù)垂直平分線尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）根據(jù)（1）中可知，即可求得的周長．【詳解】（1）作法：如圖所示，①連接（用虛線），②作的垂直平分線交于，③標(biāo)出點即為所求，（2）∵，∴，∴的周長＝9．【點睛】本題主要考查垂直平分線的做法－尺規(guī)作圖，熟知垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·西城區(qū)·八年級期中）小宇遇到了這樣一個問題：已知：如圖，，點A，B分別在射線OM，ON上，且滿足．求作：線段OB上的一點C，使的周長等于線段的長．以下是小宇分析和求解的過程，請補充完整：首先畫草圖進行分析，如圖1所示，若符合題意得點C已經(jīng)找到，即得周長等于OB的長，那么由，可以得到．對于這個式子，可以考慮用截長得辦法，在BC上取一點D，使得，那么就可以得到．若連接AD，由．（填推理依據(jù)）．可知點C在線段AD得垂直平分線上，于是問題得解法就找到了．請根據(jù)小宇得分析，在圖2中完成作圖（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）．【答案】BC，DC，線段的垂直平分線的判定【分析】在線段BO上截取BD=OA，連接AD，作線段AD的垂直平分線交OD于點C，連接AC，△AOC即為所求．【詳解】解：如圖，△AOC即為所求．故答案為：BC，DC，線段的垂直平分線的判定．【點睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．題型4角平分線的運用【解題技巧】角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。1．（2022·湖南邵陽·八年級期中）如圖，的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將分為三個三角形，則等于（

）．A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5【答案】C【分析】過點分別作的垂線，垂足分別為點，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得，再根據(jù)三角形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，過點分別作的垂線，垂足分別為點，由角平分線的性質(zhì)定理得：，的三邊長分別是20，30，40，，故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．2．（2022·福建漳州·八年級期中）小明同學(xué)只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點，小明說：“射線就是的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（

）A．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．三角形的三條高交于一點D．三角形三邊的垂直平分線交于一點【答案】A【分析】過兩把直尺的交點P作PF⊥BO與點F，由題意得PE⊥AO，因為是兩把完全相同的長方形直尺，可得PE=PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上可得OP平分∠AOB【詳解】如圖所示：過兩把直尺的交點P作PF⊥BO與點F，由題意得PE⊥AO，∵兩把完全相同的長方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），故選A．【點睛】本題主要考查了基本作圖，關(guān)鍵是掌握角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上這一判定定理．3．（2022·河北承德·八年級期末）如圖，在中，平分，則的面積為（

）A．30 B．20 C．15 D．10【答案】C【分析】根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)作出輔助線，即可得出AB邊上的高線長度，根據(jù)面積公式計算，【詳解】解：如圖，過D作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=3，∴S△ABD=．故選：C．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022·安徽·八年級期末）如圖，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AC邊上一動點（不與A、C重合），過點A作AE垂直BD于點E，延長AE交BC的延長線于點F，連接CE，則為（

）A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【分析】如圖所示，過點C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，證明△AHC≌△BCG得到CH=CG，即可證明CE平分∠BEF，即可得到∠BEC=．【詳解】解：如圖所示，過點C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，∴∠AHC=∠BGC=90°，∵∠ACB=90°，AF⊥BE，∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，又∵∠ADE=∠BDC，∴∠CAH=∠CBG，又∵AC=BC，∴△AHC≌△BCG（AAS），∴CH=CG，∵CH⊥EF，CG⊥BE，∴CE平分∠BEF，∴∠BEC=．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，角平分線的定義，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2022·陜西渭南·三模）如圖，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點D，使得∠ABD＝25°．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】作圖見解析【分析】因為∠A＝100°，∠C＝30°，所以∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，則作∠B的角平分線即可．【詳解】解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，則作∠B的角平分線即可．作圖如下：【點睛】本題考查作角平分線，解題的關(guān)鍵是分析題意知道作∠B的角平分線，掌握作角平分線的方法．6．（2022·湖北）（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分交的延長線于點，求證：．（3）類比應(yīng)用：如圖3，平分，，，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；【分析】（1）由題意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取點E，使得AE=AC，根據(jù)題意可證△ACD≌△AED，從而可求出，，即可求解；（3）延長BE至M，使EM=DC，連接AM，根據(jù)題意可證△ADC≌△AEM，故而得出AE為∠BAM的角平分線，即，即可得出答案；【詳解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵，，∴：=AB：AC；（2）如圖，在AB上取點E，使得AE=AC，連接DE又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴，∴，∴AB：AC=BD：CD；（3）如圖延長BE至M，使EM=DC，連接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC與△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE為∠BAM的角平分線，故，∴BE：CD=AB：AC；【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、以及三角形的面積的應(yīng)用，正確掌握知識點是解題的關(guān)鍵；題型5等腰三角形的性質(zhì)與判定【解題技巧】掌握等腰三角形的性質(zhì)：1）等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）。2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡稱“三線合一”）。3）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）。1．（江西省吉安市峽江縣20212022學(xué)年七年級下學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試卷）已知等腰三角形的其中二邊長分別為3，6，則這個等腰三角形的周長為（

）A．12或15 B．12 C．13 D．15【答案】D【分析】因為已知長度為3和6兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【詳解】解：①當(dāng)3為底時，其它兩邊都為6，3、6、6可以構(gòu)成三角形，周長為15；②當(dāng)3為腰時，其它兩邊為3和6，∵3+3=6=6，∴不能構(gòu)成三角形，故舍去，∴答案只有15．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇九年級二模）頂角是的等腰三角形叫做黃金三角形．如圖，是正五邊形的3條對角線，圖中黃金三角形的個數(shù)是_________．【答案】【分析】根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和和黃金三角形的定義進行判斷即可．【詳解】解：設(shè)BE與AC、AD交于M、N，ABCDE是正五邊形，內(nèi)角和為，每一個內(nèi)角為，∴∠ABC＝∠BAE＝∠AED＝∠BCD＝∠CDE＝108°，∵AB＝BC＝AE＝ED，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∠EAD＝∠ADE＝36°，∴∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC＝72°，∴AC＝AD，∴△ACD是黃金三角形，同理可求：∠BAN＝∠ANB＝∠AME＝∠EAM＝72°，∠CBM＝∠BMC＝∠DNE＝∠DEN＝72°，∴△AMN、△DEN、△EAM、△CMB，△ABN也是黃金三角形．則圖中黃金三角形的個數(shù)有6個．故答案為：6．【點睛】此題考查了正五邊形的性質(zhì)和黃金三角形的定義．注意：此圖中所有頂角是銳角的等腰三角形都是黃金三角形．3．（2022年廣西梧州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，是的角平分線，過點D分別作，垂足分別是點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線這三線合一及角平分線的性質(zhì)即可判斷求解．【詳解】解：∵是的角平分線，∴，∴，故選項A、D結(jié)論正確，不符合題意；又是的角平分線，，∴，故選項B結(jié)論正確，不符合題意；由已知條件推不出，故選項C結(jié)論錯誤，符合題意；故選：C．【點睛】本題考察了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握其性質(zhì)即可．4．（河北省秦皇島市第七中學(xué)20212022學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）如圖，點A、B在直線l的同側(cè)，點C在直線l上，且是等腰三角形．符合條件的點C有（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】以點為圓心、長為半徑畫圓，交直線于點；再以點為圓心、長為半徑畫圓，交直線于點，然后作的垂直平分線，交直線于點，由此即可得．【詳解】解：如圖，以點為圓心、長為半徑畫圓，交直線于點；再以點為圓心、長為半徑畫圓，交直線于點，然后作的垂直平分線，交直線于點．則符合條件的點共有5個，故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．5．（2022年福建省南平市初中畢業(yè)班綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)試題）已知，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，求證：∠A=2∠CBD．【答案】見解析【分析】作AE⊥BC，由等腰三角形三線合一可得AE平分∠A，通過直角三角形中兩個銳角互余，利用等量代換證明∠CBD=∠CAE，即可證明∠BAC＝2∠CBD．【詳解】證明：過點A作AE⊥BC，垂足為E，∵AB=AC，

AE⊥BC，∴AE是∠A的平分線，∴2∠CAE=∠BAC，又∵BD⊥AC，AE⊥BC，∴∠CBD+∠C=90°，∠CAE+∠C=90°，∴∠CBD=∠CAE．∴原圖中的∠A＝2∠CBD．【點睛】本題考查了三角形的相關(guān)知識，熟練運用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022年青海省中考數(shù)學(xué)真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

圖1圖2【答案】(1)見解析(2)；【分析】（1）先判斷出∠BAD=∠CAE，進而利用SAS判斷出△BAD≌△CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出結(jié)論．(1)證明：∵和是頂角相等的等腰三角形，∴，，，∴，∴．在和中，，∴，∴．(2)解：，，理由如下：由（1）的方法得，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．∴．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關(guān)鍵．題型7等邊三角形的性質(zhì)與判定【解題技巧】掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定：1）三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。2）等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°。3）三個角都相等的三角形是等邊三角形。4）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。1．（山東省棗莊市山亭區(qū)20212022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，AB//CD，△ACE為等邊三角形，∠DCE＝45°，則∠EAB等于（）A．40° B．30° C．20° D．15°【答案】D【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差計算即可．【詳解】解：為等邊三角形，，，，，，，解得．故選：D．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．2．（福建省寧德市古田縣20212022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，等邊中，，垂足為，點在線段上，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷出AD是BC的垂直平分線，進而求出∠ECB=45°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵等邊三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分線，∵點E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB∠ECB=15°，故選：A．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求出∠ECB是解本題的關(guān)鍵．3．（陜西省安康市紫陽縣20212022學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（A卷））如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點E在BC的延長線上，且，則CE的長是（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB=4，由等邊三角形三線合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC=4cm，∠ACB=60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三線合一)∴DC=cm，∵∠E=30°∴∠CDE=∠ACB∠E=60°30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故選：B．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．4．（廣東省深圳外國語學(xué)校20212022學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△ECD，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q連接PQ．以下五個結(jié)論正確的是（

）①；②PQ∥AE；③；④；⑤A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知②正確；③根據(jù)②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正確；④根據(jù)∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④錯誤；⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正確．【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴，∴，即，∴，∴AD=BE，∴①正確，∵，∴，又∵，∴，即，又∵，∴，∴，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，∴，∴PQ∥AE②正確，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，③正確，∵AD=BE，AP=BQ，∴，即DP=QE，∵，∴∠DQE≠∠CDE，∴DE≠DP，故④錯誤；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等邊△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴⑤正確．故選：C．【點睛】本題綜合考查了等邊三角形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識點的運用．要求學(xué)生具備運用這些定理進行推理的能力，此題的難度較大．5．（湖北省孝感市孝南區(qū)20212022學(xué)年八年級上學(xué)期作業(yè)檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為4，過AB邊上一點P作PE⊥AC于點E，Q為BC延長線上一點，取PA=CQ，連接PQ，交AC于M，則EM的長為______．【答案】2【分析】過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證△PFM≌△QCM，推出FM=CM，推出ME=AC即可．【詳解】解：過P作PF∥BC交AC于F，如圖所示：∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ，在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM=CM，∵AE=EF，∴EF+FM=AE+CM，∴AE+CM=ME=AC，∵AC=4，∴ME=2，故答案為：2．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．6．（福建省三明市永安市20212022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為6，點D為動點，AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE．(1)如圖1，連接BD，CE，求證；(2)如圖2，，連接DE，求證：點B，D，E三點在同一條直線上；(3)如圖3，點D在△ABC的高BF上，連接EF，求EF的最小值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；（2）∠BAD=∠CAE=∠CBE，所以∠ABC=∠ABD+∠CBE=∠ABD+∠BAD=60°，從而得出∠ADB=120°，進一步得出結(jié)論；（3）可證得∠ACE=∠ABF=30°，從而得出點E的運動軌跡，進而求得EF的最小值．（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC∠DAC=∠DAE∠DAC，即：∠BAD=CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE；（2）由（1）知：∠CAE=∠BAD，∵∠CAE=∠CBE，∴∠BAD=∠CBE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABD+∠CBE=60°，∴∠ABD+∠BAD=60°，∴∠ADB=180°（∠ABD+∠BAD）=120°，∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE=60°，∴∠ADB+∠ADE=180°，∴B、D、E在同一條直線上；（3）如圖，連接CE，由（1）得：△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠ABD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，∵BF⊥AC，∴∠ABF=∠ABC＝30°，CF=AF=AC=3，∴∠ACE=30°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴點E在過點C且與BC垂直的直線上運動，∴當(dāng)FE垂直于該直線時，CE最?。▓D中點CE′），∵∠CE′F=90°，∠ACE=30°，∴FE′=CF＝，∴EF的最小值為：．【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型．題型8軸對稱作圖1．（2021·貴州黔南·八年級期中）如圖，已知△ABC的頂點分別為A（－2，2），B（－4，5），C（－5，1）和直線m（直線上各點的橫坐標(biāo)都為1）．（1）作出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形，并寫出點的坐標(biāo)；（2）作出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形，并寫出點的坐標(biāo)．【答案】（1）圖見解析，點的坐標(biāo)為（－4，－5）；（2）圖見解析，點的坐標(biāo)為（4，5）【分析】（1）分別作出點A，B，C關(guān)于x軸的對稱點，再首尾順次連接可得；（2）分別作出點A，B，C關(guān)于y軸的對稱點，再首尾順次連接可得；【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求作的三角形，點的坐標(biāo)為（－4，－5）．（2）如圖所示，即為所求作的三角形，點的坐標(biāo)為（4，5）．【點睛】本題主要考查作圖軸對稱變換及最短路徑問題．解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的定義和性質(zhì)，并根據(jù)軸對稱變換的定義和性質(zhì)得出變換后的對應(yīng)點位置．2．（2021·廣東惠州·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點M與關(guān)于直線l成軸對稱．（1）在題圖中畫出直線l及線段關(guān)于直線l對稱的線段；（2）求的面積．【答案】(1)畫圖見解析，(2)6．【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，畫的垂直平分線即可；再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出點即可；(2)根據(jù)三角形面積公式計算即可．【詳解】解：(1)直線l如圖所示；線段關(guān)于直線l對稱的線段如圖所示；(2)的面積為：．【點睛】本題考查了軸對稱變換，解題關(guān)鍵是熟悉軸對稱的性質(zhì)，會準(zhǔn)確畫圖，正確計算．3．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是，每個小正方形的頂點叫做格點．網(wǎng)格中有一個格點（即三角形的頂點都在格點上）．（1）在圖中作出關(guān)于直線的對稱圖形（要求點與，與，與相對應(yīng)）．（2）在直線上找一點，使得的周長最?。敬鸢浮恳娊馕觥痉治觥浚?）直接利用關(guān)于直線對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案；（2）利用軸對稱求最短路線的方法得出答案．【詳解】（1）如圖所示：即為所求；（2）如圖所示：點P即為所求的點．【點睛】此題主要考查了軸對稱變換以及三角形面積求法，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．4．（2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級期末）如圖，網(wǎng)格中的△ABC與△DEF為軸對稱圖形．(1)利用網(wǎng)格線畫出△ABC與△DEF的對稱軸l；(2)結(jié)合所畫圖形，在直線l上畫出點P，使PA+PC最小，并說明你的理由；(3)如果每一個小正方形的邊長為1，請直接寫出△ABC的面積＝．【答案】(1)答案見解析(2)答案解析(3)3【分析】（1）利用網(wǎng)格特點，作AD的垂直平分線即可；（2）連接CD，與直線l的交點即為所求；（3）利用割補法求解可得．(1)解：如圖所示，直線l即為所求．(2)解：如圖所示，點P即為所求；根據(jù)兩點之間線段最短即可證明PA+PC最小；(3)解：△ABC的面積＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2＝3，故答案為：3．【點睛】本題考查了利用軸對稱變換作圖，三角形的面積的求解，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇無錫·七年級期中）如圖：在正方形網(wǎng)格中有一個，按要求進行下列作圖（只能借助于網(wǎng)格）：(1)畫出中BC邊上的高AD；(2)畫出先將向左平移5格，再向下平移2格后的；(3)畫一個（要求各頂點在格點上，P不與A點重合），使其面積等于的面積．并回答，滿足這樣條件的點P共______個．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析；2【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義求解可得；（2）根據(jù)平移的定義作出變換后的對應(yīng)點，再順次連接即可得；（3）過點A作平行于BC的直線，同樣結(jié)合網(wǎng)格的特點在直線BC的另一側(cè)也可以找出符合條件的格點P，共有4個點P．(1)解：如圖：作，再過A點作的平行線，交BC于點D，(2)解：如圖：(3)解：如圖符合條件的格點共有4個，【點睛】本題用到的知識點為：三角形一邊上的高為這邊所對的頂點向這邊所引的垂線段，對稱的性質(zhì)；圖形的平移要歸結(jié)為各頂點的平移，平行線間距離處處相等．6．（2022·江蘇常州·七年級期末）如圖，所有小正方形的邊長都為1，點、、、、、都在格點上．(1)過點畫直線的垂線，垂足為，過點畫直線的垂線，交于點．①請在網(wǎng)格中畫出垂線、；②線段與的大小關(guān)系是：_____．(2)將向上平移1個單位，再沿直線翻折，得到．①請在網(wǎng)格中畫出；②與的大小關(guān)系是：______．【答案】(1)①見詳解；②＜；(2)①見詳解；②=．【分析】（1）①先確定垂線位置，利用平移確定點，做直線即可；②根據(jù)垂線段最短即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)平移得出點P′在直線BC上，利用折疊得出∠M′P′N′②利用平移角的大小不變，利用折疊得出角的大小不變，根據(jù)對頂角性質(zhì)得出結(jié)論即可．(1)解：①把點B向左平移1個格得出點G，作直線AG，則AG⊥BC于G，點A向左平移2個格到E，再向下平移1個格得點D，過AD兩點作直線交BC與H，則AH⊥AB；∵∠EAD+∠DAG=90°，∠EAD=∠BAG，∴∠DAG+∠GAB=90°，∴AH⊥AB，②∵AG⊥BC，根據(jù)垂線段最短AG＜AH，故答案為＜；(2)①將∠MPN向上平移1個單位得∠M″P′N′,點P′在直線BC上，沿著BC折疊得∠M′P′N′則∠M′P′N′為所求；②∵∠ABC=∠M′P′N′，∠M′P′N′=∠MPN,∴∠ABC=∠MPN．故答案為=．【點睛】本題考查網(wǎng)格作圖，平移性質(zhì)，折疊性質(zhì)，垂線畫法，垂線段最短，對頂角性質(zhì)，掌握網(wǎng)格作圖，平移性質(zhì)，折疊性質(zhì)，垂線畫法，垂線段最短，對頂角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型9等腰三角形與全等三角形綜合題1．（2021·重慶南開中學(xué)八年級期末）如圖，在銳角△ABC中，點D在線段CA的延長線上，BC邊的垂直平分線分別交AB邊于點E，交∠BAC的平分線于點M，交BAD的平分線于點N，過點C作AM的垂線分別交AM于點F，交MN于點O，過點O作OG⊥AB于點G，點G恰為AB邊的中點，過點A作AI⊥BC于點I，交OC于點H，連接OA、OB，則下列結(jié)論中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正確的是________．（填序號）【答案】（1）（2）（4）（5）【分析】（1）使用角平分線的性質(zhì)即可；（2）根據(jù)AB和BC的垂直平分線OG和MN可以得到OA=OB=OC，進而得到三組相等的角，再進行等量代換即可；（4）在和中，易得和公共邊AH，再通過角度的計算和等量代換可以得到，即可證明；（5）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和（4）中的全等三角形可得BO=AH，通過角度的計算和等量代換可以證明和，進而可通過證明得到BE=AC，再進行等量代換即可；（3）易得OH=2OF，根據(jù)分析無法證明OF=OG，故可判斷該項不符合題意．【詳解】解：（1）∵AM平分，AN平分，∴，．∴．又∵根據(jù)圖示可得，∴．故（1）符合題意．（2）∵G為AB中點，且，MN垂直平分BC，∴OA=OB=OC，．∴，，，．∴，．又∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．故（2）符合題意．（4）如圖所示，延長CO交AB于點J．∵OB=OC，MN垂直平分BC，∴，．又∵，，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．又∵，，∴．∴．∴．∵AM平分，，∴，．又∵，，∴．∴．又∵，∴．∴．∴．在和中，∵∴．故（4）符合題意．（5）∵，，∴．又∵，，∴，．∴，．∴．∵，∴OA=HA．又∵OA=OB，∴BO=AH．∵，，，∴．又∵，∴．∴．在和中，∵∴．∴BE=AC．∴AE+AC=AE+BE=AB．∵G為AB中點，∴AB=2AG．∴AE+AC=2AG．故（5）符合題意．（3）∵，∴FO=FH．∴OH=2OF．∵，，∴．∵無法證明AF=AG和和，∴無法證明．∴OF和OG可能相等，也可能不相等．∴OH與2OG不一定相等．故（3）不符合題意．故答案為：（1）（2）（4）（5）．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和以及全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握以上知識點是解題關(guān)鍵，特別注意等量代換的使用．2．（2021·四川八年級期末）如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點．（1）求證：；（2）如圖2，若點是線段上一點，平分交所在直線于點．求證：．（3）如圖3，若點是線段上一點（不與點重合），連接，在下方作邊交所在直線于點．猜想：三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）OF=OG+OA，理由見解析【分析】（1）由等邊三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OC=2OD，進而可證明結(jié)論；（2）理由ASA證明△CGB≌△CGF即可證明結(jié)論；（3）連接OB，在OF上截取OM=OG，連接GM，可證得△OMG是等邊三角形，進而可利用ASA證明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可說明猜想的正確性．【詳解】解：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，∴OA=OC，在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，∴OC=2OD，∴OA=2OD；（2）證明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴BG=CG，∴∠GCB=∠GBC，∵CG平分∠BCE，∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，∴∠BGC=150°，∵∠BGF=60°，∴∠FGC=360°∠BGC∠BGF=150°，∴∠BGC=∠FGC，在△CGB和△CGF中，，∴△CGB≌△CGF（ASA），∴GB=GF；（3）解：OF=OG+OA．理由如下：連接OB，在OF上截取OM=OG，連接GM，∵CA=CB，CE⊥AB，∴AE=BE，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，∵OM=OG，∴△OMG是等邊三角形，∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，∵∠BGF=60°，∴∠BGF=∠MGO，∴∠MGF=∠OGB，∵∠GMF=120°，∴∠GMF=∠GOB，在△GMF和△GOB中，，∴△GMF≌△GOB（ASA），∴MF=OB，∴MF=OA，∵OF=OM+MF，∴OF=OG+OA．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定的與性質(zhì)，含30°角的直角三角形，角平分線的定義等知識的綜合運用，屬于三角形的綜合題，證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（2021·山東濟南市·八年級期末）如圖1，在△ABC中，BO⊥AC于點O，AO＝BO＝3，OC＝1，過點A作AH∠BC于點H，交BO于點P．（1）求線段OP的長度；（2）連接OH，求證：∠OHP＝45°；（3）如圖2，若點D為AB的中點，點M為線段BO延長線上一動點，連接MD，過點D作DN⊥DM交線段A延長線于N點，則S△BDM－S△ADN的值是否發(fā)生改變，如改變，求出該值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）不改變，【分析】（1）證△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP=OC=1；（2）過O分別作OM⊥CB于M點，作ON⊥HA于N點，證△COM≌△PON（AAS），得出OM=ON．得出HO平分∠CHA，即可得出結(jié)論；（3）連接OD，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，則∠OAD=45°，證出∠DAN=∠MOD．證△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM=S△ADN，進而得出答案．【詳解】解：（1）∵BO⊥AC，AH⊥BC，∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，在△OAP和△OBC中，，∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1；（2）過O分別作OM⊥CB于M點，作ON⊥HA于N點，如圖1所示：在四邊形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．在△COM與△PON中，，∴△COM≌△PON（AAS），∴OM＝ON．∵OM⊥CB，ON⊥HA，∴HO平分∠CHA，∴∠OHP=∠AHC＝45°；（3）S△BDM﹣S△ADN的值不發(fā)生改變，等于．理由如下：連接OD，如圖2所示：∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D為AB的中點，∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，∴∠DAN＝135°＝∠DOM．∵MD⊥ND，即∠MDN＝90°，∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．在△ODM和△ADN中，，∴△ODM≌△ADN（ASA），∴S△ODM＝S△ADN，∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD=S△AOB=×AO?BO=××3×3=．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形面積等知識；本題綜合性強，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇景山中學(xué)八年級期末）（1）如圖1，等邊△ABC中，點D為AC的中點，若∠EDF＝120°，點E與點B重合，DF與BC的延長線交于F點，則DE與DF的數(shù)量關(guān)系是；BE＋BF與的BC數(shù)量關(guān)系是；（寫出結(jié)論即可，不必證明）（2）將（1）中的點E移動一定距離（如圖2），DE交AB于E點，DF交BC的延長線于F點，其中“等邊△ABC中，D為AC的中點，若∠EDF＝120°”這一條件不變，則DE與DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？BE＋BF與BC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并加以證明；（3）將（1）中的點E移動到AB延長線上，DE與AB的延長線交于E點，DF交BC的延長線于F點（如圖3），其中“等邊△ABC中，D為AC的中點，若∠EDF＝120°”這一條件仍然不變，則BE、BF、BC這三者之間的數(shù)量關(guān)系是．（直接寫出結(jié)論即可）【答案】（1）DE=DF，BE+BF=BC；（2）DE=DF，BE+BF=BC；（3）DE=DF，BFBE=BC【分析】（1）點與點重合，即，因為，所以可得出三者之間的關(guān)系；（2）過作交于點，證明，DE=DF，ME=CF，即可得到結(jié)果；（3）取中點，連接，證明△END≌△FCD，得到DE=DF，從而判斷BE、BF、BC的關(guān)系．【詳解】解：（1）等邊中，點為的中點，，，，；（2）；．過作交于點，則，，是等邊三角形，則，，則，即：，在和中，，，，，∴；（3）取中點，連接，如圖所示，，，，，，，．．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，證得三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．5．（2021·南師附中樹人學(xué)校九年級月考）如圖1，若△DEF的三個頂點D，E，F(xiàn)分別在△ABC各邊上，則稱△DEF是△ABC的內(nèi)接三角形．（1）如圖2，點D，E，F(xiàn)分別是等邊三角形ABC各邊上的點，且AD＝BE＝CF，則△DEF是△ABC的內(nèi)接．A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或等邊三角形D．直角三角形（2）如圖3，已知等邊三角形ABC，請作出△ABC的邊長最小的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）問題：如圖4，△ABC是不等邊三角形，點D在AB邊上，是否存在△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF？如果存在，如何作出這個等邊三角形？①探究1：如圖5，要使△DEF是等邊三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我們以點D為角的頂點任作∠EDF＝60°，且DE交BC于點E，DF交AC于點F．我們選定兩個特殊位置考慮：位置1（如圖6）中的點F與點C重合，位置2（如圖7）中的點E與點C重合．在點E由位置1中的位置運動到位置2中點C的過程中，DE逐漸變大而DF逐漸變小后再變大，如果存在某個時刻正好DE＝DF，那么這個等邊三角形DEF就存在（如圖8）．理由：是等邊三角形．②探究2：在BC上任取點E，作等邊三角形DEF（如圖9），并分別作出點E與點B、點C重合時的等邊三角形DBF′和DCF″．連接FF'，F(xiàn)F″，證明：FF'+FF″＝BC．③探究3：請根據(jù)以上的探究解決問題：如圖10，△ABC是不等邊三角形，點D在AB邊上，請作出△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）B；（2）見解析；（3）①有一個角是60°的等腰三角形；②見解析；③見解析【分析】（1）通過已知條件判斷三角形全等即可；（2）過三點作對邊的垂線即可；（3）①運用有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形這一定理即可；②通過證明三角形全等得到BE＝F′F和EC＝FF″，即可證明FF'+FF″＝BC；③運用②的結(jié)論，確定等邊三角形一個點F，再通過截取確定點E，即可作出所求三角形．【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AD＝BE＝CF，∴AB﹣AD＝BC﹣BE＝AC﹣CF，∴BD＝CE＝AF，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝ED，在△ADF和△CFE中，，∴△ADF≌△CFE（SAS），∴DF＝EF，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等邊三角形，故答案為：B；（2）如圖所示，△ABC的邊長最小的內(nèi)接等邊△DEF即為所求；（3）①∵DE＝DF，∠EDF＝60°，∴△DEF是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形），故答案為：有一個角是60°的等腰三角形；②連接FF′和FF″，∵△DBF′、△DEF、△DCF″都是等邊三角形，∴DB＝DF′，DE＝DF，DC＝DF″，∠BDF′＝∠EDF＝∠CDF″＝60°，∴∠BDE＝∠F′DF，∠EDC＝∠FDF″，在△DBE和△DF′F中，，∴△DBE≌△DF′F（SAS），∴BE＝F′F，在△DEC和△DFF″中，，∴△DEC≌△DFF″（SAS），∴EC＝FF″，∴BC＝BE+EC＝F′F+FF″，即FF'+FF″＝BC；③以BD為邊作等邊△BDF′，以CD為邊作等邊△CDF″，連接F′F″交AC于點F，連接DF，在BC上截取BE＝F′F，連接DE，DF，△DEF即為所求．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及尺規(guī)作圖，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2021·四川成都市·八年級期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，AB＝8，M為AC中點，D為BC邊上一動點，將AD繞點A