專題03勾股定理的解決折疊問題（題型與解法）（原卷版）

專題03勾股定理解決折疊問題折疊問題是中考的熱點(diǎn)也是難點(diǎn)問題，通常與動點(diǎn)問題結(jié)合起來，這類問題的題設(shè)通常是將某個圖形按一定的條件折疊，通過分析折疊前后圖形的變換，借助軸對稱性質(zhì)、勾股定理等知識進(jìn)行解答。此類問題立意新穎，充滿著變化，要解決此類問題，除了能根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)作出要求的圖形外，還要能綜合利用相關(guān)數(shù)學(xué)模型及方法來解答。概括地說，這類問題的解題策略就是：在折疊后產(chǎn)生的直角三角形中，把某條邊設(shè)成未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.進(jìn)而以數(shù)解形，將問題順利解決.1．如圖，已知長方形沿著直線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)E，，則的長為（

）A．9 B．10 C．11 D．122．如圖，矩形紙片中，已知，折疊紙片使邊與對角線重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為，且，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．如圖所示，把矩形紙條沿，同時折疊，，兩點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，若的度數(shù)恰好為，，，則矩形的邊的長為()A．10 B．11 C．12 D．154．如圖，在一張矩形紙片中，，，點(diǎn)分別在，上，將矩形沿直線折疊，點(diǎn)落在邊上的一點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，有以下四個結(jié)論：①四邊形是菱形；②線段的取值范為；③；④當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，其中正確的結(jié)論是________．5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB與BC上兩點(diǎn)，連接EF，將△BEF沿著EF翻折，使得B點(diǎn)落在AC邊上的D處，AD=2，則EO的值為_______．6．如圖1，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對折，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙、……．當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長為a時．（1）“16開”紙的短邊長為______（用含a的代數(shù)式表示）．（2）如圖2，把這張標(biāo)準(zhǔn)紙對折得到的“16開”紙，按如下步驟折疊：第一步，將矩形的短邊與長邊對齊折疊，點(diǎn)B落在上的點(diǎn)處，鋪平后得折痕；第二步，將長邊與折痕對齊折疊，點(diǎn)D正好與點(diǎn)E重合，鋪平后得折痕．則：①“16開”紙的長邊長是______（用含a的代數(shù)式表示）；②標(biāo)準(zhǔn)紙的長邊與短邊的比值是______．7．如圖，在中，，，E、F分別為邊、上的點(diǎn)，沿將折疊，使點(diǎn)A落在邊的中點(diǎn)處，若，則線段的長度為______．8．如圖，已知正方形紙片的邊，點(diǎn)P在邊上，將沿折疊，點(diǎn)A的應(yīng)點(diǎn)為．（1）若時，的長為___________；（2）若點(diǎn)到邊或的距離為1，則線段的長為_________．9．如圖，已知長方形，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，上的動點(diǎn)，沿直線折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)G始終落在邊上，則線段的最小值是_________．10．如圖，正方形的邊長為2，E為邊上任意一點(diǎn)（不與B、C重合），沿折疊正方形，使得點(diǎn)B落在，連接，若點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，則的最小值為__________．11．如圖，將長為4，寬為3的矩形紙片折疊，折痕為，點(diǎn)M，N分別在邊上，點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E為三等分點(diǎn)時，的長為______．12．如圖，中，，，，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一動點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則長度的最小值是___．13．如圖，在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)時，的長為_____．14．如圖，中，，D為邊上一點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，點(diǎn)C在線段上，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)E，若，，則的長為__________．15．如圖，在邊長為4的菱形中，，M是邊上的一點(diǎn)，且，N是邊上的一動點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則長度的最小值是___________．16．如圖，折疊矩形的一邊，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)F處，已知折痕，且，則的長是______________．17．如圖，將梯形（紙片）折疊，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，直線為折痕；點(diǎn)也與邊上的點(diǎn)重合，直線為折痕．已知，，，則的面積是__________．18．已知矩形，，為上的點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，交于，交于為上的點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)正好落在上，若，則_____，_____．19．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)E處，試求的長．20．綜合與實(shí)踐問題情境：如圖，在矩形中，，，連接BD，將沿對角線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，線段交AD于點(diǎn)F．問題解決：(1)求線段的長；拓展提升：(2)如圖，將沿著方向平移，當(dāng)點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)落在線段上時，求此時平移的距離；(3)如圖3，將繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，能否為等腰三角形？若能，請直接寫出的面積；若不能，請說明理由．21．在中，點(diǎn)E在邊上，將沿翻折，使點(diǎn)A落在處，且，連接交于點(diǎn)F．(1)若，．①如圖1，當(dāng)時，______，邊與線段的數(shù)量關(guān)系是______；②如圖2，當(dāng)為任意角度數(shù)時，上述結(jié)論是否依然成立，請說明理由．(2)如圖3，若，，猜想的度數(shù)及邊與線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．22．我們知道長方形的四個角都是直角，兩組對邊分別相等．小亮在參加數(shù)學(xué)興趣小組活動時，對一張長方形紙片進(jìn)行了探究．如圖是長方形紙片，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)．先將沿著翻折，得到；再將翻折至與重合，折痕是．請你幫助小亮解決下列問題：(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)已知，，求的長．23．綜合與實(shí)踐問題情境：綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．矩形紙片中，，．操作探究：如圖1，將矩形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上，展開后折痕交于點(diǎn)E．(1)的度數(shù)為______．(2)求線段的長度．拓展延伸：(3)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，繼續(xù)沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在上，展開后折痕交于點(diǎn)F，連接．請判斷的形狀并說明理由．24．如圖，在中，，，，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，連接，將沿翻折，使落在點(diǎn)處，點(diǎn)為直角邊上一點(diǎn)，連接，將沿翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，