專題01整數(shù)和整除（5個知識點13種題型1個易錯點）（原卷版）

專題01整數(shù)和整除（5個知識點13種題型1個易錯點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：整數(shù)的意義和分類知識點2：整除的意義知識點3：因數(shù)和倍數(shù)的意義知識點4：能被2、5整除的數(shù)知識點5：能被3、9整除的數(shù)【方法二】實例探索法題型1：整數(shù)的分類題型2：整除與除盡的區(qū)別題型3：因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系題型4：求一個數(shù)的因數(shù)題型5：求一個數(shù)的倍數(shù)題型6：因數(shù)與倍數(shù)的性質(zhì)題型7：能被2整除數(shù)的特征題型8：奇數(shù)、偶數(shù)的判定方法題型9：奇數(shù)和偶數(shù)的計算題型10：能被5整除數(shù)的特征題型11：能被2、5整除數(shù)的應(yīng)用題型12：能被3整除的數(shù)的特征題型13：能被9整除的數(shù)的特征【方法三】差異對比法易錯點：整除與除盡概念理解不清導(dǎo)致錯誤【方法四】成果評定法【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：整數(shù)的意義和分類（1）自然數(shù)：零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)；（2）整數(shù)：正整數(shù)、零、負整數(shù)，統(tǒng)稱為整數(shù)．注意：0的含義(1)零可以表示沒有物體。(2)可以表示計量過程中某種量的基準數(shù)。如：零攝氏度，歸零，從零開始。最小的自然數(shù)是0，沒有最大的自然數(shù)。知識點2：整除的意義整數(shù)除以整數(shù)，如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說能被整除；或者說能整除．1.整除的條件：（1）除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù)（2）被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)而且余數(shù)為零2.區(qū)別“整除”與“除盡”的概念被除數(shù)和除數(shù)商整除都是整數(shù)，除數(shù)不等于0商是整數(shù)，余數(shù)為0除盡不一定是整數(shù)，除數(shù)不等于0商是整數(shù)或有限小數(shù)，沒有余數(shù)注意：其實，整除是除盡的一種特殊形式。知識點3：因數(shù)和倍數(shù)的意義整數(shù)能被整數(shù)整除，就叫做的倍數(shù)，就叫做的因數(shù)（也稱為約數(shù)）．因數(shù)與倍數(shù)的特征：找一個數(shù)的因數(shù)的方法方法一：列除法算式找。用這個數(shù)除以一個整數(shù)，除數(shù)從1開始試除，注意得到的商必須是整數(shù)。我們在列除法算式，找一個數(shù)的因數(shù)的時候，就用此數(shù)分別除以大于等于1且小于等于它本身的所有整數(shù)，所得的商是整數(shù)且沒有余數(shù)，這些除數(shù)和商就是這個數(shù)的因數(shù)。方法二：列乘法算式找。根據(jù)除法各部分間的關(guān)系，“被除數(shù)=除數(shù)×商”來找，如，找18的因數(shù)，先看18是哪兩個數(shù)相乘的積，那么這兩個數(shù)就是18的因數(shù)。18=1×18,18=2×9,18=3×6，用乘法找一個數(shù)的因數(shù)時，一般要從自然數(shù)1開始一對一對地找，這樣不易遺漏。我們在列乘法算式找一個數(shù)的因數(shù)的時候，把這個數(shù)寫乘兩個整數(shù)相乘的形式，算式中的每個整數(shù)都是這個數(shù)的因數(shù)。找一個數(shù)的倍數(shù)的方法（如找2的倍數(shù)的方法）方法一:列除法算式找。根據(jù)倍數(shù)的意義，可以列除法算式找出2的倍數(shù)?？茨膫€數(shù)除以2，商是整數(shù)且沒有余數(shù)，這個數(shù)就是2的倍數(shù)，如2÷2=1,4÷2=2,6÷2=3，…那么2，4，6，…都是2的倍數(shù)。我們在列除法算式，找一個數(shù)的倍數(shù)的時候，就是看哪些非0自然數(shù)除以這個數(shù)商是整數(shù)且沒有余數(shù)，這些數(shù)就是這個數(shù)的倍數(shù)。方法二：列乘法算式找。2與非零自然數(shù)的積都是2的倍數(shù)。用2分別乘1,2,3，…。也就是2×1=2,2×2=4,2×3=6，…。那么2,4,6,…。都是2的倍數(shù)。我們在列乘法算式找一個數(shù)的倍數(shù)的時候，就是用這個數(shù)依次與非0自然數(shù)相乘，所得到的積就是這個數(shù)的倍數(shù)。知識點4：能被2、5整除的數(shù)1、能被2整除的數(shù)能被2整除的數(shù)的特征：個位上是0，2，4，6，8的整數(shù)； 能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)．2、能被5整除的數(shù)能被5整除的數(shù)的特征：個位上是0或5的整數(shù)．3、能同時被2、5整除的數(shù)能同時被2和5整除的數(shù)的特征：個位上是0的整數(shù)．知識點5：能被3、9整除的數(shù)能被3整除的數(shù)能被3整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)．能被9整除的數(shù)能被9整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位上的數(shù)字和是9的倍數(shù)．【方法二】實例探索法題型1：整數(shù)的分類1.在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1這些數(shù)中，整數(shù)是_________，自然數(shù)是__________．2.把下列各數(shù)填在適當?shù)膬?nèi):9，0，0.23,53,,26,1正整數(shù)負整數(shù)自然數(shù)3.先把下列各數(shù)放入正確的圈內(nèi)，然后把這些數(shù)按照從小到大的順序排列，并說明其中最小的正整數(shù)，最小的自然數(shù)，最大的負整數(shù)分別是哪個？－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．整數(shù) 自然數(shù)正整數(shù) 負整數(shù)4.是否存在最小的的正整數(shù)，負整數(shù)，自然數(shù)；是否存在最大的正整數(shù)，負整數(shù)，自然數(shù)？如果有，請寫出是哪個數(shù)．題型2：整除與除盡的區(qū)別5.（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）下面各組數(shù)中，第一個數(shù)能被第二個數(shù)整除的是（

）A．14和7 B．2.5和5 C．9和18 D．0.4和86．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)），___________填“能”或“不能”）說3能整除4.87．（2022秋·上海寶山·六年級統(tǒng)考期中）如果n表示一個正整數(shù)，那么被4除的余數(shù)是______．8.下列各組數(shù)中，第一個數(shù)能整除第二個數(shù)的是________．eq\o\ac(○,1)3和0.3；eq\o\ac(○,2)12和4；eq\o\ac(○,3)5和15；eq\o\ac(○,4)0.2和0.4；eq\o\ac(○,5)1.4和14；eq\o\ac(○,6)5和0.1．9.下面的幾對數(shù)中，第一個數(shù)能除盡第二個數(shù)的是____________．eq\o\ac(○,1)7和11；eq\o\ac(○,2)9和2538；eq\o\ac(○,3)2和5；eq\o\ac(○,4)15和5；eq\o\ac(○,5)13和91；eq\o\ac(○,6)2和0.4；eq\o\ac(○,7)0.3和6；eq\o\ac(○,8)1.5和2.5．10.把表示下列算式的序號填入適當?shù)目崭駜?nèi)．（1）30÷10； （2）7÷25；（3）35÷0．1； （4）18÷3；（5）0．4÷2； （6）3．9÷0．3；（7）27÷9； （8）16÷4．除數(shù)能整除被除數(shù)的：________________________________________； 能夠除盡的：________________________________________________．題型3：因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系11．（2023秋·上海徐匯·六年級上海市徐匯中學(xué)校考期末）能整除19，那么是（）A．19 B．38 C．19的倍數(shù) D．19的因數(shù)12．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）a÷b＝5（a，b都是非0自然數(shù)），a是b的（

），b是a的（

）．①倍數(shù)

②因數(shù)

③積A．①② B．②① C．③①13．（2022秋·六年級單元測試）是一個正整數(shù)，它的最小的因數(shù)是______，最大的因數(shù)是______，最小的倍數(shù)是______．14．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）一個整數(shù)_____________最大的倍數(shù)（填“有”或“無”），而最小的倍數(shù)是___________．題型4：求一個數(shù)的因數(shù)15．（2022秋·上海楊浦·六年級統(tǒng)考期中）8的因數(shù)有_______．16．（2022秋·上海閔行·六年級校考階段練習(xí)），則的因數(shù)有_________個．17．（2022秋·上海閔行·六年級上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)校考期中）16的所有因數(shù)的和是_________．18．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）規(guī)定一個新運算：對于不小于3的正整數(shù)n，表示不是n的因數(shù)的最小正整數(shù)，如5的因數(shù)是1和5，所以；再如8的因數(shù)是1、2、4和8，所以等等，請你在理解這種新運算的基礎(chǔ)上，求_______________．19.兩個2位數(shù)的積是216，這兩個數(shù)的和是多少？20.用16塊面積是1平方厘米的正方形，可以拼成多少種形狀不同的長方形？它的長和寬分別是多少厘米？21.我們知道，每個正整數(shù)都有因數(shù)，對于一個正整數(shù)，我們把小于的正的因數(shù)叫做的真因數(shù)．如10的正因數(shù)有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數(shù)．把一個正整數(shù)的所有真因數(shù)的和除以，所得的商叫做的“完美指標”．如10的“完美指標”是．一個正整數(shù)的“完美指標”越接近1，我們就說這個數(shù)越“完美”．如8的“完美指標”是，10的“完美指標”是，因為比更接近1，所以我們說8比10完美．根據(jù)上述材料，回答下面問題：（1）5的“完美指標”是____________；（2）6的“完美指標”是____________；（3）9的“完美指標”是____________．（4）試找出比20大，比30小的正整數(shù)中，最“完美”的數(shù)．題型5：求一個數(shù)的倍數(shù)22．（2022秋·上?！ち昙壭？茧A段練習(xí)）一個整數(shù)的最小倍數(shù)是201，則這個數(shù)是________．23.李明去兒童樂園玩，兒童樂園是1路車和13路車的始發(fā)站，1路車每5分鐘發(fā)車一次，13路車每6分鐘發(fā)車一次．現(xiàn)在這兩路車同時發(fā)車以后，至少再經(jīng)過多少分鐘又同時發(fā)車？24.一筐蘋果，2個一拿或3個一拿或4個一拿或5個一拿都正好拿完沒有余數(shù)，問這筐蘋果最少有多少個？題型6：因數(shù)與倍數(shù)的性質(zhì)25．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．任何正整數(shù)的因數(shù)至少有兩個 B．1是所有正整數(shù)的因數(shù)C．一個數(shù)的倍數(shù)總比它的因數(shù)大 D．3的因數(shù)只有它本身26．（2022秋·上海徐匯·六年級?？茧A段練習(xí)）一個整數(shù)最小的因數(shù)是______，最小的倍數(shù)是______．27．（2022秋·上海浦東新·六年級?？计谥校┤绻帽硎綼的全部因數(shù)的和，如，那么______．28．（2022秋·上海長寧·六年級上海市復(fù)旦初級中學(xué)?？计谥校┘仁堑谋稊?shù)又是的因數(shù)的數(shù)是_________．29．（2022秋·上海寶山·六年級統(tǒng)考期中）正整數(shù)16的最小倍數(shù)減去它的最大因數(shù)，所得的差是______．題型7：能被2整除數(shù)的特征30．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）個位上是______的整數(shù)，一定能被2整除．題型8：奇數(shù)、偶數(shù)的判定方法31．（2022秋·上海浦東新·六年級校考期末）有一個三位數(shù)，百位數(shù)字是最小的奇數(shù)，十位上是0，個位上是一位數(shù)中最大的偶數(shù)．這個數(shù)是（

）A．102 B．201 C．801 D．10832．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）兩個連續(xù)的自然數(shù)的和是（

）A．奇數(shù) B．偶數(shù) C．奇數(shù)或偶數(shù) D．既不是奇數(shù)也不是偶數(shù)．33．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）要把一個奇數(shù)變成偶數(shù)，下列說法中錯誤的是（

）A．加上1 B．減去1 C．乘以2 D．除以234．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）自然數(shù)中最小的奇數(shù)是_______，最小的偶數(shù)是___．35．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）如果a是一個奇數(shù)，那么與a相鄰的兩個偶數(shù)是多少？題型9：奇數(shù)和偶數(shù)的計算36．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）兩個奇數(shù)的積一定是________，兩個偶數(shù)的積一定是_____，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的積一定是____．（填“奇數(shù)”或“偶數(shù)”）．題型10：能被5整除數(shù)的特征37．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）個位上是_______的整數(shù)，一定能被5整除．題型11：能被2、5整除數(shù)的應(yīng)用38．（2022秋·上?！ち昙夒A段練習(xí)）下列各組數(shù)中能同時被2和5整除的是（

）A．35 B．42 C．15 D．2039．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）既能被2整除又能被5整除的最小的三位數(shù)是（

）A．102 B．105 C．110 D．10040．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）整數(shù)2009至少加上________才能同時被2、5整除．41．（2022秋·上海嘉定·六年級統(tǒng)考期中）在75，50，42，40，66中，既是2的倍數(shù)又能被5整除的數(shù)有___________________．42．（2021秋·上海浦東新·六年級上海市民辦新竹園中學(xué)?？计谥校┮粋€兩位數(shù)加2是2的倍數(shù)，加5是5的倍數(shù)，加7是7的倍數(shù)，此數(shù)是______．43．（2022秋·上?！ち昙壭？茧A段練習(xí)）從0、4、5、9這四個數(shù)字中，任選三個數(shù)字組成一個能同時被2和5整除的三位數(shù),這樣的三位數(shù)共有幾個？分別是什么？題型12：能被3整除的數(shù)的特征44．（2022秋·上海徐匯·六年級?？茧A段練習(xí)）用0，1，4，7組成的所有四位數(shù)都能被（

）A．3整除 B．2整除 C．5整除 D．7整除45．（2022秋·上海浦東新·六年級?？计谀┮粋€兩位數(shù)，既是3的倍數(shù)，又有因數(shù)5，則這個數(shù)最小是_____．47．（2022秋·上海徐匯·六年級上海市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在8□3□的□內(nèi)填上同一個正整數(shù)，使這個數(shù)能同時被3和5整除，則□內(nèi)填______．48．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）三位數(shù)75□能同時被2、3整除，那么□可以是_____________．49.一個五位數(shù)能被3整除，且能被2整除，這樣的五位數(shù)有______個．50.在1~600這600個數(shù)中，不能被2整除的數(shù)有多少個？不能被3整除的數(shù)有多少個？既不能被2整除，又不能被3整除的數(shù)有多少個？題型13：能被9整除的數(shù)的特征51.已知一個三位數(shù)，試證明：若能被9整除，則能被9整除．【方法三】差異對比法52.把表示下列算式的序號填入適當?shù)目崭駜?nèi)．（1）30÷10； （2）7÷25；（3）35÷0．1； （4）18÷3；（5）0．4÷2； （6）3．9÷0．3；（7）27÷9； （8）16÷4．除數(shù)能整除被除數(shù)的：________________________________________； 能夠除盡的：________________________________________________．【方法四】成功評定法一．選擇題（共6小題）1．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）下列各組數(shù)中，第一個數(shù)能被第二個數(shù)整除的是（）A．25和50 B．42和3 C．10和4 D．9和1.52．（2022秋?青浦區(qū)期中）下列數(shù)中，既是3的倍數(shù)，又是60的因數(shù)的數(shù)是（）A．9 B．15 C．20 D．453．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）下列說法中，正確的個數(shù)有（）①32能被4整除；②1.5能被0.5整除；③13能整除13；④0能整除5；⑤25不能被5整除；⑥0.3不能整除24．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）要使五位數(shù)5017□能被3整除，□中可以有（）個數(shù)可填．A．4 B．3 C．2 D．15．（2020秋?普陀區(qū)期中）下面四個數(shù)中，能同時被3、5整除的是（）A．220 B．225 C．230 D．2356．（2020秋?浦東新區(qū)月考）下列各組數(shù)中能同時被2和5整除的是（）A．35 B．42 C．15 D．20二．填空題（共12小題）7．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）16的所有因數(shù)的和是．8．（2022秋?青浦區(qū)期中）24的因數(shù)有．9．（2022秋?寶山區(qū)期中）在正整數(shù)18、4、3中，是的倍數(shù)．10．（2022秋?寶山區(qū)校級月考）最小的自然數(shù)是．11．（2022秋?嘉定區(qū)期中）18的因數(shù)有．12．（2022秋?嘉定區(qū)期中）在75，50，42，40，66中，既是2的倍數(shù)又能被5整除的數(shù)有．13．（2022秋?徐匯區(qū)期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整數(shù)是．14．（2022秋?寶山區(qū)期中）在能夠同時被2和5整除的所有兩位數(shù)中，最大的是．15．（2022秋?寶山區(qū)校級月考）能整除16的數(shù)有．16．（2022秋?黃浦區(qū)期中）身邊的數(shù)學(xué)：110是報警，120是急救，114是查詢，96315是投訴，119是火警，在這些號碼中，能同時被2和5整除的是（填號碼）17．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）規(guī)定一種新運算：對于不小于3的正整數(shù)n，（n）表示不是n的因數(shù)的最小正整數(shù)，如5的因數(shù)是1和5，所以（5）＝2；再如（8）的因數(shù)是1、2、4和8，所以（8）＝3等等，請你在理解這種新運算的基礎(chǔ)上，求（9）+（12）＝．18．（2022秋?青浦區(qū)期中）我們知道，每個自然數(shù)都有因數(shù)，對于一個自然數(shù)a，我們把小于a的正的因數(shù)叫做a的真因數(shù)．如10的正因數(shù)有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數(shù)．把一個自然數(shù)a的所有真因數(shù)的和除以a，所得的商叫做a的“完美指標”．所以，16的“完美指標”是