一次函數(shù)01講核心（原卷版）

考點1函數(shù)的概念1.在某人變化過程中有兩個變量x和y，且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，其中x是自變量．2.函數(shù)的三種表示方法解析式法，列表法，圖象法．3.自變量的取值范圍（1）分式形式，自變量的取值范圍是使分母不為零的實數(shù)；（2）二次根式形式，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的實數(shù)；（3）零指數(shù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪形式，自變量的取值范圍是使底數(shù)不為零的實數(shù)；（4）組合形式，自變量的取值范圍應(yīng)是使各個式子有意義的實數(shù)；（5）整式形式，自變量的取值范圍是全體實數(shù)；（6）實際問題，自變量的取值范圍應(yīng)使實際問題有意義．考點2函數(shù)圖象及簡單應(yīng)用1.描點法畫函數(shù)圖象的一般步驟列表，描點，連線；2.實際生活中，函數(shù)值往往隨著自變量的變化呈現(xiàn)出多種變化過程，如果用圖象表示出來，就是一個直觀的分段函數(shù)．考點3正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)1.正比例函數(shù)的概念一般地，把形如y＝kx(k為常數(shù)，且k0)的函數(shù)叫正比例函數(shù)字母名稱取值范圍x自變量一切實數(shù)y函數(shù)一切實數(shù)k比例系數(shù)非零實數(shù)2.正比例函數(shù)圖象及性質(zhì)（1）正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點的一和直線；（2）K的正負(fù)對圖象的影響K的正負(fù)圖象經(jīng)過的象限圖象性質(zhì)k＞0函數(shù)的圖象過一、三象限y隨x的增大而增大k＜0函數(shù)的圖象過二、四象限y隨x增大而減小3.對圖象的影響越大，圖象越靠近y軸．考點4一次函數(shù)圖象及性質(zhì)1.一次函數(shù)的概念一般地，把形如y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)；2.一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（1）一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖像是經(jīng)過點和的一條直線；（2）一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖像可由正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖像平移得到；b＞0，向上平移b個單位長度；b＜0，向下平移|b|個單位長度（3）k、b的正負(fù)對圖象的影響一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）k，b符號k>0k<0b>0b＝0b<0b>0b＝0b<0圖象一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）k，b符號k>0k<0b>0b＝0b<0b>0b＝0b<0圖象經(jīng)過象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四性質(zhì)y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小考點5待定系數(shù)法1.待定系數(shù)法的定義先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中k、b的值，從而具體寫出這個式子的方法，叫做待定系數(shù)法．2.待定系數(shù)法的一般步驟步驟具體任務(wù)正比例函數(shù)示例一次函數(shù)示例設(shè)設(shè)函數(shù)解析式設(shè)y＝kxy＝kx＋b列將變量值或已知點的坐標(biāo)代入解析式把（2，5）代入得5=2k把（5，7）(1,3)代入得解解方程（組）K=2.5寫寫出解析式y(tǒng)＝2.5xy＝x＋2考點6一次函數(shù)的應(yīng)用1.一次函數(shù)的實際應(yīng)用考查題型都為解答題，多與以下知識結(jié)合：(1)方程、不等式；(2)二次函數(shù)；(3)統(tǒng)計圖的相關(guān)知識．2.用一次函數(shù)解決實際問題的一般步驟為：（1）設(shè)定實際問題中的自變量與因變量；（2）通過列方程(組)與待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式；（3）確定自變量的取值范圍；（4）利用函數(shù)性質(zhì)解決問題；（5）檢驗所求解是否符合實際意義；（6）答．3．方案最值問題：對于求方案問題，通常涉及兩個相關(guān)量，解題方法為根據(jù)題中所要滿足的關(guān)系式，通過列不等式，求解出某一個事物的取值范圍，再根據(jù)另一個事物所要滿足的條件，即可確定出有多少種方案；對于最值問題，一般是用于分段函數(shù)．函數(shù)的概念及自變量的取值范圍1.函數(shù)的概念的理解（1）兩個變量x和y，如果是多個量，需要把其它的量保持不變；（2）y隨x的變化而變化，y隨x的確定而確定；（3）x取一個值，y有唯一的值與之對應(yīng)．也就是可以多個x的值對應(yīng)一個y的值，但一個y的值只能對應(yīng)一個x的值；2.自變量的取值范圍的理解（1）使解析式有意義；（2）有實際意義；（3）通常用不等式（組）求自變量的取值范圍；【例題】（2022·廣西·藤縣藤州中學(xué)八年級階段練習(xí)）1.下列各圖能表示是的函數(shù)的是（）A. B. C. D.2.函數(shù)的自變量的取值范圍是()A. B.且 C.且 D.且（2022·河北·原競秀學(xué)校七年級期中）3.某公交車每天的支出費用為600元，每天的乘車人數(shù)x（人）與每天利潤（利潤=票款收入－支出費用）y元的變化關(guān)系，如下表所示（每位乘客的乘車票價固定不變）：x（人）…200250300350400…y（元）…－200－1000100200…根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，回答下列問題：（1）上表所反映的變化過程的兩個變量中，______是自變量，______是因變量；（請用文字語言描述）；當(dāng)乘客量達(dá)到______人以上時，該公交車才不會虧損；（2）寫出公交車每天利潤y（元）與每天乘車人數(shù)x（人）的關(guān)系式：y=______；（3）借助關(guān)系式求當(dāng)一天乘客人數(shù)為多少人時，利潤是1000元？【練經(jīng)典】4.下列圖象中，表示是的函數(shù)的是（）A. B.C. D.5.函數(shù)的自變量的取值范圍是（）A.3 B. C.且 D.且6.甲、乙兩車沿筆直公路同向行駛，車速分別為和．目前甲車在乙車前處，設(shè)后兩車相距，那么y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為_____．7.一水池的容積是，現(xiàn)蓄水，用水管以的速度向水池中注水，直到注滿為止．（1）寫出水池蓄水量與注水時間之間的關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)時，水池蓄水量是多少？【練易錯】易錯點：混淆分式和二次根式有意義的條件而導(dǎo)致自變量取值范圍出錯8.函數(shù)的自變量取值范圍是（）A. B. C. D.且函數(shù)圖象的簡單應(yīng)用1.函數(shù)圖象信息X軸Y軸圖象上的點圖象的變化自變量函數(shù)一對變量的值函數(shù)變化2.解答分段函數(shù)的思維要領(lǐng)一看函數(shù)值隨自變量的變化是增加還是減少，也就是，在圖象上表現(xiàn)為呈上升趨勢還是呈下降趨勢；二看某段變化過程中，變化是否均勻，分清是函數(shù)類型；三看變化速度的快慢，變化越快，對應(yīng)的圖象越陡；四看自變量變化，而函數(shù)值不變的水平線段的特殊情況；【例題】（2022·河北·石家莊外國語教育集團(tuán)八年級期中）9.如圖是某蓄水池的橫斷面的示意圖，分深水區(qū)和淺水區(qū)，如果向這個蓄水池中以固定的水流量單位時間注水的體積注水注滿水后停止注水，那么下列圖中能大致表示水的深度與注水時間之間關(guān)系的圖象的是（）A. B.C. D.10.A，B兩地相距30km，甲乙兩人沿同一條路線從A地到B地．如圖，反映的是兩人行進(jìn)路程y（km）與行進(jìn)時間t（h）之間的關(guān)系，①甲始終是勻速行進(jìn)，乙的行進(jìn)不是勻速的；②乙用了4.5個小時到達(dá)目的地：③乙比甲遲出發(fā)0.5小時；④甲在出發(fā)5小時后被乙追上．以上說法正確的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個11.如圖是A，B兩種套餐每月資費y(元)與通話時間x(分鐘)對應(yīng)的函數(shù)圖象，若小紅每月通話時間大約為500分鐘，則從A，B兩種資費套餐中選擇______套餐更合適．12.小剛從家出發(fā)步行去學(xué)校，幾分鐘后發(fā)現(xiàn)忘帶作業(yè)，于是掉頭原速返回并立即打給爸爸，掛斷后爸爸立即跑步去追小剛，同時小剛以原速的兩倍跑步回家，爸爸追上小剛后以原速的倍原路步行回家，而小剛則以原跑步速度趕往學(xué)校，并在從家出發(fā)23分鐘后到校(小剛被爸爸追上時交流時間忽略不計)．兩人之間相距的路程(米)與小剛從家出發(fā)到學(xué)校的時間(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小剛的步行速度為__________．【練經(jīng)典】13.如圖，長方形中，，，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿運動，到達(dá)點D后停止運動，若點Р的運動時間為，的面積為，則y與t之間函數(shù)關(guān)系的大致圖像是（）A. B.C. D.14.“龜兔賽跑”是同學(xué)們熟悉的寓言故事，如圖，表示了寓言中的龜、兔的路程S和時間t的關(guān)系（其中直線段表示烏龜，折線段表示兔子）．下列敘述正確的是（）A賽跑中，兔子共休息了50分鐘B.烏龜在這次比賽中的平均速度是0.1米/分鐘C.比賽過程中，兔子的平均速度比烏龜?shù)钠骄俣瓤霥.烏龜追上兔子用了20分鐘15.甲、乙兩位同學(xué)騎自行車，從各自家出發(fā)上學(xué)，他們離乙家的距離y(km)與出發(fā)時間x(min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則乙比甲早到________分鐘．16.春節(jié)前，某面粉加工廠接到加工任務(wù)，要求5天內(nèi)加工完220噸面粉，加工廠安排甲，乙兩組共同完成加工任務(wù)．乙組加工中途停工一段時間維修設(shè)備，然后提高加工效率繼續(xù)加工，直到與甲隊同時完成加工任務(wù)為止．設(shè)甲、乙兩組各自加工面粉數(shù)量（噸與甲組加工時間（天）之間的關(guān)系如圖所示，結(jié)合圖像，解答下列問題：（1）乙組中途休息了____天；甲組每天加工面粉_____噸；（2）乙組提高加工效率后，每天加工面粉多少噸？（3）加工幾天，甲、乙兩組共完成總?cè)蝿?wù)的一半？【練易錯】易錯點：混淆圖象中表示的變量而導(dǎo)致錯誤17.一輛貨車從A地去B地，一輛轎車從B地去A地，同時出發(fā)，勻速行駛，各自到達(dá)終點后停止，轎車的速度大于貨車的速度．兩輛車之間的距離為（km）與貨車行駛的時間為（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列說法正確的是（）A.貨車行駛1小時到達(dá)B地B.貨車的速度是C.轎車比貨車早27分鐘到達(dá)目的地D.貨車行駛小時或2小時，兩車相距一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1.系數(shù)k、b對圖象的影響（1）系數(shù)k決定圖象的形狀時，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大；時，圖象從左到右下降，y隨x的增大而減??；（2）系數(shù)b決定圖象與y軸的交點的位置圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，b），時，圖象與y軸交于正半軸；時，圖象與坐標(biāo)軸交于原點（0，0）；時，圖象與y軸交于負(fù)半軸；（3）系數(shù)k、b一起決定圖象的位置；；；；2.一次函數(shù)圖象的變換（1）平移原直線解析式平移的方向與距離平移后直線解析式規(guī)律沿y軸向上平移m個單位上加下減常數(shù)項沿y軸向下平移m個單位沿x軸向左平移m個單位左加右減自變量沿x軸向右平移m個單位（2）對稱原直線解析式對稱的形式對稱后直線解析式規(guī)律關(guān)于x軸對稱X不變，y變相反數(shù)關(guān)于y軸對稱y不變，x變相反數(shù)關(guān)于原點對稱X與y都變相反數(shù)3.兩個一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如l1：y1＝k1x＋b1，l2：y2＝k2x＋b2）（1）（2）當(dāng)k1≠k2，b1＝b2＝b時，y1與y2交于點；（3）當(dāng)k1＋k2＝0，b1＝b2時，y1與y2關(guān)于y軸對稱．【例題】18.已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過，，，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.19.在下列敘述中，正確的個數(shù)有（）①正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限；②一次函數(shù)中，y隨x的增大而增大；③函數(shù)中，當(dāng)時，函數(shù)值為；④一次函數(shù)圖象與x軸交點為．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個20.一次函數(shù)與（為常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A. B. C. D.21.已知一次函數(shù)的值隨值的增大而增大，那么該函數(shù)的圖象經(jīng)過第___________象限．22.在平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)的圖象沿y軸向上平移3個單位長度后得到一次函數(shù)的圖象，則b的值為______．【練經(jīng)典】23.已知一次函數(shù)的圖象過二、三、四象限，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.，C.， D.，24.點和點在直線上，已知直線與y軸交于正半軸，且，則m的值可能是（）A. B. C.3 D.425.兩個函數(shù)和，它們在同一個坐標(biāo)系中的圖像不可能是（）A. B. C. D.26.已知直線平行于直線，則m的值為______________．27.已知正比例函數(shù)y＝（m﹣1）的圖象在第二、四象限，則m的值為_____，函數(shù)的解析式為_____．28.把直線向左平移5個單位，再向上平移6個單位后，作關(guān)于原點的對稱直線，求這條直線的解析式．【練易錯】易錯點：混淆一次函數(shù)圖象的變換規(guī)律而致錯29.一次函數(shù)的圖象先向下平移4個單位，再向右平移2個單位，作關(guān)于x軸對稱，對稱后的直線的解析式為，求原函數(shù)圖象的解析式．一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系1.一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系（1）一元一次方程ax+b=0可以看作是一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值為0時的特殊情形；（2）直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標(biāo)是一元一次方程ax+b=0的解；2.一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系一元一次不等式一次函數(shù)y=ax+b對應(yīng)的函數(shù)圖象ax+b>0y>0時自變量x的取值范圍X軸上面的圖象ax+b<0Y<0時自變量x的取值范圍X軸下面的圖象ax+b>my>m時自變量x的取值范圍直線y=m上面的圖象ax+b<my<m時自變量x的取值范圍直線y=m下面的圖象3.二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系（1）任意一個二元一次方程都可以化成y=kx+b的形式，即每個二元一次方程都對應(yīng)一個一次函數(shù)，也對應(yīng)一條直線；（2）直線y=kx+b的每一點的橫、縱坐標(biāo)均為這個二元一次方程的解．4.二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系（1）二元一次方程組中的每個方程可看作一次函數(shù)的解析式；（2）求二元一次方程組的解可以看作求兩個函數(shù)交點的坐標(biāo)；5.數(shù)形結(jié)合（1）涉及交點問題，通常把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題求解；（2）涉及不等式問題，通常把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解，常常觀察圖象對應(yīng)部分的上、下位置及交點坐標(biāo)來確定解集．【例題】30.如圖，一次函數(shù)，的圖象經(jīng)過、兩點，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A. B. C. D.31.如圖，直線y＝kx+b（k、b是常數(shù)k≠0）與直線y＝2交于點A（4，2），則關(guān)于x的不等式kx+b＜2的解集為_____．32.如圖，直線與交點的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于的二元一次方程組的解為___________．33.一次函數(shù)圖像經(jīng)過點和點．（1）求這個一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）請在如圖的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫一次函數(shù)的圖像，回答下列問題：①它的圖像與x軸的交點坐標(biāo)是____________．②當(dāng)x____________，時，．【練經(jīng)典】34.已知點在直線上，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.35.已知一次函數(shù)和相交于點，則不等式中的取值范圍為_________．36.如圖，一次函數(shù)和的圖象相交于點A(2，?1)．（1）求k，b的值；（2）根據(jù)圖象，若，寫出x取值；若，寫出x取值．【練易錯】易錯點：混淆不等式與函數(shù)的關(guān)系導(dǎo)致解集錯誤37.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和，無論取何值，始終有，的取值范圍為（）A. B. C.且 D.且一次函數(shù)的應(yīng)用1.一次函數(shù)與幾何綜合（1）面積問題通常構(gòu)造軸邊三角形（即有一條邊在坐標(biāo)軸上的三角形）來求解；（2）存在性質(zhì)問題即構(gòu)成全等三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、平行四邊形和特殊的平行四邊形，需要結(jié)合圖形的判定來求解；2.一次函數(shù)與實際問題（1）有圖象類問題通常要結(jié)合圖象求解析式，結(jié)合實際構(gòu)建方程或不等式求解；（2）無圖象類問題要結(jié)合題意求解析式，結(jié)合實際構(gòu)建方程或不等式求解；（3）方案問題通常涉及兩個相關(guān)量，根據(jù)所滿足的關(guān)系式，列不等式，求解出某一個變量的取值范圍，再根據(jù)另一個變量所滿足的條件，即可確定有多少種方案．（4）最值問題（1）將所有求得的方案的值計算出來，再進(jìn)行比較；（2）求函數(shù)關(guān)系式，由一次函數(shù)的增減性確定最值；若為分段函數(shù)，應(yīng)分類討論，先計算出每個分段函數(shù)的最值，再進(jìn)行比較，最后確定最值.【例題】38.過點的直線l與正比例函數(shù)的圖象交于點、與x軸交于點C．（1）求直線l、正比例函數(shù)的解析式和點C的坐標(biāo)；（2）求的面積．39.互聯(lián)網(wǎng)時代，一部就可搞定午餐是新零售時代的重要表現(xiàn)形式，打包是最早出現(xiàn)的外賣形式，雖然古老，卻延續(xù)至今，隨著、、網(wǎng)絡(luò)的普及，外賣行業(yè)得到迅速的發(fā)展．某知名外賣平臺招聘外賣騎手，并提供了如下兩種日工資方案：方案一：每日底薪50元，每完成一單外賣業(yè)務(wù)再提成3元；方案二：每日底薪80元，外賣業(yè)務(wù)的前30單沒有提成，超過30單的部分，每完成一單提成5元．設(shè)騎手每日完成的外賣業(yè)務(wù)量為x單（x為正整數(shù)且），方案一、方案二中騎手的日工資分別為、（單位：元）．（1）分別寫出、關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若小強是該外賣平臺的一名騎手，從日工資收入的角度考慮，他應(yīng)該選擇哪種日工資方案？并說明理由．40.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，的圖象與x軸，y軸分別交于點D，E，且兩個函數(shù)圖象相交于點．（1）填空：，；（2）求的面積；（3）在線段上是否存在一點M，使得的面積與四邊形的面積比為？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（4）點P在線段上，連接，若是直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P坐標(biāo)．【練經(jīng)典】41.如圖所示，過點的直線交y軸于點B，點B在原點上方，已知．（1）求點B的坐標(biāo)：（2）若過點A的直線交y軸于點C，的面積為3，求直線的函數(shù)表達(dá)式．42.“雙減”政策受到各地教育部門的積極響應(yīng)，某校為增加學(xué)生的課外活動時間，現(xiàn)決定增購兩種體育器材：跳繩和毽子．已知跳繩的單價比毽子的單價多3元，用800元購買的跳繩數(shù)量和用500元購買的毽子數(shù)量相同．（1）求跳繩和毽子的單價分別是多少元？（2）學(xué)校計劃購買跳繩和毽子兩種器材共600個，且要求跳繩的數(shù)量不少于毽子數(shù)量的3倍，跳繩的數(shù)量不多于452根，請問有幾種購買方案并指哪種方案學(xué)?；ㄥX最少．43.如圖，直線交x軸和y軸于點A和點C，點在y軸上，連接．（1）求直線的解析式；（2）點P為直線上一動點，若，求點P的坐標(biāo)；（3）在第二象限找一點M使得為等腰直角三角形，直接寫出點M所有可能的坐標(biāo)．【新定義小練】44.定義：在函數(shù)中，我們把關(guān)于的一次函數(shù)與稱為一組對稱函數(shù)，例如與是一組對稱函數(shù)．請完成下列問題：（1）一次函數(shù)的對稱函數(shù)在軸上的截距為__；（2）若一次函數(shù)的對稱函數(shù)與軸交于點，與軸交于點，且三角形的面積為12，則的值為__．45.給出如下定義：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，這三個點中任意兩點間的距離的最小值稱為點，，的“完美間距”．例如：如圖，點，，的“完美間距”是1．（1）點的“完美間距”是_____________；（2）已知點．①若點O，A，B的“完美間距”是2，則y的值為____________；②點O，A